导数压轴小题十四大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题14导数压轴小题十四大题型汇总

dan

题型1恒成立问题之直接求导型......................................................1

题型2恒成立问题之分离参数型......................................................2

题型3恒成立问题之隐零点型........................................................4

题型4恒成立问题之洛必达法则......................................................5

题型5恒成立问题之两个函数问题....................................................5

♦类型1同变量型.............................................................6

♦类型2不同变量型...........................................................7

♦类型3函数相等型...........................................................7

题型6恒成立问题之构造函数........................................................8

题型7零点问题......................................................................9

题型8同构问题.....................................................................11

题型9整数解问题..................................................................12

题型10函数凹凸性问题.............................................................13

题型11倍函数问题.................................................................14

题型12二次型函数问题.............................................................16

题型13嵌套函数问题...............................................................17

题型14切线放缩法.................................................................17

题型1恒成立问题之直接求导型

)!)：-划

f.f丰•6、、、

无论大题小题，分类讨论求参是导数基础，也是复习训练重点之一：

1.移项含参讨论是所有导数讨论题的基础，也是学生日常训练的重点.

2.讨论点的寻找是关键.

3.一些题型，可以适当的借助端点值来"压缩"参数的讨论范围

【例题1】(2023春•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)已知aeR,设函

数/(%)=^x-^x,x＞尹，若关于如勺不等式N。在％eR上恒成立，贝心的取值范围

为（）

A.[0,1]B.[1,2]C.[0,e]D,[l,e]

【变式1-1】1.（2023春・浙江杭州•高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）对正实数a

有f（*）=ex+i—alnx—111枭2。在定义域内恒成立，则a的取值范围为（）

22

A.（0,1]B.[l,e]C.（0,e]D.（0,+划

【变式1-1】2.（2022秋•安徽六安•高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习）若不等式

e——皿―2九一3》。对VxeR恒成立，其中小40,则曲勺最大值为（）

A.-哼B.-In3eC.In3eD.哼

【变式1-1】3.（2023春•四川南充・高三画中中学校考阶段练习）一般地，对于函数

丫二/④和1二双乃复合而成的函数:7=八。。）），它的导数与函数y=f（t）,t=g（x）的导数

间的关系为以'=yt'-tx'.若关于%的不等式e.>%+6对于任意％£R恒成立，贝哈的最大值

为（）

A.1B.1C.fD.e

【变式1-1J4.（2023•安徽合肥・合肥市第七中学校考三模）已知函数外吗=-%-九-1

（m,n£/?）,若/'（x）2-1对任意的xeR恒成立，则的最大值是（）

A.e-2B.—e-2C.e-1D.—e-1

【变式1-1】5.（2022春・安徽滁州•高三校考阶段练习）已知函数f（x）=（x—口―i）e，+b,

若存在beR,对于任意xe[1,2],都有|〃>）|<5,则实数a的取值范围是.

题型2恒成立问题之分离参数型

函数的最值来求解参数的取值范围.

1.分离参数思维简单，不需过多思考；

2.参变分离原则是容易分离且构造的新函数不能太过复杂

3.缺点是，首先得能分参，其次求导计算可能十分麻烦，甚至需要二阶，三阶..等等求导.

【例题2】（2023春・江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于x的不等式/

（3k—%）<2x+3对任意的xe（0,+8）恒成立，则整数k的最大值为（）

A.-1B.0C.1D.3

【变式2-1]1.（2022秋•四川内江•高三威远中学校校考阶段练习）已知不等式xe'+i—久>

Inx+2ni+3对V比6（0,+8）恒成立，则m取值范围为（）

11

A.m<--B.m>--C.m<—2D.m>—2

【变式2-1】2.（2023・全国•高三专题练习）已知f（x）,g（x）分别为定义域为R的偶函数和

奇函数，且/（X）+g（x）=ex,若关于X的不等式2f（x）-ag2（x）>0在（0,In2）上恒成立,

则实数a的取值范围是（）

A.（一8冷）B.惇,+8）c.（-oo,y]D.（一（,0）

【变式2-1]3.（2022秋・山西运城•高三校考阶段练习）已知久1,电是函数f（x）=%2-2ax

+21nx的两个极值点，且/<久2,当a泞时，不等式f（孙）2皿2恒成立，则实数小的取值

范围（）

A.[—1—ln2,o]B.—00,—1—ln2]

C.[—盛—ln2,0）D.[一看—ln2,+8）

【变式2-1】4.（2023•全国•高三专题练习）若关于x的不等式一+2£inx+i<%在（0,+8）

上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A.(—oo,0]B.(—co,-e]

C.(-oo,e]D.(-oo,-1]

题型3恒成立问题之隐零点型

解题框架(主要的)：

(1)导函数(主要是一阶导函数)等零这一步，有根xo但不可解.但得到参数和xo的等量代

换关系.备用

(2)知原函数最值处就是一阶导函数的零点处，可代入虚根xo

(3)利用xo与参数互化得关系式，先消掉参数，得出xo不等式，求得xo范围.

