二次函数知识归纳与题型突破（16类题型清单）解析版-2024-2025学年苏科版九年级数学下册

二次函数知识归纳与题型突破（16类题型）

01思维导图

二次函数的概念

开口方向、对称轴、顶点、增减性

二次函数的图象

图象与系数的关系

二次函数的解析式

二次函数

二次函数的图象与几何变换

与X轴交点

二次函数与一元二次方程

与y轴交点

二次函数与实际问题

02知识速记

一、二次函数的概念

1.形如y+bx+c（其中。，“C是常数，。片0）的函数叫做二次函数，称。为二次项系数，b为一

次项系数，。为常数项.

注意：二次项系数而b,C可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数.

2.二次函数尸办2+6x+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，尤的最高次数是2.

⑵a,6,c是常数，。是二次项系数，6是一次项系数，c是常数项.

二、二次函数的图象

1.二次函数y（awO）的图象是一条抛物线，它关于歹轴对称，顶点是坐标原点.当a〉0时,抛物

线开口向上，顶点是抛物线的量低点；当。＜0时，抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点.

2.二次函数y=a（x-机1（awO）的图象的顶点坐标是（加，0）,对称轴是直线x=4.图象的开口

方向：当。〉0时，开口向上；当。＜0时，抛物线开口向下.

3.二次函数y=a（x-机y+左（。/0）的图象的顶点坐标是（m,k）,对称轴是直线x=加.图象的开

口方向：当。〉0时，开口向上；当。＜0时，抛物线开口向下.

4.二次函数y+―+。（。00）的图象是一条抛物线,它de对称轴是直线x=-2,顶点坐标

2a

'b4ac-b2'

是——一,--------当。〉0时，抛物线开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当。＜0时，抛物线开

[2a4aJ

口向下,顶点是抛物线上的最高点.

三、二次函数的图象与系数的关系

二次函数y+8+。（awo）的系数与图象的关系

（1）。的符号由抛物线y=ax?+bx+c的开口方向决定：开口向上=。〉0,开口向上=。〉0；

（2）6的符号由抛物线＞=办2+反+。的对称轴的位置及。的符号共同决定：对称轴在y轴左侧）

同号，对称轴在y轴右侧0a,6异号；

（3）c的符号由抛物线y=a/+云+。与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交=c〉0,与y轴

正半轴相交=c＜0

四、二次函数的图象与几何变换

I.二次函数的平移

（1）平移步骤：

①将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-〃y+左，确定其顶点坐标（〃，左）；

②保持抛物线y=ax?的形状不变，将其顶点平移到仅，外处，具体平移方法如下:

y"可Ayaix-h^^k

向上(A>0)［或下(ZvO)】平移因个单位

(2)平移规律

在原有函数的基础上“分值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下

减”.

2.二次函数图象的对称

(1)关于x轴对称

y=ax2+云+°关于》轴对称后，得到的解析式是y=-bx-c；

y=a(^x-h)2+k关于x轴对称后，得至U的解析式是y=-a(x-/z『-k；

(2)关于》轴对称

y=ax1+加+(?关于)，轴对称后，得到的解析式是了二⑪?-bx+c；

y=a(^x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=。(％+/7丫+k；

(3)关于原点对称

y=ax2+6x+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-"?+bx-c；

y=a(x-h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+/z)2-左；

4.关于顶点对称

川

y=ax2+6x+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax?-bx+c---；

2a

y=。5-疗+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-〃y+k.

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此时永远不变.求抛物

线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物

线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后

再写出其对称抛物线的表达式.

五、二次函数的解析式

1.二次函数解析式的表示方法

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,awO)；

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,左为常数，awO)；

(3)两根式：y=a(x-X1)(x-x2)(awO,xi,尤?是抛物线与工轴两交点的横坐标).

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与x轴有交点，即4就20时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的

这三种形式可以互化.

2.二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.

用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.

一般来说，有如下几种情况：

(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；

(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.

