导数及其应用（讲义）-2025年北京高考数学二轮复习（原卷版）

专题04导数及其应用

目录

01考情透视•目标导航............................................................

07军nt口旦囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................9

05核心精讲•题型突破...........................................................11

题型一：求已知函数的极值或最值11

题型二：由函数在区间上的单调性求参数13

题型三：利用导数求函数的单调区间（含参与不含参）15

题型四：求曲线上一点处的切线方程17

重难点突破：利用导数判断或证明已知函数的单调性18

0

考情透视•目标导航

有关导数的北京高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主，突出基础性;大题一般以探索创新情境为

主，突出综合性，作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点：

⑴利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧

重通性通法，含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利用导

数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题，要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的

渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练，突出理性思维和数学探索的学科素养的培养

考点要求目标要求考题统计考情分析

熟练掌握导数的

2021年北京卷第15题，5分

导数小题切线、极值、最值

问题预测2025年高考，导

数小题一般切线最值及极

值,突出基础性，大题一般

侧重单调性、恒成立问题'

2024年北京卷第20题，15分利用导数证明不等式、利

2023年北京卷第20题，15分用导数研究零点或方程解

掌握恒成立、单调2022年北京卷第20题，15分的问题

导数大题

性及证明不等式2021年北京卷第19题，15分

2020年北京卷第19题，15分

2019年北京卷第19题，15分

〃用识导图•思维引航\\

牛nt口捺理•右法怙,

L导数运算问题

技巧总结

幽几个常用函数的导数1

/(x)=c(c为常数)=/'(x)=0/(x)=/n/'(x)=2x

XX

项基本初等函数的导数公歪)

/(x)=x"(acQ+)nax.'(2-1f(x)=sinx=，'(x)=cosx

/(x)=cosx=>f'(x)=一sinx/(x)=ax=>f'(x)=axIna(a〉0,aw1)

/(x)=log„Xn尸(x)=-(a>0,aw1)

xina

/(x)=lnx^/,(x)=-

X

(鬲简单函数导数的运算法匝)

[/U)±g(*)]'=f'(x)±gG)

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)

[/(*),g(。]=/'(ag(尤)+/W-gQ)

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数

J1八八，(g(无)=0)

J[g(x)f

两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方

@)复合函数的导薮)

定义：一般地，对于两个函数y=/(a)和M=g(x),如果通过变量”,y可以表示成x的函数，那么称这个

函数为y=/(")和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))

求导：复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=f(a),M=g(x)的导数间的关系为y#=坨•%,,即y对x

的导数等于y对“的导数与"对x的导数的乘积

简称：由外到内依次求导

2.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

技巧总结

(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标.

(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点.

(3)曲线〉=〃到"在”点尸(%,%)处的切线与“过”点尸(为,%)的切线的区别：曲线y=〃x)在点

P(x0,%)处的切线是指点尸为切点，若切线斜率存在，切线斜率为左=/'(%),是唯一的一条切线；曲线

y=f(x)过点尸(.%,%)的切线，是指切线经过点尸，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可

能有多条.

@在点的切线方程)

切线方程y-/(%0)=f\x0)(%-%0)的计算：函数y=/(x)在点A(x0,/(x0))处的切线方程为

,

y-/(x0)=f(x0)(x-x0),抓住关键.

[k=f(x0)

0过点的切线方程)

设切点为P(x(,,%),则斜率左=/'(Xo),过切点的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0),

又因为切线方程过点ii),所以根-尤0)然后解出/的值.(%有几个值，就有几条切线)

3.有关可导函数单调性问题

麦道

⑥「求可导函数单调区间的一般蚓)

(1)确定函数/(x)的定义域；

(2)求了'(x),令/'(幻=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

(3)把函数/(x)的间断点(即/(x)的无定义点)的横坐标和((©=0的各实根按由小到大的顺序

排列起来，然后用这些点把函数/(x)的定义域分成若干个小区间；

(4)确定了'(X)在各小区间内的符号，根据/'(x)的符号判断函数/(x)在每个相应小区间内的增减性.