(4)再代入参数和xo互化式中求得参数范围.

【例题3](2023诃南郑州统考模拟预测)已知函数/⑺=：+号+1,g(久)=(1+m)e%

(meR),若/(X)<g(x)恒成立，则实数m的取值范围为

【变式3-1】1.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习)若关于工

的不等式唠一。211«；+£1对一切正实数封亘成立，则实数a的取值范围是()

A.(—8,3B.(―oo,e]C.(—oo,l]D.(—oo,2]

【变式3-1】2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(%)=§—对任意久>0,都

有人切>aln(x+1)恒成立，则实数a的取值范围是.

【变式3-1】3.(2023•广东深圳•深圳中学校联考模拟预测)若关于x的不等式1

(2k—x)<x+3对任意的x6(0,+8)恒成立，则整数k的最大值为.

【变式3-1】4.(2022•安徽•巢湖市第一中学校联考模拟预测)已知不等式办-等2?对

Vxe[l,+8)恒成立，则实数a的最小值为()

A.1B.|C.1D.1

43Z

题型4恒成立问题之洛必达法则

A./⑺是周期为2兀的奇函数B./）在（号书上为增函数

C./（%）在（-10兀,10兀）内有21个极值点D./（x）》a尤在[0方上恒成立的充要条件是

a<l

【变式4-1】1.（2020春•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考开学考试）已知函数

/（X）=x2lnx-a（x2-l）（aeR）,若/（无）>。在xe（0,1]时恒成立,则实数a的取值范围是

A.呼,+8）B.[|,+oo）C.[2,+oo）D.[1,+OO）

【变式4-1]2.（2020•江西九江•统考三模）若对任意xe（0,n）,不等式e*—>asinx

恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.[-2,2]B.（―8旬C.（―8,2]D.（―8,1]

【变式4-1]3.（2020春河北唐山•期中）若*a-1）N+i<e，r对V无>。恒成立，贝按

数a的取值范围是

A.（—oo,2]B.（—oo,2）C.（—co,l]D.（—oo,3]

【变式4-1】4.侈选）（2023春河南许昌•）已知函数7"（>）=e闭sin久，则下列结论正确的

是（）

A./⑺是周期为2兀的奇函数B./⑴在（-密）上为增函数

C./（%）在（-10兀,10兀）内有21个极值点D.八比）川比在[0,白上恒成立的充要条件是a4l

题型5恒成立问题之两个函数问题

J!«6

此类函数，多采用两函数"取最值法".一般地，已知函数y=f(x),xe[a,b],y=g。),久e[c.d]

⑴若Wxie[a,b],V%26[c,d]，总有/(%1)<g(%2)成立,故f(x)max<9(>2)min；

⑵若6[a,b],3万2C[c,d],有(久1)<9(功)成V"，故AGOmax<3(.^-2)maxi

⑶若6[a,b],三万2€[c,cZ],有/(久1)<g(久2)成V"，故八久)min<^(-^-2)min,

(4)若5e\a,b],Bx2E\c,d],有/Oi)=g(%2),则/(久)的值域是g(x)值域的子集.

♦类型1同变量型

【例题5-11(2023秋•广东阳江•高三统考开学考试)已知函数/(%)=/-ln%,g(%)=以+①

汽e(0,+8),/(%)之g(%)恒成立，则Q+1的最大值为()

A.eB.1C.—1D.—e

【变式5-1】1.(2022秋•江苏镇江•高三江苏省镇江中学校考阶段练习)已知函数

/(x)--X2+^x+2(m>0)，9(久)=ex—3x2+1,若不等式g(x)>2f(x)—x2—11对一切

xeR恒成立，则正整数小的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

【变式5-1】2.(2023•江苏•统考模拟预测)已知nX)=mx+n,g(x)=lnx,对于Vxe

(0,+8),/(%)2g(x)恒成立,则m+2zi的最小值为()

A.—ln2B.-1C.—ln4D.-2

x

【变式5-1]3.(2022・全国•高三专题练习)已知函数f(K)=x—ln(x+l),g(x)=e-x-l,

若g(x)>对VxG[0,+8)恒成立，求实数k的取值范围.

