抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性的应用（5大题型）-2025年高考数学复习热点题型专项复习（原卷版）

热点题型•选填题攻略

专题03抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性

的应用

o------------题型归纳•定方向----------♦>

目录

题型01抽象函数的定义域.......................................................................1

题型02抽象函数求值...........................................................................2

题型03抽象函数的解析式.......................................................................3

题型04抽象函数的单调性.......................................................................5

题型05抽象函数的奇偶性.......................................................................7

♦>----------题型探析,明规律-----------♦>

题型01抽象函数的定义域

【解题规律•提分快招】

抽象函数定义域的确定

所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是

注意对应法则。在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致

的，都在同一取值范围内。

抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数/(x)的定义域为[a,b],则复合函数/(g(x))的定义域由a空(x)@求出.

⑵若已知函数/(g(x))的定义域为[a,b],则/(x)的定义域为g(x)在加时的值域.

注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用

集合或区间来表示.

【典例训练】

一、单选题

1.(24-25高三上•贵州六盘水•期末)已知函数的定义域为[-1,3],则函数/(2x-1)的定义域为()

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

已知函数y=/（3x+2）的定义域为则函数y=冷的定义域为

2.（24-25高三上•陕西咸阳•期中）

()

A.（1,5]B.[1,5]C.[-1,1]D.（2,5]

3.（24-25高三上•云南昆明•期中）已知函数〃x-3）的定义域是卜2,4],则函数〃2工-1）的定义域是（）

A.B.[―5,7]C.[—9,1]D.[—2,1]

4.（24-25高三上•上海•阶段练习）已知函数的定义域为[0,3],则函数/（2工-1）的定义域为（）.

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

5.（24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习）已知函数/（x-l）的定义域为（-8,3],则函数/[工J定义域为（）

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-co,+8)D.(-w,l]_(2,+oo)

题型02抽象函数求值

【解题规律•提分快招】

一般采用赋值法，0』，尤,-尤是常见的赋值手段

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•福建泉州•阶段练习）若对任意的x,yeR,函数满足=+则/⑴=

()

A.6B.4C.2D.0

2.（24-25高三上•广东深圳•期中）已知函数/（%）的定义域为（。,+8）,Vx,ye（0,+o））,都有

U=/(x)-/(y)+l,且=则/(512)=()

A.-6B.-7C.-8D.-9

3.（24-25高三上•广东江门•阶段练习）函数/（x）满足对任意的实数无,＞，均有/(x-y)"(y)=/(x)wO,

且了⑴=；，/(2)1/(3)।/(4)।।“2025).

)

/(I)/(2)/(3)/(2024)一

A.1014B.1012C.2024D.2025

4.（24-25高三上•山东潍坊•期中）已知定义在R上的函数〃%）满足"％-y+1）-〃%+y+l）=〃%）〃y）,

且/(1)=2,则/(2)+/(3)+/(4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

5.(24-25高三上•黑龙江•阶段练习)已知“X)是定义在R上的函数，且〃龙+1)-/(力=1+〃尤+1)〃力,

"1)=2,贝1]〃2024)=()

A.-2B.-3C.-D.1

32

6.(24-25高三上•湖南•阶段练习)定义在(0,+")上的函数满足条件①Vxe(O,”)，〃工)片0,②

VX,JG(0,-KO),/(xy)=1/(x)/(y),仆+N)=：])，则的值为()

题型03抽象函数的解析式

【解题规律•提分快招】

抽象函数的模型

【反比例函数模型】

反比例函数：小+.前管，则/"邛，卜)均不列

【一次函数模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±/(y),则=/⑴X；

模型2：若/(x±y)=/(x)±/(y),则/(幻为奇函数；

模型3：若于(x+y)=/(型+/(y)+m,则f(x)=[/(1)+m\x-m；

模型4：若/(%-y)=f(x)-f(y)+私则模型="⑴一河x+m；

【指数函数模型】

模型1：若/(x+y)=/(%)/(»则"X)="⑴]'；/U)>0

模型2：若/(尤7)=04,则F(x)=[/W；/W>0

f(y)

