二次函数的综合应用（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题13二次函数的综合应用

1.(2021•济南中考)抛物线＞=0^+加+3过点/(-1,0),点3(3,0),顶点为C.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)如图1,点尸在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点。，连接NC,若△D/C是以/C为底的等腰三角形,

求点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，点E是线段NC上(与点N,C不重合)的动点，连接尸£作/尸斯=/

CAB,边防交x轴于点凡设点厂的横坐标为加，求加的取值范围.

解：(1)将点/(-1,0),点2(3,0)代入y=a/+6x+3得：

(a-b+3=0

19a+3b+3=0

解得：卜“I.

lb=2

/.抛物线的表达式为y=-X2+2X+3.

y="X2+2X+3=-(x-1)2+4,

顶点C(1,4).

(2)设ZC交y轴于点R连接。尸，过点C作CELx轴于点E,如图,

'：A(-1,0),C(1,4),

\OA=\,OE=\,CE=4.

,•OA—OE,AC—«AE2E2=2^5.

：FO±AB,CEL4B,

\FO//CE,

\OF=1-CE=2,方为ZC的中点.

2

・・△D4C是以AC为底的等腰三角形,

\DFLAC.

：FOLAD,

\AAFO^AFDO.

・•—AO=—OF•

OFOD

-1_2

下而

\OD=4.

\D(4,0).

设直线CD的解析式为

直线CD的解析式为y=-里xA，

33

416

y=-x+T

2

ty=-x+2x+3

7

X[=lX2=7

解得一

了1=420

y2^~

：.P(二，型).

39

(3)过点尸作尸8,48于点X,如下图,

39

：0D=4,

：.HD=OD-OH=2,

3

•'-PZ）=VPH2+HD2=V-

：.PC=CD-PD=5-生=型

99

由（2）知：AC=2娓.

AF=x,AE=y,贝I]CE=2旄-y.

\'DA=DC,

：.NDAC=NC.

"：ZCAB+ZAEF+ZAFE=1S0°,

ZAEF+ZPEF+ZCEP=180°,

又,:NPEF=NCAB,

：.ZCEP=ZAFE.

:.ACEPsAAFE.

.PC_EC

"AE"AF'

20

.92V5-y

••-----------------•

y

...当y=旄时，x即/尸有最大值a.

4

尸的最大值为2-1=5.

44

•.•点厂在线段上,

，点尸的横坐标"2的取值范围为-1〈机W包.

4

2.(2021•淮安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=Lx2+6x+c的图象与x轴交于点/(-3,0)和点8

4

(5,0),顶点为点。，动点A/、。在x轴上(点M在点。的左侧)，在x轴下方作矩形M/PQ,其中儿@=3,

MN=2.矩形MVP0沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为(-6,0),

当点〃■与点2重合时停止运动，设运动的时间为/秒(t>0).

(1)b=_c—_

—2——4—

(2)连接3D,求直线的函数表达式.

(3)在矩形MAP。运动的过程中，所在直线与该二次函数的图象交于点G,P0所在直线与直线8。交于点

H,是否存在某一时刻，使得以G、M、H、0为顶点的四边形是面积小于10的平行四边形？若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由.

(4)连接尸过点尸作尸。的垂线交y轴于点尺，直接写出在矩形MVP0整个运动过程中点尺运动的路径

4

91

-r_3b+c=0b=F

得4,解得｛2:匚

故答案为：］，监.

24

(2)\"y——x~—l-x(x-1)2-4,

4244

该抛物线的顶点坐标为。(1,-4)；

设直线的函数表达式为

则(5mk=0,解得卜=1,

lm+n=-4ln=-5

•x-5.

（3）存在，如图1、图2.

：.G（r-6,2?二+更），H（t-3,「8）；

424

'：QM-QH<IQ,且。"WO,点M、8重合时停止运动,

'3(t-8)<10

3(8-t)<10,14

,,2,解得JAvtWll,且f#8；

|t-8|^03

,t-645

'：MG//HQ,

.•.当MG=〃。时，以G、M、H、0为顶点的四边形是平行四边形,

由一！?+患=»-8得，於-18什65=0,

424

解得，口=5,攵=13（不符合题意，舍去）；

由42—L/+空■=-什8得，t2-10^+1=0,

424

解得，4=5+2攵=5-（不符合题意，舍去），

综上所述，t=5或%=5+2后.