注①使f\x)=0的离散点不影响函数的单调性，即当/'(x)在某个区间内离散点处为零，在其余点处

均为正(或负)时，/(%)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的例如，在(-oo,+oo)上，/(%)=%3,

当x=0时，/'(x)=0；当xwO时，f\x)>0,而显然/(x)=x3在(―8,+oo)上是单调递增函数.

②若函数y=/(x)在区间(。力)上单调递增，则/'(x)20(7'(x)不恒为0),反之不成立.因为

f'(x)20,即/⑺>0或八x)=0,当/'(x)>0时，函数y=/(x)在区间(。/)上单调递增.当/'(%)=0

时，/(%)在这个区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间(。力)上单调递减，则/'(x)<0(/'(x)

不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不

必要条件.于是有如下结论：

/(x)>0n/(x)单调递增；/(x)单调递增n/'(x)20；/'(x)<0n/(%)单调递减；/(%)单调递减

=>/'(%)<0.

邈用函数的单调性求参数的取值范围的解题避)

①由函数在区间以句上单调递增(减)可知/(x)20(r(x)V0)在区间［他切上恒成立列出不等式；

②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；

③对等号单独检验，检验参数的取值能否使广(x)在整个区间恒等于0,若/(%)恒等于0,则参数的这

个值应舍去；若只有在个别点处有了'(x)=0,则参数可取这个值.

4讨论单调区间问题

技巧总结

住型一：不含参数单调性讨爱

(1)求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数

正负区间段己知，可直接得出结论)；

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

尊型二：含参数单调性讨论2)

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连

续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

(5)导数图像定区间；

5.函数的极值

技巧总结

函数/(X)在点x0附近有定义，如果对无。附近的所有点都有了(无)<f(x0),则称/(x0)是函数的一个极大值,

记作y极大值=/(修).如果对不附近的所有点都有y(x)>y(xo),则称/(/)是函数的一个极小值，记作

%

>极小值=/(0)•极大值与极小值统称为极值，称Xo为极值点.

⑥可导函数极值的一般步Q

(1)先确定函数y(x)的定义域；(2)求导数((x)；(3)求方程-0)=0的根；

(4)检验((x)在方程/(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那

么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)在

这个根处取得极小值.

6.函数的最值

技巧总结

函数y=/(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数/(X)最小值为极小值与靠近极

大值的端点之间的最小者.

导函数为/(x)=cue+bx+c=。(尤—%)(x-x,)(加<无］<x,<ri)

(1)当a>0时，最大值是/(占)与/(〃)中的最大者；最小值是了小)与/(附中的最小者.

(2)当a<0时，最大值是/(々)与/(他)中的最大者；最小值是/(西)与/(〃)中的最小者.

一般地，设y=/(x)是定义在即，网上的函数，y=/(x)在(m,n)内有导数，求函数y=/(x)在刖，加上

的最大值与最小值可分为两步进行：

(1)求y=f(x)在(m,ri)内的极值(极大值或极小值);

(2)将y=/(x)的各极值与/(㈤和/(〃)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

7.函数恒成立问题

技固总结______

(恒成工问题一)

(1)若函数/(九)在区间。上存在最小值/(工).和最大值/(%),贝U

J\J\/minJ\/max

不等式/(x)>。在区间。上恒成立=/>a；

不等式在区间。上恒成立。/(可强>a；

不等式/(x)<匕在区间。上恒成立=/(x)1rax<b；

不等式在区间。上恒成立=/(x)ma，Wb；

(2)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，且值域为(加，〃)，贝。

不等式/(x)>a(或f(x)Na)在区间。上恒成立omNa.

