第九章　统计与成对数据的统计分析

第九章统计与成对数据的统计分析[知识网络][命题方向]1．统计与成对数据的统计分析作为高考的必考内容，在2025年的高考中预计仍会以“一小一大”的格局呈现．2．小题一般比较简单，出现在选择题或填空题中比较靠前的位置，命题角度主要有：统计数据的分析，多以统计图表(折线图或柱状图)的形式提供数据，进行数据的特征分析，如均值、方差、最值点及趋势分析等．3．解答题属于中档以上题目，题目涉及两个以上的知识模块，具有一定的综合性．命题角度主要有三个方面：一是统计图表与分布列的综合；二是统计数据的数字特征与回归分析、独立性检验等的综合，此类问题计算量较大，注重数据的分析与应用；三是统计图表与函数内容的结合，包括函数解析式的求解与应用等，这有可能重新成为命题的热点．探究1(人教A版必修第二册P174)假设口袋中有红色和白色共有1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同．你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究2(人教A版必修第二册P179)小明想考察一下简单随机抽样的估计效果．他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为165.0cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如下表所示．从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现？抽样序号12345678910样本量为50的平均数165.2162.8164.4164.4165.6164.8165.3164.7165.7165.0样本量为100的平均数164.4165.0164.7164.9164.6164.9165.1165.2165.1165.2____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究3(人教A版必修第二册P183)与考察简单随机抽样估计效果类似，小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果．他用比例分配的分层随机抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数如下表所示．与上一小节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较，小明有了一个重要的发现．你是否也有所发现？抽样序号12345678910男生样本的平均数170.0170.7169.8171.7172.7171.9171.6170.6172.6170.9女生样本的平均数162.2160.3159.7158.1161.1158.4159.7160.0160.6160.2总样本的平均数165.8165.1164.3164.3166.4164.6165.2164.9166.1165.1____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究4(人教A版必修第二册P197)分别以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图．观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？(1)“组数为3”(2)“组数为27”______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究5(人教A版必修第二册P206)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在图中的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________探究6(人教A版选择性必修第三册P94)在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示．表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据．编号1234567年龄/岁23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2编号891011121314年龄/岁53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题1(人教A版必修第二册P181T1)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量．若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数()A．一定为5.5kW·h B．高于5.5kW·hC．低于5.5kW·h D．约为5.5kW·h_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题2(人教A版必修第二册P184T1)数据x1，x2，…，xm的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，数据y1，y2，…，yn的平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，证明：eq\f(\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi＋\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi,m＋n)＝eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－)).___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题3(人教A版必修第二册P189T6)数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，数据y1，y2，…，yn的平均数为eq\o(y,\s\up6(－))，a，b为常数．如果满足y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b.证明：eq\o(y,\s\up6(－))＝aeq\o(x,\s\up6(－))＋b.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题4(人教A版必修第二册P216T4)数据x1，x2，…，xn的方差和标准差分别为seq\o\al(2,x)，sx，数据y1，y2，…，yn的方差和标准差分别为seq\o\al(2,y)，sy，若y1＝ax1＋b，y2＝ax2＋b，…，yn＝axn＋b成立，a，b为常数，证明：seq\o\al(2,y)＝a2seq\o\al(2,x)，sy＝|a|sx.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c为非零常数，则()A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同点评本题考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，基础题与课本题相似度极高．典题5(人教A版必修第二册P198T1)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在被调查的用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001.)_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________点评本题考查了频率分布直方图，属于中档题．典题6(人教A版必修第二册P203例2)根据9.1.2节问题3中女生的样本数据，女生的原始数据为：163．0164.0161.0157.0162.0165.0158．0155.0164.0162.5154．0154.0164.0149.0159.0161.0170．0171.0155.0148.0172．0162.5158.0155.5157.0163.0172.0估计树人中学高一年级女生的第25，50，75百分位数．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题7(人教A版必修第二册P204例3)根据如图所示的频率分布表或频率分布直方图，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．分组频数累计频数频率[1.2，4.2)230.23[4.2，7.2)320.32[7.2，10.2)130.13[10.2，13.2)90.09[13.2，16.2)90.09[16.2，19.2)50.05[19.2，22.2)30.03[22.2，25.2)40.04[25.2，28.2]20.02合计1001.00_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题8(人教A版必修第二册P208)借助居民月均用水量的频率分布直方图．如图，你能估算出样本的平均数、中位数和众数吗？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题9(人教A版必修第二册P216T3)在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？(1)平均说来一队比二队防守技术好；(2)二队比一队技术水平更稳定；(3)一队有时表现很差，有时表现又非常好；(4)二队很少不失球．_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________典题10(人教A版必修第二册P224T2)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是()A．平均数3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差点评本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数，中位数，方差，极差的定义以及计算方法，与课本中习题考点一致，属于基础题．典题11(人教A版选择性必修第三册P101例1)在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表所示．表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据．编号1234567年龄/岁23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2编号891011121314年龄/岁53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6根据上表中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度．_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i根部横截面积xi材积量yi10.040.2520.060.4030.040.2240.080.5450.080.5160.050.3470.050.3680.070.4690.070.42100.060.40总和0.63.9并计算得eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝0.038，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝1.6158，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(1.896)≈1.377.___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________点评本题考查相关系数的求法，考查计算能力，与课本中例题相似度高．典题12(人教A版选择性必修第三册P132例3)某儿童医院用甲、乙两