第二章 函数 单元检测卷（含解析）-2024-2025学年高一年级上册数学北师大版必修第一册

第二章函数单元检测卷C.若方程/(%)=左x+1恰有3个实根，贝依

学校:姓名：班级：考号：D.若函数y=/(%)-b在(-8,4)上有6个零点七(』,2,3,4,5,6),则为%/(%)的取值范围是(0,6)

Z=1

一、单选题

1.函数/(X)是定义在R上的奇函数，且是减函数，若实数“，力满足了3)+/S)>0,则a,b的关系是()三、填空题

A.a+b>0B.a+b<0C.a+b=OD.不确定9.函数的定义域是__.

2.已知函数y=/(%+D的定义域是［-2,3］,则y=/C"D的定义域是10.定义在R上的函数/(%)满足/a+y)=/(x)+/(y),/(%+2)=-/(%)且/(%)在［-1,0］上是增函数，给出下

列几个命题：

A.［0,5］B.［一1，4］C.［3,4］D.［-3,2］

①/(%)是周期函数；

3.函数y=|R(l—x)在区间A上是增函数，那么区间A是()

②/(%)的图象关于直线x=1对称；

A.(―co,0)B.［0,-^-］

③/(劝在口,2］上是减函数；

C.［0,+co)D.(―,+oo)@/(2)=/(0).

4.已知〃力=匿，则〃力不懑足的关系是()其中正确命题的序号是(请把正确命题的序号全部写出来).

11.函数=lg(x-3)的定义域为.

A./(-x)=/(x)B./')=，(%)

12.已知函数/(%)=公6+4法4+3%2一2%+1,(。、从c是非零常数)，若/(—5)=17,贝ijf(5)=.

。心…D.Ri

5.已知函数=L在区间［1,2］上的最大值为A,最小值为5,则48等于()

四、解答题

-x2+2x,{x>0)

A.-B.--C.1D.-1

2213.已知：奇函数/(%)=«0，(%=0)

x2+mx,{x<0)

6..偶函数/(T)在［0,+8)上为增函数，若不等式/(ov—1)</(2+F)恒成立，则实数。的取值范围为

A.(-2A/3,2)B.(-2J)C.(-2后2扬D.0笨洞I

二、多选题

x

—元2_<a

'一存在最大值，则实数。可能的值是()

{—X,x>a

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知函数/1(九)］：一?”<?，以下结论正确的是()(1)求实数”的值；

［/(x-2),x>0

(2)作出y=〃%)的图象，观察图象，指出当方程/(乃-〃=0只有一解时，求〃的取值范围(不必写过程)

A./(-3)+7(2019)=-3(3)若函数f(%)在区间［T,8-2］上单调递增，求匕的取值范围.

B./(x)在区间［4,5］上是增函数

2025年

14.已知函数f(x)=%+4+l(awR).

x

⑴若4=2,判断并证明/(X)在(0,+8)上的单调性；

⑵若存在xe(0,l),使不等式/1(4)<-△+七+4成立，求实数。的取值范围.

15.已知函数F(x)=|%-a］・(％—l)(awR).

(1)当。=5时，作出函数/(%)的图象；

(2)是否存在实数。，使得函数在区间［3,4］上有最小值8,若存在求出。的值；若不存在，请说明理由.

2

16.已知函数〃x)=x+-,当x>0时，“X)的图象如图.

⑴判断并证明函数“X)的奇偶性；

(2)写出函数/(x)的单调区间(直接写出结果);

⑶求函数“X)在区间上的最值.

2025年

参考答案:

f-x2+尤,x>0

题12345678

［x2—x,x<0

号

答BABBABBCDBCD作出函数的草图如图所示.

案

1.B

【分析】先利用奇函数性质化简不等式，再

利用单调性得到6的不等关系，即得结

果.

【详解】y（x）是奇函数,f（a）+f（b）>0,

由图易知原函数在［0,占上单调递增.

2

故选：B.

而/（x）是定义在R上减函数，故。<-6,

【点睛】本题考查了作函数的图象，由图象

即a+b<0.

得到函数的单调区间，属于基础题.

故选：B.

4.B

2.A

【分析】根据函数“X）的解析式，依次将

【分析】由尤的范围求得x+1的范围，此范

围即为y=/（尤-1）中x-l的范围，从而可得-无,代入，化简后比较即可得到答案.

XX

所求定义域.【详解】解：•••/（x）=E

\—X

【详解】函数y=+1）的定义域是［-2,3］,

贝U-24xW3,-l<x+l<4,有

-l<x-l<4,贝IJ0VXV5,贝|丫=/（彳一1）的

定义域是［。,5］.

