等差数列的概念【16类题型】原卷版-2024-2025学年高二数学上学期（人教A版）

等差数列的概念【16类题型汇总】

总览卜题型解读

【题型11求等差数列的通项公式或某一项

【题型2］等差数列基本量的计算

【题型3】等差中项及应用

【题型4】等差数列的性质及简化计算的应用

【题型5】等差数列的判断

【题型6】等差数列证明（1）:直接作差或等差中项形式

【题型7】等差数列证明（2）:因式分解型

【题型8】求等差数列中的最大（小）项

【题型9】等差数列的实际应用

【题型10】等差数列与数学文化的结合

【题型11］构造等差数列取倒数型

【题型12］构造等差数列（2）:插入数字或每隔k项抽项数

【题型13］构造等差数列(3):提取2个等差数列的公共项构成新数列

【题型14］构造等差数列(4):奇偶相间讨论型（奇偶数列）

【题型15］构造等差数列（5）:隔项等差（奇偶数列）

【题型16］构造等差数列（6）:其它类型

一、等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.

注意点：

(1)概念的符号表示：a„+i—a„—d(n£N*).

（2）定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.

（3）差必须是同一个常数.

（4）公差可以是正数、负数、零.

⑸当d>0时，是递增数列，当4=0时，是常数列，当d<0时，是递减数列.

二、等差中项以及拓展

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，/叫做.与b的等差中项,

SL2A-a+b.

注意：

(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.

(2)«3是和的等差中项，特别注意下标之间的关系.

拓展：若p+q+n=3m,则4n(下标之和性质关系)

三、等差数列的通项公式与函数性质

1.首项为4，公差为d的等差数列｛。“｝的通项公式为%=%

证明：可以用累加法推导

。2-。1=1，

。3-。2=d,

。4-。3=d,

斯—a„-\=d,

左右两边分别相加可得，a„—«1=(/;—1)<7,即斯=的+("—1)1(〃之2).

2.若数列｛a“｝是等差数列，首项为内，公差为",则a“=/5)=ai+(〃-1)4=加砌.

(1)点(小落在直线y=dx+(ai—4上，这条直线的斜率为力在y轴上的截距为由一d；

(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加〃

注意：

①已知首项ai和公差力便可写出通项公式.

②等差数列的通项公式是a,“ai,d,〃四个变量之间的关系，知三求一.

等差数列通项公式的求法与应用技巧

③等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差

即可.

④等差数列｛%｝的通项公式1)4中共含有四个参数，即°i,d,n,a„,如果知道了其中

的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三

求一”

熟练掌握等差数列是关于〃的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定

了数列的单调性，介0时，数列｛斯｝为递增数列，d=0时，数列｛。“｝为常数列，d<0时，数列｛恁｝为

递减数列.

四、等差数列的性质

1.下标性质

=a+a

(1)在等差数列｛%｝中，若加+77=夕+式加,〃,夕应6"*),则4,+%pq-

特别的，若小+77=22(加,"，2eN*),则有%“+%=2%,

(2)下标成等差数列且公差为m的项四，恁+吗欧+2”,…&加GN*)组成公差为md的等差数列.

(3)在等差数列｛4”｝中，若％=机，am=n,m^n,则有生„+”=0.

2.等差数列通项公式的变形及推广

(1)a“=dn+-d)(nGN*)(2)an=am+(n-m)d^m,neN*y

(3)d=~~加，〃eN*,且加H").

n-m'

3.若｛%｝,也｝分别是公差为的等差数列，则有

数列结论

{c+4}公差为d的等差数列(c为任一常数)

{叫}公差为cd的等差数列(c为任一常数)

{4+%}公差为2d的等差数列(k为常数，左eN*)

{pan+qbn}公差为2d+qd'的等差数列(p,q为常数)

题型汇编知识梳理与常考题型

【题型1】求等差数列的通项公式或某一项

基础知识

等差数列概念的符号表示：an+\~an=d(n£N*)

等差数列的通项公式：首项为生，公差为"的等差数列｛斯｝的通项公式为%=%+(〃—l)d

/“典型例题/

【例题1】(23-24高二上•浙江绍兴•期末)已知数列｛%｝的首项％=4,且满足。用=%-3(“eN)