六、二次函数的开口方向、对称轴、顶点

22

函数y=ax+bx+c(Q〉0)y=ax+bx+c(a<0)

图象的开口方向向上向工

直线x=_2直线x=_2

对称轴2a2a

(b4ac-](b4QC-]

顶点坐标

[2Q，4。J[2/4QJ

七、二次函数的增减性

函数y=ax2+bx+c(a〉0)y=ax2+bx+c(a<0)

当X〈一二时，y随X的增大而减小;当x<-2时，y随x的增大而增大;

2a2a

增减性

当》>一2时，y随x的增大而增大；当X>-2时，y随x的增大而减小；

2a2a

二次函数的最值

函数y=ax2+bx+c(a>0)y-ax2+bx+c(a<0)

当户一2时，y有最小值超二6，当X=-2时，y有最大值超上，

最值2a4a2a4。

无最大值；无最小值.

八、二次函数与一元二次方程

二次函数y=a/+&v+c（a,b,c是常数，aNO）

1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=O的解.

2.若已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为S,求自变量X的值，就是解一元二次方程a^+bx+cf.

九、二次函数与x轴交点情况

对于二次函数y=a/+bx+c（a,b,c是常数，aWO）△=%?-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：

①△=62-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；

②△=庐-44=0时，抛物线与x轴有1个交点；

③△=/?-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.

03题型归纳

题型一二次函数的识别

例题：（23-24九年级下•江苏连云港•阶段练习）下列函数中是二次函数的有（）

①产=3-&2；②尸丁;③了=x（3-5x）；④了=（1+2x）（1-2x）+4/

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式,

根据二次函数的定义判定即可解答.

【详解】①y=3-氐2,是二次函数；

@y=4>分母中含有字母，不是二次函数；

X

③y=x（3-5x）=-5/+3x,是二次函数；

④y=（l+2x）（l-2x）+4/=1-4/+4/=1,不是二次函数.

则二次函数共2个，

故选：B

巩固训练

1.(2024九年级上•全国•专题练习)下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是()

A.了=(°+2*+1B.y=-^+lC.^=(x+2)(x+l)-x2D.y=2f+3x

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的一般形式：形如y="2+6x+c(a,b,c为常数且

。中0),逐一判断即可解答.

【详解】解：A,v=(a+2)x2+l(a^-2),是二次函数，故/不符合题意；

B、y=3+l,不是二次函数，故8不符合题意；

X

c、y=(x+2)(x+l)-x2=3x+2,是一次函数，故C不符合题意；

D、y^2x2+3x,是二次函数，故。符合题意；

故选：D.

2.(2024九年级下•江苏•专题练习)下列函数关系式中，二次函数的个数有()

⑴(2)尸一一；(3)S=3-2〃；(4)>=/+2/-1；(5)y=3x(2-x)+3x2；(6)

x-x

y=mx1+8.

N.1个8.2个C.3个D4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如>=。必+云+°(见"c为常数，。*0)的函数叫做二次函

数.判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理(去括号、合并同

类项)后，能写成》="2+6x+c(a,6,c为常数，a，0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.

【详解】解：(1)y=3(x-l)2+l是二次函数，故符合题意；

(2)y=^~,不是二次函数，故不符合题意；

X-X

(3)S=3-2/是二次函数，故符合题意；

(4)>=》4+2，-1不是二次函数，故不符合题意；

(5)了=3武2-句+3/=6工不是二次函数，故不符合题意；

(6)y=mx2+8,不确定加是否为0,不一定是二次函数，故不符合题意;

综上所述，二次函数有2个.

故选：B.

3.(23-24九年级上•山东青岛•阶段练习)下列各式：(1)y=22-3x；(2))=3-2x+5/；(3)

y=士+2x-3；(4)y=ax2+bx+c；(5)y=(2x-3)(3x-2)-6£；(6)

X

y-[m1+l)x2+3x-4；(7)y=m2x2+4x-3.是二次函数的有()

1个2.2个C.3个D4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=a/+6x+c(a,b,c为常数，awO)的函数叫做

二次函数.根据二次函数的定义逐项分析即可.

