广西来宾市象州县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

2024年秋季学期初中教学质量调研九年级数学（考试时间120分钟，满分120分）注意：请在答题卡上答题，在本试卷上作答无效．第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（）A. B. C. D.2.在一次数学测验中，励志组10名同学的成绩分别为：75，80，80，85，90，90，90，95，95，100．这组成绩的中位数是（）A.85分 B.90分 C.87.5分 D.92.5分3.如图，直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角的余弦值是（）A. B. C. D.以上都不对4.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定5.如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点坐标为，，，，将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为（）A B. C. D.6.有一压力传感器，其压力（单位：牛顿）与电阻（单位：欧姆）之间的函数关系式为，当压力牛顿时，电阻的值为（）A2欧姆 B.100欧姆 C.0.5欧姆 D.5000欧姆7.如图，已知一矩形的长为，宽为．现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，根据题意列出方程并化简得（其中取）；其中表示______，则符合题意的的值取______．A.圆的半径； B.圆的直径；C.圆的半径； D.圆的直径；8.如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作，垂足分别是点，．其中，，，则的长为（）A. B. C.1 D.9.函数和（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A. B.C. D.10.小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（）A. B.C. D.11.著名建筑常用黄金分割设计，缘由为建筑物的某部分高度与整体高度的比值接近黄金分割比时，视觉效果较好．已知某旅游城市一建筑整体高度为20米，若想达到较好视觉效果，其上部高度大约应为（结果保留整数，黄金分割比取，其中）（）A.11米 B.19米 C.18米 D.12米12.已知一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点且与轴和轴分别交于点，．有①；②，；③时，的取值范围是；④当点在轴上，且的面积等于的面积的一半时，点的坐标为或；则正确的选项是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.③④第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13.已知，若，，且的面积为，则的面积为______．14.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________．15.某校从甲、乙两位同学中选拔一位参加年市级青少年科技运动会气功枪项目比赛，甲气功枪射击训练平均成绩是，方差是；乙气功枪射击训练平均成绩是，方差是，该校应选______参加比赛．（填“甲”或“乙”）16.如图，点是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，则______．三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）解方程：；（2）计算：．18.已知：如图所示，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．（1）在第一象限内作以坐标原点为位似中心，将放大2倍得到；（2）画出向下平移2个单位长度得到的．并写出内有一点在中的对应点的坐标．19.某中学对全校学生开展主题为“一周内平均丢塑料袋个数”的专题调查活动，采用随机抽查的方式进行了问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，统计等级如下：等级频数频率A750.375B95C240.12D

（1）求表格中的参数、的值：（2）求扇形统计图中A等级和B等级部分所对的圆心角度数之和；（3）该校共计有学生4220人，请根据统计结果估计该校达到A、B等级的人数．20.如图，一枚运载火箭从地面处竖直向上发射，首次到达点处，后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．在上取一点，连接、，测得．（1）求证：；（2）求值．21.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，年月日至日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为元，经过两次降价后每套器材的售价为元，并且每次降价的百分率相同．（1）求每次降价的百分率；（2）若每套器材的进价为元，通过以上两次降价的方式，将剩余的套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于元，那么第一降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？22.如图1，反比例函数与一次函数（）的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接，，求的面积；（3）如图2，点是反比例函数图象上点左侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．23.【综合与实践】数学课上，“奋进”学习小组的同学自制测角仪器（如图）．把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角．将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好看到被测物最高点即可测量出被测物．例：如图，已知人眼睛离地面，测得树顶仰角为，人和树的水平距离为．求树的高度（，，）．解：因为，其中，．所以求得，所以树高．（1）“奋进”小组的同学站在地面测量某棵树，人眼睛离地面为，测得树顶仰角为，测量点到树脚距，求树的高度（结果保留位小数．参考数据：，）．（2）湖泊中间有一座古塔，无法测量古塔到岸边的距离，为了能够计算出古塔的高度，“创新”小组计划通过图的方式进行测量计算，已知操作者高度，测得，，两个测量点距离，用这个方法是否能够计算出古塔高度？若能，请计算出古塔高度，若不能，请说明理由：（3）在原有仪器情况下增加一面镜子并且已知古塔与岸边的距离，你能否给出新的测算方法，请画出示意图并加以说明．