（4）由（2）得，抛物线夕=工？，」包的对称轴为直线x=i,

424

过点P作直线x=l的垂线，垂足为点尸，交y轴于点G,

如图3,点0在y轴左侧，此时点R在点G的上方，

当点A/的坐标为(-6,0)时，点R的位置最rWj,

此时点。与点A重合，

■:NPGR=NDFP=90°,/RPG=92°-ZFPD=ZPDF,

:•丛PRGs丛DPF,

・RGPG

••一二一，

PFDF

...RG=^fL=X=6,

DF2

：.R(0,4)；

如图4,为原图象的局部入大图，

当点。在y轴右侧且在直线x=l左侧，此时点R的最低位置在点G下方,

由△PRGsADPF,

得，国_旦

PFDF

.•.GR=^±L

DF

设点。的坐标为O,0)(0<r<l),则尸(r,-2),

.•.GR=r(l"=工+L=2+l,

222228

.♦.当r=工时，GR的最大值为工，

28

：.R(0,-IL)；

8

如图5,为原图象的缩小图,

当点。在直线x=l右侧，则点R在点G的上方，

当点M与点8重合时，点式的位置最高，

由△尸

得，电

PFDF

...G“^±L=12£I=28,

DF2

：.R(0,26),

；.4+工+26+工=里

884

点R运动路径的长为迫L

4

3.(2021•重庆中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y="2+6x-4(aWO)与x轴交于点/(-1,0),B

(4,0),与了轴交于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点C关于直线/对称，点P为直线/D下方抛物线上一动点，连接

PA,PD,求△P/D面积的最大值.

(3)在(2)的条件下，将抛物线＞="2+及-4(aWO)沿射线4D平移4加个单位，得到新的抛物线为，点、E

为点P的对应点，点尸为为的对称轴上任意一点，在为上确定一点G,使得以点D,E,F,G为顶点的四边形

是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程.

解：(1)将/(-1,0),B(4,0)代入了=办2+瓜-4得

(a-b-4=0

116a+4b-4=0

lb=-3

,\y=x2-3x-4,

(2)当x=0时，y=-4,

・••点C(0,-4),

♦.•点。与点c关于直线/对称，且对称轴为直线尤=3,

2

：.D(3,-4),

\'A(-1,0),

直线/。的函数关系式为：y=-x-l,

设尸(冽，m2-3m-4),

作PH//y轴交直线AD于H,

:・H(m,-m-1),

PH—-m-1-(m2-3m-4)

=-加2+2加+3,

4=2(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6,

当加=----1—―=1时，S“PD最大为8,

2X(-2)

(3);•直线与x轴正方向夹角为45°,

...沿方向平移蓊，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位,

，：P(1,-6),

：.E(5,-10),

抛物线y^x2-3x-4平移后yi=/-lU+20,

抛物线川的对称轴为：直线x=旦，

当。£为平行四边形的边时：

若D平移到对称轴上F点,则G的横坐标为史,

2

代入为=/-llx+20得了=-2^,

・飞唠，号)，

若E平移到对称轴上F点,则G的横坐标为工,

2

代入为=/-1U+20得了=二

若DE为平行四边形的对角线时，

若£平移到对称轴上尸点，则G平移到。点,

；.G的横坐标为互，

2

代入为=/-llx+20得尸-争

入侪,得)

4.（2021•湘潭中考）如图，一次函数y=--质图象与坐标轴交于点/、B,二次函数了=返/+乐+（；图象过

33

/、B两点.

（1）求二次函数解析式；

（2）点3关于抛物线对称轴的对称点为点C,点尸是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q,使得以2、

C、尸、。为顶点的四边形是菱形？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)在中，令x=0得y=-令y=0得x=3,

3

.9.A(3,0),B(0,-«),

•・,二次函数歹=返9+为+。图象过4、8两点，

3

(273

/0=M+3b+c,解得b=-；

W=clc=-V3

二次函数解析式为y=®2_型£-«；

33

(2)存在，理由如下：

__2A/3_

由二次函数y=Y32-«可得其对称轴为直线X=—%一=1，

332X.

O

设尸(1,m),Q(n,-A/3),而5(0,-A/3^

33

・・・C与B关于直线x=l对称，

：.C(2,-«),

①当8C、P0为对角线时，如图:

fJV3.