则。5=()

A.-11B.-8C.16D.19

【例题2】等差数列3,11,19,27,…的通项公式是（）

A.an=8n+5B.an=8n-5C.an=-8n-5D.an=-Sn+5

【例题3］（23-24高二上•广东深圳•期末）已知数列｛%｝中，％=1,若」--」•=；,则〃（

an+\anL

1211s

A.—B.—C.—D.19

19112

【例题4】在数列｛。“｝中，4=1,疯7=阮+1，则%=（）

A.几B.n2C.〃+2D.y/n

/u巩固练习/

【巩固练习。已知数列｛%｝中，4=2,an+x=an-2,则。.

【巩固练习2】（22-23高三上•山西运城•阶段练习）已知数列｛0“｝的首项%=3，03=7,对任意的

力eN*,都有an-2an+x+an+2=0,贝I］a20=.

一11c

【巩固练习3】已知在数列｛%中，％=1,——=—+2,则％等于.

a

%+1n

【巩固练习4］在数列｛%,｝中，4=3,曰二=n+6,则数列｛4｝的通项公式为.

【巩固练习5】已知数列｛%｝中，%=1吗=4,%=9,且｛%+「4｝是等差数列，则以=（）

A.36B.37C.38D.39

【巩固练习6】已知数列｛嚏2（%-1）｝（〃eN*）为等差数列，且4=3,%=9,则数列｛%｝的通

项公式为.

【题型2】等差数列基本量的计算

等差数列基本量的计算是指把条件拆成基本量4和d的形式，解二元方程组来得出所求

/“典型例题/

【例题1】在等差数列｛%,｝中，an=m,am=n,且〃w机，a*“=.

【例题2】（高二上・广东深圳•期末）已知等差数列的首项为表,且从第10项开始均比1大，则公

差d的取值范围为（）

88383

——,+00-00,25

7575?2575?25

【例题3］（22-23高二上・江苏苏州•期末）若数列，是等差数列，。［=1,。3=-彳，则。5=（

〃〃+1

【例题4】（2023•全国・高考n卷真题）已知｛%｝为等差数列,

为数列a｝，低｝的前〃项和，54=32,4=16,求｛〃〃｝的通项公式；

/“巩固练习/

【巩固练习1】（24-25高二上•江苏苏州•期中）等差数列｛%｝中，％=2,%+%=10,则&的值为

D.10

【巩固练习2］（23-24高二上•山东泰安•阶段练习）首项为-12的等差数列，从第10项起开始为正数,

则公差d的取值范围是（）

,8

A.d>—B.d<3

【巩固练习3】已知数列是等差数列，则（）

A.a3+a6=2a4B.a3+a6=a4+a5

【巩固练习4】已知等差数列｛。〃｝的前”项和为S“，公差为d,且满足%>0,%+为<。，则3的

a

取值范围是.

2

【巩固练习5】（2023•全国•高考1卷真题）设等差数列｛%｝的公差为d,且">1.令”=三土巴，

记邑上分别为数列｛%｝,也｝的前"项和.，若加=3%+%,$3+看=21,求m｝的通项公式；

【题型3】等差中项及应用

基础知识

由三个数Q,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，/叫做Q与b的等差中项,

且24=a+b.

应用1、等差数列中任意相邻的三项为M“+i，。〃+2构成等差数列，且中间项氏+i是等差中项，即

2%+1=%+。+2

应用2、若数列｛4｝对V〃eN*均满足2%中=4+4+2，则｛4｝为等差数列

简证：an-an_｛=an_x-an_2=••-=a2-a[9即。"为等差数列.

应用3、若m+n=2k,则。加+。〃=2。左

/“典型例题/

【例题1]已知｛%｝为等差数列，%+%+。5=1°5,。2+%+。6=99.求。20.

【例题2】已知数列｛%｝满足：％=1,2=5,-------=—+---------）,则。2025=_________________

Lan+\anan+2

【例题3】（23-24高二上•江苏南京・期末）若数列是等差数列，且%=2,%=12,则须=

)

95

A.30B.-C.20D.-

22

【例题4】已知递增数列｛%｝是等差数列，若。4=8,3.2+。6）=。2，则。2024=（）

A.2024B.2023C.4048D.4046

【例题5】（高二上・云南曲靖・期末）已知△XBC中三边Q,b,。成等差数列，4b,五也成

等差数列，则△ZB。的形状为.

