北师大版七年级数学下册同步训练：同底数幂的乘法（5类热点题型）（解析版）

第01讲同底数幕的乘法（5类热点题型讲练）

学习目标

1.经历探索同底数幕乘法运算性质的过程，进一步体会塞运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算

能力和有条理的表达能力.

2.了解同底数嘉乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.

3.从数的相应运算入手，类比过渡到式的运算，从中探索、归纳式的运算法则，使新的运算规律自然而然地

同化到原有的知识之中，使原有的知识得到扩充、发展.

思维导图

同底数幕的乘法

।।

❶同底数寻的乘法性质❷同底数靠的乘法的逆用公式

知识清单

知识点01同底数幕的乘法性质

同底数塞的乘法性质：""•屋=〃"+"（其中相，〃都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数幕是指底数相同的幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数塞相乘时，也具有这一性质，

即屋（m,n,2都是正整数）.

知识点02同底数幕的乘法的逆用公式

同底数塞的乘法的逆用公式：把一个基分解成两个或多个同底数暴的积，其中它们的底数与原来的底数相

同，它们的指数之和等于原来的幕的指数.即（小，〃都是正整数）.

题型精讲

题型01同底数幕相乘

【例题】(2023上•黑龙江哈尔滨•八年级校考阶段练习)计算：

(l)/n5-m-rn1(2)2x4-x-3x2-x3

【答案】⑴/

⑵-尤5

【分析】(1)根据同底数塞乘法法则求解即可得到答案；

(2)先根据同底数幕乘法法则求解，再合并同类项即可得到答案；

【详解】(1)解：原式=加+1+3=环；

(2)解：原式=2^4+1-3尤2+3=_9；

【点睛】本题考查同底数基的乘法运算，解题的关键是熟练掌握小

【变式训练】

1.(2023上•八年级课时练习)计算：

⑴必.无6；⑵片"."用；(3)(-2)X(-2)2X(-2)3.

【答案】⑴V

(2)小

(3)26

【分析】(1)根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；

(2)根据同底数塞相乘，底数不变，指数相加进行计算即可；

(3)根据同底数塞相乘，底数不变，指数相加进行计算即可.

【详解】(1)原式=针6=*8；

(2)原式=产+向=漕+1；

(3)原式=(-2)3=(_2)6=26.

【点睛】本题考查了同底数累的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2.(2023上•八年级课时练习)计算：

⑴°3.(_城"2；(2)34X36X3;

⑶y2"M.yi.y3"+2(w为大于1的整数)；⑷口-丫丫外-打心-力

【答案】⑴-/。

(2)3n

(3)y6n+2

(4)-(x-y)9

【分析】(1)先确定符号，再根据同底数幕乘法法则进行计算；

(2)根据同底数幕乘法法则进行计算；

(3)根据同底数基乘法法则进行计算；

(4)先变形为同底数幕，再根据同底数幕乘法法则进行计算.

【详解】⑴/(_动5/=_/+5包=_/

(2)34x36x3=34+6+1=3n

/o\,,2n+l,,n-l,3n+2_,2n+l+n-l+3n+2_,,6n+2

is)y-y-y=y-y

(4)(x-y)5-(y-x)3-(x-y)=-(x-y)5-(x-y)3-(x-y)=-(x-y)9

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，掌握运算法则是解题的关键.

题型02同底数塞乘法的逆用

【例题】(2023下•陕西西安•七年级校联考期末)已知4=3,4=5,求：0工+》的值.

【答案】15

【分析】由于优./=，+1所以代入可得结论.

【详解】解：团优"=，+>,ax=3,ay=5,

0ax+y=ax.ay=3x5=15.

【点睛】本题考查了同底数嘉的乘法法则的逆用.同底数募的乘法法则：同底数的幕相乘，底数不变，指

数相加.

【变式训练】

1.(2023下,浙江•七年级专题练习)(1)己知""=2,"=3,求/""的值；

(2)已知33M=81,求x.

【答案】(1)6；(2)x=l

【分析】(1)根据同底数幕的乘法进行计算即可求解；

(2)逆用同底数幕的乘法，得到33^=3。问题得解.

【详解】解：(1)回*=2,a"=3,

团"""=a"'xan=2x3=6;

(2)033A+1=81,

1333M=3%

03x+l=4,

解得：x=1.

【点睛】本题考查了逆用同底数幕的乘法及其逆用的知识，掌握同底数幕的乘法的运算法则是解题的关键.

