二次函数的图像与性质-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

第三章函数

第13讲二次函数的图像与性质

（思维导图+4考点+3命题点19种题型（含3种解题技巧））

01考情透视•目标导航•►题型08根据二次函数的对称性求参数取值范围

02知识导图•思维引航•►题型09二次函数的最值问题

03考点突破•考法探究＞题型10根据二次函数的最值求参数/取值范围

考点一二次函数的相关概念＞题型11根据二次函数的增减性求参数的取值范

考点二二次函数的图像与性质围

考点三二次函数与各项系数之间的关系＞题型12根据二次函数自变量/函数值的取值范围

考点四二次函数与方程,不等式求函数值/自变量的取值范围

04题型精研•考向洞悉命题点二二次函数的图像与各项系数之间

命题点一二次函数的图像与性质的关系

•►题型01根据二次函数解析式判断其性质»题型01二次函数的图像与各项系数符号

•►题型02根据二次函数的图像与性质求解＞题型02根据二次函数的图像判断式子符号

»题型03求二次函数解析式＞题型03函数图像综合

»题型04画二次函数v=ax1+bx+c的图像命题点三二次函数与方程、不等式

•►题型05以开放性试题的形式考直二次函数的图•►题型01已知一元二次方程根的分布情况求参数

像与性质»题型02二次函数与坐标系交点问题

＞题型06二次函数的平移变换问题•►题型03二次函数与方程、不等式

＞题型07二次函数的对称变换问题＞题型04二次函数与三角形相结合的应用方法

考情透视•目标导航

中考考点考老频率新课标要求

二次函数的图像对称性与增减性★★

二次函数图像的有关判断★★能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，

知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系；

二次函数的图像变换★★

会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量

二次函数的图像与系数★★★的值

二次函数解析式的确定★★★

二次函数与方程结合★

知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次

函数的图像求一元二次方程的近似解.

二次函数与不等式结合★

【考情分析1］二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性

质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、

一次项系数及常数项之间的关系.

【考情分析2］二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项

系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，，其中函数图像与

X轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解.

【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数

学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.出题形式多样，考

生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.

知识导图•思维引航

二^项系数

强形如y=ax-+bx+c一次项系数

砺顶点式y=a(x-/Q/方顶点坐标(h,k)

理解问题，确定变量与常量

交点式片。(xl)(x・c)b,c是抛物线与港交点的横颊

用缄关系式表示它们之间的关系

强方法

利用二次函数的性质进行求弊

检验结果的合理性应用

利润最值问题

最值问题

图形最值问题开口向上

解决卖乐问题

对称轴左侧随的大而减小

抛物线型问题二a>0yxig

增减性

次对称轴右侧y随x的增大而增大

b=ab函最值有最小值

匕跳，开口迪人

［左同右异中间0b>02a数

在斓右侧ab<0的

学海§导

图

平移前后的解析式，a的值不变

-----------------------------------------1图像特征像开口向下

平移前后的图像，其形状大4曲同，只是位置不同|------------

图像平移

与a<0对称轴左侧y随x的增大而增大

百口右减目涯，tb口下减常蜩平移后弼式的版增减性-----------------------------

性对称轴右侧y随x的增大而减下

质

最值有最大值

遗漏“二次项系数不为0"这个隐含条件

易将y=a(x-〃),左1|历的付号弄错

学习误区待定系数法

举的对称轴左、右两侧的增减性相反求函数解折式।

----------------------1步骤设、列、解、代、写

b~~4ac

友1忌写成一—

表。产公+bx+c

函数-有两个交点\与魂相交

与崛交点』二°有一佗点与崛相切

函数与方程

考点突破•考法探究

考点一二次函数的相关概念

二次函数的定义：一般地，形如)=加+法+。(aWO,其中a,b,c是常数)的函数叫做二次函数.其中,

X是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

二次函数的一般式：y^ax2+bx+c（a=0,其中a,b,c是常数）.

二次函数的3种特殊形式：1）当b=0时，y=cuC+c（a^Q）

2)当c=0时，y=(vC+Z?x(a^O)

3)当b=0且c=0时，y=ax2(a0)

二次函数的常见表达式:

名称解析式前提条件相互联系

一般y=ax1+ZZX+C(Qw0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标1）以上三种表达式是二

式时,常用一般式求其表达式.次函数的常见表达式，

它们之间可以互相转

顶点y=+左当已知抛物线的顶点坐标（h,k）或对称轴

化.

式或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达

(QWO,a,h,女为常数)）一般式化为顶点式，

式.2

交点式，主要运用配方

交点y=w。)当已知抛物线与X轴的两个交点坐标

法，因式分解等方法.

式（%,0）,（42,0）时，常用交点式求其表达式.