/“巩固练习/

【巩固练习1】（23-24高二上•陕西咸阳•阶段练习）在等差数列｛%｝中，若%+%+%+《+%=45,

贝I]2+/=（）

A.16B.17C.18D.19

【巩固练习2】（23-24高二上•山西吕梁•阶段练习）在等差数列｛&｝中，的+包=-1，&+%+。8=3,

则“2023+“2024=（）

13452345

A.------B.-------C.1345D.2345

23

【巩固练习3】（23-24高二上・安徽滁州•期末）已知｛%｝为等差数列，且6+%=1，4+%=5,则

【巩固练习4】（2024|Wj二,全国・专题练习）在等差数列｛〃〃｝中，已知。3+。8+63=12,”3。8。13=28,

则数列｛%｝的通项公式可以为（）

41C134438

A.cin=4〃—1B.册=2〃+1C.cin=——w+D.

【巩固练习5】（高二上・江苏徐州•期中）正数°,6的等差中项是:，且e=a+L〃=&+则a+£

2ab

的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【巩固练习6】（24-25高二上•江苏徐州•阶段练习）等差数列｛%｝中，若2%+〃9=18,贝|出+3。6的

值为.

【题型4】等差数列的性质及简化计算的应用

基础知识

在对等差数列基本量进行计算时，利用等差数列的性质可以起到减少计算量的作用，很多时候即使

不求出q和d也能得出答案

/“典型例题/

【例题1】已知数列｛%｝是等差数列，p,q,s,twN*，且夕+9=S+九求证4+%=4+。/.

【例题2】（23-24高二上•广东深圳•期末）已知｛%｝为等差数列，%+。8=10，%=4,则%=.

【例题3】已知等差数列｛%｝中，〃5，%是函数/（%）=/—3%-2的两个零点，则〃3+。8+。11+。16=

（）

A.3B.6C.8D.9

【例题4】（23-24高二上•四川达州・期末）在递增等差数列｛%｝中有〃]+%=6,4%=8,则

1111

-------1--------1--------F,•+-()

〃99°100

9810099101

A.—B.-----C.D.—

9999100100

/“巩固练习/

【巩固练习1】（23-24高二上•福建福州•期末）已知公差不为0的等差数列｛%｝满足%,+%=%+%,

41

则一+一的最小值为（）

mp

353

A.9B.-C.-D.-

244

【巩固练习2】（24・25高二上•福建龙岩•期中）公差不为0的等差数列｛氏｝中，电+〃8=%+%，则

加〃的值不可能是（）

A.9B.16C.22D.25

【巩固练习4】已知等差数歹!]｛%｝满足。3+4+〃8+町=12,贝IJ2%—%的值为.

【巩固练习5】（23-24高二上•重庆•阶段练习）已知等差数列｛%｝为递增数列，且满足。3+%=34,

=280,则其通项公式为（）

A.an=6^-10B.%=3〃+2

C.a”=2〃+7D.an=H+10

【巩固练习6】（23-24高二下•云南玉溪•开学考试）若数列｛%｝是等差数列,且%+为+R=72,则

3〃6_%0=（）

A.48B.50C.52D.54

【巩固练习7】已知正项等差数列｛。“｝,若片+a；=85,a3+a8=ll,则。，=（）

A.1B.2

C.nD.2n-l

【巩固练习8］若｛%｝是公差不为0的等差数列，满足城+城，贝（）

A.-10B.-5C.oD.5

【题型5】等差数列的判断

/核心•技巧/

证明数列是等差数列的主要方法：

（1）定义法：对于〃22的任意自然数，验证%为同一常数.即作差法，将关于%一1的%代入

an—an-lf在化简得到定值.

（2）等差中项法：验证24-1=0^+Q计2（〃三3,〃£Nx）都成立.

⑶判定一个数列是等差数列还常用到的结论：

①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）台｛〃“｝是等差数列.