2.(2023下•全国•七年级专题练习)已知小=2,a"=3,求下列各式的值：

⑴储"。

Qi；

(3)am+n.

【答案】⑴2a

(2)3〃

(3)6

【分析】(1)逆用同底数塞乘法运算法则进行计算即可；

(2)逆用同底数累乘法运算法则进行计算即可；

(3)逆用同底数幕乘法运算法则进行计算即可.

【详解】(11解：Sam=2,

团am+i=am-a=2a;

(2)解：回。"=3,

0a"+2=a"-a1=3a2

(3)解：Eld"=2,M=3,

Sam+n=am-a"=2x3=6.

【点睛】本题主要考查了同底数幕乘法，解题的关键是熟练掌握同底数幕乘法运算法则，准确计算.

题型03用科学记数法表示数的乘法

【例题】(2023上•四川乐山•八年级校考阶段练习)一种计算机每秒可做2xl0i°次运算，它工作600秒可做

次运算.

【答案】1.2xl013

【分析】分析题意，每秒可做2xIO1。次运算，列出工作600秒可做的运算次数的算式；接下来进行解答，

然后用科学记数法表示出来即可.

【详解】解：它工作600秒可做的运算次数为：2xlOlox6OO=1.2xlO13

故它工作600秒可做1.2x10"次运算.

故答案为：1.2X10'

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。xlO"的形式，其中1<|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及w的值.

【变式训练】

1.(2023上•甘肃天水•八年级校联考期中)光速约为3xl()8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5x102秒，

求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为米.

【答案】1.5X1011

【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可.

【详解】解：3xlO8x5xlO2=15xlO10=1.5xl0n^;

故答案为：1.5x10”

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为。xlO”的形式，其中14时<10,“为整

数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

2.(2023下•湖南怀化•七年级统考期末)卫星绕地球运动的速度是7.9x103米/秒，那么卫星绕地球运行3xl()6

秒走过的路程是米.

【答案】2.37xlO10

【分析】根据路程=速度x时间，即可求解.

【详解】解：根据题意可得：

7.9xl03x3xl06=23.7xlO9=2.37xlO10(米)，

故答案为：2.37xlO10.

【点睛】本题主要考查了乘方的运算，同底数幕相乘，科学记数法，解题的关键是掌握同底数幕相乘，底

数不变，指数相加；以及科学记数法的表示方法.

题型04已知代数式的值，求式子的值

【例题】若3x32m><33m=321，则m的值是.

【答案】4

【详解】解：03x32mx33m=321,

团^L+2m+3m_^21

团1+2m+3根=21

解得m=4.

故答案为：4.

【变式训练】

1.(2023下•江苏连云港•七年级统考期中)已知x+y-4=0,贝|2工-2》的值为.

【答案】16

【分析】由已知条件可得尤+y=4,再利用同底数暴的乘法法则及累的乘方法则对式子进行整理，再代入相

应的值运算即可.

【详解】解：0x+y-4=O,

Elx+y=4,

ffl2x-2y=2x+y=24=16.

故答案为：16.

【点睛】本题主要考查同底数幕的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.

2.(2023上•八年级课时练习)(1)已知10"，=4,10"=5,求10、"的值;

(2)已知。+3b=4,求3"x33"的值.

【答案】(1)20；(2)81

【分析】(1)根据同底数幕乘法的逆运算计算，即可求解；

(2)根据同底数累乘法运算计算，即可求解.

【详解】解：(1)10m+n=10m-10"=4x5=20.

(2)3flx33Z,=3fl+3Z)=34=81.

【点睛】本题主要考查了同底数暴乘法及其逆运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

题型05新定义有关同底数累的运算

【例题】(2023下•全国•七年级专题练习)如果"=6,那么我们规定(。，b)=c,例如：因为23=8,所以

(2,8)=3

⑴根据上述规定，填空：

(3,27)=,(4,1)=；

(2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.求证：a+b=c.

【答案】⑴3,0,

(2)见解析

【分析】(1)根据示例要求，直接可求解；

(2)根据同底数基相乘的逆用可求解.

【详解】(1)解:033=27,4°=1，

回(3,27)=3,(4,1)=0,

故答案为：3,0；

(2)证明：0(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,

03"=5,3b=6,3。=30,

03"义3匕=30,

x3*=3°,

Sa+b-c.

【点睛】本题考查了同底数幕相乘的逆应用，解答本题的关键是正确的找到题目给出的规律.