【详解】解：(1)>=22-3x是一次函数，故不符合题意；

(2)y=3-2*+5必是二次函数，故符合题意；

(3)y=[+2x-3的分母含自变量，不是二次函数，故不符合题意；

X

(4)当。=0时，了=办2+加+<:不是二次函数，故不符合题意；

(5)y=(2x—3)(3x-2)—6/=-13x+6是一次函数，故不符合题意；

(6)少=(必2+1)必+3x-4是二次函数，故符合题意；

(7)当机=0时，了=布/+4x-3不是二次函数，故不符合题意.

故选民

4.(2024九年级上•全国・专题练习)在函数①y=ox?+6x+c,=(x-l)2-x2,③>=5--■号，(4)

丁=-/+2中，y关于x的二次函数是—.(填写序号)

【答案】④

【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关

键.根据形如'="2+法+«。工0)是二次函数，可得答案.

【详解】解:①a=0时y=办？+6x+c是一次函数，

(2)=(x-1)2-x2=x2-2x+1-x2=-2x+l是一次函数；

③y=5,一身不是整式，不是二次函数；

X

④了=-2+2是二次函数，

故答案为：（4）.

题型二利用二次函数的定义求参数

例题：（23-24八年级下•云南•期末）若函数尸（用-2*"+苫-1是关于苫的二次函数.则常数加的值是.

【答案】T

【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于加的方程和不等式，是解题的关键.

根据二次函数的定义即可得出关于加的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论.

【详解】解：,•・y=（俏-2及谓-»，+丫-1是关于光的二次函数，

J加-2w0

[m2-m=2?

解得：m=-l.

故答案为：-1

巩固训练

1.（23-24九年级上•广东广州•阶段练习）己知函数了=（机+1）X"/M+2X,当加=时，它是二次函数.

【答案】1

【分析】根据形如'="2+法+°（。*（））的函数是二次函数，以此计算即可.

本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键.

【详解】解：+1）/M+2X是关于x的二次函数,

+1=2,一目.加+1W0,

解得加=1或〃7=-1,且加片-1,

；.m=1.

故答案为：1.

2.（23-24九年级上•四川凉山•阶段练习）若了=（机-2）尤阿+2x+3是关于x的二次函数，则掰的值是.

【答案】-2

【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到旭-2*0,|同=2,即可得到答案，熟记二次函

数定义是解决问题的关键.

【详解】解：2）/"+2x+3是关于x的二次函数，

...机一2片0,|同=2,即机*2,加=±2,

m=—2,

故答案为：—2.

3.（23-24九年级上•四川绵阳•期末）已知函数y=（疗-3加）--小的图象是抛物线，则机=.

【答案】-1

【分析】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y=a/+6x+c（aw0）是二次函数，注

意二次项的系数不等于零是解题关键.根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得答案.

—2/7?—1—2

【详解】解：根据题意得：2,-

m-3mn

解得：m=—l,

故答案为：-1.

4.（23-24九年级上•全国•单元测试）若函数＞=（左-1）/-3e+2》-1是二次函数.

（1）求上的值.

（2）当x=0.5时，求了的值.

【答案】（1）左=2；

⑵尸卜

【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可求解；

（2）把x=0.5代入（1）中所得的函数解析式计算即可求解；

本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键.

【详解】（1）解：由题意得，〃-3左+4=2,且左-1H0,

解得左=2；

（2）解：把左=2代入y=（4-l）x"3+4+2x-i得，y=x2+2x—l,

.••当尤=0.5时，y=0.52+2x0.5-l=-.

题型三二次函数中各项的系数

例题：（23-24九年级下•全国•课后作业）若二次函数了=-f_i的二次项系数为0,一次项系数为6,常数项

为c,贝!Ia=,b=,c=.

【答案】-10-1

【分析】本题主要考查了二次函数有关概念.熟练掌握二次函数各项系数的概念，是解决问题的关键.

根据二次函数各项的系数填空.

