第4章 相似三角形 单元检测基础过关卷（含解析）

第4章相似三角形单元检测基础过关卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下面四组线段中，成比例的是()

A.〃=2,b=3,c=4,d=5B.Z?=2,c~-2,d=4

C.〃=4,b=6,c=8,d=10D.a=\[2,c=3,d=y/3

2.如图，已知直线/l,12,/3分别交直线/4于点A,B,a交直线/5于点0,E,F,且/i〃/2〃/3.若

A8=4,AC=6,DF=9,则所=()

C.4D.5

3.如图，△ABC中，NA=76°,A3=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角

形与原三角形不相似的是()

4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1.5,0),D(4.5,0),△ABC与位似，原点O

是位似中心.若。(1,3),则点尸的坐标是()

(2.5,4.5)C.(3,9)D.(4,8)

5.把矩形ABC。对折，折痕为MN,且矩形OWNC与矩形ABC。相似，则矩形ABCD的长A。与宽

AB的比为（）

MD

A.1：V3B.1：V2C.V3：1D.V2：1

6.如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形A8C。内，点E是A8的

黄金分割点，BE>AE,若AB=2,则BE长为（）

A.V5+1B.V5-1C.3-V5D.V5-2

7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板。EF测量树的高度A3,他调整自己的位置，设法使斜

边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,

测得边。尸离地面的高度AC=L5〃z,CD=9m,则树高48为（）

B

A.4mB.4.5mC.5mD.6m

8.已知△ABC,。是AC上一点，尺规在AB上确定一点E,使则符合要求的作图

痕迹是（)

9.如图在△A3C中，D、E分别是边A3、上的点，DE//AC,若S△瓦定：S^CDE=2：3,则弘

DOE:&4OC的值为（）

A.B.且C.AD._£

2564925

10.如图，在△ABC中，A8=AC=5,BC=8,。是BC边上一动点（不与点8,C重合）,ZADE

=ZB=a,DE交AC于点,E,下列结论：®AD2=AE-AB-,®1.8^AE<5；③当AD=\/75时，△

ABD会4DCE；④为直角三角形时，3。=4或者6.25.其中正确的结论有（）个.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.

H.已知旦=2,则史也=.

b3b

12.已知线段6是线段a、c的比例中项，如果a=4,c=9,那么b=.

13.如图，在△ABC中，点O,E分别在边42,AC上，若DE〃BC,坦=2,DE=6cm,则BC的

DB3

长为cm.

A

14.如图，在△ABC中，DE//BC,AD：DB=1：2,△ADE的面积为1,则△BCD的面积为

15.如图，面积为12的正方形ABC。中，有一个小正方形£"汨，其中E、F、G分别在A3、BC、

尸。上，若BF=LBC,则小正方形的边长为.

16.如图，在△ABC中，点。，E分别在边AB,AC上，且坦=旦，3a」，射线E£＞和CB的延长

DB2EC2

线交于点F,则配的值为.

三.解答题(共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分,

第23、24题每题12分，共72分)

17.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接。E,S.ZADE=ZACB.

(1)求证：AADEsAACB；

(2)^AD=2DB,AE=4,AC=9,求8。的长.

E

D

18.如图，在6X6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点,

△042的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.(保留作图痕迹)

(1)如图1,以点。为位似中心画△。。后，使得△QDE与△O4B位似，且相似比为2：1,D,E

为格点.

(2)如图2,在边上找一点F,使得空用.

19.期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞

虹塔就是其中之一.某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表.

主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度

测量方案及示意图

侧量步骤步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C

确定的直线交水平3。于点Q,测得。。=4米

步骤2：将标杆沿着8。的方向平移到点月处，塔尖点A和标杆顶端E确

定的直线交直线8。于点P,测得PF=6米，阳=28米.(以上数据均

为近似值)

根据表格伯息，求飞虹塔的大致高度A8.

20.如图，在△ABC中，。是上的点，E是4。上一点，且处望■,ZBAD^ZECA.

ACCE

(1)求证：AC2=BOCD；

(2)若A。是△ABC的中线，求丝的值.

21.如图，4B是的直径，点。是菽的中点，C。与的延长线交于E,与AC交于点R

(1)求证：DC2=DF，DB；

(2)若AE=A。，CD=2,求即的长.

