北师大版数学九年级上册知识点总结

九年级数学上册知识点归纳(最新北师大版)

(八下前情回顾)

※平行四边的定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它

的对角线.

※平行四边形的性质：

平行四边形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分，是中心对称图形(对称中心是对

角线的交点)，对角线分成的四个三角形面积相等(且有两全等)，面积=底义高(S=ah).

补充：(中心对称图形)过对称中心的任意一条直线都可将其面积平分.

※平行四边形的判别方法：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距

离相等.这个距离称为平行线之间的距离.

第一章特殊平行四边形

1.菱形的性质与判定

菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形.

※菱形的性质：

(1)具有一般平行四边形的一切性质，且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对

角线平分一组对角.

(2)菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形.对角线分成的

四个小直角三角形全等.

面积=底X高=；对角线乘积(S=ah=；be)

注意：在60。的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的百倍.

※菱形的判别方法：

⑴四条边都相等的四边形是菱形.

(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形.

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

2.矩形的性质与判定

※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.矩形是特殊的平行四边形.

※矩形的性质：

具有一般平行四边形的一切性质，且对角线相等，四个角都是直角(矩形既是中心对称图形,

又是轴对称图形，有两条对称轴，是分别过对边中点的两条直线)；面积=长乂宽(S=ab).

※矩形的判定：

⑴有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义).

(2)对角线相等的平行四边形是矩形.

(3)四个角都相等的四边形是矩形.

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

1

※推论的逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角

三角形，且这条边为直角三角形的斜边.

3.正方形的性质与判定

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.

※正方形的性质：正方形具有一般平行四边形、矩形、菱形的一切性质(正方形既是中心对

称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴)；对角线分成的四个等腰直角三角形全等；面积=

边长的平方=1对角线的平方(S=a2=-b2)

22

※正方形常用的判定：

(1)有一个内角是直角的菱形是正方形；

(2)邻边相等的矩形是正方形；

(3)对角线相等的菱形是正方形；

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：

梯形

1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

一般梯形

2.梯形的分类:Q)直角梯形

特殊梯形

、(2)等腰梯形

⑴直角梯形：有一个角是直角的梯形；

⑵等腰梯形：两腰相等的梯形；

①等腰梯形的性质：

a.等腰梯形两腰相等，两底平行；

b.等腰梯形同一底边上的两个角相等；

c.等腰梯形的两条对角线相等.

d.等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴.

②等腰梯形的判定：

a.两腰相等的梯形是等腰梯形；

b.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

C.对角线相等的梯形是等腰梯形o

提示：阵腰梯形的判定思*先证四边形为梯形(即一组对边平行且不等或另一组对边不平

行)，再证两腰相等或同一底上的两个角相等.

3.梯形的中位线：

(1)定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.

2

(2)定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

4.梯形的周长=上底+下底+腰+腰()若用a,b,c,d分别表示梯形的上底、下底、两腰，C表

示梯形的周长，则C=a+b+c+d.

5.梯形的面积=(上底+下底)X高+2=梯形的中位线X高.

研究梯形问题的主要方法：

将梯形问题通过作辅助线转化成三角形、平行四边形或矩形来解决.

梯形常用的辅助线：

作法图形

平移腰，转化为三角形、平行

四边形

平

移

法平移对角线，转化为三角形、

平行四边形

作高，转化为直角三角形和矩形C

延长两腰，转化为三角形

已知一腰中点，作梯形的中位

线

中

位

线

已知两条对角线的中点，连接

梯形一顶点与一条对角线中

点，并延长与底边相交，使问

题转化为三角形中位线

连接梯形一顶点及一腰的中

构点

造

全

3

（1）考查梯形的有关概念、梯形的一些有关计算（如求梯形的角、高以及面积）；

（2）考查梯形中位线、梯形的对角线，以及梯形的常见辅助线的添法；

⑶有关梯形的拼图问题以及梯形为背景的实际问题在中考中也有体现.