【详解】、•二次函数为

•••二次项系数为T,一次项系数为0,常数项为-1,

•••a——l,b—0,c——l.

故答案为：-1,0,-1.

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽芜湖•阶段练习）关于函数丁=（10-切（尤+1）,下列说法中正确的是（）

A.二次项系数是18.一次项系数是9C.常数项是-10D.了是关于x的一次函数

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键.

【详解】解：y=（10-x）（x+l）=-x2+9x+10,

该函数是二次函数，其二次项系数是-1,一次项系数是9,常数项是10,

则N、C、。说法错误，8说法正确，

故选:B.

2.（23-24九年级上•四川南充•阶段练习）二次函数了=/-3》+5的二次项是一，一次项系数是,

常数项是.

【答案】x2-35

【分析】根据二次函数的定义判断即可。

【详解】解：二次函数-3x+5的二次项是无2,一次项系数是-3,常数项是5,

故答案为：①x?,②-3,③5,

【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如了="2+8+以。、b、c是常数，«*0）

的函数，叫做二次函数.其中x、V是变量，a、b、c是常量，。是二次项系数，b是一次项系数，c是常

数项.

3.(23・24九年级上•浙江绍兴•阶段练习)已知二次函数歹=1-5X+3-,则二次项系数。=_,一次项系数

b-__.

【答案】3-5

【分析】根据二次函数的定义即可求解.

【详解】解：二次函数)=1-5x+3,的二次项系数0=3,一次项系数6=-5,

故答案为：3；-5.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

题型四把y=a^+bx+c化成顶点式

例题：(23-24九年级上・浙江温州・期末)将二次函数的解析式丁=苫2-6X化成y=。(》+机)2+4的形式为.

【答案】y=(x-3)2-9

【分析】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，直接利用配方法将原式变形进而得出答案，正确配方

是解此题的关键.

【详解】解：j=x2-6x=x2-6x+9-9=(x-3)*-9,

将二次函数的解析式了=尤2-6x化成y=a(x+m)2+左的形式为y=(x-3]-9,

故答案为：J^=(X-3)2-9.

巩固训练

1.(23-24九年级上•黑龙江绥化•期末)将二次函数y=2?—12x+3转化为y=a(x-为＞+左的形式

为.

【答案】J=2(X-3)2-15

【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，解题的关键是掌握配方法.根据题意利用配方法加上一

次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可.

【详解】解：y=2x2-12x+3

=2(X2-6X+9)+3-18

=2(X-3『-15,

故答案为：y=2(x-3)2-15

2.（23-24九年级上•湖北孝感•阶段练习）用配方法把二次函数y=-2x2-4x+l写成了=。（》-人）2+4的形式

为.

【答案】y=-2（x+l『+3

【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公式进行

配方，即可解答.

【详解】解：J^=-2X2-4X+1=-2（X2+2X）+1=-2（X+1）2+3,

故答案为：^=-2（X+1）2+3.

3.（23-24九年级上•北京东城•期末）用配方法将二次函数y=；--2x-4化为＞=a（xi）2+左的形式

为.

19

【答案】y=-（x-2）-6

【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键.根据配方法求解即可.

【详解】解：y=^x2-2x-4

=1（x2-4x）-4

=1（X2-4X+4-4）-4

19

=-（^-2）--2-4

=*-2）2-6.

故答案为：J=1（X-2）2-6.

题型五已知二次函数上一点，求字母或代数式的值

例题：（2023•四川南充・一模）点尸（。⑼在函数昨4/-3的图象上，则代数式（20+3乂2。-3）的值等于.

【答案】3

【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4/=12,将其代入（2a+3）（2a-3）=4/_9中即可求出

结论.

【详解】解：•.•点尸（见9）在函数y=4/_3的图象上,

.-.9=4a2-3,

4/=12,

则代数式（2。+3）（2叱3）=4力-9=12-9=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题

的关键.

巩固训练

1.抛物线y="2+6x-3过点（2,4）,则代数式8a+46的值为（）

A.14B.2C.-2D.-14

【答案】A

【分析】将点（2,4）的坐标代入抛物线》="2+加-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值.