【变式训练】

1.(2023下•江西抚州•七年级统考期中)规定两数a,6之间的一种运算，记作(〃,6)：如果那么

(a,b)=c.例如：

023=8,0(2,8)=3

⑴根据上述规定，填空：(3,81)=,(4,1)=,(2,；

⑵小明在研究这种运算时发现一个现象：(3",4")=(3,4),小明给出了如下的理由：

设(3",4")=x,则(3")'=4",即(3。"=4",

03x=4,即(3,4)=x,

回（3",4"）=（3,4）.

请你尝试运用这种方法判断（3,7）+（3,8）=（3,56）是否成立，若成立，请说明理由.

【答案】⑴4；0；-2

⑵成立，见解析

【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；

（2）设（3,7）=x,（3,8）=y,则3'=7,3＞=8,根据3"+'=3*=7x8=56,得出（3,56）=x+y即可证明

结论.

【详解】（1）解:034=81,

0（3,81）=4；

04O=1，

0(41)=0；

回2-2」，

4

故答案为：4；0；-2.

（2）解：成立，理由如下：

设（3,7）=x,（3,8）=y,

则3*=7,掌=8,

=3"3了=7x8=56,

0（3,56）=x+y,

回（3,7）+（3,8）=（3,56）.

【点睛】本题主要考查了事的运算，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握同底数塞乘法，负整

数指数幕运算法则和零指数幕运算法则，准确计算.

2.（2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习）阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算

也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23=8可以变形为1428=3,1。8525=2也可以

变形为9=25.在式子23=8中，3叫做以2为底8的对数，记为log?8.一般地，若a”=b（。＞0且“wl,

》＞0）,贝"叫做以。为底Z?的对数，记为log》,即log/=w.

根据上面的规定，请解决下列问题：

⑴计算：log232=,log216+log24=；

（2）小明在计算log1025+log104的时候，采用了以下方法：

设logio25=x,log104=y

.•.10尤=2510』

:A0x+y=10%xl0y=25x4=100=102

:.x+y=2

.•.log1025+log104=2

通过以上计算，我们猜想log”"+log*=.

【答案】⑴5,6；

⑵log.（M*N）

【分析】（1）根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可；

（2）理解题中的运算步骤，设log〃M=x,log〃N=y,对式子进行变形，求解即可.

【详解】（1）解：国2$=32,24=16,22=4

[?]log232=5,log216=4,log24=2

[?]log216+log24=6

故答案为：5,6

y

（2）设log〃M=x,logflN=y,则N=a

^\MxN=axxay=ax+y

团x+y=\oga（MxN）

即log.M+log.N=logfl（MxN）

故答案为：log"（MxN）

【点睛】此题考查了同底数塞乘法的逆运算，乘方的逆运算，解题的关键是理解新定义运算，熟练幕的有

关运算.

强化训练

一、单选题

1.（2023上•吉林长春,八年级统考期末）计算x.尤2的结果是（）

A.3xB.x1C.xD.%3

【答案】D

【分析】本题考查了同底数累的乘法，熟记塞的运算法则是解答本题的关键.同底数基相乘，底数不变,

指数相加，据此计算即可.

【详解】解:无•，=1.

故选：D.

2.（2024下•全国•七年级假期作业）下列各组式子中，是同底数塞的是（）

A.23与32B./与（_0）3

C.（m-n）s与（m-葭丫D.（a-b）?与（b-a），

【答案】C

【解析】略

3.（2023上•内蒙古巴彦淖尔•八年级校考阶段练习）若=2,"=3,则〃"1+"的值是（）

A.5B.6C.a6D.a5

【答案】B

【分析】本题主要考查同底数暴乘法的逆用，直接利用，变形，即可选出答案.

【详解】解：由题可知am+n=amd；

团a"=2,an=3;

团产〃=2x3=6;

故选：B.

4.（2024下•全国•七年级假期作业）电子文件的大小常用B,kB,MB,GB等作为单位，其中lGB=2i°MB,

lMB=21（,kB.lkB=210B.某视频文件的大小约为1GB,1GB等于（）

A.230BB.830BC.8X1O3OBD.2X1O3OB

【答案】A

【解析】略

5.（2023上•湖南湘西•八年级校考阶段练习）小方和小亮在玩抽卡计算的游戏，他们设计了如下图所示的4

张卡片，请你从中抽取两张卡片，并计算它们的乘积，能够得到炉的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢

（）

H①D②H③H④

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】D

【分析】本题考查了整式的乘法，熟记"同底数幕相乘底数不变指数相加”是解题关键.