误区提醒：

（1）误认为梯形只有等腰梯形与直角梯形两种，而实质上这两种只是梯形的一个特殊情况;

（2）对等腰梯形判定定理把握不准，忽视了“同一底”这一前提条件.

【补充二】

直角三角形的定义、性质及判定

三角形类型定义性质判定

有一个1.直角三角形的两锐角互余1.有一个角是直角的三角

角是直2.直角三角形斜边上的中线等于斜形是直角三角形

角的三边的一半；2.有两个角互余的三角形

角形是3.直角三角形中30°角所对的直角是直角三角形

直角三边等于斜边的一半（逆命题：在直角3.如果一个三角形中两条

直角三角形角形，三角形中，如果一条直角边等于斜边边的平方和等于第三条边

即“Rt的一半，那么这条直角边所对的角等的平方，那么这个三角形

△”于30。）是直角三角形（勾股定理

4.直角三角形中两条直角边的平方逆定理）

和等于斜边的平方（勾股定理）

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三

角形的中位线.

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位

线.

中点四边形:依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.（中点四边形只与

原四边形的对角线有关：与对角线是相等还是垂直有关，与对角线互不互相平分无关）

名称中点四边形

任意四边形平行四边形

一般的平行四边形平行四边形

4

菱形矩形

矩形菱形

正方形正方形

对角线相等的四边形菱形

对角线互相垂直的四边形矩形

对角线既相等又互相垂直的正方形

四边形

对角线互垂直的四边形：S=-b.c（b,c为两条对角线的长）

2

基本图形

⑴四边形中基本图形

做证明题的一些思想方法：

⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题.

⑵化归思想方法:解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。

梯形问题化为三角形、平行四边形来解决.

⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图

形，从而使问题简单化.

⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目

的.

⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻

找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方

法找到证明的思路（又叫分析一综合法）.

⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题

来处理的一种思想.

【补充三】

二次根式的性质:

(1)(Va)2=a(a>0)(2)4a>0(a>0)(3)=Ia

(4)4ab=y[a~4b(a>0,Z?>0)(5)L…”>o)

第二章一元二次方程

1.认识一元二次方程

（1）概念：只含有一个未知数且未知数的最高次数为“2”的整式方程，叫做一元二次方程,

它的一般式是ax?+bx+c=O（a、b、c为常数，aNO）.

5

警示:①必须化成一般式(ax?+bx+c=O)后再进行判断；

②必须满足四个条件：一个未知数；未知数的最高次数为“2”；化简后二次项系数不

为0；整式方程；

(可以没有一次项，也可以没有常数项，但必须要有二次项，例如x?=0是一元二次方程)

(2)在一元二次方程的一般式ax?+bx+c=0(a、b、c为常数，a=0)中，ax?叫做二次项、

a为二次项系数；bx叫做二产项、b为一次项系数；c为常数项.

警示:必须要化成一般式ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a¥0)后，再进行判断.

2.解一元二次方程的方法：

(1)配方法〈即将其变为(X+加)2=0的形式>

※用配方法解一元二次方程的基本步骤：

二次项系数为“1”：

①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②把常数项移到方程的右边；

③两边加上一次项系数的一半的平方；

④把方程转化成(X+加)2=0的形式；

⑤两边开方求其根.

二次项系数不为“1”：

①把方程化成一元二次方程的一般形式；

②将二次项系数化成1；

其它步骤同上②一⑤.

【补充】

代数式“ax2+bx+c(aW0)”的配方：

ax2+bx+c=a(x2+—x)+c=a[x2+—x+(—)2-(—)2]+c=a(x+—)2--+c

aa2a2a2a4a

2a4a

・••当a>0时，a(x+-^-)220,.,b4ac-b24ac-b2

..a(x+——产+-------3

2a2a4a4a

/b.,b4ac-b24ac-b2

当a<0时，a(x+——)Y0,..a(x+——)2+-------

2a2a4a4a

4ac_b2b

综上所述：当a>0时,ax2+bx+c(aW0)有最小值，最小值为-------，当x二-一时，取得

4a2a

最小值；

6

当aVO时，ax2+bx+c(aWO)有最大值，最大值为4ac-b，当年-b二时，取得最大值.