22.如图，在RtzXABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=6cm.点P从A点出发沿AC向C点运动，

速度为每秒2aw,同时点。从C点出发沿CB向8点运动，速度为每秒1cm当点尸到达顶点C

时，P、。同时停止运动，设P点运动时间为/秒.

(1)当/为何值时，△PQC的面积为5c/?

(2)当/为何值时，点尸、C、。组成的三角形与△ABC相似？

备用图

23.如图，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=8c7w,点尸为BC边上一动点(不与点8、C重合)，

过点P作射线交AC于点M,使

(1)求证：旭=坦；

PCCM

(2)当点尸为8c中点时，求CN的值;

(3)当MP_LBC时，求BP的值.

Af

BPC

24.如图，在正方形ABC。中，点石为边CD上一动点，AE交BD于点凡过点尸作/GLAE交8C

于G点，点H为尸G的中点.

(1)求证：AF=FG；

(2)若DE=DF,求证：FCP=CE・CD：

(3)若DE=CE,求证：CG=2BG.

答案与解析

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.下面四组线段中，成比例的是（）

A.a=2,b=3,c=4,d—5B.1»b=2,c=2,d=4

C.a=4,6=6,c=8,d=10D.a=V2>c=3,6?=VS

【点拨】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项

一一分析，排除错误答案.

【解析】解：A、2X5W3X4,故选项不符合题意;

8、1X4=2X2,故选项符合题意；

C、4X10W6X8,故选项不符合题意；

D、&X3W«X百，故选项不符合题意.

故选：B.

【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相

乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等.同时注意单位要统一.

2.如图，已知直线/1,12,/3分别交直线/4于点A,B,C,交直线/5于点E,F,5.11//12//13.若

AB=4,AC=6,DF=9,则EF=()

A.3B.6C.4D.5

【点拨】先由h//l2//h,运用平行线分线段成比例的内容可得坐犀，再将AB=4,AC=6,

ACDF

。尸=9代入求出。E,即可求解.

【解析】解：'：h//l2//h,A2=4,AC=6,DF=9,

・ABDEpn4_DE

ACDF69

解得Z)E=6.

：.EF=DF-DE=9-6=3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.

3.如图，△ABC中，NA=76°,AB=8,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角

形与原三角形不相似的是()

【点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

8、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，

故本选项不符合题意；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，

故本选项符合题意；

D、阴影三角形中，NA的两边分别为6-2=4,8-5=3,则两三角形对应边成比例且夹角相等,

故两三角形相似，

故本选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1.5,0),D(4.5,0),Z\ABC与4DEF位似，原点O

是位似中心.若C(1,3),则点尸的坐标是()

A.(2,6)B.(2.5,4.5)C.(3,9)D.(4,8)

【点拨】根据点A、。的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算，得到答案.

【解析】解：:△ABC与△。所位似，A(1.5,0),D(4.5,0),

:.△ABC与△OEF的相似比为1：3,

•..点C的坐标为(1,3),

.••点产的坐标为(1X3,3X3)，即(3,9),

故选：C.

【点睛】本题考查的是位似变换,根据点A、。的坐标求出相似比是解题的关键.

5.把矩形4BCQ对折，折痕为MN,且矩形DMNC与矩形ABCD相似，则矩形ABCD的长与宽

AB的比为()

A.1：V3B.1：MC.V3：1D.V2：1

【点拨】设矩形ABC。的长AD=尤，宽A2=y,根据相似多边形对应边的比相等，即可求得.

【解析】解：设矩形4BCD的长A£)=x,宽则

22

矩形DMNC与矩形ABCD相似.

1

.­.DM=DC,即11=工

ABADyx

即y2=Xx1.

2

.'.x：y=&：1.故选D

【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键.

6.如图，是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形A5CD内，点片是的

黄金分割点，BE>AE,若AB=2,贝ijBE长为()

A.V5+1B.V5-1c.3-V5D.V5-2

【点拨】根据黄金分割点列一元二次方程求解，然后根据矩形的性质即可解答.

【解析】解：由题意可得：B铮=2(2-BE),

解得：BE=V^-1或BE=-V^-1(舍去).

故选：B.

【点睛】本题主要考查黄金分割点、矩形的性质，能根据黄金分割点列一元二次方程是解题的关

键.

7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度A3,他调整自己的位置，设法使斜

边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=AQcm,EF=20cm,

测得边。尸离地面的高度AC=15w,CD=9m,则树高A8为（）

A.4mB.4.5mC.5mD.6m

【点拨】先判定△DEB和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再

加上AC即可得解.