【详解】解:4①③的乘积为V•（-/）=-尤5,不符合题意；

B、②③的乘积为尤•（/）=4,不符合题意；

C、②④的乘积为x-(x3)=x4,不符合题意；

D、①④的乘积为r.(尤3)=丁，符合题意；

故选：D.

二、填空题

6.(2023下•陕西宝鸡•七年级校考阶段练习)计算一疗.1=.

【答案】-m5

【分析】根据同底数塞的乘法法则"同底数募相乘，底数不变，指数相加”，求解即可.

3

【详解】解：—.m=—病.

故答案为：-m5.

【点睛】本题主要考查了同底数募的乘法运算，熟练掌握同底数塞的乘法法则是解题关键.

7.(2023上•全国•八年级课堂例题)计算：(1)n/-nr=；

(2)(m—»)•(«—m)3-(n—m)4=.

【答案】-2m4-(〃

【分析】(1)先根据同底数幕的乘法法则计算，再合并即可；

(2)把(〃-叫整体作为底，根据同底数嘉的乘法法则计算即可.

【详解】解：(1)加—疗•〃/=—7"，一"=一241;

(2)(wz—〃)•(〃—mF-{n—nif=—(72—m)1+3+4=—(7?—m)8,

故答案为：—2m4;-(«—⑼8.

【点睛】本题考查了同底数哥的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则.计算同底数基的乘法时，底数不

变，指数相加.

8.(2022上•湖南衡阳•八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习)若〃?+3"-5=0,则2皿义8"=.

【答案】32

【分析】本题主要考查了同底数累的运算，先将机+3〃-5=0变形为m+3〃=5,再把2'"x8"变形为223",

然后整体代入计算即可.

【详解】解：回〃7+3九-5=0,

Sm+3n=5,

团2加x8”

=2mx2?n

_2m+3〃

=25

=32.

3

9.(2023下•山东青岛•七年级校考阶段练习)xm-2-x2m=x4,贝匕疗-加+1=

2

【答案】5

【分析】利用同底数幕的乘法的法则对已知条件进行整理，可求得加的值，再代入所求的式子运算即可.

【详解】解：QX斡2.尤2”=_,

•J阳-2_,

.\3m-2=4,

解得：m=2,

321

:.—m-m+1

2

3

=-X292-2+1

2

=6-2+1

=5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查同底数累的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

10.(2023上•福建泉州•八年级福建省安溪第一中学校考阶段练习)如果尤"=y,那么我们规定(x,y)=〃.例

如:因为乎=9,所以(3,9)=2.若则/=.

【答案】80

【分析】根据定义解答即可.

【详解】设°,(犯5)=q,=

/.mp=16?=5fmr=t

(m,16)+(m,5)=(m,,

•••p+q=r,

...mp+q=mr,

mpxnf=mrf

即16x58

t=80.

故答案为：80

【点睛】本题考查的是累的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握嘉的乘方和积的乘方法则是解题

的关键.

三、解答题

11.(2023上•全国•八年级专题练习)化简:

(1)(-2)8-(-2)5；

⑵(a-/?)。.^a-by^a-b^f.

【答案】⑴一吸3

⑵(

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，

(1)根据同底数幕的乘法运算法则计算即可；

(2)根据同底数嘉的乘法运算法则计算即可.

【详解】(1)解：(一2)8.(-2)5

=(-2片

=(-2)13

=-213;

(2)解：(a-Z;)2(a-b)\a-b^

/i\2+1+3

=ya-b)

=(a-8)6.

12.(2023下•全国•七年级专题练习)计算

⑴―；

(2)32X33X3;

(3)4X27X8;

(4)(-a)2-(-a)3；

(5)(/n-2M)2(^m—2nf；

⑹(x-2y)4(2y-x)3.

【答案】⑴“6

(2)36

(3)212

(4)-a5

⑹(2y-x)7

【分析】(1)根据同底数幕乘法运算法则进行计算即可；

(2)根据同底数累乘法运算法则进行计算即可；

(3)先将4,8变形为22,23,再根据同底数幕乘法运算法则进行计算即可；

(4)根据同底数塞乘法运算法则进行计算即可；

(5)将(机-2”)看作一个整体，根据同底数幕乘法运算法则进行计算即可；

(6)将(x-2y)4变形为仁丁-力，然后根据同底数嘉乘法运算法则进行计算即可.

