第五章 统计与概率（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学（人教B版必修第二册）解析版

第五章统计与概率（单元重点综合测试）

（考试时间：150分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%,下雨的概率

为20%,吹南风或下雨的概率为35%,则既吹南风又下雨的概率为（）

A.5%B.10%C.15%D.45%

【答案】B

【分析】根据概率公式直接得出结论.

【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%+20%-35%=10%.

故选:B

2.从某高中高三年级1000名随机选取100名学生一次数学统测测试成绩,分为6组：[65,70）,

[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95],绘制了频率分布直方图如图所示，按此图

估计，则高三年级全体学生中，成绩在区间[70,85）内的学生有（）

A.600名B.650名C.60名D.65名

【答案】B

【分析】根据频率分布直方图求成绩在区间[70,85）内的频率，即可得人数.

【详解】由题意可知每组的频率依次为：0.25,。.3,5凡0.15,0.05,0.05,

可知成绩在区间[70,85）内的频率为1—（0.25+0.05+0.05）=0.65,人数为0.65x1000=650.

故选：B.

3.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件/="出现偶数点"，事件8="出现3点或4点”,

则事件/与8的关系为（）

A.相互独立事件B.相互互斥事件

C.即相互独立又相互互斥事件D.既不互斥又不相互独立事件

【答案】A

【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义确定正确选项.

【详解】由于/C2表示“出现的点数为4”，所以事件N与8不是互斥事件，

由尸(/)=g,P(2)=g，P(/2)=g，有P(/8)=P(/>P(B),

所以事件/与B是相互独立事件，不是互斥事件.

故选：A

4.有一组样本数据芯,马，…,％，由这组数据得到新样本数据M其中

%=Xj+c(i=l,2/、〃)，c为非零常数，则下列说法正确的是()

①两组样本数据的样本平均数相同②两组样本数据的样本中位数相同

③两组样本数据的样本标准差相同④两组样本数据的样本极差相同

A.①③B.②③C.②④D.③④

【答案】D

【分析】表示出两组数据的平均数，从而判断①；表示出两组数据的中位数，从而判断②;

求出两组数据的标准差，从而判断③；求出两组数据的极差，从而判断④.

【详解】解：由题意可知1=/+尤2+…+%,

n

一y—_必+>2+.-+^〃—_玉+。+、2+£+•••+X〃+C=_x一+c,

nn

又因为C#0,

所以嚏w1,故①错误；

设数据%,尤2,…,x”的中位数为％,(1<N),

数据为必，…的中位数为%,(1<N),

则％=X,+c(i=l,2,…

又因为CHO,所以为力匕，故②错误;

设数据占户2,％的标准差为S1，数据九的标准差为$2,

nn

则有S1=JA—E[(x,-x—)2,s?=JH—£(%-y—)2=Jf—l£[(x,+c)-(—x+c)『=Jn—±(x,-x—)2=S],

Vn,=iVn,\n,n,

=1=1、=I

故③正确；

设数据网户2,％中最大数为七,(14,4〃,〃eN),最小数为,

则数据X],%,…,x”的极差为天-Xj,

所以数据%,…中最大数为％("„,〃€N),最小数为匕eN),

数据%,必,丁"的极差为％%=x,+c-(丐+c)=%一x八

所以两组数的极差相等，故④正确.

故选：D.

5.设48是一个随机试验中的两个事件，且尸(/)=g，尸(5)=}尸(4+可=g,则P(/8)=

()

1121

A.—B.-C.—D.—

35510

【答案】D

【分析】先利用和事件的概率公式求出尸(/用，然后利用尸(")=*/)-P(/月)求解即可.

【详解】因为尸(/)=：,P(B)=:,所以尸(I)=g,尸(与)=|,

XP(A+B)=P(A)+P[B]-P[AB)=-+--P(AB)=~,所以尸(4豆)=《，

所以汽/团=尸⑷一尸(疝)=]_]=

故选：D.

6.若随机试验的样本空间为。={01,2},则下列说法不正确的是()

A.事件2={1,2}是随机事件B.事件。={0,1,2}是必然事件

C.事件河={-1,-2}是不可能事件D.事件{-1,0}是随机事件

【答案】D

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.