【解析】解：:/D=/D,ZDEF^ZDCB,

:.ADEFsADBC,

•DE=CD

"EFBC'

即9=_L,

20BC

解得：BC=4.5,

"：AC=1.5m,

.,.AB=AC+BC=1.5+45=6（m）,

即树高6m.

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单,

判定出△£＞所和△D8C相似是解题的关键.

8.已知△ABC,。是AC上一点，尺规在上确定一点E,使AADEsAABC,则符合要求的作图

痕迹是（）

【点拨】以D4为边、点。为顶点在△ABC内部作一个角等于角的另一边与AB的交点即为

所求作的点.

【解析】解：如图，点E即为所求作的点.

【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点。作一角等于NB或NC,

并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键.

9.如图在△ABC中，D、E分别是边A3、BC上的点，＞DE//AC,若S^BDE：S&CDE=2：3,则

DOE:S^AOC的值为（）

A.-LB.aC.AD.A.

2564925

【点拨】由BE：EC=2：3,求证ADOE^ACOA,根据相似三角形性质得到

迈崖上，进而由相似三角形的性质即可解决问题.

ACBC5

【解析】解：过D作DFLBC,如图所示：

*.*S/\BDE:S工CDE=2：3,

：.BE：EC=2：3,

：.BE：BC=2：5,

'：DE//AC,

:•△BDEs^BAC,XDOESXCOA,

.DEJEg

**AC=BCV

,,SADOE!SAAOC=（而）=记，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及

其性质来分析、判断、推理或解答.

10.如图，在△ABC中，AB=AC=5,8C=8,。是BC边上一动点（不与点B,C重合），ZADE

=NB=a,DE交AC于点E,下列结论：®AD2=AE-AB；②L8WAEV5；③当AD=JI5时，△

ABD咨ADCE；④△DCE为直角三角形时，8。=4或者6.25.其中正确的结论有（）个.

【点拨】如图1：在线段OE上取点E使A尸=AE,连接AR易证/进而可得

22

=A小AE即可判定①；结合①的结论可得杷嗤-="一,再确定的范围为3WAZX5,进而

得到L8W4EV5,即②正确；分两种情况：当BD<4时，可证明结论正确，当BD>4时，结论

不成立；故③错误；△OCE为直角三角形，可分两种情况/COE=90°或NCEO=90°分别讨论

求解即可④.

【解析】解：如图1,在线段OE上取点尸，使AF=AE,连接AF,贝iJ/AFE=/AEF

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

/ADE=/B=a,

：.ZC=ZADE=a,

ZAFE=ZDAF+ZADE,ZAEF=ZC+ZCDE,

：.ZDAF=ZCDE,

ZADE+ZCDE=ZB+ZBAD,

：.ZCDE=ZBAD,

：.ZDAF=/BAD,

：.△ABDS^ADF,

AAB^=AD)即Ar>2=AB.Ap

ADAF

.,.AD^^AB'AE,故①正确；

*AB5

当AD^BC时，由勾股定理可得：皿WAB2-BD*=«52-42=3,

：.3^AD<5,

<AE<5)即L8W4EV5,故②正确;

5

如图2,作A"_LBC于H,

B

图2

'：AB=AC=5f

/-BH=CH=yBC=4>

；•AH=VAB2-BH2=VS2-42=3，

：AD=A『=V10)

DH=D'H=VAD2-AH2=7(V10)2-32=1，

.•.2£>=3或=5,C£)=5或C£>'=3,

ZBAD+ZB=ZADC=ZADE+ZCDE,ZADE=ZB=a,

：.NBAD=NCDE,

:/B=NC,DC=AB,

：.AABD^ADCE(SAS),

但△AB。'与AD'CE显然不是全等形，故③不正确;

如图3,ADLBC,DELAC,

・・・ZADE+ZDAE=ZC+ZDAE=90°,

・•・NADE=NC=NB,

：.BD=4,

如图4,DE上BC于D,AH_L3c于H,

ZADE=ZC,

：./ADH=/CAH,

：.XADHs丛CAH,

.DHAHpnDH3

AHCH34

•••BD=BH+DH=4总与=6.25，故④正确・

44

故选C.