2024年秋季学期初中教学质量调研九年级数学（考试时间120分钟，满分120分）注意：请在答题卡上答题，在本试卷上作答无效．第Ⅰ卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据的实际意义解答即可．【详解】解：∵汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为，∴自变量的取值范围是．故选：A．2.在一次数学测验中，励志组10名同学的成绩分别为：75，80，80，85，90，90，90，95，95，100．这组成绩的中位数是（）A.85分 B.90分 C.87.5分 D.92.5分【答案】B【解析】【分析】本题主要考查中位数，熟练掌握求一组数据的中位数是解题的关键；根据题意可知：中位数应是第5个和第6个数据之和的平均数，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：该组成绩的中位数是（分）；故选B．3.如图，直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角的余弦值是（）A. B. C. D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】由题意得，是的平分线，是的平分线，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角，然后由特殊角的三角函数值即可得出答案．【详解】解：由题意得：是的平分线，是的平分线，，，直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角，，故选：．【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角是解题的关键．4.一元二次方程的根的情况是（）A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．求出一元二次方程根的判别式的值即可求解．【详解】解：∵，∴，∴没有实数根．故选：C．5.如图，在平面直角坐标系中，有一矩形，顶点的坐标为，，，，将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移（由平移方式确定点的坐标），熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键：左减右加，上加下减．根据坐标平移的变化规律“左减右加，上加下减”即可直接得出答案．【详解】解：，将该矩形向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点的对应点的坐标为，即，故选：．6.有一压力传感器，其压力（单位：牛顿）与电阻（单位：欧姆）之间的函数关系式为，当压力牛顿时，电阻的值为（）A.2欧姆 B.100欧姆 C.0.5欧姆 D.5000欧姆【答案】A【解析】【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把牛顿代入函数进行求解即可．【详解】解：由题意把代入函数得：，解得：；故选A．7.如图，已知一矩形的长为，宽为．现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的，根据题意列出方程并化简得（其中取）；其中表示______，则符合题意的的值取______．A.圆的半径； B.圆的直径；C.圆的半径； D.圆的直径；【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意．根据题意找到等量关系即可找到表示的意思，再用直接开平方法解一元二次方程求解即可．【详解】解：依题得：圆的面积是原矩形面积的，，，当取时，，即，又根据题意列出方程并化简得，该方程中的表示的为圆的半径，，解得，圆的半径不能为负数，．故选：．8.如图，在中，由尺规作图得射线，与边相交于点，过作，垂足分别是点，．其中，，，则的长为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．先求出，进而证明四边形是正方形，可得，，然后证明，利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，，，∴，∴．∵，，∴四边形是矩形，由作图可知，平分，∴，∴四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴．故选D．9.函数和（为常数且）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数及一次函数图象，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可，解题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．【详解】解：、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，∴一次函数的图象经过二、三、四象限，故本选项不符合题意；、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故本选项不符合题意；、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，∴一次函数的图象经过二、三、四象限，故本选项不符合题意；、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，∴一次函数的图象经过一、二、三象限，故本选项符合题意；故选：．10.小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解．【详解】解：由题意可知用整体代入法代入后得：；故选C．11.著名建筑常用黄金分割设计，缘由为建筑物的某部分高度与整体高度的比值接近黄金分割比时，视觉效果较好．已知某旅游城市一建筑整体高度为20米，若想达到较好视觉效果，其上部高度大约应为（结果保留整数，黄金分割比取，其中）（）A.11米 B.19米 C.18米 D.12米【答案】D【解析】【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是．根据黄金分割的定义求解即可．【详解】解：由题意，得其上部高度大约应为：米．故选D．12.已知一次函数与反比例函数（）的图象交于，两点且与轴和轴分别交于点，．有①；②，；③时，的取值范围是；④当点在轴上，且的面积等于的面积的一半时，点的坐标为或；则正确的选项是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：由待定系数法求出函数解析式可判断①②；根据图象可判断③；先求出，根据求出，可求出点P的坐标可判断④【详解】解：①把代入，得：，故①错误；②把两点代入，，解得：，故②正确；③由图象可知，的解集为：或，故③错误；④由②可知，∴当时，，∴，∴，∵点P在x轴上，∴，即：，∴，∴点的坐标为或，故④正确．故选C．第Ⅱ卷非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13.已知，若，，且的面积为，则的面积为______．【答案】8【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∵的面积为，∴的面．故答案为：8．14.已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________．