【详解】解：将点（2,4）代入抛物线y=ox2+6x-3得

4。+26-3=4,

整理得8a+46=14.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键.

2.若抛物线了=-/+/+。经过点（―2,3）,贝|2-46-7的值是（）

A.6B.7C.8D.20

【答案】B

【分析】先把点（—2,3）代入解析式，得至Uc-26=7,然后化简2c-46-7=2（c-4b）-7,整体代入即可得到答

案.

【详解】解：把点（一2,3）代入＞=-，+云+。，

得：c-2b=l,

2c-4/）-7=2（c-2b）-7

=2x7-7=7；

故选择：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.

3.二次函数了=亦2+乐-3（。彳0）的图象经过点（2,-2）,则代数式2a+b的值为—.

【答案】7

【分析】把（2,-2）代入函数解析式，即可求解.

【详解】解：把（2,-2）代入函数解析式，得

4Q+2b—3——2,

C71

:.2a+b=—,

2

故答案为：y.

【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键.

题型六二次函数yjd+Zix+c的图象和性质

例题：（2024・四川绵阳•模拟预测）关于二次函数y=/-2x+3的性质说法正确的是（）

A.对称轴为x=2B.函数最小值为2

C.当x>0时，>随x的增大而增大D.当x<2时，y随x的增大而减小

【答案】B

【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可.

【详解】解：-y=犬-2x+3=+2,

.•・对称轴为直线x=l,函数的最小值为2；故/选项错误，8选项正确；

.,.当x>l时，y随x的增大而增大，当x<l时，y随x的增大而减小；故C,。选项错误；

故选人

巩固训练

1.（23-24九年级上•浙江绍兴•期中）对抛物线>=-/+以一3而言，下列结论正确的是（）

A.开口向上B.与了轴的交点坐标是（0,3）

C.与两坐标轴有两个交点D.当x=2时，有最大值1

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式求解，解题的关键是掌握二次函数图

象与系数的关系.

【详解】解：A、•.・抛物线y=-x2+4x-3中，-1<0,

••・抛物线开口向下，故此选项错误，不符合题意;

B、当x=0时，y=-x2+4x—3=—3,

••・抛物线与y轴交点坐标为(o,-3),故此选项错误，不符合题意；

C,■,-A=42-4X(-1)X(-3)=4>0,

...抛物线与x轴有2个交点，

又••・抛物线与V轴交点坐标为(0,-3),

・・•与两坐标轴有三个交点，故此选项错误，不符合题意；

D、y-—x2+4x-3=-(x-2)~+1,

・••对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,1),

.•.当x=2时，y=l为函数最大值，故此选项正确，符合题意；

故选：D.

2.(2024・河南周口•模拟预测)如图，抛物线>=如2+云+。交x轴于Q0),(3,0),则下列判断错误的是

A.抛物线的对称轴是直线x=2

B.当x>2时，y随X的增大而减小

C.一元二次方程G2+6X+C=0的两个根分别是1和3

D.当”0时，x<l

【答案】D

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与

一元二次方程的关系，逐一进行判断即可.

【详解】解：,•・抛物线y=a/+bx+c交x轴于(1,0),(3,0),

••・抛物线的对称轴是直线x=g2=2,故N选项正确；

一元二次方程亦2+方无+c=o的两个根分别是1和3,故C选项正确；

由图象可知：当x>2时，了随x的增大而减小，故3选项正确;

当y<0时，x<l或x>3,故。选项错误；

故选D

3.（2024九年级上•全国•专题练习）已知一个二次函数>=0^+云+。的自变量x与函数y的几组对应值如

下表：

X-4-2035

y-24-80-3-15

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）

A.图象的开口向上

B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小

C.图象经过第二、三、四象限

D.图象的对称轴是直线无=1

【答案】D

【分析】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的

图象与性质.

根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题.