不等式y(x)<M或在区间。上恒成立=加《6

(3)若函数在区间。上存在最小值“XL和最大值即/(4)«力,小，则对不等式

有解问题有以下结论：

不等式a<八%)在区间£>上有解oa</(x)max；

不等式aW在区间。上有解=aW/(x)2；

不等式a>/(x)在区间。上有解=a>/(x)血门；

不等式a2/(x)在区间。上有解oa2/(x)1n；

(4)若函数/(x)在区间。上不存在最大(小)值，如值域为(根，n),则对不等式有解问题有以下

结论：

不等式a</(%)(或。4/(%))在区间£)上有解oa<〃

不等式b>f(x)(或人>f(%))在区间D上有解ob>m

(5)对于任意的花e[a,可，总存在马目现n\,使得K目(马)=/(%)111ax«目(9)1rax；

(6)对于任意的％e[a,可，总存在％e[m,〃],使得/(%)Ng(%)O/(七心之；

(7)若存在西e[a,可，对于任意的马目取同，使得了(西卜8仁)=〃%)*Vg(%)1n

(8)若存在花e[a,b],对于任意的马egn\,使得/(石)*(%2)0/(花)皿会仁心；

(9)对于任意的须e[a,b],e[m,月使得/(%)<g(%)。/(M侬Wg®).；

(10)对于任意的石e[a,句,%«m,〃]使得/(%)冷(%2)0〃不可々(为2)皿；

(11)若存在不e[a,可，总存在％e[m,〃]，使得/(石)WgG)=4%)一分(%)厘

(12)若存在石>[a,句，总存在9e[m,可,使得/&)*(%)石)-Ng®)1nto.

8.函数零点问题

技巧总结

函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参

数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴(或直线丁=左)在某区间上的

交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

9.导数证明不等式问题

技巧总结

(1)直接构造函数法：证明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))转化为证明/⑺-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数/z(x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

1.(2021•北京・高考真题)已知函数，幻言旭X-直-2,给出下列四个结论：

①若％=0,/⑺恰有2个零点；

②存在负数左，使得"X)恰有1个零点；

③存在负数k,使得/(%)恰有3个零点；

④存在正数k,使得/(%)恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

2.(2020・北京・高考真题)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达

标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间f的关系为W=/(r),用一"①的大小评价在

b-a

［。,切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下

图所示.

①在［%这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在G时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在4时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在也这三段时间中，在［0,河的污水治理能力最强.

其中所有正确结论的序号是.

3.(2024.北京.高考真题)设函数2(x)=x+Ain(l+x)化味0),直线/是曲线y=/(x)在点⑺)(/>0)处

的切线.

(1)当上=一1时，求“X)的单调区间.

⑵求证：/不经过点(0,0).

(3)当k=1时，设点(少(t>0),C(0,/(?)),0(0,0),8为/与y轴的交点，与与枷分别表示

△ACO与AABO的面积.是否存在点A使得2s△ACO=15S-B。成立？若存在，这样的点A有几个？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

4.(2023•北京・高考真题)设函数/(尤)=苫-丁产+〃，曲线y=〃尤)在点(1J⑴)处的切线方程为y=f+1.

⑴求a,6的值；

(2)设函数g(x)=7'(x),求g(x)的单调区间；

⑶求“X)的极值点个数.

5.(2022・北京•高考真题)已知函数/(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲线y=/(%)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵设g(x)=/'(x),讨论函数g(x)在［0,M)上的单调性；

(3)证明:对任意的s,re(0,+℃),有/(s+t)>/(s)+/«).

6.(2021•北京・高考真题)已知函数

(1)若a=0,求曲线y=/(x)在点(L〃l))处的切线方程；

(2)若在尸-1处取得极值，求“力的单调区间，以及其最大值与最小值.

7.(2020•北京•高考真题)已知函数/(x)=12-/.

(I)求曲线V=/(x)的斜率等于-2的切线方程；

(II)设曲线y=/(x)在点匕/⑺)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为SQ),求S⑺的最小值.

葡5

核心精法题型突破

题型一：求已知函数的极值或最值

【典例1-1】设函数/。)=/_3以+b,若函数/(X)在x=2处取得极小值8.

⑴求。涉的值；

⑵求函数f(x)在［。,3］上的最大值和最小值，以及相应x的值；

(3)证明：曲线>=/(幻是中心对称图形.