4a2a

(2)用公式法求解一元二次方程

【必须为一般式ax2+bx+c=O(a、b、c为常数，aWO)】

公式法xJ士信心处(A-Z?2-4ac>0)

2a

【注意在找abc时须先把方程化为一般形式】

根的判另Ll式△=£>?—4ac：

当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；

当△=()时，一元二次方程有两个相等的实数根；

当△<()时，一元二次方程没有实数根.

特别提示：方程有实数根即△»()；反之，△BO,方程有实数根(这里的“方程”可能是一

元一次方程也可能是一元二次方程).

(3)用因式分解法求解一元二次方程

分解因式法：把方程的一边变成0|，另一边变成两个一次因式的乘积来求解.(主要包括“提

公因式”、“公式法”和“十字相乘”)

3.一元二次方程的根与系数的关系

be

如果一^兀一次方程+/?%+C=0的两根分别为Xi、X2,则有：X]+%2=---，=—

aa

警示:必须是一般式ax?+bx+c=0(a、b、c为常数，a#0)；如果方程中含有字母的还要要判

断“△力然后才能用根与系数的关系.

※一元二次方程的根与系数的关系的作用：

⑴已知方程的一根，求另一根；

⑵不解方程，求二次方程的根X1、X2的对称式的值，特别注意以下公式：

①X：+$(石+%2y-2%/2

11X+%

②一+——=^~~9工

国x2x1x2

③(%1_)2=(X]+%2)2—4玉工2

+々)2-4芯％2

⑤(|西|+|九2。之=(再+九2了一2九1%2+2|X1X2|

3

(§)xf+%2-(%1+X2)-3王%2(%1+九2)

⑦其他能用玉+/或X1X2表达的代数式.

7

2

(3)已知方程的两根XI、X2,可以构造一元二次方程：x-(x,+X2)X+XxX2=0

⑷已知两数XI、X2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程

2

X-(x,+x2)x+x1x2=0的根

4.应用一元二次方程

※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数(在设未知数时，大多数情况

只要设问题为X；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑)；②寻找等量关

系(一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程)。

※处理问题的过程可以进一步概括为：问题^方程慧■—解答

抽象检验

一元二次方程应用题公式总结

一.平均增长率问题

变化前数量X(1±X)n=变化后数量

即a(l±x)n=b【n是增长的次数】

注意:①如果是增长，则用a(l+x)n=b；①如果是下降(即负增长)，则用a(l-x)n=b；

二.传播问题(如病毒感染、细胞分裂等)

最初的量X(l+x)n=总量

即a(l+x)n=b[n是传播或分裂的次数】

例如：有两人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感，每轮传染中平均一个人传染

了多少个人？

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：2(l+x)z=242

【特例】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、

支干和小分支的总数是13,则每个支干长出—.

解：设每个支干长出x个小分支，

根据题意得l+x+x«x=13,

整理得x?+x-12=0,

解得x=3或x=-4(舍去).

即：每个支干长出3个小分支.

三.计数问题

(一)握手、单循环比赛等问题：-x(x-l)=m【m为总数】

2―

例如：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比置，共比赛45场比赛，共有多少个队

参加比赛？

解：设共有x个队参加比赛，由题意可得：|x(x-l)=45

(二)互发信息、互送贺卡、双循环比赛等问题：x(x-l)=m【m为总数】

例如：1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比追，共比赛90场比赛，共有个多少

个队参加比赛？

8

解：设共有X个队参加比赛，由题意可得：x(x-l)=90

2.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182

件，这个小组共有多少名同学？

解：这个小组共有x名同学，由题意可得：x(x-l)=182

3.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？

解：这个小组共有x人，由题意可得：x(x-l)=72

四.数字问题：

两位数=(十位数字)X10+个位数字

三位数=(百位数字)X100+(十位数字)X10十个位数字

五.商品营销问题

(一)解决利润问题常用的关系有：⑴利润=售价-进价；

到海诙利润inn。/售价-进价inn。/

(2)利润率=--x100%=——--x100%；

进价进价

⑶售价=进价X(l+利润率)；

⑷总利润=单品利润义销售量=总收入一总支出.