②前〃项和公式：Sn=An2+Bn（4B为常数）是等差数列.

问题的最终判定还是利用定义.

///典型例题/

【例题1】已知一个无穷等差数列｛%｝的首项为外,公差为丈

（1）将数列中的前加项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，

它的首项和公差分别是多少？

（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项

和公差分别是多少？

（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的

结论作出一个猜想吗？

【例题2】（23-24高二下•山东荷泽•期中）从1,2,3,…，9这9个数字中任取3个不同的数字，

使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（）

A.16个B.24个C.32个D.48个

【例题3】（23-24高二上•广东深圳•期末）若数列｛%｝是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的

是（）

｛㈤｝

A.B.{an+i-a„]

C.｛pa„+q｝（P，4为常数）D.{2。"+"}

【例题4】（24-25高三上•内蒙古包头•开学考试）“数列｛0“｝是等差数列”是“数列｛%+%+J是等差数

列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

/“巩固练习/

【巩固练习1］已知数列｛%｝是等差数列，下面的数列中①｛的“｝②③｛3%+1｝④｛㈤｝必为

等差数列的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【巩固练习2】（多选）记邑为数列｛与｝的前〃项和，若数列1｝，是首项为1,公差为2的等差数列,

则（）

A.数列｛g｝为递减数列B.S,^2n2-n

C.«„=4«-3D.数列｛%+S/是等差数列

【巩固练习3】（23-24高二下•浙江•期中）对于数列｛。“｝,设甲：｛%｝为等差数列，乙：

%+（"-1）。用="%,则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【巩固练习4】（多选）若数列｛《｝是等差数列，公差4>0,则下列对数列也｝的判断正确的是

（）

A.若―a,,则数列也｝是递减数列

B.若〃=片，则数列圾｝是递增数列

C.若用，则数列也｝是公差为d的等差数列

D.若“=%+〃，则数列低｝是公差为d+1的等差数列

【巩固练习5】（23-24高二下•广东佛山•期末）（多选）已知数列｛6｝（〃eN*）的前"项和为S"，则

下列选项中，能使｛七｝为等差数列的条件有（）

A.S„=(n+l)(n-l)

B.S“=a,

C.对V机,“eN*,有%=册+2(〃-机)

4k-3,n=2k-\

D.，左cN*

4k-l,n=2k

【题型6】等差数列证明(1):直接作差或等差中项形式

[核心•技巧/

1、等差数列概念的符号表示：“+i—a"=d(〃GN*)

2、若数列｛4｝对V〃eN*均满足2。,+]=%+%+2，则｛4｝为等差数列

简证：an_%_]=an_x-an_2=--=a2~ax,即an为等差数列.

/“典型例题/

【例题1】已知一个无穷等差数列｛4,｝的首项为q,公差为丈

(1)将数列中的前心项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，

它的首项和公差分别是多少？

(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项

和公差分别是多少？

(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的

结论作出一个猜想吗？

【例题2】(22-23高二上•河南郑州•阶段练习)已知数列｛氏｝满足q=2,。用=4丁.

(1)求证：数列是等差数列;

(2)求数列｛。,｝的通项公式.

【例题3]数列｛%｝满足%=1必=2,a“+2=2%+]-%+2.

⑴求的,%的值；

(2)设〃=an+1-an,证明也｝是等差数列.

【例题4】(23-24高二上•广东汕头•阶段练习)已知数列｛的｝满足见包=:二，%=3,令

b=—^—

n1•

4-1

(1)证明：数列低｝是等差数列；

(2)求数列｛对｝的通项公式.

【例题5】(22-23高二上•福建厦门•阶段练习)已知数列母｝,d=2,且满足S“M=S“+2〃+2,

2

6„=S„-M(MGN*).

⑴证明：数列｛"｝是等差数列并求出低｝的通项公式；

(2)若凡是数列｛%｝的前"项和，求数列｛%｝的通项公式.

/u巩固练习/

【巩固练习1】(23-24高二上•浙江温州•期末)已知数列｛为｝满足。用=六丁生=；

(1)求证：数列;为等差数列

所以数列是首项为'=2,公差为1的等差数列

l«J%

【巩固练习2】(23-24高二上•山东荷泽•期末)已知数列｛2｝的首项为外,前〃项和为S“，且

2S"=(%+2".