模型3：若f(x+y)=,则于。)=[，⑴向；

m

模型4：若/(x-y)=m~~，则/(x)=m'°)；

/(y)Lm

【对数函数模型】

模型1：若/(x")=W(x),贝！|/(x)=/(a)logaX(a>CLS.wL%>0)

模型2：若/(取)=/(%)+/(y),则/(x)=/(a)log“x(a>(LliLwLx,y>0)

Y

模型3：若/(])=/(%)—/(>),则/0)=/(。)108°%(。>0且/1,羽丁>0)

模型4：若/(知)=/(x)+/(y)+m,则/(x)=[/(a)+加]log°x—加(a>0且一l,x,y>0)

模型5：若/(二)=/(x)—/(y)+〃z,则/(x)=[〃a)-/"]log“x+Ma>(KwL],y>0)

【幕函数模型】

模型1：若/(取)=/(%)/(丁)，则/(%)=/(。产、(。>0且wl)

模型2：若/申=缁，则〃x)=〃a产”(。>。且工1，"。，/320)

代入则可化简为累函数；

【余弦函数模型】

模型1：f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)(/(x)^[H^J0),则/(x)=coswx

模型2：若/(x)+/(y)=2/(W4/■(三马(/⑴不恒为0),贝」a)=coswx

【正切函数模型】

模型：若/(X土y)=言)；猥(7W3丰1)，则/(xQtanwx

一2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=4(x)/(y)(/(x"P^M)),则/(x)=%coswx

K

【典例训练】

一、填空题

1.(23-24高三上.江西南昌•阶段练习)已知函数“X)满足〃x+2)=〃x)+l,则〃x)的解析式可以是一

(写出满足条件的一个解析式即可).

2.(23-24高三上•辽宁辽阳•期中)已知“X)是定义在(。,+e)上的单调函数，且以e(0,-),

/=⑴-《)=6,贝1]/(100)=.

3.(23-24高三上•湖北•期末)函数〃x)满足/(x)+U=。，请写出一个符合题意的函数〃x)的解析

式.

4.(24-25高三上・北京•期中)写出同时满足以下两个条件的一个函数/(%)=—.

①Vx,yeR,/(xy)=/(x)/(y).

②Vx,'<0,+»)且中>,

5.(2025高三・全国・专题练习)设是定义在R上的函数，且满足对任意x,九等式

/(2y-力=-2/(x)+3y(4x-y+3)恒成立，则”尤)的解析式为.

6.(23-24高三上.浙江杭州•期末)写出一个同时具有性质①对任意。<花<9，都有/'(不)>/(%)；②

f(xy)=/(x)/(y)的函数〃x)=.

7.(23-24高三上海南海口・期末)已知函数八%)的定义域为区,且/(彳+,)+/(》7)=2〃力/(日，〃0)=1,

请写出满足条件的一个/(尤)=(答案不唯一).

8.(2024.陕西铜川.三模)已知函数是定义域为R的偶函数，且/(x+1)为奇函数，写出函数/(X)的

一个解析式为〃x)=.

题型04抽象函数的单调性

【解题规律•提分快招】

抽象函数的性质

1.周期性：f(x+a)=f(x)=>T=a；f(x+a)=-f(x)=>T=2a；

/(x+a)==T=2a；(左为常数)；f(x+a)=f(x+b)=^T=|a-/?|

J\x)

2.对称性：

对称轴：f(a-x)=/>(a+x)或者f(2a-x)=/(x)nf(x)关于x=a对称；

对称中心：f(a-x)+f(a+x)=2bf(2a-x)+f[x)=2bn/(x)关于(a,b)对称;

