二次函数拓展之几何篇（解析版）-2024-2025学年人教版九年级数学上册

二次函数拓展之几何篇(优质类型)

【类型覆盖】

类型一、二次函数中的等腰三角形

【解惑】在平面直角坐标系中，二次函数了=。J+6X+3的图象与X轴交于4(1,0),8(3,0)两点，与〉轴交

于点c.

二U

图①曲②

⑴求二次函数的表达式;

1

(2)如图①，若点尸是线段8c上的一个动点(不与点8,C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点

Q,当线段尸。的长度最大时，求点。的坐标；

⑶如图②，在(2)的条件下，过点。的直线与抛物线交于点。，且/CW=2/OC0.在夕轴上是否存在

点、E,使得ABAE为等腰三角形？若存在，直接写出点£的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(i)y=x~—4x+3

⑶存在，点E（0,8+743）^4（0,8-屈）或（0,5）或（0,屈）或（0,-屈）

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)由尸。=-x+3-(/-4x+3)=——+3x,即可求解；

(3)先求出点。(5,8),再分类求解即可.

【详解】(1)解：由题意得：y=a(x-l)(x-3)=a(x2-4x+3)=ax2+bx+3,

贝!JQ=1,

则抛物线的表达式为：y=^-4x+3；

(2)解：由抛物线的表达式知，点C(0,3),

由点3、C的坐标得，直线C8的表达式为：/=-尤+3,

设点。(阳/一4x+3),则点尸(x,-x+3),

贝IPQ=-x+3_(x?_4x+3)=_x~+3x,

故尸。有最大值，

33

止匕时x=—,贝！Jy=X?—4x+3=—,

即点。［1T；

(3)解：存在，理由：

设直线CQ的表达式为y=mx+n,

’335

—=­m+n,m=——

由点C,。的坐标得，，42,解得：，2

3=nn=3

2

・・・直线C0的表达式为：y=-|x+3,

令y=o,x=.|,故

过点。作70〃V轴交x轴于点T,则/TQC=/0C。,

ZCQD=2ZOCQ,ZTQC=ZQCO,

即直线CQ和。。关于直线。7对称，故M1|,O

设直线。。的表达式为y=公+c,

33,

——=­a+。

3_342

代入。

2，-4，”（I，。］，得,9

0=-d+。

5

d=-

2

解得：

9

C=——

2

59

则直线力。的表达式为：=

59

联立上式和抛物线的表达式得：X2-4X+3=|X-|,

3

解得：尤=：（舍去）或5,

即点。（5,8）；

设点E(O,y),由丛的坐标得，BO?=68,。产=25+3-8)2,3炉=9+/,

当=时，贝|68=25+3-8）2,

解得：＞=8土保，即点£（0,8+闻）或£（0,8-闻）；

3

当DE=2E或2。=8E时,

同理可得：25+(.y-8)2=9+/或9+r=68,

解得：V=5或±7^,

即点E(0,5)或(0,屈)或(0,一屈)；

综上，点£(0,8+V43)或(0,8-屈)或(0,5)或(0,屈)或(0,-屈).

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

【融会贯通】

1.综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=；x-2与x轴交于点/,与y轴交于点C,过

A,C两点的抛物线了=ax?+6x+c(a/0)与x轴的另一个交点为点2(-1,0)，点P是抛物线位于第四象限图

象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线/C于点E,点E

⑴求抛物线的解析式；

(2)点。是x轴上的任意一点，若aNS是以NC为腰的等腰三角形，请直接写出点。的坐标；

⑶当EF=/C时，求点尸的坐标；

⑷在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为连接

NA,MP,则AM+MP的最小值为.

1Q

【答案】⑴尸寸2-寸-2

⑵D,(-4,0),2(4+275,0),D3(4-275,0)

4

⑶尸（2,-3）

⑷亚

2

【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的

关键.