解得|m-y一，

Ln=l

.•.当P(l,一2返),0(1,一性返)时，四边形80cp是平行四边形,

33

由P(l,-2Z1_),8(0,-«),C(2,-«)可得尸"=当=尸［2,

：.PB=PC,

四边形20cp是菱形,

，此时。(1,-邛2);

②BP、C0为对角线时，如图:

当尸(1,0),。(-1,0)时，四边形2CP。是平行四边形,

由P(1,0),B(0,-«),C(2,-V3)可得8c2=4=尸02,

四边形BCPQ是菱形,

二此时0(-1,0)；

③以5。、C尸为对角线，如图:

解得，m=。，

ln=3

：.P(1,0),Q(3,0)时，四边形2C0尸是平行四边形,

由P(1,0),B(0,-弧),C(2,-«)可得8c2=4=PC2,

四边形8CQ尸是菱形，

此时。(3,0)；

综上所述，。的坐标为：（1,-212）或（-1，0）或（3,0）.

5.（2021•攀枝花中考）如图，开口向上的抛物线与x轴交于/（修，0）、B（X2,0）两点，与了轴交于点C,且/C

LBC,其中XI，X2是方程x2+3x-4=0的两个根.

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；

（2）垂直于线段8c的直线/交x轴于点D,交线段于点£,连接CD,求的面积的最大值及此时点。

的坐标；

（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△P0E是等腰三角形？若存在，请求出点尸的

坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)由N+3x-4=0得向=-4,%2=1>

：.A(-4,0),B(1,0),

：.OA=4,OB=\,

'JACLBC,

：.ZACO=90°-NBCO=NOBC,

ZAOC=ZBOC=90°,

△AOCsdcOB,

•QA—PCpn4_=0C

0COB0C1

0c=2,

：.C(0,-2),

设抛物线解析式为y=a(尤+4)(x-1),

将C(0,-2)代入得-2=-4a,

•a=1

2

，抛物线解析式为(x+4)(x-1)=1？+3*-2；

222

(2)如图:

由/(-4,0),3(1,0),C(0,-2)得：AB=5,BC=&，AC=2娓,

■:DELBC,AC±BC,

：.DE//AC,

:.△ABCs^DBE,

•BD=DE=BE

,•访AC而，

设。Ct,0),则BD=\-t,

•1-t=DE=BE；

52757F_

:.DE=?疾(1-Z),BE=叵(1-Z),

55

S^BDE=—DE-BE=A(1-Z)2,

25

而&3QC=LZ)・OC=L(1—)X2=l-t,

22

2

:・SACDE=S&BDC~SABDE='-t--C.]-t)2=-工(什3)+A,

5555524

:-A<o,

=-S时，SACDE最大为豆，

24

此时。(-3,o)；

2

(3)存在，

由y=Xx2+lx-2知抛物线对称轴为直线x=-1,

222

而。(-旦，0),

二。在对称轴上,

由（2）得-3）］=巡,

52

当。E=£>?时，如图：

:.DP=4%,

:.p（-W巡）或（-,-遍）,

当DE=PE时，过£•作EH_Lx轴于H,如图:

■:NHDE=NEDB,ZDHE=ZBED=90°,

△DHEs^DEB,

-DE_HE_DH即立—理—DH

BDBEDEj.V5VK

2~

：.HE=\,DH=2,

：.E(X-1),

2

：£■在。尸的垂直平分线上，

：.P(-X-2),

2

当PO=PE时，如图:

2

则m2—（---A）2+（m+1）2,

22

解得机=-5,

2

：.P（-A,-5）,

22

综上所述，尸的坐标为（-3,旄）或（-3,-旄）或（-3,-2）或（-3,-1）.

22222

6.（2021•河北中考）如图是某同学正在设计的一动画示意图，X轴上依次有4,O,N三个点，且/。=2,在ON

上方有五个台阶Ti〜75（各拐角均为90°）,每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶Ti到x轴距离OK=10.从

点A处向右上方沿抛物线L：7=-x2+4x+U发出一个带光的点P.

（1）求点/的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；

（2）当点尸落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与工形状相同的抛物线C,且最大高度为11,求C的解析

式，并说明其对称轴是否与台阶会有交点；

（3）在x轴上从左到右有两点D,E,且。£=1,从点E向上作轴，且2E=2.在沿x轴左右平

移时，必须保证（2）中沿抛物线C下落的点P能落在边8。（包括端点）上，则点8横坐标的最大值比最小值

大多少？

［注：（2）中不必写x的取值范围］

解：（1）图形如图所示，由题意台阶北左边的端点坐标（4.5,7）,右边的端点（6,7）,

对于抛物线y=-X2+4X+12,

令y=0,1-4尤-12=0,解得x=-2或6,

：.A（-2,0）,

二点/的横坐标为-2,

当x=4.5时，y=9.75>7,

当x=6时，y=0<l,

当y=7时，7=-X2+4X+12,

解得x=-1或5,

抛物线与台阶74有交点，设交点为R（5,7）,

.,.点P会落在台阶北上.