3.如果/'(x)同时关于x=a对称，又关于(b,c)对称，则/'(x)的周期T=|a—4

4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题

①/'(X)在R上是奇函数，且/'(X)单调递增n若解不等式/(%1)+/(%2)>0,则有

%1+X2>0;

f(x)在R上是奇函数，且/'(x)单调递减n若解不等式/(%；)+/(%2)>0,则有

再+/<°；

②f(x)在R上是偶函数，且/'(x)在(0,”)单调递增n若解不等式/(%1)>则有国>同(不

变号加绝对值)；

y(x)在R上是偶函数，且/'(x)在(0,内)单调递减n若解不等式/(%1)>/(x2),则有闾<冈(变号

加绝对值)；

③/'(x)关于(。乃)对称，且/>(X)单调递增n若解不等式/(XJ+/(X2)>2&,则有

再+工2>2。；

y(x)关于对称，且/>(X)单调递减n若解不等式/(X1)+/(X2)>2Z?,则有

%］+九2<2〃；

④/(X)关于X=a对称，且f(x)在(a,4w)单调递增n若解不等式/(再)>/'卜)，则有归—a|>|x2-a|

(不变号加绝对值)；

/(X)关于x=a对称，且/'(x)在(a,+8)单调递减n若解不等式/(x1)>/(x2),则有,—《<卜一

(不变号加绝对值)；

【典例训练】

1.(24-25高三上•河北石家庄•阶段练习)已知是奇函数，g(x)是偶函数，且

〃尤)+g(x)=q二+2/一3,则不等式〃3—2x)>/(x+2)的解集是()

儿［得B."C.［一同(5,+8)D.1,5)

2.(湖北省武汉市问津教育联合体2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题)已知函数/(x)是定义在

［T4］上的偶函数，在［yo］上单调递增.若/■(x+l)<〃-2),则实数尤的取值范围是()

A.(F,-3)(l,+oo)B.(-3,1)C.[-3,1)(3,5]D.[-5,-3)(1,3]

3.(24-25高三上•福建泉州•期中)已知函数〃司=/3_已3一%+%,则满足“2m-2)+〃相-1)>6的实数冽

的取值范围是()

13

A.—,+00B.—,+00C.D.(3,+oo)

32

4.(23-24高三上•浙江杭州・期末)若定义在R上的奇函数/(x)在(-8,0)上单调递减，且/(3)=0,则满足

4(x-2)20的X的取值范围是()

A.[-1,0][5,+8)B.[-2,-1]][0,5]

C.[-2,0][5,+。D.[-1,0][2,5]

5.(24-25高三上•河北邢台・期末)已知函数是定义在R上的减函数，且/(工-1)-2为奇函数，对任意

的。目-2,3］,不等式〃4—)+/(/一1卜4恒成立，则实数f的取值范围是()

6.(24-25高三上•甘肃天水•期末)函数“X)的定义域为。，若对于任意的王,当国〈龙2时，都有

)(%)4/(9),则称函数在。上为非减函数.设函数在[0』上为非减函数，且满足以下三个条件:

①〃0)=0；②=③=l-.则/,]+[1等于()

A.—B.—C.—D.-

1282565124

7.(24-25高三上・江苏•期末)已知“X)是定义在R上的偶函数，若%,当＜0,笆)且再彳々时,

>3(司+々)恒成立,41)=3,则满足了(/+尤卜3(/+村的实数x的取值范围为()

-1-y/s—1+5/5r-I—1+5/5r-I

A.二一，1—B.[-1,1]C.0，1—D.[0,1]

题型05抽象函数的奇偶性

【典例训练】

1.(24-25高三上•江苏扬州•期中)已知函数y=〃x)对任意实数x,y都满足

2/(x)f(y)=/(x+y)+f(x-y),且/⑴=-1,〃0)口0,则函数“力是()

A.奇函数B.偶函数

C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数

2.(24-25高三上•山东济宁・期中)已知函数〃x)的定义域为R,满足〃x+y)-"(尤)+〃y)]=2024,则

下列说法正确的是()