针对训练

1.（2024・上海宝山•三模）下列函数中是二次函数的是（）

A.y—B.y—（x+3）2—x2

C.y—Vx2+2x—1D.y=x（x—1）

2.（2023・北京•模拟预测）线段AB=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段48运动至

点B,以线段4P为边作正方形2PCD,线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为如正方形4PCD周长为y,

OB的面积为S,则y与3s与t满足的函数关系分别是（）

A.正比例函数关系，反比例函数关系B.一次函数关系，二次函数关系

C.正比例函数关系，二次函数关系D.一次函数关系，反比例函数关系

3.（2024・山东荷泽・一•模）若二次函数y=（zu+2）——mx+爪2-2m-8经过原点，则m的值为（）

A.-2B.4C.-2或4D.无法确定

4.（2023・四川南充•一模）点P（a,9）在函数y=4x2-3的图象上，则代数式（2a+3）（2a-3）的值等于

考点二二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质

二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对

图像特征

称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-/z)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

yx

kJ/

/h>0,k>0

a>0乙

h<0,k<0

图

像

(h<0,k>0

If

a<0卜<0LAJi>0,k<0

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx=----

2a

(b4ac—匕2)

顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)

2a4a

a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；

最

a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.

值

【小结】二次函数最小值（或最大值）为。（k或4展）.

a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.

增

a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.

减

性抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大(或减小)是

易错

不对的，必须附加一定的自变量X取值范围.

二、二次函数的图象变换

1)二次函数的平移变换

平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀

左加

向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减

向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减

补充：

①二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，

且与平移方向有关.

②根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.

③涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-〃)？+左的形式，因为二次函数平移遵循“上

加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.

④求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.

⑤对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.

2)二次函数图象的对称变换

变换方式变换后口诀

关于X轴对称-y=ax2+bx+c=>y=-ax2-bx-cx不变，y变-y

2

关于y轴对称y=Q(-%)2+〃(―%)+。=y=ax—bx+cy不变，x变-x

关于原点对称2X变-X,y变-y

=a(f)2+._%)+0=>y__ax+bx—c

针对训练

1.(2024.广东•中考真题)若点(0,%),(1/2)，(2,乃)都在二次函数丫=产的图象上，则()

A.y3>y2>yiB.y2>y1>y3C.yi>y3>y2D.y3>yi>y2

2.(2024•内蒙古包头•中考真题)将抛物线y=/+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为()

A.y—(x+I)2—3B.y=(x+l)2—2C.y—(x—l)2—3D.y=(x—l)2—2

3.(2024・四川乐山・中考真题)已知二次函数y=%2-2x(-1<x<t-l),当％=-1时，函数取得最大值；

当％=1时，函数取得最小值，贝仔的取值范围是()

A.0<t<2B.0<t<4C.2<t<4D.t>2

4.(2023・湖南娄底•中考真题)如图，抛物线丫="2+6尤+。与天轴相交于点2(1,0)、点B(3,0),与y轴相

交于点C,点。在抛物线上，当CD||x轴时，CD=.

6.(2024.辽宁・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/++3与x与相交于点4B,点B的

坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上，贝IJ4B的长为.

考点三二次函数与各项系数之间的关系

①二次函数y=依2+区+c(〃w0)的图像与a,b,c的关系

字母字母的符号图像特征备注

aa>0开口向上a的正负决定开口方向，

a<0开口向下a的大小决定开口的大小（|a|越

大，开口越小）.

b=0对称轴是y轴，即一2=o

2a

b左同右异中间0

a,b同号对称轴在y轴左侧，即-2Vo

2a

a,b异号对称轴在y轴右侧，即-2>0

2a

c=0图像过原点

Cc>0与y轴正半轴相交c决定了抛物线与y轴交点的位

置.

c<0与y轴负半轴相交

与X轴有两个交点

b1—4QC>0

22

b-4ac与X轴有唯一交点b-4ac的正负决定抛物线与x

b1-4〃。=0

轴交点个数

与X轴没有交点

b1—4QC<0

【补充】

1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；

2）由a的符号与对称轴x=-白的位置共同确定b的符号；

【小技巧】通过给X赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.

针对训练

1.（2024•内蒙古・中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y=a久一6（a40）和y=?（c40）的图象大致

2.（2024.山东东营.中考真题）已知抛物线y=a/+bx+c（a力0）的图像如图所示，则下列结论正确的是

>

A.abc<0B.a-b=0

C.3a—c=0D.am2+bm<a—b（?n为任意实数）

3.（2024.四川遂宁.中考真题）如图，已知抛物线y=a/++c（〃、b、c为常

数，且QW0）的对称轴为直线%=-1,且该抛物线与无轴交于点4（1,0）,与y轴的

交点8在（0,-2）,（0,-3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（）

①abc>0；②9。-3&+c>0；③|<a<1；④若方程a/+5工+。=%+i两

根为皿九（TH<n）,则一3Vzn<1V71.

