甘肃省酒泉市肃北蒙古族自治县2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设，则（）A. B. C. D.3.已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（）A. B. C. D.4.已知双曲线C的一个焦点到其渐近线的距离与焦距之比为，则C的离心率为（）A.2 B.4 C. D.5.若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（）A. B. C. D.6.记等比数列前项和为，且，则（）A. B. C.2 D.17.若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（）A. B. C. D.8.设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量X服从正态分布，Y服从二项分布，则（）A. B.C. D.10.已知函数，，则（）A.的最小正周期为B.的最小正周期为C.函数的图象关于直线对称D.函数值域为11.已知函数的定义域为，，当时，，则（）ABC.若函数恰有两个零点，则D.函数（，且），则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.若，则____________.13.已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________.14.设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，若的外接圆圆心在直线上，则的外接圆的面积为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.（1）求；（2）求的取值范围.16.如图，在三棱台中，平面ABC，，.（1）证明：；（2）若与平面所成角的正弦值为，求.17.已知椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，过的动直线交椭圆于P，Q两点，其中的最大值为，最小值为.（1）求椭圆C标准方程；（2）过且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.18.已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若直线为的切线，求a的值.（3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.19.已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”.（1）已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求；（2）已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由；（3）已知，且集合A为“完美集”，求A.

数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求解一元二次不等式和求函数定义域，得到集合，求其并集即得.【详解】由可得，即，由解得，即得，故.故选：A.2设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的概念求解.【详解】，所以，故选：B.3.已知，，为不共线的单位向量，且任意两个向量的夹角均相等，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意得到向量之间的夹角为，再依据向量加法的平行四边形法则可求得结果.【详解】依题意，任意两个向量的夹角均为，由平行四边形法则可知，，所以.故选：B.4.已知双曲线C的一个焦点到其渐近线的距离与焦距之比为，则C的离心率为（）A.2 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】设双曲线的焦距为2c，求出焦点到其渐近线的距离，由题意得到关系，结合的关系求得离心率.【详解】设双曲线的焦距为2c，易知焦点到其渐近线的距离为，所以，，故，故选：C.5.若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的对称轴结合平移得出奇偶性，再结合奇函数定义计算判断即可.【详解】因为的图象关于直线对称，将向右平移1个单位长度，所得图象关于y轴对称，即为偶函数，B选项错误；因为的图象关于直线对称，将向左平移1个单位长度，关于直线对称，不能得出奇偶性，A，C选项错误；对于D：，可得函数为奇函数，D选项正确；故选：D.6.记等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】由等比数列通项公式得到，再由求和公式将代入即可化简求解；【详解】设的公比为q，则，即，，因为，所以，所以，故选：D.7.若函数是单调递增函数（，且），则a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的导数，利用单调性建立恒成立的不等式求解.【详解】函数，求导得，依题意，恒成立，令函数，求导得，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，因此，则，解得，所以a的取值范围为.故选：B8.设A，B是曲线上关于坐标原点对称的两点，将平面直角坐标系沿x轴折叠，使得上，下两半部分所成二面角为，则的最小值为（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】先设，，再根据二面角得出，最后应用，应用数量积化简结合基本不等式计算求最小值.【详解】设，，在平面直角坐标系中，过作轴于点，过作轴于点，则，，，，折叠后即有，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选:C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量X服从正态分布，Y服从二项分布，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】对于A：利用期望即可判断；对于B：利用方差即可判断；对于C：利用正态分布对称性得概率，二项分布的特性得概率，对于D：利用正态分布对称性得概率，二项分布的特性得概率，【详解】对于A：，，A选项正确；对于B：，，B选项错误；对于C：，，C选项正确；对于D：，，D选项错误；故选：AC.10.已知函数，，则（）A.的最小正周期为B.的最小正周期为C.函数的图象关于直线对称D.函数的值域为【答案】BD【解析】【分析】利用特例法判断AC；利用降幂公式与余弦函数的周期公式判断B；根据函数的奇偶性转化为求时函数的值域，再结合辅助公式、正弦函数的值域判断D.