【详解】随机试验的样本空间为。={0」,2},

则事件尸={1,2}是随机事件，故A正确；

事件。=｛0,1,2｝是必然事件，故B正确;

事件M=｛-1,-2｝是不可能事件，故C正确；

事件｛7,0｝是不可能事件，故D错误.

故选：D

7.有一组样本数据为，々，…，X,,由这组样本得到新样本数据乂，%,…，以，其中

y,.=axt+b,贝!|()

A.X1,x2,x,的中位数为“a，则乂，”的中位数为

B.X],x2,•••,%的平均数为加2，则M，%，…，”的平均数为。丐+6

C.X[,x2,•••,当的方差为加3,则必，%,…，”的方差为。砥

D.X1,x2,•••,x,的极差为加4，则M，%，…，”的极差为

【答案】B

【分析】利用中位数的定义可判断A；利用平均数和方差的计算方法和性质可判断B,C；

举例利用极差的定义可判断D.

【详解】对于A,数据从小到大排列对应中位数的顺序不变，

所以若X,,%的中位数为机一

则%，”的中位数为。叫+6,故A不正确;

对于B,由平均数的计算方法与性质可知，

若x1，％，…，％,的平均数为加2，

则外,%,…，然的平均数为。加2+6，故B正确；

对于C,由方差的性质可知，

行X[,x2,,X“的方差为Wl3,

所以%，%，…，”的方差为/机3，故c不正确；

对于D,若原数据为1,2,3,4,极差为3,

当％=-2占+1,则新数据为-1,-3,-5,-7,所以极差为6,

所以极差为|。陶，故D不正确.

故选：B.

8.长沙市某校希望统计学生是否曾在考试中作弊，考虑到直接统计可能难以得到真实的回

答，故设计了如下方案：在一个袋子里放入只有颜色和序号不同的红球和绿球各50个，分

别编号为1〜50,被调查的学生从中随机摸出一个，确认颜色和序号后放回（调查者不知

道），摸到红球的学生回答“你摸到的球的序号是否为奇数？“，摸到绿球学生的回答“你是否

曾在考试中作弊？”.共调查了1200名学生，得到了390个“是”的回答，据此估计该校学生

的作弊率为（）

A.15%B.20%C.5%D.10%

【答案】A

【分析】根据题意知被调查者摸到红球的概率是:，其编号是奇数的概率也是:，计算回答

问题“你摸到的球的序号是否为奇数？”且回答的“是”的学生人数，由此可求出回答问题“你

是否曾在考试中作弊？”且回答的“是”的学生人数，即可估计此地区中学生作弊人数的百分

比.

【详解】调查1200名学生中，摸到红球的概率是其编号是奇数的概率也是：，摸到绿

22

球的概率为

2

即摸到红球的人数为1200X：=600人，摸到绿球的人数为1200x：=600人，

22

所以回答问题“你摸到的球的序号是否为奇数？”且回答的“是”的学生人数为

1200x-x-=300人，

22

回答问题“你是否曾在考试中作弊？”且回答的“是”的学生人数为390-300=90人，

90

所以该校学生的作弊率为券xl00%=15%.

600

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.8个数据的平均数为5,另3个数据的平均数为7,则这11个数据的平均数是1

B.若样本数据X],无2，…，尤io的平均数为2,则数据2再-1,2X2-1,•••,2无]0-1的

平均数为3

C.一组数据4,3,2,6,5,8的60%分位数为6

D.某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题.若男生答

对题目的平均数为10,方差为1；女生答对题目的平均数为15,方差为0.5,则这10人

答对题目的方差为6.8

【答案】ABD

【分析】求出平均数判断A；由平均数的性质计算判断B；由60%分位数的定义判断C；利

用分层抽样的方差公式计算判断D.

【详解】对于A,这11个数据的平均数是垩箸虫=营，A正确；

对于B,数据2占-1,2X2-1,...,2占0-1的平均数为2x2-1=3,B正确；

对于C,给定数据由小到大排列为2,3,4,5,6,8,而6x60%=3.6,则这组数据的60%

分位数为5,C错误；

对于D,30名男生抽3三0xl0=6人，20名女生抽4人，这10人答对题目的平均数为

-^（6x10+4x15）=12,

64

所以这10人答对题目的方差为历［1+（10-12）2］+伍［0.5+（15-12力=6.8,口正确.