(三)具体问题

1.提价/淡价类问题：

⑴若设的是“涨价x元"，则:

(售价-进价+X)(原销售量-每提3钱数X减少的数量)=总利涧

原来的利润

有其它支出费用的:

(售价-进价+X)(原傩量-X减少的数量)-其它支出藉用=总利润

每提的钱数

原来的利润

例如:某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经

市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.

(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？

解:(1)设每千克应涨价x元，则(10+x)(500-，20)=6000

1

解得x=5或x=10,

为了使顾客得到实惠，所以x=5.

(2)设涨价m元时总利润为y,

则y=(10+m)(500-—X20)=-20m2+300m+5000

9

=-20（m2-15m）+5000

=-20[m2-15m+（7.5）2-（7.5）2]+5000

=-20（m-7.5）2+6125

当m=7.5时，y取得最大值，最大值为6125.

答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元;

（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多.

（2）若设的是“售价（定价）x元”,则:

x-原售价

（x-进价）（原销售量-X减少的数量）=总利润

每提的钱数

有其它支出费用的:

X-原售价

（X-进价）（原销售量-义减少的数量）-其它支出费用=总利润

每提的钱数

例如:将进货单价为50元的商品按60元出售，就能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,

其销售量就减少10个.问为了赚得8000元的利润，置饵应定为多少？这时应进货多少？

解:售价应定为x元，由题意可得：（x-50）（500-4二如x10）=8000

1

整理，得:x2-160x+6300=0,

（x-70）（x-90）=0

解得:x=70或x=90.

当售价为70元时，应进货为500-10X10=400个；当售价为90元时，应进货为500-30X10=200

个.

答：.

2.降价类问题：

⑴若设的是“降价x元”,则:

（售价-跚-X）（琼销售量+石荫短国L增加的数量）=总利润

每降的钱数

原来的利润

有其侬谓用的：

（售价-进价X）（原销售量+X增加的数量）-其它支出费用=总利润

每降的钱数

例如：西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可

售出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1

元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天

盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元，根据题意，得：

10

X，八

（3-2-x）（200+—x40）-24=200,

解这个方程,得：x=0.2或x=0.3,

答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元.

（2话设的是“售价定价）x元”，贝人

（刖）（原傩量十里露增力的数量）将闹

每降的钱数

有其它支出费用的：

（X颗）（原皤量+舞恁＞x增加的数量）-其微谓用=总顺

每降的钱数

例如:某品牌童装进价为20元/件，如果以60元/件卖出，平均每天可售出20件.为了迎接“六

一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调

查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天在销售这

种童装上盈利800元，那么每件童装应定价力多少元？

解:设每件童装应定价为X元，由题意，得：

60-x0

(x-20)(20+--------x8)=800

4

整理，得：x2-90x+1800=0

(x-30)(x-60)=0

解得：x=30或x=60

因为商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，

所以x=30.

答:.

其它例题

1.某商店购进一种商品，进价30元.试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售

价x（元）满足关系：P=100-2x销售量P,若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那

么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

解：设每件商品的售价应定为x元，每天要销售这种商品p件.

根据题意得：（x-30）（100-2x）=200,

整理得：x2-80x+1600=0,

（x-40）2=0,

Xj=x2=40

2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，

已知生产x只熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为

R=500+30x,P=170—2x.

11

(1)当日产量为多少时每日获得的利润为1750元？

(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

解：(1厂.•生产x只玩具熊猫的成本为R(元)，售价每只为P(元)，且R,P与x的关系式分

别为R=500+30x,P=170-2x,

(170-2x)x-(500+30x)=1750,

解得：X]=25,X2=45(大于每日最高产量为40只，舍去).