【点睛】本题主要考查了直角三角形性质、勾股定理、全等三角形判定和性质、相似三角形判定

和性质、动点问题和分类讨论思想等知识点；掌握动点问题和分类讨论思想是解题的关键.

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

H.已知旦=2,则至曳

b3b—3—

【点拨】直接利用合比性质计算.

【解析】解：：旦=2,

b3

•••a+b,—2+3——5•

b33

故答案为：1.

3

【点睛】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、

分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键.

12.已知线段匕是线段4、C的比例中项，如果〃=4,c=9,那么/?=6.

【点拨】根据比例中项的定义可得序=ac,从而即可得到b的值.

【解析】解：：线段6是线段。、c的比例中项，。=3、c=4,

.,.t>2—ac—4X9—36,

.•.0=±6,

・">0,

:・b=6,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义.

13.如图，在△ABC中，点。，E分别在边AB,AC上，若DE〃BC,坦=2,DE=6cm,则的

DB3

长为15cm.

【点拨】根据。E〃2c得△ADEs△&BC,再根据相似三角形对应边成比例即可求解.

【解析】解：'：DE//BC,

：.AADEsAABC,

•••AD=D.,E

ABBC

.•.A=D---2-，

DB3

•AD2

AB5

•••DE“=2-，

BC5

•：DE=6cm,

.\BC—15cm,

故答案为：15.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

14.如图，在△ABC中，DE//BC,AD-.DB=1：2,△AOE的面积为1,则△BCD的面积为6.

C

瓦

AD

【点拨】由A。：DB=1：2,推导出AD=LB,由。E〃BC证明△ADES/XABC,得地=胆=

3ACAB

A,则,“ADE=工,^AADE_（如_）2=工，求得SAADC=3,S/^ABC—9,所以以BCD=6,于是得

32AADC3SAABCAB9

到问题的答案.

【解析】解：,•,4£＞：DB=1：2,

:.AD=-L-AB=JLAB,

1+23

'：DE//BC,△A0E的面积为1,

AADE^AABC,

•AE_AD_1

.,.SAADC=3SMDE=3X1=3,SMBC=9SMDE=9X1=9,

••S/\BCD=S/sABC-5AADC=9-3=6,

故答案为：6.

【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、“高相等的三角形的面积的比等于底边长的比”

等知识，证明△AOE'S/WBC是解题的关键.

15.如图，面积为12的正方形ABC。中，有一个小正方形EFGX,其中E、F、G分别在A3、BC、

FD±,若BF="C,则小正方形的边长为公叵..

3—9―

【点拨】根据正方形的性质和相似三角形的判定，可以得到BE和CD的关系，8E和CT的关系,

再根据正方形ABCD的面积为12,即可求得BE和BF的长，然后根据勾股定理即可求得EF的长.

【解析】解：：四边形是正方形，四边形EFGH是正方形，

.•./2=/C=90°,BC=CD,NE/G=90°,

:./EFB+NFEB=9Q°,NEFB+/DFC=9Q°,

：.ZFEB=ZDFC,

：.△EBFs^FCD,

•BFBE

"CD"CP'

VBF=ABC,

3

•••B-F二'一1，

BC3

•BF=_1

"CDT

•.•正方形ABC。的面积为12,

，正方形ABCD的边长为。五=2%,

:.BC=CD=2M，

:.BF=2M,

3

...C—生应，

3

:.BE=N^

9____________________

=｛（哈。（哈2=吟

故答案为：2739_

9

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

16.如图，在△ABC中，点。，E1分别在边43,AC上，且坦「3,金匕」，射线即和CB的延长

DB2EC2

线交于点R则地的值为1.

FC-3一

【点拨】过点8作8H〃Eb交AC于”,根据平行线分线段成比例定理求出胆，进而求出旦旦=工,

EHEC3

再根据平行线分线段成比例定理计算即可.

【解析】解：过点8作8”〃E尸交AC于”，

则AE=N=3,

'EHDB2

••AE_1

EC2

・EH=1

"ECT

•・•FB一=EH=—1

FCEC3

故答案为：1.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键.

三.解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分,

第23、24题每题12分，共72分）

17.如图，在△A8C中，D,E分别是边AB,AC上的点，连接。£,S.ZADE=ZACB.

（1）求证：△ADES/\ACB；

（.2）若AD=2DB,AE=4,AC=9,求8。的长.

【点拨】（1）根据相似三角形的判定即可求出证.