【详解】解：由题知，

4。—2b+c=—8

<c=0

9a+3b+c=-3

ci=-1

解得b=2,

c=0

所以二次函数的解析式为歹=-x2+2x.

因为

所以抛物线的开口向下.故/选项不符合题意.

因为歹=-x2+2x=-（x-I）2+1,

所以当X>1时，丁随X的增大而减小.故5选项不符合题意.

令夕=°得，-x2+2x=0,

解得再=0,X2=2,

所以抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(2,0).

又因为抛物线的顶点坐标为(U),

所以抛物线经过第一、三、四象限.故C选项不符合题意.

因为二次函数解析式为了=-。-1)2+1,

所以抛物线的对称轴为直线x=l.故。选项符合题意.

故选：D.

4.(2024•河北•模拟预测)若二次函数y=ax2-2ox+a-3(a是不为0的常数)的图象与x轴交于/,8两

点.下列结论：

①a>0；

②当x>-l时，y随x的增大而增大；

③无论。取任何不为0的数，该函数的图象必经过定点。,-3)；

④若线段N3上有且只有5个横坐标为整数的点，则。的取值范围是:其中正确的结论是()

A.①②B.②④C.①③D.③④

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的基本性质，根与系数的基本关系.根据A>0求出。的范围即可判断①；求

出对称轴即可判断②；把函数表达式整理成为y=a(x-l)2-3,即可判断③，根据44工2-占<65>玉)，

利用根与系数的关系即可求出的。的范围，从而可以判断④.

【详解】解：••・二次函数y=a--2办+。-3(a是不为0的常数)的图象与x轴交于4,2两点，

A=(-2a)2—4ax(Q-3)〉0,

整理得：12〃>0,

:.a>0,故①正确；

b-2a1

x=----=-----=I,

2a2a

・•・函数图象关于x=l对称，

,/a>0,开口向上，

••・当x〉l时，歹随X的增大而增大；故②错误；

,/y-a(x2-2x+l)-3,

y=Q(X-1)2-3

当X=1时，y=-3,则恒过定点(1,-3),故③正确；

若线段上有且只有5个横坐标为整数的点，根据二次函数的对称轴是x=l,

则4W%-再<6(X2>王)，

2

,/x2-x1=y](x2+XJ-4X2XJ=^4-4x———-,

即：4<J4-4x-^<6,

Va

i3

解得：~<a<^,故④错误，

故选：C.

题型七画二次函数y=a/+bx+c的图象

例题：(23-24九年级下•广东深圳•阶段练习)己知二次函数>=--+4工+5,完成下列各题:

(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+〃>+左的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴.

(2)求出它的图象与x轴的交点坐标.

(3)在直角坐标系中，画出它的图象.

(4)当为x何值时，函数y随着x的增大而增大？

(5)根据图象说明：当x为何值时，J^>0.

【答案】⑴尸-口-2『+9,顶点坐标为(2,9),对称轴为直线x=2

(2)图象与x轴的交点坐标为(-L0),(5,0)

(3)见解析

(4)x<2时，歹随着x的增大而增大

(5)—1<%<5时，歹>0

【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与X轴的交点问题，以及二次

函数图象与不等式，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便.

(1)利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；

(2)令y=o解关于X的一元二次方程，即可得到与X轴的交点坐标；

(3)利用五点法作出函数图象即可；

(4)根据函数图象利用二次函数的增减性解答；

(5)写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可.

【详解】(1)解：y=-x2+4x+5

=-(X2-4X+4-4)+5

=一(丁-4x+4)+9

=-(X-2)2+9,

••・顶点坐标为(2,9),对称轴为直线x=2；

(2)解：当y=*+4x+5=0时，解得x=-l或x=5,

••二次函数与x轴的交点坐标为(TO),(5,0)；

(3)解：函数图象如图所示；

(4)解：由函数图象可知，x<2时，y随着x的增大而增大;

(5)解：由函数图象可知，当T<x<5时，y>0.

巩固训练

1.(23-24九年级上•福建厦门•期中)已知二次函数了=/-2x-3.