【典例1-2】如果〃力=依-3在区间(-1,0)上是单调函数，那么实数。的取值范围为()

A.(—℃,—］U［1,+°°)B.［―,1］C.(-<»,—］D.［1,+℃)

eee

一般地，设函数/(尤)在点x=x。及其附近有定义

(1)若对于X。附近的所有点，都有/(x)</(x0),则/(x0)是函数/(x)的一个极大值,记作y极大值=/(%0)

(2)若对.%附近的所有点，都有/(x)>/(%),则Ax。)是函数/(x)的一个极小值，记作y极小值=/(%)

用导数求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域②求导数f\x)③求方程f\x)=0的根④检查f\x)在方程根左右的值的符号，如

果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则“X)在这个根处取得极小值

求函数最值的的基本步骤

若函数y=f(x)在闭区间［凡切有定义，在开区间3力内有导数，则求函数y=/(x)在［a,b］上的最大值

和最小值的步骤如下

(1)求函数/(X)在3,力内的导数尸(x)(2)求方程/(©=0在(a,b)内的根(3)求在(a,6)内使((x)=0

的所有点的函数值和/(幻在闭区间端点处的函数值/(a),于3)(4)比较上面所求的值，其中最大者为函

数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最大值，最小者为函数y=f(x)在闭区间［a,句上的最小值

【变式1-1］若函数/(x)=xex-ax,则根据下列说法选出正确答案是()

①当ae«e,-e—1时，/(x)在尤eR上单调递增；

②当。€(--2,0)时，f(x)有两个极值点；

③当时，f(x)没有最小值.

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【变式1-2】已知函数y=〃尤)的导函数、=((龙)图象如图所示，则下列说法正确的是()

A./(^)>/(%3)6.%是极大值点

C.f(x)的图象在点》=工处的切线的斜率等于0

D.在区间(。㈤内一定有2个极值点

【变式1-3】函数“X)的定义域为开区间SM，导函数/⑺在(a,6)内的图象如图所示，则函数“X)在开

区间(a,6)内有极小值点()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1-4】已知函数/(x)=(ar2—2x+2)e'—X,则下列命题不正确的是()

A.当a=l时，〃x)有唯一极小值B.存在定直线始终与曲线y=〃x)相切

C.存在实数a,使/(X)为增函数D.存在实数a,使/(x)为减函数

1命题预测二|

1.设函数/(x)=e*-lnx的极值点为尤°,且/wM,则M■可以是()

A.（ofB.［1，ljC.（1,2）D.（2,4）

2.已知函数有两个极值点，则实数。的取值范围（）

2e

A.0<Q<—B.0vavln2C.〃<eD.0<<2<In—

e2

3.已知函数FQ）=尤（皿尤-办）有两个极值点，则实数。的取值范围是（）

A.I-<»AIB.|7-，+0°I

4.已知函数/（x）=x-sin无，下列叙述中不正确的一项是（）

A./（x）在R上单调递增B.7（x）无极值点

C.f（x）有唯一零点D.曲线>=/（尤）只有一条斜率为0的切线

7T

5.实数/（x）=2cos尤+尤在0,-上的极大值点为（）

题型二：由函数在区间上的单调性求参数

【典例2-1】已知/（x）=av+2co&x+Asin%M£R.

⑴当〃=0时，求曲线,=/（%）在点（。"（0））处的切线方程；

JTTT

⑵若函数“X）在区间-于5上为增函数，求实数。的取值范围.

【典例2-2】已知函数=/一ar?—1.

⑴若。=1,求“X）的极值；

（2）直接写出一个。值使在区间［-1,0］上单调递减.

利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即尸（无）20（或（（x）V0）恒成立，利用分离参数

或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意

②先令尸(x)>0(或尸(x)<0),求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”时/(无)是否满足题意

【变式2-1]若函数“无)=伫电竺在区间上单调递增，则实数0的取值范围是_____.

cosx162)

【变式2-2】如果=7九Le”在区间(TO)上是单调函数，那么实数机的取值范围为.

【变式2-3】已知函数/("=加-2了2+1在区间(0,1)上存在增区间，贝ija的取值范围是.

【变式2-4]设函数〃％)=2x-在(1,2)上单调递减，则实数〃的取值范围是()

A.[4,5]B.(5,+oo)C.[4,+co)D.[5,+co)

【变式2-5]若函数=在区间(Qi)内为增函数，则实数。的取值范围是()

A.[2,+00)B.(0,2)C.(-00,2)D.