(1)求证：数列｛%｝为等差数列.

【巩固练习3］已知｛%｝满足％=1,且〃％-("+1”"=3r+3”.

(1)求。2,“3；

(2)证明数歹［J｛2｝是等差数列，并求｛%｝的通项公式.

n

【巩固练习4】(23-24高二上・安徽黄山•期末)已知数列｛。"｝满足：/=L。用=/=?・

“n+1

(1)求证：数列为等差数列;

(2)若+〃2。3+。3〃4---hanan+\<，求满足条件的最大整数制.

【巩固练习5】已知数列｛%｝的前〃项和为5"吗=1,a角=1+2区.证明：数列｛疯｝是等差数列;

【巩固练习6】(23-24高二上•江苏常州•期末)设邑是正项数列｛”“｝的前〃项和，且%=1,

2

S

n+S〃T---=0(n€N*,H>2).

an

(1)求证：数列代｝是等差数列；

(2)求数列｛对｝的通项公式.

【题型7】等差数列证明(2):因式分解型

/核心•技巧/

若递推公式中出现了关于4和4+i的齐二次式，且｛外,｝为正项数列，则一般需要通过因式分解来得

出an~an-l=常数•

/“典型例题/

【例题1】在数列｛叫中，an>0,且前〃项和s,满足4s“=g“+l)2(〃eN*),则数列｛%｝的通项公

式为.

【例题2】(23-24高二下•安徽芜湖•阶段练习)设｛%｝是正项数列，且其前〃项和为S,,,已知

(1)求数列｛4｝的通项公式;

【例题3】(23-24高二上•湖南长沙•期中)已知数列｛。“｝各项均为正数，且%=2,

(1)证明：｛〃/为等差数列，并求出通项公式；

/?

(2)设”=(-1)an,求4+b2+b3+…+%.

/“巩固练习/

【巩固练习1】(高二下・浙江绍兴•期中)已知正数数列｛%｝的前〃项和国满足：4s“=(%+1)2,则

■,通项an=

【巩固练习2】已知正项数列｛%｝的前〃项和为S,,S"=；(a“+l)，"eN)

(1)求力、%；

(2)求证：数列｛6｝是等差数列.

【巩固练习3】(22-23高二下•福建泉州•期末)已知正项数列｛%｝的前项和为S“，且满足

4s“=(%+1『.

⑴求凡，J;

(2)设a=—1—,数列｛，｝的前”项和为刀，求证：Tn<\.

anan+\2

【巩固练习4]⑵-24高二下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)己知正项数列｛%｝,满足片+2%=4s0+3.

⑴求巴；

⑵若求数列｛4｝的前"项和列

anan+\

【巩固练习5】(23-24高三上•河南周口•阶段练习)在正项等差数列｛%｝中，％=；,匕=

(1)求数列｛对｝的通项公式；

(2)记a=--------,求数列｛"｝的前"项和S,.

anan+\

【巩固练习6】(23-24高二上•广东中山•期中)数列｛%｝的前〃项和为S,,S„=n2+n.

（1）求数列｛。“｝的通项公式；

111

（2）是否存在正整数P，4使得了，/，丁成等差数列？说明理由.

【题型8】求等差数列中的最大（小）项

基础知识

求等差数列中的最大（小）项的主要方法是：首先确定数列的公差正负，然后判断数列是递增还是

递减，接着找出首项和末项，最后根据数列的单调性确定最大（小）项的位置及值。

/“典型例题/

【例题1】（22-23高二上•广东深圳•期末）（多选）数列｛2｝的前”项和为J，已知邑=一/+7"-3,

贝U（）

A.｛七｝是递减数列B.｛%｝是等差数列

C.当">4时，4<0D.当〃=3或4时，邑取得最大值

【例题2】设斯=2九一9,则当数列｛助｝的前〃项和取得最小值时，"的值为（）

A.4B.5

C.4或5D.5或6

【例题3】（23-24高二上•河南郑州・开学考试）等差数列｛斯｝中,S6Vs7,S7>S8,给出下列命题:

①d<0,②S9Vs6,③是各项中最大的项，④57是5„中最大的值，⑤｛an｝为递增数列.其中正确命

题的序号是.