A./(x)是偶函数B./(尤)是奇函数

C./(x)+2024是奇函数D./(力+2024是偶函数

3.已知对任意x,yeR,都有/(“+/(丫)=2/('口(牙)，且/■⑼W0,那么()

A.是奇函数但不是偶函数B.既是奇函数又是偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数D.是偶函数但不是奇函数

4.(23-24高三下•河南洛阳•期末)已知函数“X)的定义域为R,f(a)f(b)-f(a)=ab-b,贝I]()

A.40)=0B.41)=2C.〃同一1为偶函数D.〃尤)-1为奇函数

5.(多选)(24-25高三上•广东•阶段练习)已知函数“X)满足/(x+l)〃y+l)=〃x)〃y)+/(x)+〃y)+l,

且/(0)=0,/(1)>0,则()

A.f(-l)=-lB./(^+l)=/(x)+l

C.不可能是奇函数D.在［0』上单调递增

6.(24-25高三上•安徽宿州•期中)己知定义在(-8,0)(0,+s)上的函数〃x),满足/3)+2=〃#+〃田,

且当尤>1时，/(x)>2,则下列说法错误的是()

A."-1)=2B./(尤)为偶函数

C.f(-2025)</(-2024)D.若/(x+2)<2,则—3<x<—l

o-----------题型通关•冲高考-----------♦>

一、单选题

1.(2024.山西.一模)己知函数"尤)是定义在｛x|"0｝上不恒为零的函数，若〃⑹=芈+^^，则()

A.f(l)=lB.=1

C./(X)为偶函数D.f(x)为奇函数

3•.

2.(24-25高三上•辽宁丹东•期中)已知函数〃同=(尤.2»+1，对于任意的，er[T，2],不等式

〃2f)+〃a+r)42恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-co,-2]B.(f,-10]C.[-3,+oo)D.[7,+co)

3.(2024・河南•模拟预测)已知函数/(X)的定义域为R,对于任意实数x,y满足

f^+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且/(1)=1,则下列结论错误的是()

A./(O)=2B.〃尤)为偶函数

C./(X)为奇函数D.〃2)=-1

4.(24-25高三上•天津北辰•阶段练习汨知“X)为R上的奇函数，〃2)=2,若对V%,9e他,+CO),当外>/

时，都有(西则不等式(x+l)/(x+l)>4的解集为()

A.(-3,1)B.(-3,-1)(-1,1)C.D.(f,—3)-(1,+8)

5.(24-25高三上.河南驻马店.期末)设函数〃x)=ln(l+W)则使〃x)<〃2x-1)成立的龙的范围

是()

-00,jo(l,+00)

B.

6.(23-24高三下•黑龙江大庆•开学考试)已知函数〃x)的定义域为R,且/0,若

f(x+y)+/(x)/(y)=4肛，则下列结论错误的是()

A.OB.叫=-2

C.函数/卜-£|是偶函数D.函数/1+是减函数

7.(24-25高三上•新疆•阶段练习)已知定义在R上的函数〃x)满足〃x+y)</(x)+/(y)-1,且当x>0时,

/(%)<1,设a=/(e'-l),人=/(1!1(尤+1)),则()

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

8.(2024.辽宁抚顺.一模)已知定义域为｛尤|XRO｝的函数满足〃x+y)"(x)+/(y)]=/(x)〃y),

f(l)=2,且当无«0,内)时，〃x)>0恒成立，则下列结论正确的是()

A.H=6B./(2x)=2/(x)

C.为奇函数D.〃尤)在区间(。,+巧是单调递增函数

二、多选题

9.(24-25高三上•江苏常州•阶段练习)已知函数/(元)的定义域为R,对任意的实数x,y满足

/(x+y)=/(x)+/(y)+l,且/(1)=0,则下列结论正确的是()

A./(0)=-1B./(-1)=-2

C.为R上的减函数D./(刈+1为奇函数

10.(24-25高三上•河北沧州•阶段练习)已知定义在(F,0)L(。,")上的函数〃尤)满足