(2)设每天所获利润为肌

由题意得，W=(170-2x)x-(500+30x)

=-2x2+140x-500

=-2(x2-70x)-500

=-2(x2-70x+352-352)-500

=-2(x-35)2+2X352-500

=-2(x-35)2+1950.

当x=35时，W有最大值1950元.

答：(1)当日产量为25只时，每日获得利润为1750元；(2)要想获得最大利润，每天必须生

产35个工艺品，最大利润为1950元.

六.利息问题

常用公式：

利息=本金X利率

本息和=本金+利息=本金+本金X利率=本金X(1+利率)

利息税=利息〉税率

实得本利和=本金+利息-利息税

例如：某班级前年暑假将勤工俭学挣得的班费中的2000元按一年定期存入银行，去年暑假,

到期后取出来1000元捐给希望工程，将剩下的1000元,与利息继续按一年定期存入该银行,

待今年暑假毕业时全部捐给母校，假设该银行年利率无变化，且今年暑假到期后取得本息和

1107.45元.那么该银行一年定期存款的年利率是多少？

解：设该银行一年定期存款的年利率是x,根据题意，得：

[2000d+x)-1000]+[2000(l+x)-1000]x=H07.45.

化简,(1000+2000x)(l+x)=1107.45

400x2+600x-21.49=0.

解得x=0.035=3.5%或x=-L535(不合题意，舍去).

所以该银行一年定期存款的年利率是3.5%.

例如:王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金

和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存

款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后，可得本金和利息共530元，

求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税，只需要列式子)

解:设第一次存款时的年利率为x,由题意，得：

12

[1000(1+x)-500](l+90%x)=530

例如:周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金

和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存

款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后，可得本金和利息共530元，

求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子)

解：设第一次存款时的年利率为x,由题意，得：

{1000[l+(l-20%)x]-500}[1+60%*(l-20%)x)=530

七.几何问题

(一)静态几何问题

例1.将一条长为56cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎么剪？

(2)正方形的面积之和可能等于200cm2吗？

解：⑴解法一：设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长为

56-4x.、

------=(14-x)cm,

4

依题意列方程得x2+(14-x)z=100,

整理得：x2-14x+48=0,

(x-6)(x-8)=0,

解方程得：X]=6,X2=8,

当x=6时，一段铁丝长为6X4=24(cm),另一段长为56-24=32(cm)；

当x=8时，一段铁丝长为8X4=32(cm),另一段长为56-32=24(cm)

因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是24cm、32cm；

解法二:设其中一段铁丝长为xcm,则另一段长为(56-x)cm,由题意，得：

(：了+潭中=100

(2)两个正方形的面积之和不可能等于200cm2.

理由：由⑴解法一可知若犬+(14七)2=200,

整理，得：x2-14x-2=0,

解得：X[=7-同<0(舍去)，X2=7+庖>14(舍去)

两个正方形的面积之和不可能等于200cm2.

另外一种解法：由(1)解法一可知x2+(14-x)2=2(x-7)2+98,

V0<x<14,

.\98<2(x-7)2+98<196,

两个正方形的面积之和不可能等于200cm2.

例2.如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的

图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,求截去的小正方形的边长.

13

解:设截去的小正方形的边长为xcm,由题意，得：

10X8-4X2=80%X10X8

例3.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子,

已知盒子的容积为300cm3,则原铁皮的边长为.

解:设原铁皮的边长为xcm,由题意，得：

3(x-3X2)2=300

变式：将一块长比宽多3cm的长方形铁皮四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一

个无盖的盒子，已知盒子的体积是280cm3.求原铁皮的长.

解:设原铁皮的长为xcm,由题意，得：

4(x-4X2)(x-3-4X2)=280

例4.如图，在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地

分成面积均为885mz的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

-----------92-------------、

解法1：设水渠宽为cm,根据题意，得:92x+2X60x-2x2=885X6,

即x2-106x+105=0.

解得X]=105(舍去)，x2=l.

答：水渠应挖1m宽.