故选：ABD

10.下列说法正确的是（）

A.若P（/）+P（B）=l,则事件/与3是对立事件

B.设/,8是两个随机事件，且尸（N）=（，P（8）==，若P（N3）=J,则/,2是相

236

互独立事件

C.A,2同时发生的概率一定比/,2中恰有一个发生的概率小

D.若P（4）>0,P⑻>0,贝产事件4,2相互独立”与“事件/,8互斥”一定不能同时

成立

【答案】BD

【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件

的概念分析判断.

【详解】对于选项A：例如样本空间为£1={1,2,3,4},事件/={1,2},3={1,3},

可得P(/)=P(8)=；,满足尸(/)+尸”)=1,

但/8={1}20,即事件48不对立，故A错误；

对于选项B：因为P(/)=:,尸")=：,P(4B)=!，

满足尸(/3)=尸(⑷尸(8),所以/,3是相互独立事件，故B正确：

对于选项C：例如样本空间为旬={1,2,3,4,5},事件/={1,2,3,4},8={2,3,4,5},

则48同时发生为事件河={2,3,4},则尸(河)=丁

A,8中恰有一个发生为事件％={1,5},则尸(N)=:；

显然尸(4)>尸(N),故C错误；

对于选项D：因为尸(/)>0,尸(为>0,

若事件48相互独立，则尸(48)=尸(/)尸”)>0,可知事件4,2不互斥；

若事件4B互斥,则尸(/3)=0,即尸(/8)丁尸(⑷尸(3),可知事件4,2不相互独立，

所以“事件45相互独立”与“事件/,5互斥”一定不能同时成立，故D正确：

故选：BD.

11.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x,y,设事件4=

“x+y=5"，事件4="了=苫2"，事件4="x+2y为奇数”，则()

A.尸(4)=3B.尸(4)=2

C.4与4相互独立D.4与4相互独立

【答案】AD

【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断A,B,根据相互独立事件的定义结合概率判

断C,D.

【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为'J,

则基本事件总数有36种情况，

满足事件4的情况有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四种情况，故尸(4)=：,故A正确；

满足事件4的情况有(1,1)，(2,4)两种情况，故尸(4)=1,故B不正确；

事件4,4不能同时发生，故4与4互斥而不相互独立，故c不正确;

满足4的情况有(1，1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),

(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),18种情况,

故尸(4)二，满足事件44只有(U)一种情况，

236

••・尸(44)=尸(4)2(4)，所以4与4相互独立，故D正确.

故选：AD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若一组样本数据%,马…,兑的平均数为10,另一组样本数据2%+4,2芍+4,…,2%+4的

方差为8,则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是.

【答案】54

【分析】计算出fx,、的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.

Z=1Z=1

【详解】由题意可知，数据再3…,X”的平均数为10,

所以x=—(占+%2+…+x〃)=l。，贝！=10〃，

ni=\

所以数据2再+4,2马+4,…,2%+4的平均数为

—1

x——(2项+4+2/+4+,,,+2%+4)=2x10+4=24,

n

1AAA

方差为s?="g[(2x,+4-(2亍+4)丁9=-X[(x；-10)T9=-『"xlO?

4««

=—»；-400=8,所以»；=102〃，

〃/=1Z=1

将两组数据合并后，得到新数据占广2…，xQci+4,2%+4,…,2%+4,

则其平均数为p=X,(2x,+4)]=:x^t(3%+4)=+4)

2n,=1,=12n,=12n,=1

=gx(3xl0+4)=17,

方差为s'2=；叵("17)2+f(2x,+4-17『[=一863+45即)

L1=1Z=1_1=1Z=1

=—(5xl02w-86x10/7+458n)=54,

2n

故答案为：54.

13.将12张完全相同的卡牌分成3组，每组4张.第1组的卡牌左上角都标1,右下角分别

标上1,2,3,4；第2组的卡牌左上角都标2,右下角分别标上2,3,4,5；第3组的卡

牌左上角都标3,右下角分别标上3,4,5,6.将这12张卡牌打乱放在一起，从中随机依次

不放回选取3张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列（一个数列，从

第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列）

的概率为.

【答案

【分析】根据题意，通过对公差所有可能2,-2,0,1,进行讨论，使用列举法，即可

求解.