（2）设8。=尤，则AD=2x,4B=3无，根据相似三角形的性质可知坦=幽，从而列出方程解出

ACAB

X的值.

【解析】（1）证明：•/ZADE=ZACB,ZA=ZA,

：.AADEsAACB；

（2）解：由（1）可知：AADEsAACB,

•AD=AE

"ACAB'

设BD=x,则AO=2x,AB=3x,

'：AE=4,AC=9,

・2x=A

*'T兹

解得：x=V6（负值舍去），

.•.80的长是仇.

【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等

题型.

18.如图，在6X6的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，

△OAB的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图.(保留作图痕迹)

(1)如图1,以点。为位似中心画使得■与位似，且相似比为2：1,D,E

为格点.

(2)如图2,在。4边上找一点R使得空-3.

【点拨】(1)在。4延长线上取格点D在02延长线上取格点E,使01)=204,0E=20B,连

接OD,OE,OE,根据位似图形的判定和性质可知△OOE即为所求作；

(2)在点A的下方取格点G,使AG=3,AG//OB,连接BG交A。于点R根据相似三角形的

判定和性质可知尸即为所求.

【解析［解：(1)如图1所示，在。4延长线上取格点。，在延长线上取格点E,使。。=204,

OE=2OB,连接。。，OE,DE,

'：ZDOE^ZAOB,

：.^ODE^/\OAB,

故△ODE即为所求；

(2)如图2所示，在点A的下方取格点G,使AG=3,AG//OB,连接3G交AO于点孔

贝iJZXAGFsaoBF,

'：OB=2,

.AFAG3

••-----Z2---二一1,

OFOB2

故点尸即为所求作.

【点睛】本题主要考查了网格作图一一位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，

相似三角形的判定与性质是解题的关键.

19.期《黑神话：悟空》正式在全球上线，游戏中选取了27处山西极具代表性的古建筑为场景，飞

虹塔就是其中之一.某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表.

主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度

测量方案及示意图

侧量步骤步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点。处，塔尖点A和标杆顶端C

确定的直线交水平BD于点。测得。。=4米

步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点尸处，塔尖点A和标杆顶端E确定

的直线交直线于点P,测得PF=6米，F。=28米.(以上数据均为近

似值)

根据表格伯息，求飞虹塔的大致高度A3.

【点拨】判定PEFS^PAB,推出CD：AB=QD：QB,EF-.AB=PF-.PB,得

至IJQD：QB=PF：PB,因此4：(4+BD)=6：(6+28+2。)，求出2£>=56米，得至!I3：AB=4：

(4+56),即可求出48=45米.

【解析】解：,JCDLPB,ABLPB,

：.CD//AB,

:.△QCDS/\QAB,

同理：PEFs△弘B,

:.CD：AB=QD：QB,EF-.AB=PF：PB,

,:EF=CD,

：.QD：QB=PF：PB,

：QD=4米，尸尸=6米，尸。=28米，

.*.4：(4+8。)=6：(6+28+3。),

；.2。=56米，

.".3：AB=4：(4+56),

：.AB=45米，

/.飞虹塔的大致高度是45米.

【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是判定PEF^/\PAB,推出CD：AB

=QD：QB,EF：AB=PF：PB,得到关于BD的方程.

20.如图，在△ABC中，。是8C上的点，E是A。上一点，且姻■驾，ZBAD=ZECA.

ACCE

(1)求证：AC2=BC-CD；

(2)若A。是△ABC的中线，求生的值.

【点拨】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAOS/XACE进而求出△ABCS/XD4C,再利用

相似三角形的性质得出答案即可；

(2)由三角形的外角性质可得：ZADC=ZB+ZBAD,ZCED=ZCAE+ZECA,可证得NAZJC

=ZCED,则有CE=C£>,再结合(1)的结论，以及A£>是△ABC的中线，即可求解.

【解析】证明：(1):妪望■,ZBAD=ZECA,

ACCE

：./\BAD^AACE,

：.ZB=ZEAC,

'：ZACB=ZDCA,

AABC^ADAC,

•ACBC

"CD'"AC，

：.AC1=BC'CD；

(2)：NADC是△AB。的外角，NCED是△ACE的外角，

ZADC=ZB+ZBAD,ZCED=ZCAE+ZECA,

由(1)可知，NB=/EAC,NBAD=NECA,

：.ZADC=ZCED,

：.CE=CD,

：AZ)是△ABC的中线，

:.BC=2CD,

：.BC=2CE,

由(1)得：AC2=BC-CD,

：.Ad^2CE'CE,

卢)21，

kAC72

即出=6

AC2

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键.