【变式5-1】4.(2020•全国•高三专题练习)设三次函数/。)=皿3+如2+=,⑶四

为实数且a力0)的导数为广Q),记。(乃=尸(无)，若对任意％eR,不等式「Q)》gO)恒成立,

则岛的最大值为

♦类型2不同变量型

【例题5-2](2022秋・河南•高三校联考阶段练习)设函数f(幻=(K—1)(/—e)，9。)=也

x-ax,其中aeR.若对任意的正实数4，%2,不等式/(勺)3g(久2)恒成立，则a的最小值

为()

A.0B.1C.|D.e

【例题5-2]1.(多选)(2023秋・广东•高三校联考阶段练习)已知f(%)=%ex,9(%)=xln

x.若存在X16R,x2G(0,+oo),使得/'(xD=。(久2)=t成立，则下列结论中正确的是()

A.当t>0时，%1%2=tB.当t>0时，elnt<xrx2

C.不存在t,使得f'OD=g'(K2)成立D.f(久)>g(x)恒成立，则mW2

【变式5-2】2.(2022秋•四川绵阳•高三四川省绵阳江油中学阶段练习)已知函数f(x)=

等，9(久)=—e/+ax(e是自然对数的底数)，对任意的久16R,存在久26色2],有了(久1)<。

(久2)，贝M的取值范围为.

【变式5-2】3.(2022秋•四川高三棠湖中学阶段练习)函数f(%)=lnx—ax,g(x)=ax2

+1,当aW0时,对任意打、久2e[l,e],者隋/'(X。>久2)成立，则a的取值范围是.

【变式5-2】4.(2021秋・湖北襄阳•高三开学考试)已知函数f(x)=ln久—%+嵩—1,g(x)

=(1)一m,p=[m|任意Xl,X2e(0,2),f(Xl)2g(x2)},Q=

{ml任意Xie(0,2),存在X2e(0,2),f(x。>g(X2)1,则PCQ=.

♦类型3函数相等型

1久1

一4[<19(K)=收

(log(x+3),x>1

2

+2x+a-l,若对任意的久j,eR,总存在实数电6(0,+8),使得/'(灯)=。(K2)成立，则实

数a的取值范围为()

A-[°41B-[°4)C-(一8,3)A1,+co)

【变式5-3】1.(2022・天津和平・耀华中学校考模拟预测)已知函数f0)=21,。(久)=

器心12；若对任意“1G[1,+8)，总存在久2eR,使/(打)=93),则实数a

I人I乙Lt,U

的取值范围是()

A.(—8,4B.(一8京)昨,2]

C.(-)>[1,2]D,(I,|]ug,2]

【变式5-3]2.(2023•新疆乌鲁木齐•乌市一中校考三模)已知函数f(x)=e2x-2%+l,g(x)

=2x-2lnx,若存在%1,刀2e(1,+8),使得/(%i)=g(%2),则()

A./(%!)<5(%i)B.2%i<ln%2

C.In(2xx)<lnx2<D.%1<lnx2<2%i

【变式5-3】3.(2021・河南・统考一模)定义：[ln(g(x))]，=卷0(x)统函数/■Q)=%2

+2x+a,g(x)=81n(x+1),若m久口冷6(0,3),打4久2,使得f(久加=9(刈)，/(x2)=9

(%2)，则实数。的取值范围是

A.(161n2-15,0)B.(161n2-15,81n2-3)

C.(0,81n2-3)D.(0,15-161n2)

【变式5-3]4.(2021春•江苏南通・高三统考阶段练习)已知函数/⑶=%2-e-"。(久)=-

|x3+2x2-3x+c,若对£(0,+00),a%2G[1,3],使/'(叼)=。(冷)成立，则c的取值范围

B

()