A.1B.2C.3D.4

4.（2023・四川・中考真题）已知抛物线y=a%2+bX+c（口，b,c是常数且aVO）

过（一1,0）和（皿0）两点，且3Vm<4,下列四个结论：@abc>0；@3a+c>0；③若抛物线过点（1,4）,

则一l<aV-1；④关于％的方程+1）（%-TH）=3有实数根，则其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023•山东青岛・中考真题）如图，二次函数）/=。%2+/?%+。的图象与正比

例函数y=々％的图象相交于A,5两点，已知点A的横坐标为-3,点5的横坐

标为2,二次函数图象的对称轴是直线％=-1.下列结论：①。乩<0；②劝+

2c>0；③关于x的方程a/+匕％+。=k工的两根为%1=—3,x2=2；@k=

la.其中正确的是.（只填写序号）

考点四二次函数与方程、不等式

1.二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况

求二次函数y=G?+/zx+c（awO）的图像与x轴的交点坐标，就是令y=0,求ar?+Zzr+c=O中x

的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交

点的个数，它们的关系如下表：

二次函数一元二次方程与X轴

交点个

判别式y=ax^+ZZX+C(Qw0)ax2+bx+c=0(。w0)

数

图像与X轴的交点坐标根的情况

y抛物线

a>0一元二次方程

oy=ax2+bx+c(aw0)

ax2+bx+c=Q（aw0）有两

2个交

与轴交于

△>0x(%i，0),(x2,0)个不相等的实数根

y点

a<0一

J(王<12)两点-b±\/b2-4ac

fx\xAX

五2二0

°l2a

XL一元二次方程

a>0抛物线

bXax2+bx+c=0（〃w0）有两

0i一五y=ax2+bx+c（aw0）与x1个交

△=0个相等的实数根

点

轴交于1-皮■,（）］这一点

a<0少Ab

【/弋Xl=X2=一丁

o2a

a>0IV

抛物线一元二次方程

0X

0个交

△<0iy=ax2+bx+c(aw0)ax2+bx+c-0（«本0）在实

y点

a<0

0与x轴无交点数范围内无解（或称无实数根）

二、二次函数与不等式的关系

二次函数y-ax2+bx+c{a丰0)与一元二次不等式ax2+bx+c>0(aw0)及ax2+bx+c<0(。丰0)

之间的关系如下（药＜々）：

y=加+/7X+Ca>0a<0

图像}JX1（X2）

°—

（\\A

0\X,（X）*「X

Lb2p/I\

有两个交点有一个交点无交点

有两个交点有i个交点无交点

判别式△>0A=0A<0△>0△=0A<0

2全体实数无解无解

ax+bx+c>0x<M或Xw项xr<x<x2

的全体实数

x>x2

2无实根无实根

ax+bx+c=GX=再或X=x=x1=x2X=/或X=x=xx=x2

2无解无解全体实数

ax+Z?x+c<0xr<x<x2X<玉或X>%2

的全体实数

针对训练

1.（2023九年级下•江苏•专题练习）如表是部分二次函数y=a%2+bx-5的自变量％与函数值y的对应值:

X11.11.21.31.4

y-1-0.490.040.591.16

那么方程a/+力％一5=0的一个根在（）范围之间.

A.1-1.1B.1,1〜1.2C.1.2〜1.3D.1,3〜1.4

2.（2024.河南周口•模拟预测）如图，抛物线y=ax2+b%+c交工轴于（1,0）,（3,0）,则下列判断错误的是（）

A.抛物线的对称轴是直线久=2

B.当久>2时，y随％的增大而减小

C.一元二次方程a/+fox+c=0的两个根分别是1和3

D.当y<0时，x<1

3.（2024•山西大同•模拟预测）已知m>九>0,若关于x的方程%2一2%-九=0的解为％i,x2（xi<x2）,

关于X的方程久2一2%-TH=0的解为久3,X4（x3<x4）,则下列结论正确的是（）

A.X1<X2<X3<X4B.X4<X3<X1<X2

C.X3<X1<X2<X4D.X3<X4<X1<X2

4.（2024・山东济宁・中考真题）将抛物线丫=/一6%+12向下平移七个单位长度.若平移后得到的抛物线与

X轴有公共点，则上的取值范围是.

5.（2023•浙江宁波・中考真题）如图，已知二次函数丫=y2+出+。图象经过点4（1,_2）和8（0,—5）.

（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.

（2）当y<-2时，请根据图象直接写出x的取值范围.

题型精研•考向洞悉

命题点一二次函数的图像与性质