（1）先根据题意确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；

（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；

（3）先证明A/OCGAE尸尸（ASA）可得尸尸=OC=2,设尸］机,g机？机-2）（0〈机＜4）,则尸］

可得小=-二/+2〃?，即-+2?=2,求得可得加的值，进而求得点P的坐标；

22

3

（4）如图：将线段板向右平移,单位得到MG,即四边形〃7\%G是平行四边形，可得

附=MG,NG=MV=|,即G,0j,作尸（2,-3）关于对称轴x=g的点片（1,一3）,则初尸=初彳，由两点间的

距离公式可得PG=浮,再根据三角形的三边关系可得NA+MP=MG+MPl＞PlG=浮即可解答.

【详解】（1）解：,直线y=gx-2与X轴交于点/,与y轴交于点C,

当,v=0时，x=4,即/（4,0）；当x=0时，y=-2,即C（0,—2）；

•••设抛物线的解析式为＞=。（工+1）。-4乂.丰0）,

把C（0,-2）代入可得：-2=°（0+1）（0-4）,解得：〃=

j=；（x+l）（x-4）=；x2_|x_2,

13

••・抛物线的解析式为：），=牙-尹-2.

（2）解：•••4（4,0）,C（0,-2）,

.-.OC=2,OA=4,

AC=>JOC2+AB2=275，

如图：当。2=/C=26,OC_L/2,

5

ODX=CM=4,即A（-4,0）；

如图：当AD?=AC=2亚,

二.-4C=20-4卸D2（4-2A/5,0）；

如图：当/。3=4。=2右，

=g+"=2石+4,即。2（4-2氐0）；

综上，点D的坐标为°（-4,0）,A（4+2指,0）也（4-275,0）.

(3)解：如图：•；P£〃x轴，

APEA=/CMC,

PF//>轴，

："PFE=/OCA,

•・•EF=AC,

,“AOC知EPF(ASA),

.・.PF=OC=2f

,设夕卜，(加2-2^(0<m<4),则F^m^m-2

好1"123°、I?>

：.Pr=-m-2-\—m——m-2\=——m+2m,

2(2212

+2冽=2,解得：m=2(负值舍去)，

,103

当冽=2时，—x2——x3—2=—3,

・・・尸(2,-3).

13

(4)解：•・・抛物线的解析式为：3^=-X2--X-2,

6

3

••・抛物线的对称轴为：直线x=；,

3

如图：将线段从4向右平移,单位得到MG,

.•.四边形跖V/?是平行四边形，

：.NA=MG,AG=MN=

a

作尸(2,-3)关于对称轴x=£的点片(1,-3),则=M

3V13

2

■■NA+MP=MG+MPx>PiG=^Y-

：.NA+MP的最小值为封豆.

2

故答案为哀叵.

2

2.如图，抛物线y=-gf+6x+c与x轴交于/、2两点，与〉轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点

D,已知/(TO),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APCD是以8为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐

7

标；如果不存在，请说明理由；

⑶点E是线段3c上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点尸，当点E运动到什么位置时,

四边形。。5斤的面积最大？求出四边形CDAF的最大面积及此时£点的坐标.

13

【答案](山=--X2+-X+2

(2)存在，尸点的坐标为C或353_5

或

2522，-2

13

⑶£为8c的中点，四边形CO8尸的面积最大，最大面积为了，第2,1)

【分析】(1)待定系数法求解即可;

2

12933图+(-2＞，设

(2)由y=—可得对称轴为直线x=——L5，即。，CD2=

222x2

21=(£|+(相-2『，当APCO是以CO为腰的等腰三角形，分PC=CD,PD=CD

PR,m,则PD=加2,PC

两种情况计算求解即可;

(3)由4(T0),对称轴为直线x=54,可得5(4,0),待定系数法求直线3C的解析式为歹=-^1x+2,

如图，贝!JS四边形⑺所+S△成尸+'比尸=|"+2£7"可知当斯最大时，四边形CD5厂的面积最大，设

11

,贝Ijj〃，—#+_|〃+2],9

E\n,--n+1EF=--n2+2«=-—(n-2)+2,可知当〃=2时，EF最大,最

I2

13

大值为2,则S四边形如尸=万，第2，1)，为3c的中点，然后作答即可.