【答案】4【解析】【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可．【详解】解：根据题意得，解得m=4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．15.某校从甲、乙两位同学中选拔一位参加年市级青少年科技运动会气功枪项目比赛，甲气功枪射击训练平均成绩是，方差是；乙气功枪射击训练平均成绩是，方差是，该校应选______参加比赛．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】本题考查的知识点是运用方差做决策，解题关键是理解方差并熟练运用方差做决策．根据方差的定义分析即可得解．【详解】解：甲乙气功枪射击训练的平均成绩相同，乙气功枪射击训练成绩的方差甲气功枪射击训练成绩的方差，乙的成绩更稳定，该校应选乙参加比赛．故答案为：乙．16.如图，点是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了求反比例函数解析式，中点坐标公式，勾股定理等知识．由勾股定理求出，得出，进而求出，然后可求k的值．详解】解：∵中，，，∴，∴，∴，∵反比例函数的图象经过斜边的中点，∴，∴．故答案为：．三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）解方程：；（2）计算：．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义．（1）利用配方法求解即可；（2）先代入特殊角的三角函数值，并化简零指数幂，再算乘方，后算减法．【详解】解：（1）移项，得配方，得方程两边同时开平方，得由此得或解得，．（2）原式．18.已知：如图所示，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．（1）在第一象限内作以坐标原点为位似中心，将放大2倍得到；（2）画出向下平移2个单位长度得到的．并写出内有一点在中的对应点的坐标．【答案】（1）见解析；（2）见解析，坐标为【解析】【分析】本题考查了作位似图形，以及位似的性质和平移的性质．（1）先根据位似的性质确定点的位置，然后连线即可；（2）先根据平移的性质确定点的位置，然后连线可得，再根据位似和平移的性质即可求出的坐标．【小问1详解】解：如图所示，即所求．【小问2详解】解：如图所示，即为所求．与的相似比为，再向下平移2个单位长度，因此对应坐标为．19.某中学对全校学生开展主题为“一周内平均丢的塑料袋个数”的专题调查活动，采用随机抽查的方式进行了问卷调查，问卷调查的结果分为“A．非常了解”、“B．比较了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四个等级，统计等级如下：等级频数频率A750.375B95C240.12D

（1）求表格中的参数、的值：（2）求扇形统计图中A等级和B等级部分所对的圆心角度数之和；（3）该校共计有学生4220人，请根据统计结果估计该校达到A、B等级的人数．【答案】（1），；（2）；（3）人【解析】【分析】本题考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体．（1）先根据C的频数和频率求出样本容量，进而可求出m和n；（2）用乘以A等级和B等级人数所占的比例即可求解；（3）用4220乘以A等级和B等级人数所占比例即可求解．【小问1详解】解：总人数：（人）（人），．【小问2详解】解：；【小问3详解】解：估计该校达到A、B等级学生人数为：（人）．20.如图，一枚运载火箭从地面处竖直向上发射，首次到达点处，后，火箭直线上升到达点处，此时地面处的雷达站测得处的仰角为．在上取一点，连接、，测得．（1）求证：；（2）求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】本题考查了相似撒尿性的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）先证明，燃弧根据两角相等的两个三角形相似可证结论成立；（2）由得，求出，．再求出，然后根据正切的定义求解即可．【小问1详解】解：∵，，∴，即，∵，∴，∴，∴；小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．21.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，年月日至日某市开展青少年机器人竞赛活动．某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余套器材需要进行零售．为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为元，经过两次降价后每套器材的售价为元，并且每次降价的百分率相同．（1）求每次降价的百分率；（2）若每套器材的进价为元，通过以上两次降价的方式，将剩余的套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于元，那么第一降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价？【答案】（1）（2）套【解析】【分析】（）设每次降价的百分率，根据题意列出方程即可求解；（）设第一次降价售出套器材，则第二次降价售出套器材，由题意列出不等式解答即可求解；本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．【小问1详解】解：设每次降价的百分率，由题可得，，解得，（不合，舍去），答：每次降价的百分率为；【小问2详解】解：设第一次降价售出套器材，则第二次降价售出套器材，由题意可得，，解得，∵是整数，∴的最小值是，答：第一次降价至少售出套器材后，方可进行第二次降价．22.如图1，反比例函数与一次函数（）的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接，，求的面积；（3）如图2，点是反比例函数图象上点左侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标．【答案】（1）一次函数的解析式式为，反比例函数的解析式式为；（2）；（3）点【解析】【分析】（1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，再把点A和点B的坐标代入求解即可；（2）先求出点的坐标为，然后利用即可求解；（3）过点作轴的平行线，作于点，作于点，设，则，，由旋转的性质得，，证明得，，求出点，然后代入反比例函数解析式即可．【小问1详解】解：因为点在的图象上，所以．所以反比例函数的解析式式为，因为点在的图象上，所以．因为点，在的图象上，所以，所以，所以一次函数的解析式为．【小问2详解】解：令，则，则点的坐标为．所以．【小问3详解】解：如图，过点作轴的平行线，作于点，作于点，设，∵点，∴，．∵线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，∴，，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，，∴，∴点．∵点恰好也落在这个反