九

5-

4-

3-

2-

1-

-5-4-3-2-IO~~t23455

(1)求它的图象的顶点坐标和对称轴；

(2)画出它的图象.并结合图象，当X>0时，则歹的取值范围是.

【答案】(1)图象的顶点坐标为(1,-4),对称轴为直线x=l

(2)图象见解析，J>-4

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键.

(1)解析式化成顶点式，即可得到结论；

(2)画函数图象，应该明确抛物线的顶点坐标，对称轴，与x轴，y轴的交点，再根据图象求当x>0时,

y的取值范围.

【详解】(1)解：y=--2x-3=(x-l>-4,

二二次函数片V-2x-3的图象的(1,-4),对称轴为直线x=l；

故答案为：--4.

2.(23-24九年级下•四川达州•阶段练习)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标了的对应值

如表所示：

X-3-2-101

y0-3-4-30

A

X

(1)这个二次函数的解析式是；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;

⑶当-3＜xW3时，y的取值范围为.

【答案】(l)y=，+2x-3

(2)见解析

(3)-4<x<12

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质：

(1)设这个二次函数的解析式是＞=。/+云+/然后利用待定系数法解答即可；

(2)根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；

(3)根据当x=-l时，y取得最小值，最小值为-4,当x=-3时，y=0,当x=3时，＞=12,即可写出y

的取值范围.

【详解】(1)解：设这个二次函数的解析式是y="2+6x+c,

把点(TO),(-2,-3),(0,-3)代入得:

9a-3b+c=0a=1

<4。—2b+c=-3,解得：<b=2,

c=-3c二-3

・•・这个二次函数的解析式是y=炉+2X-3；

(2)解：如图，画出这个二次函数的图象如下:

(3)解：根据题意得：y=x2+2x-3=(%+1)--4,

二当x=-l时，y取得最小值，最小值为-4,

当x=-3时，y=0,当x=3时，J=12,

.•.当-3<xW3时，y的取值范围为-4Vx<12.

故答案为：-4<x<12

3.(23-24九年级上•安徽安庆•阶段练习)如图，函数丁=-/+法+。的图象经过点/,B,C.

(1)求b,c的值；

(2)画出这个函数的图象；

(3)结合函数图象，当0WxV3时，y的取值范围为

【答案】⑴b=2,c=3

(2)见解析

(3)0<y<4

【分析】(1)根据函数图象，可以写出/、8、C的坐标，从而可以求得6、c的值;

(2)根据(1)中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象；

(3)根据函数图象，可以写出当04尤<3时，y的取值范围.

本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.

【详解】（1）解：由图象可得，

点A的坐标为（TO），点B的坐标为（0,3），点C的坐标为（1,4）,

-\-b+c=0

则<。=3,

-l+6+c=4

b=2

解得

。二3

即反。的值分别是2,3；

(2)由(1)知，b=2,c=3,

y——%2+2x+3=—(%—I)2+4,

•••该函数的顶点坐标为（L4）,对称轴为直线x=l,图象开口向下,

由对称性可知，图象过（2,3）,（3,0）点,

所画的函数图象如图所示;

当0Wx43时，y的取值范围为04y44,

故答案为：04V4.

题型八利用二次函数的性质比较大小

例题：（24-25九年级上•广西南宁•阶段练习）已知/（-1,乂）、8（3,%）、。（4,%）是抛物线y=x2-4x+l上

的三点，则乂、%、%的大小关系是.（用“>”符号连接）

【答案】

【知识点】y=ax2+bx+c的图象与性质

【分析】本题考查了二次函数的性质，求出抛物线的对称轴为直线x=2,然后根据二次函数的增减性和对

称性解答即可.

【详解】解：抛物线的对称轴为直线X=-F±=2,

2x1

/（T%）关于对称轴的对称点为（5,乂）

<Q=1>0,

・•.x>2时，y随x的增大而增大，

•••2<3<4<5,

.