A

444444

<c<B-<C<CC<aC>

一

---一

.3--3-3-

次

.次

e2

些复杂结构，需要先构造合理的函数形式再求导研究，以达到“化繁为简”的目的

【例题6】（2023•全国•高三专题练习）已知£>0,x,ye（-^4），且产引叮=/sinx,

则下列关系式恒成立的为（）

A.cosx<cosyB.cos%>cosyC.sin%<sinyD.sin%>siny

【变式6-1]1.（2023•全国•模拟预测）已知函数/（J=（N+i）e\若对任意0<%2<%i,

"二譬）<Me'-e为恒成立,则实数4的取值范围为（）

1

e'ez

A.（—8,1]B.[L+8）

C.（-00,3]D.+

【变式6-1]2.（2022秋•重庆•高三校联考阶段练习）已知函数/（无）=aln（x+1）+%2,

在区间（3,4）内任取两个实数向，切且打力久2,若不等式"-一?7但-1）>1恒成立,则实数。

人1人2

的取值范围为（）

A.[-9,4-00）B.[—7,+oo）C.[9,+8）D.[7,+8）

【变式6-1】3.（2022秋•河南郑州•高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知函数

x

/（%）=ae+4%,对任意的实数久1/2e（-8,+00）,且孙力乂2,不等式+久2

人1人2

恒成立，则实数a的取值范围是（）

A・信+8）B.《,+8）C.g+8）D,+oo）

【变式6-1】4.（2022秋•湖南长沙•高三长沙市明德中学校考开学考试）已知20211n

a=a+m,20211nfo=b+m,其中a力b,若a6<2恒成立，则实数4的取值范围为（）

A.((2021e)2,+oo)B.(20212,+oo)C.[20212,+oo)D.[(2021e)2,+oo)

题型7零点问题

1.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导

数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；

2.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处

理，可以通过构造函数的方法、把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

3.利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形:

合思想研究；③构造辅助函数研究.

【例题7]（2022秋•江西抚州•高三临JI|一中校考期中）若函数f⑴=ex+依-1）+b在区

间[Q]上有零点，则a2+〃的最小值为（）

A.募B.e2C.ID.e

【变式7-1】1.（2023•安徽黄山•屯溪一中校考模拟预测）已知函数/（%）=

鼠吩3；<%<3，若函数9。）=+21有三个零点，则实数k的取值范围

是（）

A-M）uQ闾B.（0,窄）u岛闾

C（。普）咤图D.（0,f）u（±,f）

【变式7-1]2.（2021秋•广东深圳•高三红岭中学校考期末）已知函数f㈤=或—％2缶>

有且只有一个零点，贝M的取值范围为（）

A.（1,蓝）B.（e葡C.（£,+8）D.（£+8）

【变式7-1】3.（2023•浙江温州•乐清市知临中学校考模拟预测）设a>0,6eR,已知函

数/'0）=*6“+口。一3）+6,x6[1,3]有且只有一个零点，则。2+。2的最小值为（）

A-<B.fC.亨D.f

【变式7-1]4.（2023•四川广元校考模拟预测）若函数了⑴=21nx-3a/在[鱼,封上存在

两个零点，则a的取值范围是)

A・隼）B.增JC.信用D.内）

题型8同构问题

、1,4I

#塾重点

同构法的三种基本模式：

hl

①乘积型，如ae°W61nb可以同构成ae。W（lnb）e\进而构造函数/（x）=%e\

②比商型，如曰<"可以同构成言<总进而构造函数人支）=£；

③和差型，如e"士a>6±lnb,同构后可以构造函数fO）=e*±刀或/（*）=*±历k

【例题8】（2023秋•江苏镇江•高三统考开学考试）对于实数久6（0,+8）,不等式ln（mx）

+（1—爪）％20恒成立，则实数m的取值范围为（）

A.0<m<1B,m<1C.0<m<eD.m<e

【变式8-1]1.（2021秋•江苏扬州•高三扬州中学校考阶段练习）设k>0,若存在正实数

%,使得不等式Iog27》—H3-T20成立，贝此的最大值为（）

A-^―B—C—D—

A.eln3D,eln3U-2

【变式8-1]2.（2023秋•广东中山•高三校考阶段练习）对任意Xe（0,+oo）,y+1）-

（1+31©>0恒成立，则实数k的可能取值为（）

112

A--1B.-C.-D.-

【变式8-1]3.（2023秋•江西南昌•高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已如函数〃式）=a

ex+Ina+l（a>0）,若任意实数t>1,不等式/（t）>ln（t-1）恒成立，则实数a的取值范围

为（）

A-仅瑞）B.（0塌Cg,+8）D.七,+8）

【变式8-1】4.（2022秋•福建莆田•高三莆田二中校考阶段练习）对任意x>0,若不等式

a/wy+axlnx（a>0）恒成立，则a的取值范围为（）

A.（0,2e]B.（0,e]C.（0,1]D.[l,e]