【详解】因为，，的最小正周期不是，A选项错误；因为，所以的最小正周期为，B选项正确；，，因为与有可能不相等（例如取），所以不恒成立，函数的图象不关于直线对称，C选项错误；因为，所以为偶函数，所以只需考虑的情况，当时，，且；当时，；当时，；当时，，所以时，函数的值域为，根据周期性可得时函数的值域为，根据函数是偶函数可得函数的值域为，D选项正确；故选：BD.11.已知函数的定义域为，，当时，，则（）A.B.C.若函数恰有两个零点，则D.函数（，且），则【答案】ABD【解析】【分析】直接代入求判断A；求出，然后构造函数，利用导数求出最值即可判断B；根据零点定义可得，利用数列的单调性可求出k的最值，即可判断C；【详解】，，，选项A正确；当时，由，且得，此时，因为，即证当时，，则，易知单调递减，，，所以存在，使得，所以当时，单调递增；当时，单调递减，因为，，所以当时，，选项B正确；依题意即与直线恰有两个交点，易知在函数的图象上，即，所以，则，当时，；当时，，所以，所以的最小值为8，所以，选项C错误；因为，所以当时，，易知，，所以；当且时，，所以；选项D正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是将问题转化为函数最值的求解问题，利用导数求得函数的最值后即可得到参数的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12.若，则____________.【答案】##【解析】【分析】通过倍角公式将与进行转化，再根据已知条件求出的值，最后利用正切函数的二倍角公式求出的值.【详解】由题，所以，所以.故答案为：.13.已知数列的各项均不为零，且，若表示事件“，”，则________.【答案】【解析】【分析】根据古典概型公式结合组合数及乘法原理计算即可.【详解】依题意可知事件A为与同号，与异号，则，，符号有2种情况，剩下的，，，任意选有，则.故答案为：.14.设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线交C于A，B两点，若的外接圆圆心在直线上，则的外接圆的面积为________.【答案】【解析】【分析】由外接圆圆心为，得到外接圆方程，设直线，直线方程分别和抛物线方程、圆的方程联立，消去，由得到的方程应该为同一方程即可求解.【详解】设直线，联立拋物线方程，可得，①，设外接圆圆心为，外接圆方程为，即，与直线联立可得，②，依题意，①，②同一个方程，所以，解得，，所以的外接圆面积为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.（1）求；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简得出的值，结合为锐角三角形可得出角的值；（2）求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，因为为锐角三角形，则，，所以，，即，所以，.【小问2详解】因为为锐角三角形，可得，解得，则，因为，则,所以，可得，即，所以的取值范围为.16.如图，在三棱台中，平面ABC，，.（1）证明：；（2）若与平面所成角的正弦值为，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作图，取AC的中点O，连接，由线线垂直得到面面垂直，由面面垂直的性质得到线面垂直，从而得到线线垂直，在正方形中得到线线垂直，由线面垂直的证明得到线面垂直，再得到线线垂直；（2）由（1）得到三直线两两垂直，建立空间直角坐标系，设出长并写出其他点坐标，由空间向量垂直的性质求出平面的法向量，然后由空间向量的夹角公式建立等式，从而求出，从而得到.【小问1详解】取AC的中点O，连接，由平面ABC可知，平面平面ABC，因为，所以，且平面平面，所以平面，因为平面，所以，又四边形为正方形，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以；【小问2详解】如图，以O为原点，分别以OB，OA，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则有即，可取，设与平面所成的角为，则，解得，所以.17.已知椭圆的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为A，B，过的动直线交椭圆于P，Q两点，其中的最大值为，最小值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过且与PQ垂直的直线交椭圆于M，N两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意根据椭圆长轴与焦距，建立方程组，可得答案；（2）设出直线方程联立椭圆方程，写出韦达定理，结合直线垂直以及基本不等式，可得答案.【小问1详解】由题意，，，，解得，又，椭圆的方程为.【小问2详解】当直线PQ与x轴不垂直也不平行时，不妨设直线PQ的方程为，设，，联立椭圆和直线PQ的方程，可得，由，则，，，设直线MN的方程为，设，，联立椭圆和直线MN的方程，可得，由，则，，，又，，，，，当且仅当时，等号成立，，当直线PQ与x轴垂直或平行时，此时，综上所述，的取值范围是.18.已知函数，.（1）讨论的单调区间；（2）若直线为的切线，求a的值.（3）已知，若曲线在处的切线与C有且仅有一个公共点，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1（3）【解析】【分析】（1）求得导函数，并对分和讨论，即可判断函数的单调性；（2）设切点为，结合导数的几何意义可得，令，转化为仅一个零点，利用导数判断求解；（3）根据导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程为，构造函数，由切线与有且只有一个公共点转化为仅一个零点，并求得导函数，对分类讨论，即可判断函数的单调性和最值，进而求得正数的取值范围．【小问1详解】由，，当时，，在单调递增，当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上，当时，在单调递增，无单调减区间；当时，在区间上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】设切点为，依题意，，所以，又，代入可得，，设，则，所在单调递增，因为，所以，.【小问3详解】，，所以曲线在处的切线方程为，即，设，，，①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意；②当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意；③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，