解法2设水渠宽为xm,根据题意,得(92-2x)(60-x)=885X6,

即x2-106x+105=0.

解得X]=105(舍去)，x2=l.

答：水渠应挖1m宽.

例5.(1)一块长方形草地的长和宽分别为20m和16m,在它四周外围环绕着宽度相等的小路.

已知小路的面积为160m2,则小路的宽度是.

14

解：如上图所示，设小路宽为xm,由题意，得

2%(16+2%)+2X20%=160.

整理,得：x2+18x-40=0.

解得X]=2,X2--20(舍去).

答：小路的宽为2m.

(2如图，长方形ABCD,AB=16m,BC=20m,在它的|内部四周环绕着宽度相等的小路.已知

小路的面积为160m2,求小路的宽度.

口

解：如上图所示，设小路宽为xm,由题意，得

2义16x+2%(20-2x)=160.

例6.某小区有一块长方形的草地(如图)，长18米，宽10米，空白部分为两条宽度相等的

小路，草地的实际面积为128m"则小路的宽为米.

解:设小路的宽为x米，由题意，得：

(18-x)(10-x)=128

变式：某校准备将两幢教学楼间一块长30m、宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园.为

方便同学们行走和观赏，准备在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方

种植花草.如图，要使种植花草的面积为532mz,那么小道的宽度应为多少米？(注：阴影

部分表示道路，所有小道的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)

解:设小路的宽为x米，由题意，得:

(30-2x)(20-x)=532

例7.利用一面墙（墙的长度为18米），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200nlz的矩形

场地.求矩形的长和宽.

（提示:墙长对列方程没什么用，只对方程的解起限制作用）

解:设垂直于墙的一边为长x米，则平行于墙的一边长为（58-2x）米，由题意，得：

（）解得：

X58-2x=2OO,X1=25,X2=4,

当x=25时，58-2x=58-2X25=8,当x=4时,58-2x=58-2X4=50>18（不符合题，舍去）.

所以墙的长为25米，宽为8米.

变式:如图，学校要用长24米的篱笆围成一个长方形生物园ABCD,EF是ABCD内用篱笆做

成的竖直隔断.为了节约材料，场地的一边CD借助原有的一面墙，墙长为12米，长方形

生物园ABCD的面积为45平方米，求长方形场地的边AD的长.

对

AFB

（提示:墙长对列方程没什么用，只对方程的解起限制作用）

解:设AD长为X米，则AB长为（24-3X）米，由题意，得：

x（24-3x）=45,

整理,得:x2-8x+15=0,

解得：x=3或x=5,

当x=3时，24-3x=24-3X3=15>12（不符合题,舍去），

当x=5时，24-3x=24-3X5=9.

答:长方形场地的边AD的长为5米.

例8.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12nl的住房墙，另外三边用25m

长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍

的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?

（特别提醒：墙上开门的，原来的长度+门的宽度才是总周长）

解:设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm,则矩形猪舍的另一边长为（25-2x+1）m.

依题意，得x（25-2x+l）=80,

解得x=5或x=8.

当x=5时，26-2x=16>12（舍去）,

16

当x=8时，26-2x=10<12.

答：矩形猪舍的长为10m,宽为8m.

(二)动态几何问题

例9.如图所示，己知在aABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=12cm,点Q从点A开始沿AB边向

点B以lcm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

(1)如果Q、P分别从A、B两点出发，那么几秒后，4PBQ的面积等于gem??

⑵在⑴中，4PBQ的面积能否等于10cm。？试说明理由.

£

不

A-*QB

解：(1)设t秒后，△PBQ的面积等于8cm,由题意，可得:

；X2t(6-t)=8,解得：t=2或t=4.

答2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2.

(2)△PBQ的面积不能等于10cm，理由如下：

由题意，得：

；X2t(6-t)=10,整理，得：t2-6t+10=0,

b2-4ac=36-40=-4<0,此方程无解，

所以△PBQ的面积不能等于10cm2.