【变式8-1】5.（2023春・四川内江•高三威远中学校校考阶段练习）定义：设函数y=f（x）

在（a力）上的导函数为r（x）,若广（久）在（a,6）上也存在导函数，则称函数y=/（久）在（a力）上存

在二阶导函数，简记为y=f"O）.若在区间（a,6）上f"（x）>0,则称函数丫二人功在区间但力）

上为"凹函数".已知/（久）=疑2'比—Ina—|）在区间（0,+8）上为"凹函数"，则

实数a的取值范围为.

题型9整数解问题

#塾量点

1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入

2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题

【例题9】（2022•全国•高三专题练习）已知关于x的不等式x（x-爪/）>小声有且仅有两个

正整数解（其中e=2.71828…为自然对数的底数），则实数6的取值范围是（）

A-（5e4,4e31B"（碍，帝]C.[5e4>4e3）D.[备，帝）

【变式9-1]1.（2023・重庆巴南・统考一模）已知偶函数f（比）满足/（4+吗=/（4-%）,/（0）

=-1,且当xe（0,4]时，f（x）=竽若关于%的不等式f（x）>a在[-48,48]上有且只有60个整

数解，则实数a的取值范围是（）

A.（-1,0]B.（野）C.（-L,竽）D.[竽野）

【变式9-1】2.（2023・全国•高三专题练习）函数/（久）=。一l）lnx-ax-l（a€R）,若不

等式f（x）<0最多只有一个整数解，贝！]a的取值范围为（）

A.（-8,吟）B,婚，空]

C.（―8,空]D.（—8,用

【变式9-1】3.（2023春•湖北武汉•高三武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知函数

/（X）=ax+Inez,g（x）=x+e"-Inx,若关于X的不等式f（x）>g（x）在区间（0,+8）内有

且只有两个整数解，则实数a的取值范围为（）

A.（e,e2]B.（e,^]C.（e2,e3]D.（亨南

【变式9-1]4.（2023秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知f（x）=a

（x+l）e%-2%,若有且只有两个整数解使/（x）<0成立，则实数a的取值范围为（）

【变式9-1】5.（2023・全国•高三专题练习）已知函数f（x）=kx（久+1）—Inx,若f（久）W0有

且只有两个整数解，则k的取值范围是（）

A席吗fln51n2

130T0」Wo'ioJ

「Jn2ln3-.Jn2ln3、

D.（前五）

题型10函数凹凸性问题

【例题10］(2023•云南•高三校联考阶段练习)已知函数/(无)=ln(x+m)-ex+1,满足f

(x)<0恒成立的最大整数m的值为—.

【变式10-111.(2021春•湖北鄂州•高二统考期末)已知大于1的正数a,b满足翳<

Q)71,则正整数n的最大值为()

A.7B.8C.9D.11

【变式10-1】2.(2023秋・江苏南京•高三南京市中华中学校考阶段练习)已知实数x,y满

足In(4久+3y—6)—ex+y~2>3%+2y—6,贝［jx+y的值为

A.2B.1C.0D.-1

【变式10-1】3.(2022秋・安徽•高三校联考阶段练习)已知函数〃x)=e，(|lnx|—加―久

有两个零点，则小的取值范围为()

A.(—e,+oo)B.(—|,+oo)C.(—1,+oo)D.(0,+oo)

题型11倍函数问题

驷:-我量占

1.保值函数，包括“倍增函数"，"倍缩函数"，"K倍函数"，等等新定义

2.应用函数思想和方程思想.

【例题11】(2023春•北京海淀•高二校考阶段练习)若存在久1的6口切且灯片％2,使

1go1)-9(%2)1>4/(X1)-)(久2)I成立,则在区间［a,句上，称g(x)为/'(久)的"倍函数”.设

/(x)=lnx,。(久)=五目，若在区间［6冏上，g(x)为f(x)的"倍函数"，则实数L的取值范

围为()

A.(―8周B.(-00,0

C.(―8,e]D.(―8,e)

【变式11-U1.(2020秋・海南海口•高三海南中学校考阶段练习)对于函数y=f(x),若存

在区间［a,b］,当xe［a,b］时的值域为［ka,kb］(k>0),则称y=f(x)为k倍值函数.若

f(x)=ex+3x是k倍值函数，则实数k的取值范围是()

12

A.(e+-,+oo)B.(e+-,+8)

C.(e+2,+oo)D.(e+3,+8)

【变式11-1】2.(2022•全国•高三专题练习)如果存在打，久2€［附］且血片冷，使

—g(%2)l>11/(%1)-/。2)1成立，则在区间回句上，称g(久)为/(X)的"倍函数”.设

/(%)=Inx,g(x)=21；+1，若在区间［6间上，g(x)为/(久)的"倍函数"，则实数L的取值范

围为—.