故答案为：

巩固训练

1.（24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习）已知点（T,%），（-3.5,%）,（0.5,%）在函数了=3/+6x+12的图

象上，则必，%,%的大小关系为（用号连接）

【答案】必<%<%

【知识点】y=ax2+6x+c的图象与性质

【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小关系，根据二次函数的图象和性质，当时，函数图象

上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可.

【详解】解：=3—+6x+12,

••・抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-工=-1,

2x3

.•・函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，

­.•|-1-（-1）|<|0.5-（-1）|<|-3.5-（-1）|,

•••必<%<%；

故答案为：

2.（24-25九年级上•重庆巴南•阶段练习）已知8（2,%）,C（4,%）三点在二次函数了=f一人+1

图象上，则将必，%,为按照从小到大的顺序排列为.

【答案】％<%<必

【知识点】》=。炉+及+。的图象与性质

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出必，力，%

的值，比较后即可得出结论.

【详解】解:点8（2,%）,C（4,%）三点在二次函数了=d-4x+l的图象上，

22

=（-l）-4x（-l）+l=6；%=2?-4x2+l=-3；y3=4-4x4+1=1,

%<%<%，

故答案为：%<为<必.

3.（24-25九年级上•山东滨州•阶段练习）已知抛物线>=。（》-2）2+4（a>0,。，左为常数），/（-3,%），

8（3,%）,C（4,%）是抛物线上三点，则%由小到大依次排列为.

【答案】外<%<必

【知识点】y=a（x-A）2+上的图象和性质

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，理解二次函数图像的增减性和对称性，求出对称轴是

解题的关键.求出该抛物线的对称轴为直线x=2,然后根据二次函数图像的增减性和对称性解答即可.

【详解】解：y=a^x-2^+k,a>0,

••・抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2,

.•.当x>2,了随x的增大而增大，

•；/（T%）关于直线x=2的对称点是（7,乂），且3<4<7,

故答案为：％<%<%.

题型九已知二次函数上对称的两点求对称轴

例题：（23-24九年级上•湖南湘西•期末）某二次函数的图象过点（0,-8）,（-3,7）利（5,7）,则此二次函数的图

象的对称轴为.

【答案】直线x=l

【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是

明确题意，利用二次函数的性质解答.根据二次函数的图象过点(-3,7)利(5,7),可以求得该函数的对称轴,

本题得以解决.

【详解】解：•••二次函数的图象过点(T7)利(5,7),

・••二次函数的图象的对称轴为直线x=苫^=1,

故答案为直线x=l.

故答案为：直线x=l.

巩固训练

1.(23-24九年级上•江苏宿迁•阶段练习)若二次函数了="2+法+。的图象经过3(3,0)两点，则这

个函数图象的对称轴为.

【答案】直线x=2

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数与x轴的两交点坐标关于对称轴对称是解题关

键.由抛物线的对称性得到点4与点3是抛物线上的对称点，即可求出对称轴.

【详解】解：•・•/(1,0)、8(3,0)两点为二次函数与x轴的两交点坐标，

•••点/与点3是抛物线上的对称点，

又/(1,0)、8(3,0)关于直线x=2对称，

对称轴为直线x=2,

故答案为：直线x=2.

2.(23-24九年级上•山西临汾•期末)已知二次函数＞=如2+云+。的的部分对应值如下表：

X12345

y-3-5-5-31

则该二次函数图象的对称轴为直线.

【答案】x=2.5

【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，由于x=2,x=3时的函数值相等，根

据二次函数的对称性列式计算即可得解.

【详解】••,二次函数＞=。，+加:+＜?在x=2,x=3时，函数值均为-5.

・••对称轴为直线：、=2亨+3=；5

即:x=2.5

故答案为：x=2.5.

3.（2024•内蒙古乌兰察布•二模）如图，抛物线了=a/+6x+c与x轴相交于点A、8（加+2,0）与V轴相交于

点C,点。在该抛物线上，点。的坐标为（加工），则点A的横坐标是.

【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出C（0,c）,从而得出抛物线的对称轴为直线x=£,设点A

的坐标为（x,0）,根据对称性得出x+；+2