故选：A.

3.B

【解析】先去绝对值，化简解析式>=|尤|（1

一x）,再作出函数的示意图，得到函数的增

区间.

（兀（1一%）,%之0故选：B.

［详解］y=|x|（l-无）=1\n=

【点睛】本题考查函数解析式的运算与化简,

主要涉及函数的解析式的意义和分式运算，

2025年

属基础题.考点：偶函数的单调性

5.A点评:本题给出偶函数的单调性，叫我们讨

【解析】利用/⑺=，的单调性将区间值代论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查

了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式

入可求得答案.

解法等知识，属于基础题

【详解】函数〃尤)=」在区间［1,2］是减函

X7.BCD

数，

【分析】求出二次函数部分的对称轴，再讨

所以x=l时“X)有最大值为1,即4=1,论a与对称轴的大小，求出。的的取值范围

x=2时〃尤)有最小值;，即2=；,即可得到答案

则A-8=l-；=；,【详解】解：y=—2x图象的对称轴

方程为％=-1,

故选：A.

①当时，〃力=-%有最

【点睛】本题考查反比例函数的单调性及最xWa2-2x

值，属于基础题.大值=又x>a2-l,所以一x<l,

6.B

所以此时有最大值1；

【详解】试题分析：根据偶函数图象关于原

②当a<-L,时，/(力-f-2x有最

点对称，得f(x)在［0,+oo)上单调增且在

Joo,0］上是单调减函，由此结合2+/是大值“a)=-/-2a,

正数，将原不等式转化为|ax-l|<2+x2恒成立,

当尤>a时，/(x)=—x在(a,+00)单调递减,

去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方

法进行处理，即得实数a的取值范围.解：所以=f<-a，

Vf(x)是偶函数，图象关于y轴对称,；.f所以要有最大值，得-

(x)在［0,+<»)上的单调性与的单调性相

解得一1«。40,与a<-l矛盾，舍去，

反，由此可得f(x)在Joo,0］上是减函数,

综上，当时，“X)有最大值，

不等式f(ax-1)<f(2+%2)恒成立，等价

故选：BCD.

于|ax-l|<2+x2恒成立，即不等式-2-/<ax-l

8.BCD

<2+/恒成立，得Y+ax+lX)

【分析】利用函数的图象结合四个选项进行

,x2-ax+3>0的解集为R,2结合一元二次

分析，注意函数在大于。部分的周期

方程根的判别式，得：/_4<o且(_a)2/2

性，从而进行选项判断，即可得到答案.

<0,解之得-2<a<2,故选B

2025年

【详解】函数的图象如图所示：解之得无>3,

对A,『(一3)=—9+6=—3,所以函数的定义域为(3,y)，

/(2019)=/(1)=/(-1)=1,所以

故答案为(3,+8)

/(-3)+/(2019)=-2,故A错误；

【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，

对B,由图象可知在区间［4,5］上是增

意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

函数，故B正确；

10.①②③④

对C,由图象可知上直线【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，

f(x)=Ax+l与函数图象恰有3个交点，故C再逐一判断各个命题作答.

正确；【详解】依题意，

对D,由图象可得，当函数y=/(x)在f{x+y)=f{x)+f(y),取x=y=0得:

(-8,4)上有6个零点X］(z=1,2,3,4,5,6),则/(0)=0,

6VxeR,取>=一龙，则有

所以当bf0时，(无0；

i=l/(x)+f(-x)=/(x-x)=/(0)=0,即函数

66

当bf1时，£士了(无)-6,所以£'"(七)

/(尤)是R上的奇函数，

Z=1Z=1

的取值范围是(0,6),故D正确.由/(x+2)=_/(x)得：

〃x+4)=-/(x+2)=/(x),因此函数/⑴以4

故选：BCD.

为周期的周期函数，①正确；

/(x+2)=—7'(尤)=/(一x),因此f(x)的图象

关于直线x=l对称，②正确；

因/(x)在上是增函数，则/(x)在［0,1］

【点睛】本题考查利用函数的图象研究分段

上是增函数，于是得/(x)在口,2］上是减函

函数的性质，考查数形结合思想的应用，求

数，③正确；

解时画出函数图象是求解问题的关键.

由/(x+2)=_/(x)得：

9.(3,+co)/(2)=-/(0)=0=/(0),④正确.

[x-3>0故答案为：①②③④

【分析】由题得*„„解不等式组即

IZ—O7=U

11.(3,+co)

得解.

【分析】解不等式彳-3>0即可求出答案.

x-3>0

【详解】由题得【详解】解：由题意，x-3>0,

2x-8^0

%>3,

2025年

故答案为：(3,+8).