21.如图，A3是O。的直径，点。是血的中点，C。与胡的延长线交于E,BD与AC交于点F.

(1)求证：DC?=DF*DB；

(2)若AE=A。，CD=2,求的长.

【点拨】(1)由点。是众的中点，得到NAB£)=NCB£),等量代换得到NACD=NCBZ),根据

相似三角形的性质即可得到结论；

(2)连接0D,如图，根据等腰三角形的性质得到等量代换得到

根据平行线的判定得到0D1/BC,于是得到结论.

【解析】(1)证明：：点。是标的中点，

/.ZABD=ZCBD,

而/ABO=NACD

ZACD=ZCBD,

■:/BDC=/CDF,

:ACDFsABDC,

•DC=DB

"DFDC"

即DC?=DF・DB；

（2）解：连接。n如图,

'：OD=OB,

：.ZOBD=ZODB,

而/OBD=/CBD,

：.ZODB=ZCBD,

C.OD//BC,

•ED=EO；

"DCOB"

\'EA=AO=BO,

•ED=Z

FT

；.E£）=4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

22.如图，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=Scm,BC=6cm.点P从A点出发沿AC向C点运动，

速度为每秒2cm,同时点。从C点出发沿向8点运动，速度为每秒1cm,当点尸到达顶点C

时，P、。同时停止运动，设P点运动时间为/秒.

(1)当f为何值时，△P0C的面积为5a层？

(2)当,为何值时，点尸、C、。组成的三角形与△ABC相似？

【点拨】(1)首先作出高线，由平行线分线段成比例定理得出比例式，由含有t的代数式表示出

PO的长度，再根据三角形的面积公式得出即可.

（2）根据已知条件需要分类讨论，分两种情况讨论，从而得出比例式，代入即可求出.

【解析】解：（1）如图1中，过点尸作PCBC于点。，

VZB=90°,

：.AB//PD,

.•.里=生，

',而AC'

•pn^AB>PC8（10-2t）=8（5-t）

AC10

8

：.SAPQC=^CQ-PD=l-f■'=5,

225

tl=t2=—；

2

（3）如图2中，当△PQCS/VIBC时，

•£LL=AC

,《1Be"

••--1-0---2t_--10,

t6

.-30

11

当APQCS^BAC时，

•CP2^BC

"CQ7AC，

•••1-0---2t_--6,

t10

9••I=-5--0-,

13

综上所述，f=段或地时，△PQC与AABC相似.

1113

【点睛】本题是三角形动点问题，考查了勾股定理，等腰三角形，三角形的面积，相似三角形的

性及分类讨论的数学思想，解题关键是能用f表示相关的线段的长度.

23.如图，在△ABC中，A2=AC=5c〃z,BC=8cm,点尸为8c边上一动点（不与点3、C重合），

过点P作射线交AC于点M，使

(1)求证：—;

PCCM

(2)当点尸为8c中点时，求CM的值;

(3)当MP_LBC时，求2尸的值.

【点拨】(1)由A8=AC得/B=/C,而则/BAP=180°-ZB-ZAPB=1SO°

-ZAPM-NAPB=/CPM,即可根据“两角分别相等的两个三角形相似"证明

得胆=理；

PCCM

(2)由点尸为BC中点得BP=CP=%C=4cm,[fffAB=AC=5cm,由岖=里得。/=叱空

2PCCMAB

=16cm.

5

(3)作AD_L2C于点D,则BD=C£)=_lgC=4cm,由NBZM=90°,ZA=ZA,证明

2

△BAPS^BDA,即可根据“相似三角形的对应边成比例”求出8尸的值.

【解析】(1)证明：如图1,\'AB=AC,

：.ZB=ZC,

'：NAPM=NB,

：.ZBAP=180°-ZB-ZAPB=180°-ZAPM-ZAPB=ZCPM,

：./\BAP^/\CPM,

•AB=BP

"PCCM"

(2)解：如图2,\"AB=AC=5cm,BC=8cm,点尸为8C中点，

BP=CP=2BC=4cm,

2

由⑴得胆=里

PCCM

二加史必=山=也(的).

AB55

(3)解