北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案

北师大版九年级上册数学期中考试试题

一、单选题

1.下列说法错误的是（）

A.对角线互相垂直的平行四边形是矩形B.矩形的对角线相等

C.对角线相等的菱形是正方形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2.一个菱形的两条对角线分别为4和5,则这个菱形的面积是（）

A.8B.10C.15D.20

3.在矩形N8CD中，对角线NC与区D相交于点O,N4D3=34。，则/A4O的度数是

C.56°D.60°

4.如图，公路AC、BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为

3.2km,则M,C之间的距离是（

A.0.8kmB.1.6kmC.2.0kmD.3.2km

5.用配方法解方程f+6x+4=0时，原方程变形为（）

A.(X+3)2=9B.(x+3y=13C.(X+3)2=5D.(X+3)2=4

6.一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2,-1,0,

1.卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为

负数的概率是（）

1flcl-3

A.—B.—C.—D.一

4324

7.已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程——6x+8=0的两根，则该等腰三角形的

底边长为（）

A.2B.4C.8D.2或4

1

8.某地一家餐厅新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增

长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x,则x满足的方程是()

A.5000(1+x)=6050B.5000(l+2x)=6050

C.5000(1-x)2=6050D.5000(1+x)2=6050

9.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,CE垂直平分DO,AB=1,则BE等于()

2

C.-D.2

3

10.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一

动点，连接PB、PQ,则APBQ周长的最小值为()

A.亚B.3C.V5+1D.2G

二、填空题

11.一元二次方程(x+)=》+1的根是.

12.若关于x的方程(°-1)/汩-7=0是一元二次方程，则2=—.

13.x2-4x+l=(x-2)2-.

14.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,试添加一个条件:

使得平行四边形ABCD为菱形.

15.若关于x的一元二次方程依-l)/+x+1=0有实数根，则k的最大整数值是.

16.一个袋子中6个红球，若干白球，它们除颜色外完全相同，现在经过大量重复的摸球试

2

验发现，摸出一个球是白球的频率稳定在0.4附近，则袋子中白球有个.

17.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交

CD于点P,则NFPC的度数是.

18.如图，在必中，N/=90°,AB=6,BC=10,P是BC边上的一点，作PE垂直AB,

PF垂直AC,垂足分别为E、F,求EF的最小值是.

三、解答题

19.用适当的方法解方程：

(l)x2+2x-1=0；(用配方法)

(2)3x2-5x+l=0；(用公式法)

(3)3(2x+l)2=4X+2；(用因式分解法)

⑷3X2+5X=3X+3.(选择适当的方法)

20.“一方有难，八方支援”.四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、

乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川.

(1)若随机选一位医生和一名护士，用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果；

(2)求恰好选中医生甲和护士A的概率.

21.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ZABC：ZBAD=1：2,AC//BE,

CE〃BD.

⑴求/DBC的度数；

(2)求证：四边形OBEC是矩形.

E

22.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且

3

PA=PE,PE交CD于点F.

(1)证明：PC=PE；

23.某公园内有一块长30m,宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花

坛中修建三条长方形的矩形小道(如图)，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为

532m2,那么小道的宽度应为多少米？(注：所有小道宽度相等)

24.某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可

售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场

调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件.试问：每件衬衫降价多少元时，

平均每天赢利750元？

25.如图，在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线

交BE的延长线于点F,连接CF.

(1)求证：Z\AFE以Z\DBE；

(2)若ABLAC,试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说

4

参考答案

1.A

【解析】

根据特殊平行四边形的性质判断即可；

【详解】

经过判断，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误；B、C、D均正确；

故答案选A.

【点睛】

本题主要考查了特殊平行四边形的判定，准确判断是解题的关键.

2.B

【解析】

【分析】

根据菱形的面积计算公式计算即可；

【详解】

•••菱形的两条对角线分别为4和5,

二菱形的面积=、4X5=10；

2

故答案选B.

【点睛】

本题主要考查了菱形的面积计算，准确计算是解题的关键.

3.C

【解析】

【分析】

由矩形的性质得/BAD=90。，OA=OC=yAC,OB=OD=yBD,AC=BD,则OA=OD,

由等腰三角形的性质得NOAD=NADB=34。，进而得出答案.

【详解】

解：：四边形ABCD是矩形，

NBAD=90。，OA=OC=JAC,OB=OD=yBD,AC=BD,

.*.OA=OD,

5

；.NOAD=NADB=34°,

ZBAO=90°-ZOAD=90°-34°=56°；

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角

形的性质是解题的关键.