例10.如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某

台风中心正以20km/h的途度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都

属台风影响区.当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km,此时台风中

心与轮船既定航线的最近距离BA=300km.

(1)如果这艘轮船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？

(2)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进

入台风影响区？(结果精确到O.Olh)

⑶假设轮船航行速度和航向不变，轮船受到台风影响一共经历了约多少小时？

解：(1)这艘轮船不改变航向，他会进入台风影响区.

理由：如上图所示，在RtZXABC中，NBAC=90°,BC=500km,BA=300km,由勾股定理，得:

17

AC=A/5002-3002=400(km).

当这艘轮船不改变,航向时，轮船由C地到A地的时间为4二00'二40,(h),

303

台风中心由B地到A的时间为理=15(h).

20

故轮船到达A地时，台风中心距离A地为300-20X—(km).

33

而W^km〈200km,所以这艘轮船不改变航向会进入台风影响区.

3

(2)设从接到报警开始，经过th这艘轮船就会进入台风影响区，则CD=30tkm,BE=20tkm,

AD=AC-CD=(400-30t)km,

AE=AB-BE=(300-20t)km,DE=200km.

在RtADAE中，由勾股定理，得AD2+AE2=DE2,

即(400-30t)2+(300-20t)2=2002.

整理,得13tz-360t+2100=0,

解得t-8.35或t-19.34.

所以从接到报警开始，经过8.35h它就会进入台风影响区.

(3)19.34-8.35=11(小时)

所以轮船受到台风影响一共经历了约11小时.

例11.如图，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A,交y轴于点B,点P在线段AB上(不

与点A,B重合)，过点P分别作0A和0B的垂线，垂足为C,D.点P在何处时，矩形0CPD

的面积为1?

3

解：设点p(x,-2x+3),一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A(—,0),交y轴于点B(0,3).

2

•.•点p在第一象限，.-.x>0,-2x+3>0,；.PD=x,PC=-2x+3.

根据题意，得S矩形OCPD=PD-PC=1,x(-2x+3)=l.

化简，得-2x?+3x-l-0,

解这个方程，得*=1或*=2.

2

当x=l时，-2x+3=-2X1+3=1,

18

...点A(i,i),

当x=L时，-2x+3=-2X-+3=2,...点6(；，2)....当点《(1,1)或£(；,2)时,

22

矩形OCPD的面积为1.

第二章《一元二次方程》易错点

1.用“十字相乘”分解因式(式子是二次三项式)

思路：对于二次三项式ax2+bx+c,将a和c分别分解成两个因数的乘积，往往

写成a=a1・a2,c=c1・c2,b=a1c2+a2cl的形式，将二次三项式进行分解.

即ax?+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

具体如下图

al^xy-d

"a2xx、c2

b=a1c2+a2c1

即aW+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

2.解一元二次方程的方法：

(1)配方法(注意方程的配方和“代数式的配方”的区别)

(2)求根公式法【必须在一般式ax2+bx+c=0(aW0)下，写a,b,c,判断△】

(3)因式分解法:①提公因式法；②公式法(完全平方公式和平方差公式)；③十字相乘法.

【必须化成“=”右边为“0”再进行解】

如果题目没有限定用哪种方法解方程的话，优先考虑“因式分解法”，因式分解法行不通时,

再考虑“求根公式法”.【注意：”因式分解法”只适用于一部分题目，而“求根公式法”只

要△》()时都能用，应用更广泛，但计算没有因式分解简便.】

3.一元二次方程有实数根即△》()，反之，△》()即一元二次方程有实数根.

特别注意:当二次项系数里含有字母时，除了要保证△满足题意外，还要保证二次项系数W0；

例如：关于X的一元二次方程(k+l)x2-2x+l=0有两个实数棚则k的取值范围是

k+1^0

提示：由题意，可得《

△=(-2)2-4(k+l)xl>0

方程有实数根时，一定要看清楚二次项系数是否是已知数，如果已知，直接用△判断，如果

未知，就需要分“二次项系数=0”和“二次项系数/0”两种情况讨论.