1---------/J+C=0

【详解】(1)解：将/(TO),C(0,2)代入＞=-5/+厩+。得，(2

c=2

,3

b=—

解得，2,

c=2

13「

y——X2H—X+2；

22

3,

(2)解：\-y=-x,2H—X+2,

2

2

23

・••对称轴为直线x=

2J

2x

8

••.O|可,

3

CD2=I+(-2『,

设加)则92=%2,PC2=[j\+(m-2)\

当APS是以CO为腰的等腰三角形，分PC=CD,PD=CD两种情况求解;

当PC=CD时，PC1=CD1,即|+(-2『,

解得，冽=0或加=4,

当尸D=CD时，PD?=CD?,即加2=(|)+(-2))

535

解得,m=-^rn=~-

22

・•.《：】'di-1}

综上所述，存在，点p的坐标为g,4)或邕)或@,彳

3

(3)解：:/(TO),对称轴为直线x=不

•••8(4,0),

设直线BC的解析式为y=PX+q,

将8(4,0),C(0,2)代入y=px+g得，，:丁=0

1

P=--

解得，2,

q=2

・・・直线BC的解析式为y=-gx+2,

如图，

9

=-x-x2+-^Fx4=-+2EF,

2222

・•・当EF最大时，四边形CDS厂的面积最大,

设+则尸+

117

:.EF=——n2+2n=——(〃-2)+2,

22、7

2

.•・当〃=2时，EF最大,最大值为2,

_2?_13

3四边形CORP=5+2X2=5

.•・£(2,1),为8c的中点,

13

・•.E为3C的中点，四边形的面积最大，最大面积为1，矶2,1).

【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合，一次函数解析式，

等腰三角形的性质，勾股定理等知识.熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面

积综合，一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键.

3.如图，已知抛物线与x轴交于/(TO)、8(3,0)两点，与y轴相交于点C,直线y=-2x+3经过点C,

备用图

10

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点Q,使A/C。的周长最小，求点。的坐标;

⑶点尸是(1)中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为“0<f<3),是否存在•是以为底的等

腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x"+2x+3

(2)(1,2)

‘3+回12+回

⑶存在;-48-

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B,连接8c交抛物线对称轴于点。，则此时，的

周长最小，即可求解；

(3)设点尸+2Z+3),根据APCD是以CD为底的等腰三角形，所以尸。=勿，贝|

(？-0)2+(-f2+2/)2=p-|j+(-Z2+2f+3)\求解即可得出'值，进而求解.

【详解】(1)解：设抛物线的表达式为：y=a{x+l)(x-3)=a(x2—2x—3),

对于一次函数V=-2x+3,

当X=0时，y=3,

.■.C(0,3),

将点C的坐标代入抛物线表达式得：3a=-3,贝=

即抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3

(2)解：如图，点A关于抛物线对称轴的对称点为点8,连接2c交抛物线对称轴于点。，则此时，“CQ

的周长最小，

11

理由：A/C。的周长=/。+。0+/0=4:+%+。2=水:+8。为最小,

设直线BC的表达式为y=kx+b

把8(3,0),。(0,3)代入得：

・•・直线3C的表达式为：y=-x+3,

由抛物线的表达式知，其对称轴为x=l,

当x=l时，y=-x+3=2,即点。(1,2)；

(3)解：存在，理由：

设点尸卜，一产+2，+3)

,•,直线y=-2x+3与了轴的交点为。，

3

当尸。时，x=-,

.“I，o]，

•・•APCD是以C。为底的等腰三角形,

:・PC=PD,

2

••・(/-o)+(-』+2)="_|_]+(_»+2t+3)2,

8/—12/—15=0,

_3±739

―4•

,•<0</<3,

..一3+廊

••t—-----•

4

12

即尸点的坐标为

【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式,

二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合

题目，难度适中.