4.B

【解析】

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=gAB,代入求出即可.

【详解】

VACXBC,

ZACB=90°,

为AB的中点，

.,.CM=1AB,

VAB=3.2km,

CM=1.6km,

故选：B.

【点睛】

此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出

CM=yAB是解题的关键.

5.C

【解析】

【分析】

方程整理后，配方得到结果，即可做出判断.

【详解】

解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0,即（x+3）2=5.

故选：C.

【点睛】

6

此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

6.B

【解析】

【分析】

画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果

数，然后根据概率公式求解.

【详解】

解：画树状图如下：

-2-101

AAAA

-1o1-201-2-11-2-10

由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种,

41

所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为丘=§,

故选B.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选

出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

7.A

【解析】

【分析】

解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即

可得出答案.

【详解】

解：x2-6x+8=0

(x—4)(x—2)=0

解得：x=4或x=2,

当等腰三角形的三边为2,2,4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；

当等腰三角形的三边为2,4,4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，

所以三角形的底边长为2,

故选：A.

7

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能

够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键.

8.D

【解析】

【分析】

根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为

6050元列方程即可得到结论.

【详解】

解：设每天的增长率为X,

依题意，得:5000(1+x)2=6050.

故选：D.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.

9.A

【解析】

【分析】

根据矩形的性质可证明AODC,AOAB都是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出

OE的长，即可的答案；

【详解】

四边形ABCD是矩形，

OA=OB=OD=OC,

VCE垂直平分相等OD,

r.CO=CD,

oc=OD=CD,

•■•△OCD,AAOB都是等边三角形，

:.OB=AB=OD=1,OE=DE=yOD=y,

8

故选A.

【点睛】

本题考查矩形的性质、等边三角形的判断和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

10.C

【解析】

【分析】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ,交AC于点P,那么&PBQ的周长最小,

此口寸APBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ.在RtACDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长

度，再得出结果即可.

【详解】

连接DQ,交AC于点P,连接PB、BD,BD交AC于O.

四边形ABCD是正方形，

AC±BD,BO=OD,CD=2cm,

...点B与点D关于AC对称，

BP=DP,

.'.BP+PQ=DP+PQ=DQ.

在RMCDQ中，DQ="CD'+CQ2=J2?+F=5

..△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=V5+1.

【点睛】

此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题关键.

11.%=0,X2=—]

9

【解析】

【分析】

利用因式分解法求解可得.

【详解】

解:(X+I)2=X+1,

(x+1)2—(x+1)=0,

贝！|x(x+l)=O，

.18=0或x+l=O,

解得再=0，X2=-1,

故答案为：再=0,x2=-l.

12.-1.

【解析】

根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值.

【详解】

解：：关于x的方程(a-1)xa2+l-7=0是一元二次方程,

Z.a2+1=2,且a-l#),

解得，a=-1.

故答案为-1.

13.3

【解析】

利用配方法的步骤整理即可.

【详解】

解：x2-4x+l

=x2-4x+4-3

=(x-2)2-3,

故答案为3,

14.AD=DC(答案不唯一)

【详解】

由四边形ABCD是平行四边形，

10

添加AD=DC,根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形;

添加ACLBD,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD

为菱形.

故答案为：AD=DC（答案不唯一）.

15.0

【解析】

关于x的一元二次方程（左-1）尤2+x+l=0有实数根，则△=/一4aW0,且k-l#）,求出k的

取值范围即可解决本题.

【详解】

解：关于x的一元二次方程（左-Ox?+x+1=0有实数根，

则

k-lwO

解得：片且附，

则k的最大整数值为；0,

故答案为：0.

16.4

【解析】

根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是

其发生的概率.

【详解】

设袋子中白球有x个，

X

由题意得，--=0.4,

6+x

解得：x=4,

经检验x=4是原方程的解

故袋子中白球有4个，

故答案为：4.

17.112.5°

【解析】

11

利用正方形的性质得到N8CD=90。，NCBD=45。,再根据菱形的性质得BF平分，ZEBD,

所以/C3P=22.5。，然后根据三角形外角性质计算/EPC的度数.

【详解】

解：：四边形ABCD为正方形，

ZBCD=90°,NCBD=45。,

'：四边形BEFD为菱形，

ABF平分NEBD,

"CBX225。,

ZFPC=ZPBC+ZBCP=22.5°+90o=112.5°.

故答案为：112.5。.

18.4.8

【解析】

根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP,要使EF最小，只要AP最小即可，根据

垂线段最短得出即可.