242+46

【详解】(1)解：x.%=%=%；

(2)解：32X33X3=32+3+1=36;

(3)解：4x27x8=22x27x23=22+7+3=212;

(4)解：(-a)2-(-a)3=(-a)2+3=(-a)5=-a5；

(5)解：(771—2n)2(zn—2n)3=(/«—2H)2+3=(/«-2n)5；

(6)解：(尤一2y)4(2y-x)3=(2y-x)4(2y-x)3=(2y-尤)“3=(2y-xf.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幕乘法法则，准确计算.

13.(2023・全国•九年级专题练习)计算：

(l)(-a2)-(-a)3-(-a)4；

(2)(-A：)7-(—x)2-x4；

(3)(a—6)3.(》一a)4.(a—b)5；

(4)4X2'"2-2X2"+I.

【答案】⑴/

⑵-产

(3)3”产

⑷3X2-2.

【详解】(1)原式=(-/)•(-〃)./=/；

(2)原式=-X，-；

(3)原式=(<2-6)3.(a-6)4M-A)，=.

(4)原式=4X2"+2_2'+2

=2,,+2X(4-1)

=3x2"巴

【点睛】本题主要考查了同底数基相乘的知识，掌握同底数塞相乘的运算法则是解答本题的关键.

14.(2023下・全国•七年级专题练习)⑴已知""=4,"=3,求a*"的值;

⑵已知2Kl=64,求x.

【答案】(1)12；⑵x=5

【分析】(1)根据同底数幕的乘法进行计算即可求解；

(2)根据同底数幕的乘法进行计算即可求解.

【详解】解：(1)am+n^am-an

=4x3

=12.

(2)因为=2"x2=64,

所以2'=32=2$.

所以x=5.

【点睛】本题考查了逆用同底数幕的乘法，掌握同底数塞的乘法的运算法则是解题的关键.

15.（2023上•河南南阳•八年级校考阶段练习）回答下列问题：

⑴已知2x+5y-4=0,求4匚32,的值；

（2）已知2X8，X16=223,求x的值.

【答案】⑴16

（2）6

【分析】（1）根据同底数累乘法的逆运算解答；

（2）根据同底数塞乘法法则计算即可.

【详解】（1）解：因为2x+54=0,

所以2x+5y=4,

所以4*•32,=22X-25y=22x+5y=24=16.

（2）解：H2x8rx16=2x231x24=21+3I+4=223,

所以l+3x+4=23,

所以x=6.

【点睛】此题考查了同底数累乘法的计算法则及逆运算，正确掌握同底数暴乘法的计算法则是解题的关键.

16.（2023上•贵州铜仁•八年级校考阶段练习）阅读材料:如果"=6那么。为a,b的"关联数"，记为c=乙（。1），

例如3?=9.贝IJ有2=“3,9）

（1）若L（—3,x）=3,£（j,-8）=3,x+y的值？

（2）若.=£（“7,4）,6=L（私5）,c=£（m,20）,其中机力0,请说明：c-b=a.

【答案】⑴-29

⑵见解析

【分析】⑴根据"关联数"的定义可得（-3）3=x,/=-8,进而求解；

（2）根据"关联数"的定义可得加"=4,"=5,讳=20,进而可得机J“=W,再根据同底数塞的乘法法

则即可求解.

【详解】（1）解：因为“一3,彳）=3,L（y,-8）=3,

所以（-3）3=X,y3=-8,

所以尤=-27,y=—2,

所以尤+y=-27—2=—29；

（2）证明：因为a=L（:〃,4）,b=L（m,5）,c=L（m,20）,

所以ma=4,mb=5>=20,

因为4x5=20,

所以机Jn/二机"^ma+b=mc,

所以a+Z?=c,BPc-b=a.

【点睛】本题是新定义题，以"关联数"的定义为载体，主要考查了乘方的运算和同底数幕的乘法，正确理解

"关联数"的定义是关键.

17.（2023下,江苏无锡•七年级校考阶段练习）规定两数°,6之间的一种运算，记作（。，力）：如果

那么（。，b）=c.

例如：因为23=8,所以（2,8）=3.

⑴根据上述规定，填空：（-3,-27）=,（5,£|=.

⑵小明在研究这种运算时发现一个现象：（3"，4"）=（3,4）小明给出了如下的证明：

设（3",4"）=x,则（3"丫=4",即（3。"=4",

所以3后4,即（3,4）=x,

所以（3",4"）=（3,4）.

请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由：（4,5）+（4,6）=（4,30）.

【答案】⑴3,-1

⑵见解析

【分析】（1）根据题中规定的新运算结合