类型二、二次函数中的等腰直角三角形

【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线V="2+区一3与X轴交于点/（-1,0）和点2（3,0）,与〉轴

交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

（2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△P8C面积最大时，求点P的坐标；

⑶若点尸为抛物线上一点，点0是线段3C上一点（点。不与两端点重合），是否存在以P、0、。为顶点

的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=2x-3

3_15

(2)尸2，-T

"2-Vw_3

⑶存在，点P的坐标为（3,0）或（0,-3）或（2,-3）或

—2―，-2

【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；

⑵作尸火〃y交友;于点R,先求得直线5c的解析式，设点尸的坐标为（x,/-2x-3）,则点R的坐标为

（x,尤-3）,利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；

（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可.

13

【详解】(1)解：将/(TO)、8(3,0)代入〉=/+为一3得,

a-b-3=0

9a+36—3=0

(2=1

解得:

b=-2

抛物线的解析式为：y=x2-2x-3=(x-l)2-4；

(2)解：作PR〃y交BC于点、R,

令尤=0,贝1J,v=-3,

•••8(3,0),

设直线BC的解析式为y=履-3,

.•.0=31,

解得上=1,

・•・直线3c的解析式为y=x-3,

设点P的坐标为(x,/-2x-3),则点R的坐标为(x,x-3),

S&PBC=2PR.=/(x

i+?

3

••­——<0,

2

3有最大值，此时点的坐标为［(3,一了15

X=5时,SjBCP

(3)解：•・•点0是线段3C上一点,

14

・•・设点Q的坐标为（加，加-3）,

・.・3（3,0）,C（0,-3）,

.-，0B=0C=3f

・・・当点尸与点3重合，点。与点。重合时，△尸。。是等腰直角三角形，此时点。的坐标为（3,0）；

同理当点?与点C重合，点。与点5重合时，△P。。是等腰直角三角形，此时点尸的坐标为（0,-3）；

如图，当点尸在第四象限时，过点0作。轴于点。，作尸石,。石交QE于点E,

vOQ=PQ,ZOQP=90°,

ZQOD=90°-ZOQD=ZPQE,

.・./\QOD^/\PQE,

：.QE=OD=m,QD=PE=|m-3|=3-m,

ED=QD+QE=m+3-m=3,即点尸的纵坐标为一3,

—2x-3=-3,

解得X=0或％=2,

・•.点P的坐标为（2,-3）；

如图，当点尸在第三象限时，过点。作轴于点。，作。石，。后交。E于点£,设。。=d,

同理△尸也△。尸E,

15

PE=OD=EF=d,QF=m,QE=PD,OF=DE=|m—3|=3—m,

；.PD=DE—PE=3—m—d,QE=QF+EF=m+d,

：.3—m—d=m+d,

3

解得d=~~m，

33

•••点P的纵坐标为-（3-加-d）=-3-m-----\-m

22

27_3

x—2x—3——,

2

解得X="叵（舍去）-2-Vio

或工二------

22

•••点尸的坐标为2，-g

综上，点P的坐标为（3,0）或（0,-3）或（2,-3）或

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的

性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟

练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键.

【融会贯通】

1.在平面直角坐标系中，已知抛物线工：了=办2+法-1经过点/（2,7）,5（-1-2）.

⑴求抛物线L的表达式；

（2）设Z关于原点。对称的抛物线为少，〃的顶点为P,对称轴为/.若点。在77上，点M在/上，连接

PQ、QM.若APQM为等腰直角三角形，求点”的坐标.