【详解】

解：连接AP,

VZBAC=90°,PE±AB,PFXAC,

ZBAC=ZAEP=ZAFP=90°,

四边形AFPE是矩形，

；.EF=AP,

要使EF最小，只要AP最小即可，

过A作AP_LBC于P,此时AP最小，

在RtZkBAC中，ZBAC=90°,BC=10,AB=6,由勾股定理得：AC=8,

由三角形面积公式得：^x6x8=^xlO-AP,

22

；.AP=4.8,

12

即EF=4.8,

故答案为：4.8.

【点睛】

本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理以及垂线段最短的应用.

19.(l)xi=-1+72，X2=-1-V2

c、5+VTs5—y/l3

(2)X1=―--,X2=一一

66;

,八—1—1

(3)X1=-—，X2=-—

26

,八-i+Vio-i-Vio

4

()玉=---，X2=―--

【解析】

【分析】

(1)根据配方法求解即可；

(2)根据公式法求解即可；

(3)根据因式分解法求解即可；

(4)根据公式法求解即可；

(1)

解：x2+2x-1=0,

x2+2x=1,

x2+2x+l=l+l,即(x+1)2=2,

•*x+l=±，

・'・X1=-I+V2，X2=-1-V2.

(2)

解：3x2-5x+l=0,

Va=3,b=-5,c=l,

・・・A=(-5)2-4x3xl=13>0,

则x=5

6

日n5+Jl35—J13

即xi=---------，x=----------;

626

(3)

解:3(2x+l)2=4X+2,

13

3(2x+l)2-2(2x+l)=0,

（2x+l）[3（2x+l）-2]=0,

2x+l=0或6x+l=0,

11

Xl=--,X2=--.

26

（4）

解：3x2+5x=3x+3f

3x2+2x-3=0

Va=3,b=2,c=-3,

AA=22-4x3x（-3）=40>0,

._—2±2J10_—1±y/lQ

••X---------------------------------------,

2x33

.—1+y/io—i—Vio

..X1=--------------------,X2=-----------------.

33

【点睛】

本题考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解法解一元二次方程的方法：配方法、公式法、

因式分三种方法是解题的关键.

20.（1）详见解析；（2）

6

【解析】

（1）利用用树状图（或列表法）列举出所有情况；

（2）让恰好选中医生甲和护士A的情况数除以总情况数即为所求的概率.

【详解】

解：（1）用列表法或树状图表示所有可能结果如下：

护士

AB

医生

甲（甲，/）（甲，B）

乙（乙，/）（乙，B）

14

丙(丙，（丙,B）

(2)因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，

所以尸(恰好选中医生甲和护士/)=：.(3分)

0

【点睛】

本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的

结果，适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是

还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.(1)30°(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一

对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出NBDC度数；

(2)由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四

边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证.

【详解】

(1),四边形ABCD是菱形，

；.AD〃BC,ZDBC=-ZABC,

2

AZABC+ZBAD=180°,

VZABC：ZBAD=1：2,

ZABC=60°,

.,.ZBDC=-ZABC=30°;

2

(2)证明：：四边形ABCD是菱形,

15

，AC_LBD,即/BOC=90°,

：BE〃AC,CE〃BD,

；.BE〃OC,CE〃OB,

.••四边形OBEC是平行四边形，

则四边形OBEC是矩形.

【点睛】

此题考查了矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.

22.(1)见解析；(2)90°

【解析】

【分析】

(1)由四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，得AB=BC,NABP=

ZCBP=45°,利用SAS可证得△ABPgZ^CBP即可证明PC=PE.

(2)由4ABP附△CBP,得/BAP=NBCP,从而得NDAP=NDCP,再由PA=PE即可证

出NDCP=/E,进而可证出/CPE=/EDF=90。.

【详解】

(1)证明：：四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，

；.AB=BC,/ABP=/CBP=45。，

在4ABP和4CBP中，

AB=BC

<ZABP=ZCBP,

PB=PB

.".AABP^ACBP(SAS),

APA=PC,

VPA=PE,

APC=PE,

(2)解：由(1)知，AABP^ACBP,

AZBAP=ZBCP,

AZDAP=ZDCP,

VPA=PE,

...NDAP=NE,

16

；.NDCP=/E,

VZCFP=ZEFD,

Z.180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

即NCPE=/EDF=90°.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键

在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

23.小道进出口的宽度应为1米.

【解析】

【分析】

观察图形可知，种植花草的地方拼凑起来可以得到一个新矩形，设小道进出口的宽度为x

米