/“巩固练习/

【巩固练习1】（22-23高二上•陕西渭南•阶段练习）在等差数列｛aj中，％=-11,。5=-3记

Tn=flla2...a„（n=l,2...）,则数列｛（,｝（）

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【巩固练习2】（22-23高二上•重庆巴南•阶段练习）已知数列｛%｝,

ne

%=1,见，=2^n>2,n&N）,数列也｝满足夕=_1[

（1）求证：数列｛%｝是等差数列；

（2）求数列｛。“｝中的最大项.

【巩固练习3】无穷数列｛即｝满足：氏+4+3%+%+4=0且°产-2.

（1）求证：,为等差数列；

M+2J

（2）若电021为数列｛/1｝中的最小项，求生的取值范围.

【题型9】等差数列的实际应用

基础知识

等差数列在实际中有广泛应用，如计算存款利息、工资增长、温度梯度、等距分布的物品数量等,

它简化了连续、等间隔变化的量的计算，是数学中重要的模型之一

/“典型例题/

【例题1】习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡

创业.为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡

创业人员.预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列｛•”｝（单位万元，力eN*）,每年开

展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金q的3倍，已知％2+/=72.则预计该镇政府帮扶

五年累计总投入资金的最大值为（）

A.72万元B.96万元C.120万元D.144万元

【例题2】（23-24高二上•福建龙岩•期中）潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运

会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办

的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站

会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得

精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023

人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为.

/u巩固练习/

【巩固练习1】某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会

逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d"为正常数）万元.已知这台设备的使用年限

为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%,设备将报废.请确定d的取值范围.

【巩固练习2】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩

约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，

大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021

年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的

“家庭日”是星期五的天数为;2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.

【巩固练习3】稠环芳香燃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯

并花，它是由一个苯环和一个花分子结合而成的稠环芳香烧类化合物，长期食用会致癌.下面是一组

稠环芳香煌的结构简式和分子式：

名称蔡并四苯并〃苯

结构简式coccoCCQO

CH

分子式G0Hs1410G8H12

由此推断并十苯的分子式为.

【题型10］等差数列与数学文化的结合

基础知识

等差数列不仅是一种重要的数学概念，在数学文化中也占据着独特的位置。古代文明中，等差数列

的概念被用于天文历法的计算，例如中国古代的历法中就运用了等差数列来预测日食、月食等天象。

此外，在音乐理论中，音阶的构成也可以看作是一种等差数列的应用，每个音符之间的频率比遵循

一定的等差关系。文学作品中，等差数列有时也被用作创作的灵感来源，通过数列的规律性来构建

故事的节奏或是人物的发展脉络。等差数列以其简洁而强大的特性，成为连接数学与文化的一座桥

梁

/“典型例题/

【例题1】（21-22高二下•河南郑州•阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等

差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.例如“百

层球堆垛”：第一层有1个球（％=1）,第二层有3个球（&=3）,第三层有6个球（生=6）,第四层有

10个球（。4=10），第五层有15个球（4=15）,…，各层球数之差{%+「%}：a2-ax,%-

%-%，-%，…即2,3,4,5,…是等差数列.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1,

3,6,12,23,41,则该数列的第8项为（）.

A.51B.68C.106D.157

【例题2】（22-23高二上・上海虹口•期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正

方形筛子”如图所示，根据规律，贝『'正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（）

47

A.20180B.20200C.20220D.20240

【例题3】（22・23高二上•浙江杭州•期末）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一

个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,

则。6二（）

A.103B.107C.109D.105

/“巩固练习/

【巩固练习1】（高二上•江苏连云港•期中）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知

其数，三三数之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3）,问物几何？”现将1到2020共2020

个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛4“｝,

则该数列共有（）

A.132项B.133项C.134项D.135项

【巩固练习2】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清

明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日

影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）

A.三33尺B.13尺C.5尺D.§4尺

【巩固练习3】（高二下•安徽宣城•期中）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其

数，三三数之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3）,问物几何？"现将1到1000共1000个

整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛。“｝,

则数列（«„｝中共有项.