【答案】（i）＞=d+2x—l

（2）M（1,1）或M（l,0）

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求

解，是解题的关键.

（1）待定系数法求出函数解析式即可；

16

(2)先求出新的抛物线的解析式，分尸,。,河分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：把点42,7),次-L-2)代入函数解析式，得：

4a+2b—1=7a=1

解得:

a-b-l=-2b=2

•'-y=x2+2x-l；

(2)1y=f+2x-1=(x+1)-2,

顶点坐标为(T,-2),

则：(-1,-2)关于原点对称的点为(1,2),

•••£,〃关于原点。对称，抛物线的开口大小不变，方向相反，

的解析式为：v=—(x—1)+2=—x~+2x+1,

.•.尸(1,2),对称轴为直线x=l,

设+2t+l),

当点尸为直角顶点时，则。此时不存在点。在抛物线上，不符合题意,

当点加为直角顶点时，则0河，加，且=点/在p点下方：

：,QM〃x轴，

m=—t2+2/+1

|^-l|=2-m，

卜-=2+/_2/-1,

解得：，=0或£=1(舍去)或，=2,

当£=0或£=2时，m=1,

当点。为直角顶点时，过点。作。N,尸〃，贝IJ："(1,-产+2/+1),

是等腰直角三角形，

QN=PN=MN,

|1-?|=2—(―厂+2/+1),

17

解得：，=0或％=1（舍去）或，=2,

当£=0或£=2时，-*+2,+1=1,

:・MN=PN=\,

•••1一加=1,

/.m=0；

综上：M(U)或“(1,0).

3

2.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=ax2+bx+5gH0)与x轴交于/,8两点，且点/在点3的

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图1,在直线3c上方的抛物线上有一动点P,点。是点B关于了轴的对称点，连接尸。交直线8c于点

ss

E,当—最大时，求出产比的最大值及此时点夕的坐标；

、ABED、ABED

18

⑶如图2,将抛物线沿着射线5c的方向平移，使得新抛物线交y轴于点C,点M为新抛物线上任意一点,

点N为原抛物线对称轴上位于x轴下方的一点，存在A/MN是以NN为腰的等腰直角三角形，请直接写出

点N的坐标.

1Q

【答案］⑴尸_了+*

(2)最大值为|,此时点P的坐标为

(3)(1,1-V3)^(1,-4-372)

【分析】

(1)先得出(0,3，即OC=g,再根据三角形面积公式即可求得5(3,0),再利用待定系数法

即可求得抛物线的解析式；

(2)过点。作0尸,3C于点尸，过点P作尸GL3C于点G,设尸上,一3〃+/+1),则"“，一

由ABDFs丛BCO,可得竺=空，求得DF二正,再由^PHG^^BCO,可得

石二3指

----------1-----------1

2255

02

V------1-\1

Q&BEP5-------5利用二次函数的性质可得答案;

