山东省临沂第三中学2024-2025学年高一下学期2月底验收考试数学试题（原卷版+解析版）

绝密★启用前2024—2025学年下期高一2月份月底验收考试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，则（）A B. C. D.2.已知命题：“，则的否定是（）A. B.C. D.3.设，若，则（）A. B. C. D.4.已知，且，则的最小值为（）A.4 B. C.6 D.85.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（）A. B. C. D.6.如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（）A. B. C. D..7.设函数，的零点分别为，则A. B. C. D.8.已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（）A B.C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某扇形纸片的周长和圆心角分别为44和2，则（）A.该扇形纸片的半径为12 B.该扇形纸片的半径为11C.该扇形纸片面积为121 D.该扇形纸片的面积为12510.设x>0，y>0，则下列结论正确的是（）A.函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2B不等式恒成立C.函数的最小值D.若，则x+2y的最小值是11.函数，下列四个选项正确的是（）A.是以为周期的函数 B.的图象关于直线对称C.在区间，上单调递减 D.的值域为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是第二象限内的角，，则__________.13.若幂函数在上单调递减，则实数________．14.若则函数的最小值为________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.16.计算以下的值：（1）；（2）；（3）化简：已知，求.17.已知函数，函数.（1）求函数解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并证明；（3）求函数的值域.18.已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有．（1）求，；（2）判断并证明在上的单调性；（3）解不等式．19.已知函数．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

绝密★启用前2024—2025学年下期高一2月份月底验收考试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得集合，再根据集合交集的概念及运算即可求解.【详解】，.故选：C.2.已知命题：“，则的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】的否定是“”.故选：.3.设，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分和两种情况解方程即可求解.【详解】由题意可知，当时，，所以由得；当时，，所以由得，无解.综上，.故选：C.4.已知，且，则的最小值为（）A.4 B. C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为8.【详解】由可得：；当且仅当，即当时，等号成立.即的最小值为8.故选：D.5.在平面直角坐标系中，若角终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而利用诱导公式和三角函数定义求出答案.【详解】因为，故角的终边经过点，所以.故选：D.6.如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（）A. B. C. D..【答案】C【解析】【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积.【详解】如图，设小圆的圆心为，则，设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为，则的长为，解得，所以每个扇环形小拼盘的面积为.故选：C7.设函数，的零点分别为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中作出、、的图像，即可得，于是有，由对数的运算及对数函数的性质即可求得答案.【详解】解：由题意可得是函数的图像和的图像的交点的横坐标，是的图像和函数的图像的交点的横坐标，且都是正实数，如图所示：故有，故，∴，∴，∴.故选：B．8.已知函数，若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果.【详解】因为在上为增函数，在上为减函数，所以在为增函数，所以函数在区间上的值域为，所以，整理得，所以为方程的两根，即有两个不相等的正实数根，所以，解得且，所以实数的取值范围是.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：（1）分析函数的单调性，可得在为增函数，函数在区间上的值域为.（2）根据值域的对应关系可得为方程的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数的取值范围.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某扇形纸片周长和圆心角分别为44和2，则（）A.该扇形纸片的半径为12 B.该扇形纸片的半径为11C.该扇形纸片的面积为121 D.该扇形纸片的面积为125【答案】BC【解析】【分析】设该扇形的半径为，弧长为，根据题意列式求，进而可得面积.【详解】设该扇形半径为，弧长为，则，解得，所以该扇形的面积.结合选项可知AD错误，BC正确.故选：BC.10.设x>0，y>0，则下列结论正确的是（）A.函数f（x）=3x+3﹣x的最小值为2B.不等式恒成立C.函数的最小值D.若，则x+2y的最小值是【答案】BD【解析】【分析】利用基本不等式求解最小值，判断命题的真假即可.【详解】解：函数f（x）=3x+3﹣x≥2，当且仅当x=0时，取等号，所以表达式没有最小值，所以A不正确；不等式≥4=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以命题是真命题，所以B正确.函数=≤，所以当x=1时，函数取得最大值，所以C不正确；若，则x+2y=（x+1+2y+2）（+）﹣3=≥2，当且仅当y=3﹣2，x=4时，表达式的最小值是，所以D正确.故选：BD.11.函数，下列四个选项正确的是（）A.是以为周期的函数 B.的图象关于直线对称C.在区间，上单调递减 D.的值域为【答案】BCD【解析】【分析】根据已知解析式得，，特殊值法判断是否相等判断A；根据所得解析式判断关系判断B；根据正余弦函数的性质判断C、D.【详解】由解析式得，，（注意函数是连续的），显然，显然不是的周期，A错；当时，，。所以，结合上述解析式知，当时，，。所以，结合上述解析式知，所以的图象关于直线对称，B对；由，，又在上单调递减，C对；当，时，，当，时，，所以的值域为，D对.故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是第二象限内的角，，则__________.【答案】【解析】【分析】首先求出、，再由两角和的正切公式计算可得.【详解】因为是第二象限内的角，，所以，则，则.故答案为：13.若幂函数在上单调递减，则实数________．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的性质及区间单调性列方程、不等式求参数值.【详解】由题意.故答案为：14.若则函数的最小值为________．【答案】1【解析】【分析】结合图象可得答案.【详解】如图，函数在同一坐标系中，且，所以在时有最小值，即.故答案为：1.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设命题：实数满足，其中，命题：实数满足.（1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，求出命题为真命题范围，再求出公共部分即得.（2）求出命题为真命题的范围，再充分不必要条件的意义列式求解即得.【小问1详解】当时，不等式为，解得，即，由，得，即，由和都是真命题，得，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由，，得，即命题，由（1）知命题，因为是的充分不必要条件，因此或，解得或，即，所以实数的取值范围是.16.计算以下的值：（1）；（2）；（3）化简：已知，求【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）利用指数运算法则计算可得结果；（2）根据对数运算法则直接计算即可；（3）利用诱导公式化简可得，再将其代入计算可得结果.【小问1详解】原式.【小问2详解】原式.【小问3详解】由，得，即，所以.17.已知函数，函数.（1）求函数的解析式；（2）试判断函数在区间上的单调性，并证明；（3）求函数的值域.【答案】（1）（2）在区间上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）用换元法先求出，再代入已知求出的解析式即可.（2）用函数单调性的定义证明即可，设，作差通分计算即可.（3）分和时用基本不等式求出结果即可，注意取等号的条件.【小问1详解】令，则，，，即，.【小问2详解】函数在区间上单调递增.证明：任取，则，又，，即，函数在区间上是增函数.【小问3详解】当时，，当且仅当时，等号成立.当时，，当且仅当时，等号成立.的值域为.18.已知函数满足对一切实数都有成立，且，当时有．（1）求，；（2）判断并证明在上的单调性；（3）解不等式．【答案】（1），（2）在上单调递减，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）令，可得出的值，令可得出的值；（2）判断出函数为上的减函数，利用函数单调性的定义可证得函数为上的减函数；（3）分析可得出，将所求不等式变形为，解得，计算得出，则，再利用函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），即得出原不等式的解集.【小问1详解】因为函数满足对一切实数、都有成立，令可得，可得，令可得.【小问2详解】函数在上单调递减，证明如下：设，则，又，所以，可得，所以当时，，任取、且，则，，则，即，因此，函数在上单调递减.【小问3详解】由（2）可知，函数在上为单调递减函数，令，可得，所以，因为，令，由得，即，解得，可得，因为，，所以不等式等价于，因为函数在上单调递减，则，对于不等式，即显然成立，对于不等式，即，解得，因此，原不等式的解集为.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性化归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.19.已知函数．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明；（2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围；（3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数