例如：已知关于x的方程kx2-3x+l=0有实数根.求k的取范围；

提示:①当k=0时，原方程为-3x+l=0,解得x=L,；.k=0符合题意;

3

19

②当k#0时，原方程为一元二次方程，因为该一元二次方程有实数根，

9

AA=(-3)2-4XkX1^0,解得:kW—.

4

综上所述:k的取值范围为kW‘9.

4

4.涉及到根与系数的关系的题目，首先看方程是不是一般式，不是一般式的，要化成一般

式，再看方程中是否含有其它字母，如果含有其它字母，还要保证△满足题意，最后再用

根与系数的关系进行解答.

例如：已知X]、X?是关于x的方程x2+(3k+l)x+2k2+l=0的两个不相等实数根，且满足

2

(x；-l)(x2-l)=8k,则k的值为.

提示：由题意可得:A=(3k+1)2-4X1X(2k2+1)>0,EPk2+6k-3>0,

2

X1+x,=-(3k+l),x1.x2=2k+l,

22

V(Xj-1)(x2-l)=8k,/.XpXj-CXj+x2)+l=8k,

；.2k2+l+3k+l+l=8k2,解得:k=l或,

2

1173

当k=l时，△=l+6-3=4>0,满足题意，当k=-一时，△=--3-3=-一<0,不满足题意，

244

k=l.

5.△与Rt三角形、等腰三角形

已知关于x的方程x2-(2k+l)x+4(k--)=0

2

(1)求证：这个方程总有两个实数根；

(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边恰好是这个方程的两个实数根,求4ABC的周长.

(1)证明：：△=[-(2k+l)]2-4XlX4(k--)=4k2-12k+9=(2k-3)2^0,

2

这个方程总有两个实数根；

(2)解:a为腰长时，16-4(2k+l)+4(k--)=0,

2

解得：k=—,

2

此时原方程为x2-6x+8=0,

••x।—2,x2=4,

:•△ABC的周长为4+4+2=10；

当a为底长时，△=(2k-3/=0,

3

解得k=—,

2

，此时原方程为x2-4x+4=0,

・・x]=x2=2,

20

：2+2=4,.•.该情况不符合题意.

.二△ABC的周长为10.

第三章概率的进一步认识

用树状图或表格求概率

（看清楚“放回还是不放回"，一次抽/摸“两张/两个…”当做“不放回”对待，注意书写格

式）

相关知识点链接：

频数与频率

频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数.

频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率.

概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个事件发生的可能性大

小的数值。必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率

在。与1之间.

【知识点1］利用画树状图或列表法求概率（重难点）

应用画树状图法和列表法求概率的共同前提是：（1）各种情况出现的可能性是相等的，

某事件发生的次数

且总次数不是很大；（2）某事件发生的概率公式均为P（A）=(3)

各种情况出现的次数

在列出并计算各种情况出现的总次数和某事件发生的次数时不能反复也不能遗漏.

区别：树状图法适用于两步或两步以上试验的随机事件发生的概率；列表法适用于两步

试验的随机事件发生的概率.

注意书写格式：（概率题很简单，但有些同学由于不注意书写格式，导致丢分）

解：由题意，可列表（或画树状图）如下：

表格（或树状图）【略】

由上表（或图）可知，共有…种等可能的情况，其中谁有…种情况，；.P「尸……，

答：……

游戏是否公平：就是看游戏双方获胜的机会是否相等，计算机会的大小实际上就是计算

概率的大小.

【知识点2］通过实验运用稳定的频率来估计某一事件的概率

当试验次数足够大时，试验频率稳定在某一数值附近，此时我们可以用这个稳定数值来估计

该事件发生的概率.

第四章图形的相似

21

成比例线段

1.线段的比

XI.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线

段的比AB:CD=m:n，或写成"=巴.

CDn

X2.成比例线段及比例的性质：

(1)成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即q=工，那

bd

么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段.

※注意点：

①a:b=k,说明a是b的k倍;

②由于线段a、b的长度都是正数，所以