V675

3BED-BEDF

2

(3)当/K4N为直角时，则/M=4N,可得N(l,l-石)；当乙4NM为直角时，则/N="N,可得

【详解】(1)解：•••抛物线＞="+云+5(”0)与V轴交于点C,

9

,：ABOC的面积为:，

19139

:.—OB,OC=—,即一x—05=—

24224

/.0B=3,

19

・・・0B=30A,

:.0A=\,

.」(TO),5(3,0),

73八

3a-6+—=0

把/(TO),3(3,0)代入y=a/+版+万，得：v2

3

9。+36+—=0

2

1

a=—

解得：《2,

b=\

i7

・•・抛物线的解析式为y=--x12+x+^

(2)解：•.•点。是点8关于V轴的对称点,

・•・。(-3,0),

v5(3,0),cfo,|j,

13

二•直线的解析式为歹=—+BD=6,

在Rt^5CO中，BC=yJOB2+OC2=

1°313123

/.PH=——t2+t+一一——1+—-t+-t

222222

•・・NBFD=/BOC=90。，/DBF=/CBO,

:.BDFSBCO,

DF6

DFBD

即3一3指,

1)CSC

2~F

20

3号

•.*PH〃歹轴,

/.ZPHG=ZBCO,

•・•ZPGH=ZBOC=90°,

:gHGs^CO,

PHPG

BCOB

312,3_V52375

------L-\------1-----------1~\-----------1

,嘿375I2255

2

石23石

-BEPG”---------1-----------1

2_PG121

3BEP55---1H1,

v1r)p6指

Q^BED-BEDF"6---2

25

--<0,

6

1

3S.BEP最大值为［此时点月的坐标为315

当"-----=Q时,有最大值,

o

2xSABED5'W

(3)

解：存在A/VW是以/N为腰的等腰直角三角形，理由如下：

13

将抛物线y=-5/+x+］沿着射线8c的方向平移，使得新抛物线必交了轴于点C，

17

则抛物线向左平移了3个单位向上均平移了1个单位，则平移后的抛物线表达式为：^=-j(x+2)2+p

即弘=-^2_2x+-|,

则设点河卜,一g加2—2加+|J,点且〃<0,

当NMZN为直角时，则4W=4N,如图2,

过点M作九。||y轴交x轴于点L,设原抛物线对称轴交x轴于点K,

21

则/4LM=//KN=90。,

:.ZAML+ZMAL=90°,

・・・ZNAK+ZMAL=90°,

/AML=ZNAK,

:."ML汜AN4K(AAS),

AL=NK=-n,ML=AK=1-(-1)=2,

13

•/AL=m-(-1)=m+1,ML=——m7-2m+—,

22

12c3c

——m-2m+—=2

22

m+l=—n

加]=—2+A/3m,=-2—

解得：.用J舍去)；

n[=1—V3

.-.M(-2+73,2),N(l,l-百卜

当442W为直角时，则/N=MV,如图4,

过点河作为〃〃》轴交y轴于点L,设原抛物线对称轴交x轴于点K,

22

同理可得，AANK"ANML(K网,

AK=NL=2,KN=ML=-n,

e「12c3

,:ML=\—m,NL=n——2m+—

n-\--m2-2m+-\=2

.JI22j,

-n=l-m

ml=—3—3A/2=3V2—3

解得：(舍去),

n——4—3V2n2=3-\/2—4

.,.皿-3-3后,-6-3匈，N(l,-4-3回；

综上，M(-2+V3,2),川1,1-6)或屈卜3-3后,-6-30),(1,-4-372),

故答案为：(1,1一6)或(1,一4一3日).

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，抛物线的平

移，线段的最值等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质和分类讨论思想，避免遗漏.

3.在平面直角坐标系中，抛物线昨办2+6x+c与x轴交于点么(-1,0)和点2,与了轴交于点C,顶点。的

坐标为(1,-4).

23

(1)直接写出抛物线的解析式；

⑵如图1,若点尸在抛物线上且满足/PC8=/CAD,求点尸的坐标；

⑶如图2,M是直线3c上一个动点，过点/作及轴于点N,。是直线/C上一个动点，当AQMN为

等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点0的坐标.

【答案】(1)尸，-2龙-3；

（2）^（4,5）,P2

⑶M&，—-；，^2（-9,-12）,Q2（3,-12）；的（1,一2）,03（-1，0）；Af4（-3,-6）,

Q（0,-3）；弧（|,勺，21|，-£|.

【分析】(1)根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为＞=a(x-l)2-4,将点/(-1,0)代入，求出。即可得出

答案；

(2)利用待定系数法求出直线解析式为＞=2x-6,过点C作C4IIB。，交抛物线于点4,再运用待定

系数法求出直线C＜的解析式为y=2x-3,联立方程组即可求出£(4,5),过点2作y轴平行线，过点C作

x轴平行线交于点G,证明AOCE之AGC/(ASA),运用待定系数法求出直线C户解析式为y=(x-3,即可求

(3)利用待定系数法求出直线/C解析式为＞=-3x-3,直线3c解析式为y=x-3,再分以下三种情况:

①当AQMM是以N0为斜边的等腰直角三角形时，②当AQMN是以为斜边的等腰直角三角形时，③当

竣MN是以为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可.