【变式11-1】3.(2023・全国•高三专题练习)函数久久)的定义域为D,若存在闭区间口力］

£D,使得函数了(x)满足：①f(x)在［a用内是单调函数；②八久)在［a用上的值域为［2a,20,则

称区间［a,0为V=/(X)的"倍值区间下列函数中存在"倍值区间"的有

①/(X)=X2(X20)；②f(久)=eR)；

③/'(X)=含(久20)；@/(%)=|%|(%e/?).

【变式11-1］4.(2023秋・湖北•高三校联考阶段练习)小王准备在单位附近的某小区买房，

若小王看中的高层住宅总共有n层(20<n<30,n£N*),设第1层的"环境满意度”为

1,且第k层(2<k<n,/c£N*)比第k—1层的"环境满意度”多出3k2_3k+l;又已

知小王有“恐高症"，设第1层的"高层恐惧度”为1,且第k层(2<kW%k€N*)比

第k-1层的"高层恐惧度"高出%告在上述条件下，若第k层"环境满意度"与"高层恐惧

度”分别为电，bkl记小王对第k层"购买满意度"为”,且4=£,则小王最想买第

()层住宅.

(参考公式及数据：12+22+32+…+声=2+iy+i),也2=0.6931,ln3=1.0986,

1.1006)

【变式11-1】5.(2022・全国•高三专题练习)若存在实数K,对任意xe/,Kf(x)成立,

_久2_2%_4%<0

lnx+|,x>o"和.(%)二」,

若9。)是/(“)在R上的K倍函数，贝欢的取值范围是

题型12二次型函数问题

【例题12】(2023•江苏南京•南京市第一中学校考模拟预测)已知函数/(k)=

%2+%+2%V02

在，尤20,若函数9(乃=26产0)—40)+：恰有6个零点，则实数a的取值范

rex，~

围为.

【变式12-1]1.(2023•全国•校联考二模)已知函数/(工)=(1—x)e\若关于%的方程2

[/(x)]2-4a/(x)+1=。有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.

【变式12-1】2.(2023•全国•高三专题练习)函数f(x)=若关于万的方程产0)

4

-2n/(x)+了=0有6个不同的实数解，则实数"的取值范围为.

X+3%<0

式;>3,若关于久的方

{X，

程[/(x)]2+a〃>)—1=。有3个不同的实数根，贝！Ja的取值范围为一.

【变式12-1】4.(2023秋•广东东莞•高三校考期末)已知函数了⑴=[£父二町

若关于X的方程f2(久)=2m[/(x)-2]有8个不同的实数解，则整数m的值为.

(其中e是自然对数的底数)

2^+1_]%<0

皿'，若

{X，

F(x)=f2(x)—af(x)+3的零点个数为3,则实数a的取值范围是.

题型13嵌套函数问题

上存在点(%o,yo)使得/(/(yo))=%)，则a的取值范围是.

【变式13-1】1.(2020春•浙江•高二校联考期末)已知函数/(幻=代2'一上¥

g(x)=f(x)-b,h(x)=f[f(.x)]-b,记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M,N,则

()

A.若M=1,贝(JN42B.若M=2,贝(JN22

C.若M=3,贝[|N=4D.若N=3,贝M=2

【变式13-1]2.(2023•天津二模)已知函数/⑴=[i驾矣\,若尸(幻=/[/(%)+1]+m

有两个零点打,久2,则久1+比2的取值范围是()

A.[4—21n2,+oo)B.[1+Ve,+a>)C.[4—21n2,l+Ve)D.(—oo,l+Ve)

【变式13-1】3.(2023•浙江•二模)已知函数/Q)=|x—a|e3贝k(/(久))=a至多有

个实数解.

【变式13-1】4.(2023・江苏•校联考模拟预测)已知函数/0)=仔：:；2荒。，若

F(x)=/(/(%)-。有六个零点，则实数t的取值范围是.