【巩固练习4】（22-23高二上•江苏淮安・期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题:“今有物

不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被3

除余2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列｛%｝,所有被5除余2的正整数按从小到大的顺

序排列组成数列也｝,把数列｛凡｝与也｝的公共项按从小到大的顺序排列组成数列匕,｝,则数列匕,｝

的第10项是数列也｝的第项.

【题型11］构造等差数列（1）:取倒数

/核心•技巧/

八11

形如为-1一%为（夕为常数且夕。0）的递推式：两边同除转化为一二----+P形式

anan-\

aQ“口1

注意：有的递推公式是分式的形式，如：%+i=—rn,3=------^等，化为整式之后就符合

man+1anman+1

上面的式子结构了

/“典型例题/

【例题1】（24-25高二上・福建宁德•阶段练习）已知数列｛4｝的首项为=；,且满足

贝1J?。的值为（）

12-11

A.—B.—C.—D.—

79697875

【例题2】（23-24高二上•陕西西安・期中）已知数列｛。〃｝满足q=1,%+1=晨7,（〃£N*）,则。〃二

（）

11-1n-\1

A.Q”——B.-C.ci-D.ci—

〃n〃2〃-1〃n4〃-34/7-3

【例题3】已知各项均不为0的数列｛%｝满足也=：,且％=1，则%023=___________.

%°〃十।2

/“巩固练习/

1a

【巩固练习1】已知数列｛。"｝满足q=3,。”+1=Ul，则电021=（）

1111

A.----B.----C.----D.----

2019202020212022

【巩固练习2】（22-23高二上•湖北荆州•期末）已知数列4=1，4用=；、，则数列｛%｝的通项公式

【巩固练习3】（23-24高二下•河南•期中）数列｛%｝中，若［=1,%+1=二+，则-1-=__________

十/a。Gm

【题型12］构造等差数列（2）:插入数字或每隔1项抽项数

核心•技巧

1、在等差数列中每隔诵1同的项金由一项，按原菜的顺焉排最一列，仍然是一个等差数列.

例如：%是公差为d的等差数列，贝心以“｝是公差为hl的等差数列

2、要在两个已知项之间插入数字构成新的等差数列，首先计算这两项间的原有公差d。然后，决定

要插入的项数R计算新的公差d'=一日一。最后，从第一项开始，按新公差依次计算并插入每个新

左+1

项，直到完成插入。这样就能构造出包含新项的等差数列。

/“典型例题/

【例题1】已知等差数列｛4｝的首项为=2,公差d=8,在｛%｝中每相邻两项之间都插入3个数,

使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列｛4｝.

（1）求数列｛4｝的通项公式.

（2）&9是不是数列｛4｝的项？若是，它是｛4｝的第几项？若不是，说明理由.

【例题2】已知等差数列｛。"｝中，％=4,4=16,若在数列｛%｝每相邻两项之间插入三个数，使得新

数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为.

【例题3］已知｛丽｝是等差数列，且句+。2+的=12,“8=16.

（1）求数列｛加｝的通项公式；

（2）若从数列｛的｝中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2〃项，按原来的顺序组成一个新

数列｛bn｝,试求出｛bn｝的通项公式.

/“巩固练习/

【巩固练习1】已知等差数列｛%｝的首项为2,公差为8,在｛4｝中每相邻两项之间插入三个数，使

它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列｛"｝,则数列仇。23=.

【巩固练习2】（23-24高二上•浙江宁波•期中）已知等差数列-2,1,4,7,10,…，现在其每相邻两项之

间插入一个数，使之成为一个新的等差数列｛0“｝.

（1）求新数列｛%｝的通项公式；

（2）16是新数列｛。“｝中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由.

【巩固练习3】已知等差数列｛%｝的公差为正数，%与久的等差中项为8,且%%=28.

⑴求｛对｝的通项公式；

⑵从｛«„）中依次取出第3项，第6项，第9项，…，第3"项，按照原来的顺序组成一个新数列低｝，判断

938是不是数列｛%｝中的项？并说明理由.

【巩固练习4】（23-24高二上•安徽合肥•期