【详解】(1)解：•••顶点。的坐标为。,-4),

24

•••设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,将点/(-1,0)代入,

得0="_1_1)2_4,

解得：a=l,

y=_1)—4=-2x—3,

•••该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)解:「抛物线对称轴为直线x=l,/(TO),

.••5(3,0),

设直线3D解析式为>=依+e,

•••5(3,0),£>(1,-4),

J3上+e=0

\k+e=-4?

k=2

解得:

e=-6"

:・直线BD解析式为y=2x-6,

过点。作BIN。，交抛物线于点耳,

图1

设直线m的解析式为了=2x+d,将。（0,-3）代入,

得-3=2x0+d,

解得：d=—3,

・・.直线期的解析式为V=2x-3,

结合抛物线歹=、2—2x—3,可得X?—2x—3=2%—3,

25

解得：为=0(舍)，/=4,

故6(4,5),

过点8作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G,

OB=OC,ABOC=/OBG=ZOCG=90°,

・•・四边形O5GC是正方形，

设C6与X轴交于点E,则2%-3=0,

解得：、=；3,

在x轴下方作/BCF=/BCE交BG于点F,

•・•四边形O5GC是正方形，

：.OC=CG=BG=3,NCOE=NG=90。,ZOCB=ZGCB=45°f

/.ZOCB-/BCE=ZGCB-ZBCF,

即ZOCE=ZGCF,

/.△OC^AGCF(ASA),

3

：.FG=OE=~,

2

33

・・.BF=BG—FG=3一一=-,

22

设直线CF解析式为y=klx+ei,

•■-C(0,-3),小，-1}

5=-3

・••＜3,

34+q=一万

\k.=-

解得：'2,

4=-3

二直线C尸解析式为＞=：x-3,

结合抛物线＞=--2x-3,可得x?-2x-3=gx-3,

26

解得：石=。（舍），、2=万，

5_7

P

225~4

综上所述，符合条件的尸点坐标为：月（4,5）,

（3）解:设直线/C解析式为y=W|X+4,直线2c解析式为了=加2%+%，

•••^（-1,0）,C（0,-3）,

\-mx+=0

"I«1=-3

[m,=-3

解得：」,

[%=-3

直线AC解析式为y=-3x-3,

•."（3,0）,C（0,-3）,

.•・直线解析式为＞=x-3,

设

①当A&MM是以N◎为斜边的等腰直角三角形时，此时/NMQ=90。，跖乂=,2,如图2,

冈

・・•11%轴,

27

31二|，一（一］，）|,

、9

解得：£=-9或,，

，必（，――）。1（，一_}Af2（-9,-12）,22（3,-12）；

②当△03河3乂是以屈303为斜边的等腰直角三角形时，此时/河3乂。3=90。，M3N3=N3Q3,如图3,

0

・•・4（T，O），

,-.|/-3|=|f-（-l）|,

解得：f=l,

a（-1,0）；

③当AQM4N4是以M4N4为斜边的等腰直角三角形时，此时/M4Q4N4=90。，M2=MQ,如图4,

0

•闻”

28

|-31=21/-(--)|,

o

3

解得：，=-3或(，

(-3,-6),g4(0,-3)；M5仔—'

综上所述，点”及其对应点0的坐标为：

—］；以(-9,-12),2(3,-12)；M3(1,-2),Q3(-1,0)；Af4(-3,-6),24(0,-3)；

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二

次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中

考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合

思想、分类讨论思想是解题关键.

类型三、二次函数中的直角三角形

【解惑】如图，