【点睛】本题主要考查对数型函数的定义域

的求法，属于基础题.

12.-3；

【分析】将-5和5分别代入函数表达式，

两式相减即可得结果.

【详解】/(x)=ax6+4to4+3cx2-2x4-1,

当方程/(功-。=0只有一解，。的取值范围:

/(5)=56a+4-54xZ?+75c-9@,{。|。<一1或a>l},

〃—5)=(―5)6a+4.(―5)%+3x(—5)2c+11=5%+界州黜O数/⑴在区间5上

单调递增，

①一②得：f(5)-17=-9-ll=-20,故

故—0,3]

/(5)=-3,

【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查

故答案为-3.数形结合以及函数的单调性的应用，是中档

【点睛】本题主要考查函数值的计算，涉及题.

函数的奇偶性的性质以及应用，属于基础题.14.(l)f(x)在(0,0)上单调递减，在

13.(1)m=2(2)a>l或。<一1(3)

(①,+ao)上单调递增；证明见解析

1<&<3

【分析】(1)利用函数的奇偶性转化求解机⑵卜吗)

即可.【分析】(1)计算

(2)利用函数的解析式画出函数的图象，〃%)")=(；2),考虑占，

然后求解。的取值范围即可.

(3)结合函数的图象求》的取值范围.

x2e(0,A/2)和X],x,e(V2,+oo)两种情况，

【详解】解：(1)设x<0,则T>0,

得到函数单调区间；

f(—x)=—JC—2%,

(2)变换得到a<-2x++1,设t=&,

V函数是奇函数，

计算函数的最大值得到答案.

f(x)==x2+2x(x<0).

2

m=2.【详解】(1)。=2,则/(尤)=x+—+1,

(2)函数图象如图所示:

2025年

当x>0时，y（x）在（0,0）上单调递减，在a<—2厂+3f+1

所以a<(-2厂+3/+1),te(0,1).

（应,+■»）上单调递增.\/max

又一2〃+3/+1=-2「一A+y,所以当

证明：Vxj,尤2e（。，+8）且%>再，

%+：+1-%+：+1=伍+专)，忡©{+3/+1%=*

1717

所以〃<一,即QW一8,可

8

(2、（马鸟5值困象可解析;⑵存在，=T或〃=7

=(%2—%1)1

满足菜件，理由见解析.

【分析】（1）将。=5代入，去绝对值,然后做

出函数图象即可；

X2>Xl>0,故々一玉>°,%芯>0，

（2）分〃工3,3<〃<4和〃24三种情况，结

当今，尤时，x2xi-2<0,所以

合二次函数的性质讨论函数在［3,4］上的最

（）（）（

%-4/3-20小值，令其等于8,可求出答案.

x2xx

【详解】（1）当〃=5时，

故/㈤-/⑺<。,即/（々）</（不）,所

(x—5)(x—1)^>5

/(X)H|X-5|(X-1)=

一(x—5)(x1),xv5

以函数/（X）在（0,友）上单调递减；

当X］,x26（5/2,+00）时,X2Xj-2>0,所以

（马一百）（毛司一2）,0

x2xx

故/（凡）-〃再）>0,即/㈤>〃石）,所

以函数/(X)在(V2,+oo)上单调递增.

(2)f电)〈-6+；+4,即

«+f+1<-J'x++4,（2）假设存在实数。，使得函数f（x）在区间

［3,4］上有最小值8,

即—j=<-2y[x+-^=+3,存在%£(0,l),使

y/x7xf(x)=|x-"|(x-l),xe[3,4].

得。<成立.

-2x+3y[x+1①当时，

令f=«,xe(0,l),今(0,1).所以存在。(0,1),/(x)=(x-a)(x-1)=x2-(a+l)x+a,

2025年

函数/(x)的对称轴为》=答，查了学生的推理能力，属于难题.

16.(1)奇函数；证明见解析

1--a<3,苫^<2,/(%)在［3,4］上单调递

(2)单调递增区间是：［6\+8),(-00,-0］,

增，

单调递减区间是：(0,0),(-72,0)

f⑶=2(3-a)=8，解得a=-l,

O

符合题意；(3)最小值为20，最大值为万

②当3<a<4时,/(a)=。v8,/(%)不可能【分析】(1)利用定义法判断函数的奇偶性;

有最小值8(舍去)；(2)根据函数的奇偶性及函数在(0,+")上

③当a24时，

的单调性，判断函数在定义域内的单调性;

(a-x)(x-l)=-x2+(a+V)x-a,

/(x)=(3)根据函数的单调性求最值即可.