（2）由题意抛物线C：y=-x2+bx+c,经过尺（5,7）,最高点的纵坐标为11,

'-4c-b2

-25+5b+c=7

解得，b=14或（b=6（舍弃）,

lc=-38lc=2

二抛物线C的解析式为y=-X2+14X-38,

对称轴x=7,

..•台阶？5的左边的端点（6,6）,右边的端点为（7.5,6）,

抛物线。的对称轴与台阶？5有交点.

(3)对于抛物线C：y=-/+14x-38,

令y=0,得至！Jx2-14x+38=0,解得x=7±Vyy,

抛物线C交无轴的正半轴于(7+JII，0),

当y=2时，2=-/+14x-38,解得x=4或10,

抛物线经过(10,2),

RtZ\3Z)E中，NDEB=90°,DE=1,BE=2,

当点。与(7+V11，0)重合时，点8的横坐标的值最大，最大值为8+丁五,

当点5与(10,2)重合时，点2的横坐标最小，最小值为10,

...点3横坐标的最大值比最小值大2.

7.(2021•梧州中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+6x+c经过点/(-1,0),B(0,3),顶点为

C.平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点。(3,-1)为原抛物线上点/的对应点，新抛物

线顶点为E，它与y轴交于点G,连接CG,EG,CE.

(1)求原抛物线对应的函数表达式；

(2)在原抛物线或新抛物线上找一点R使以点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点尸的坐

标；

(3)若点K是y轴上的一个动点，且在点3的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点N,

且点N分别在y轴的两侧，当MN=CE时，请直接写出点K的坐标.

解：(1):抛物线y=x2+6x+c经过点Z(-1,0),B(0,3),

.*=3,

Il-b+c=0

小=4

lc=3

,原来抛物线的解析式为y=/+4x+3.

(2)'：A(-1,0),D(3,-1),

点/向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到。，

;原来抛物线的顶点C(-2,-1),

点C向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到E,

：.E(2,-2),

新抛物线的解析式为y=(x-2)2-2=/-4x+2,

：.G(0,2),

•.•点C,E,F,G为顶点的四边形是平行四边形，

•••观察图形可知，满足条件的点尸在过点G平行CE的直线上,

•.•直线CE的解析式为尸-lx-

直线GF的解析式为》=-4+2,

4

1

(2(

y=x"+4x+3/.

由1,解得|XT或4:(舍弃)，

y=—x+2Iy=3丫=里

4ly16

：.F(-4,3),

・"G=3+I2=行，CE="2+]2=行,

:・FG=CE,

■:FG//EC,

・・・四边形ECFG是平行四边形，

由平移的性质可知当尸'(4,1)时，四边形G是平行四边形,

但是对于新抛物线y=N-4x+2,x=4时，y=2Wl,

・••满足条件的点尸的坐标为(-4,3).

(3)设经过点K的直线为夕=-L+6,在第二象限与原来抛物线交于点J,

4

'：jM=Ec=4yj,MN=4yj,

：.JN=2yfY7,

由平移的性质可知，J,N两点的横坐标的绝对值的差为8,

y=x2+4x+3

由1],消去y得到，4/+17x+12-46=0,

y=—x+b

LH

.17

•・%]+'2—，X]X23-b,

4

*.*|xi-%21=8,

(xi+%2)2-4XIX2=64,

(IL)2-4(3-6)=64,

4

64

8.(2021•郴州中考)将抛物线y=a/(aWO)向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y=a

(X-/?)2+k.抛物线〃与X轴交于点aB,与了轴交于点C.已知/(-3,0),点尸是抛物线〃上的一个动

点.

(1)求抛物线X的表达式;

(2)如图1,点尸在线段NC上方的抛物线〃上运动(不与C重合)，过点尸作垂足为。，PD

交/C于点E.作尸尸，NC,垂足为R求△尸斯的面积的最大值；

(3)如图2,点0是抛物线〃的对称轴/上的一个动点，在抛物线〃上，是否存在点尸，使得以点/,P,C,

0为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，说明理由.

解：(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(-1,