命题预测

1.若函数/(x)=3-lnx在(。,心上不单调，则实数上的取值范围是()

A.[1,+co)B.(1,+8)C.(0,1)D.(0,1]

2.若f(x)=sinx-cosx在[0,a]上单调递增，则a的最大值是()

兀「兀_3兀一

A.-B.-C.—D.兀

424

IT1T

3.若函数/(x)=e/+cosx)在[-3万]上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.B.[1,+<»)C.夜]D.F-V2,+OO)

题型三：利用导数求函数的单调区间(含参与不含参)

【典例3-1】设函数/(尤)=：次2—(2。+1)尤+ln(x-l)+4.其中a>0.

(1)求函数〃尤)的单调区间；

(2)当a时.对于可，&e(2,〃z],不等式〃尤?)42〃石)-:恒成立，求机的取值范围.

综上所述：加的取值范围为(2,5].

【典例32］已知函数”尤)=

⑴求的图象在点(1J⑴)处的切线方程;

⑵讨论〃%)的单调区间.

不含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或

恒负，无需单独讨论的部分)

(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函

数正负区间段己知，可直接得出结论)

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)

含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个

连续的区间)

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或

恒负，无需单独讨论的部分)

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)

(5)导数图像定区间

【变式3-1】设函数/(x)=x2-2x+alnx.

(1)当a=-4时，求的极值；

(2)当a>0时，判断了(X)的单调性.

k

【变式3-2］已知函数/'(元)=111(1+彳)一彳+5尤2(%20).

⑴当左=2时，求曲线y=在点(1J⑴)处的切线方程;

⑵求的单调区间；

1Q

(3)当4=£时，求证：x>0时，r成立.参考数据(ln2=0.693).

11Y4

则gajWgO'u-5-v-ZV-O.OS7,可得/(x)>g(x),即当尤>0时，/(x)>—-—

zeoe/e

【变式3-3】已知函数〃x)=or-ln(x+l)(fleR).

(1)若a=l,求/(X)的最小值；

(2)若存在极小值，求。的取值范围.

【变式3-4］已知函数〃x)=(2x+1)Inx—x2—2x.

⑴求了(%)的单调区间；

(2)若关于x的不等式广(x)〈-x+a有解，求实数a的取值范围.

【变式3-5】已知函数〃力=(--6+l)e*(aeR)在x=2处取得极小值.

(1)求a的值，并求函数〃x)的单调区间；

(2)求/(x)在区间［-2,0］上的最大值和最小值.

1命题预测I1

1.已知函数〃%)=竺¥.

e

⑴当。=1时，求/(X)的单调区间和极值；

(2)当a»l时，求证：/(x)<(a-l)x+l;

2.已知函数〃x)=(x-a)e*-x2.

⑴当。=0时，求“X)在x=0处的切线方程；

⑵当a=l时，求的单调区间；

(3)当/(X)有且仅有一个零点时，请直接写出a的取值范围.

3.已知函数f(x)=x3+ax2+fct-l在x=l处有极值-1.

(1)求实数a,b的值；

⑵求函数g(x)=ax+lnx的单调区间.

题型四：求曲线上一点处的切线方程

【典例4-1】设函数〃x)=x+Aln(l+x)(FO),直线/是曲线y=〃“在点⑺)(r>0)处的切线.

⑴当人=-2时，求/'(X)的单调区间.

(2)求证：/不经过点(0,0).

【典例4-2】已知函数/(x)=xlnx—d+1.

求〃x)在点(1,〃功处的切线方程；

用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：

①求出切点(%,/■(%))的坐标

②求出函数y=f(x)在点尤0处的导数于'(X。)

③得切线方程》-/(%)=f'(x)(x-x0)

【变式4-1】已知函数/(x)=

(1)求曲线y=fM在点d,/(D)处的切线方程；

(2)求的单调区间；

【变式4-2］已知函数〃力=上巴3>0).

x+a

⑴求曲线y=〃x)在点(L〃l))处的切线方程；

(2)判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由.

【变式4-3】已知函数〃x)=竺士口，fleR.

⑴当a=0时，求曲线y=〃x)在点(0,〃。))处的切线方程;

⑵求“X)的单调区间；

命题预测

1.曲线y=$3+1在点(-3,-8)处的切线斜率为()

A.9B.5C.-8D.10

2.已知函数/(%)=e"+cosx.

(1)求曲线y=/(x)在点(o,/(o))处的切线方程；

3.已知〃x)=e*一办