【详解】为方便讨论，将左上角的1,2,3改记为/,B,C,总共有12x11x10=1320种取

牌可能，

对公差d讨论

当d=2时，共10种:

135246

AABCAAC

BBCABB

CCABC

当"=-2时，不可能；

当"=0时，共2种：3,3,3和4,4,4；

当d=1时，共29种，分别如下：

123

AAABC

BBC

此时有5种;

234

AAABC

BBC

CC

BBBC

CC

此时有9种;

345

AABC

BBC

CC

BBBC

CC

CCC

此时有9种;

456

ABCCC

ABB

AA

此时有6种

当1=一1时

6,5,4是1种

543

BBBC

CC

CCC

此时为4种;

432

AAAB

BB

此时有3种;

EEQ

00E

此时有1种，

总计有50种，所以所求概率

故答案为：石5

14.设函数〃曰="+e(%>4),若。是从1,2,3,4四个数中任取一个，6是从

4,8,12,16,20,24六个数中任取一个,则/(x)>6恒成立的概率为.

【答案】j/0.625

O

【分析】根据题意，利用基本不等式，求得/(》)„„„=(2&+1)2,转化为(2后+1)2>6恒成

立，结合。是从1,2,3,4四个数中任取一个，6是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到

基本事件总数有24个，再利用列举法，求得/(》)>6成立的基本事件的个数，结合古典概

型的概率计算公式，即可求解.

【详角军】因为〃>0,x>4,可得％—4〉0,

x44__

贝1/(%)="+------=ax+l+-----=。(1-4)+-------+4。+12+4。+1=(2&+1)2,

x4x4x4

当且仅当x=J4+4时，等号成立，故/(x)1nhi=(2&+1)2,

Va

由不等式/(X)>6恒成立转化为(26+1)2>6恒成立,

因为。是从123,4四个数中任取一个，6是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个,

则构成（a,6）的所有基本事件总数有24个，

又由（2&+=9,（2痣+仔=9+472e（12,16）,

（273+1）2=13+473e（19,20）,（274+1）2=25,

设事件/=，，不等式/（x）>b恒成立”，则事件A包含事件：

（1,4）,（1,8）,（2,4）,（2,8）,（2,12）,（3,4）,（3,8）,（3,12）,（3,16）,

（4,4）,（4,8）,（4,12）,（4,16）,（4,20）,（4,25）共15个，

因此不等式/（X）>b恒成立的概率为£=|.故答案为：

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所

有测试成绩（满分100分）按照［50,60）,［60,70）,…,［90,100］进行分组，得到如图所示的频率

⑴求出a,6,估计测试成绩的75%分位数和平均分；

（2）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在［80,100］内的学生中抽取4人，再从这4

人中任选2人，求这2人成绩都在［80,90）内的概率.

【答案】（1）。=0.01,6=0.03,85,76.5⑵g

【分析】（1）由所有长方形的面积和为1列方程，结合6=3a可求出。力，然后判断出75%

分位数在第4组，从而可求出75%分位数；再由平均数的定义求解即可.

（2）根据频率分布直方图可得抽取的4人中成绩在［80,90）内的有3人，成绩在［90,100］内

的有1人，然后利用列举法可求得结果.

【详解】（1）由频率分布直方图可知（a+0.015+0.035+b+a）xl0=l,即b+2〃=0.05,

又6=3。，所以〃=0.01,6=0.03,

前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6<0.75,

前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9>0.75,

则75%分位数me［80,90）,且加=80+黑［^xlO=85.

测试成绩的平均分为：x=55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0,1=76.5.

（2）成绩在［80,90）和［90,100］内的人数之比为3:1,

故抽取的4人中成绩在［80,90）内的有3人，设为b,c,

成绩在［90,100］内的有1人,设为。，

再从这4人中选2人，

这2人的所有可能情况为（。,6）,（。©,（a,。），（b,c）,（c,。），共6种，

这2人成绩均在［80,90）内的情况有（a,Z））,（a,c）,（b,c）,共3种，

故这2人成绩都在［80,90）内的概率为尸===：.

16.随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某4s店为了解

车主对甲、乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度,从该店销售的甲、乙两款车中各随机抽

取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理、描

述和分析（评分用x表示，共分为三组：A90<x<100,5.80<x<90,C.70<x<80）,下面给

出了部分信息：

甲款电动汽车10名车主的评分是：100,95,85,85,80,80,80,80,75,70.

乙款电动汽车10名车主的评分在B组的数据是：85,85,85,81,80.

抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表

车型平均数中位数众数

甲8380a

乙83b85

抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中,b=,m=；

(2)根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由(写出

一条理由即可)；

⑶该4s店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90

分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少

人？

【答案】(1)80,82.5,30

(2)乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由见解析(3)200人

【分析】(1)从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，得出众数；乙款电动汽车车主的评

分扇形统计图中N组占，所以/组有两个最大的数据，同时8组的数据有5个是：85,85,

85,80,80,所以最中间的数为85,80,。组数据有3个；

(2)从平均数、中位数、众数的角度去分析即可；

(3)甲款电动汽车的车主“非常满意''的占比为20%,乙款电动汽车的车主“非常满意”的占

比为20%,求出对甲、乙“非常满意”的人数即可.

【详解】(1)从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80,

即.=80,

乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中/组占20%,8组占去x100%=50%,

C组占1-20%-50%=30%,

所以加=30,

所以/组有两个最大的数据，同时3组的数据有5个是：85,85,85,80,80,

所以最中间的数为85,80,

所以中位数为气巴=82.5,

即6=82.5,

故答案为：80,82.5,30;

(2)乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下：

甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，

所以乙款的满意度更好；

(3)甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为20%,乙款电动汽车的车主“非常满

意''的占比为20%,

所以满足题意的总人数为：400x20%+600x20%=200(人).

17.某次世界魔方大赛吸引世界各地共900名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行3x3阶

魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到30个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间

小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是3x3阶魔方赛/区域30名爱好者完成时间统计

图，

(1)填空：A区域3x3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的有人.

⑵填空：若4区域30名爱好者完成时间为9秒的人数是7秒人数的3倍，

®a=,b=；

②完成时间的平均数是秒，中位数是秒，众数是秒.

(3)若3x3阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据A区域的统计结果估计在3x3阶魔方

赛后进入下一轮角逐的约有多少人？

【答案】⑴4；(2)①7,9；②8.8,9,10；(3)约有120人.

【分析】(1)由图知1人6秒，3人1秒，小于8秒的爱好者共有4人；

(2)①根据/区域30名爱好者完成时间为9秒的人数是1秒人数的3倍，可得

6=3x3=9,再用数据总数30减去其余各组人数得出。的值；②利用加权平均数的计算公

式列式计算求出平均数，再根据中位数、众数的定义求解；

(3)先求出样本中进入下一轮角逐的百分比，再乘以900即可.

【详解】（1）由图知1人6秒，3人1秒，小于8秒的爱好者共有4人，

即/区域3x3阶魔方爱好者进入下一轮角逐的有1+3=4（人）.

故答案为:4；

（2）①根据/区域30名爱好者完成时间为9秒的人数是1秒人数的3倍，可得

6=3x3=9,

则“=30-4-9-10=7.

故答案为:7,9；

十小皿e6x1+7x3+8x7+9x9+10x10„„.㈠、

②完成时间的平均数是：-------------------------=8.8（秒）；

按从小到大的顺序排列后，第15、16个数据都是9,所以中位数是三=9（秒）；

数据10秒出现了10次，此时最多，所以众数是10秒.

故答案为:8.8,9,10；

4

（3）900x—=120（人）.

30

答：估计在3x3阶魔方赛后进入下一轮角逐的约有120人.

18.某市文旅局为激发夜间文旅市场的活力，共设置夜市摊点500个，为调查这些夜市摊点

的服务情况，该文旅局随机抽取了100个夜市摊点进行评分，评分越高，服务越好，满分为

100分.将分数以20为组距分为5组：［0,20）、［20,40）、［40,60）、［60,80）、［80,100］,得

到100个夜市摊点得分的频率分布直方图，如图，已知［40,60）组的频数比［20,40）组多8.

⑴求直方图中。和6的值；

（2）为进一步提升夜市经济消费品质，提高服务质量，该文旅局准备对剩下的所有夜市摊点

进行评分，并制定一个评分分数，给达到这个分数的摊位颁发“服务优秀”荣誉证书.若该文

旅局希望使得恰有50%的摊位获得荣誉证书，求应该制定的评分分数.

【答案】（1）。=0.01，6=0.006；

（2）72分.

【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1及已知列出方程组，求

解即得.

（2）由频率分布直方图中，评分分数右侧小矩形面积和为0.5,列式计算即得.

…