不等式-2024年高考数学一轮复习提升卷

单元提升卷02不等式

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若a>0,6>0,则下列不等式中不成立的是（）

A.a2+b2>2abB.a+b>l4ab

°°1°111

C.a2+b2>—（a+b）2D.—+—<------（aw6）

2aba-b

【答案】D

【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.

【详解】因为显然有力+b222a6,故A正确；

而a>0,6>0,所以.+622，^，故B正确；

又/+〃-<（0+6）2=；/+3〃-ab=；（a-b>20,所以1+〃2；（4+6了，故C正确；

1131

不妨令。=2/=1,则上+[=:>」^=1（g6）,故D错误.

ab2a—b

故选：D.

2.关于x的不等式一一办一6/<0（。<0）的角举集为（）

A.（-8,2a）D（—3a,+8）

B.（2a,-3a）

C.（一8,3〃）D（2a,+8）

D.（3a,-2a）

【答案】D

【分析】直接解一元二次不等式即可得到答案.

【详解】不等式一—方一6/<0（。<0）可化为（％-3。）（％+2。）<0.

*.*a<0,3a<x<-2a.

原不等式的解集为（3a，-2a）.

故选：D

3.不等式3£-7x+2>0的解集是（）

A.]，2）B.1一2,-：C.U（2,+oo）D.（-oo,-2）U^-1,+1»

【答案】C

[分析]由因式分解结合一元二次不等式的解的特征即可求解.

【详解】由31—7龙+2>0得（无一2）（3无一1）>0,解得x<；或x>2,

故不等式的解为「s,£|U（2,+W,

故选：C

4.不等式（2）（1）>o的解集为（）

2x+l

A.-I,-—U[3,+co）B.一L—,1U（3,+8）

C.一1,一g[u[3,+co）D.

【答案】C

【分析】写出不等式的等价形式，再利用数轴标根法求出不等式的解集.

【详解】不等式―叽。等价于]「"-3代+1”°,

2x+l[2x+l片0

利用数轴标根法可得或x23,所以不等式解集为-l,-^U[3,+«）.

故选：C

5.已知。，b,c为不全相等的实数，P=a2+b2+c2+3,Q=2（a+b+c）,那么尸与。的大小关系是（）

A.P>QB.P>Q

C.P<QD.P<Q

【答案】A

【分析】利用作差法判断即可.

【详解】因为P=/+〃+C2+3,0=2(a+6+c)

所以P-Q=/+b2+c2+3-2(a+b+c)=(a-l)2+(b-l)2+(c-l)2>0,

当且仅当a=b=c=l时取等号，

b,。为不全相等的实数，因此等号不成立，即尸-。>0,

.■.P>Q.

故选：A

6.已知4-3"'=3-2'=1,贝！I()

A.m>n>-lB.n>m>—l

C.m<n<-1D.n<m<—l

【答案】D

【分析】利用指数式和对数式的互换得到加，“，然后利用作差法和基本不等式比较大小即可.

【详解】由已知得加=-log34<T,n=-log23<-l,

11logs2+logs4

又1-logs2.logs4所以〃<加〈一1.

m—n=log23-log34=>0

岷2logs2log32

故选：D.

.x—cix+4W0

7.设集合/={x|lW3},集合B为关于x的不等式组2(一,、/2一八的解集，若则6

x-(26+3)x+b+3b40

的最小值为()

,1613

A.6B.—C.5D.—

33

【答案】C

>%?—ctx+4V0

【分析】由己知可得22、/在1，3上恒成立，由此可求。力的范围，再求的最小值.

x-［2b+3)x+b+3b<0L」

X2-6ZX+4<0一、

【详解】因为不等式组、，的解集={x1<x<3},AuB,

%?2_z（26+3）1+62+36<0用11'一

所以不等式x2-ax+440在［L3］上恒成立，

且不等式x2-(2b+3)x+b2+3b<Q的解集包含集合A,

又不等式/-(26+3)x+62+3640可化为(x-6)(x-6-3)40,

所以不等式/-(26+3b+62+3抬0的解集为也6+3],

所以[1,3仁[6,6+3],所以6+323,且641,所以0441.

不等式x+3Wa在[1,3]上恒成立，故(x+fMa,其中xe[l,3],

XIX/max

设/(x)=x+3,xe[l,3],

则/(x)=X+：在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增,

又/⑴=5,八3)=3+g=T，

所以当x=l时，函数/(x)=x+g,xe[l,3]取最大值，最大值为5,

所以。25,

所以当。=5,6=0时，〃+6取最小值，最小值为5.

故选：C.

8.已知正数a,6满足a+b=l,则竺”把最小值为()

B.19+2指D.19

【答案】A

【分析】先进行化简得空？+3=^+2,再利用乘“1”法即可得到答案.

abba

【详解】因为正数a,b满足。+6=1,

(2+66+3a+6b+3。+3b4a+9649

--------=-------------=-------==——+I——(a+b)

abba

=13+——=25,当且仅当一=—,联立〃+6=1,

ab

即。=13/=《2时等号成立，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.若机，〃wR+,2一优一22〃一1=3"一2",则()

A.m>nB.0<mn<-C.—+—>4D.2m+l+2n>3

【答案】BC

【分析】根据函数单调性可得见〃关系，特值法判断A,D选项，基本不等式求出B,C选项.

［详角牟］...2f-22n-l=3m-3"〃,2-m-3m=221_31-2〃,

,.・y=2~x-3X单调递减，/.m=l-2n,m+2n=l,

当m=L=几时满足加+2〃=1,A选项错误;

3

vm+2H=1>2>j2mn,1>0<mn<—,B正确;

8

,/加,〃ER+—I(m+2H)=l+—+—+l>2/—x—+2=4

C正确;

m2n2n)m2n\m2n

...2"'+i+2"23,2?-2"+2"=22-2"+土+土N3#22-2"+"+"TT=3,

22

当根=T,"=1时取等号，与己知加,"eR*矛盾，D选项错误.

故选：BC.

10.已知函数/(力=炉+wx+"(m,；JeR),关于x的不等式》<〃无)的解集为(-co,l)u(l,+8),则下列

说法正确的是()

A.m=-l,n=1

B.设g(x)=W，则g(x)的最小值为g⑴=1

C.不等式的解集为(一,0)30,1)31,+。)

3J

D.若"x)=-2且"X)<M2X+2),贝产的取值范围为一3,+s

〃x),无I

、乙

【答案】AC

【分析】由题意可得，x=l是—+(加一1)工+〃=0的唯一解，可求得加=-1,n=l,从而求出/(x)解析式.再

逐一检验各个选项是否正确，从而得到结论.

【详解】对于A选项：f(x)=x2+mx+n(加，〃sR),关于％的不等式x</(x),

即Y+(加一1)工+〃〉0,它的解集为(一8,1)u(l,+oo),

二.x=l是/+(加一1)%+〃=。的唯一角轧

A=(m—I)2—4/7=0m=-\

所以।，故A选项正确;

l+(m-l)+«=On=1

由以上可得：/(X)=X2-X+L

对于B选项：g(x)=,则g(%)=x+J•一i(xwO),当工<0时，g(x)<0,故B选项错误;

XX

对于C项：不等式/(X)</(/(%)),BPX2-X+1<(X2-X+1)2-(X2-X+1)+1,

即卜2+〉0,gpx2-(x-l)2>0,角星得X<0或O<X<1或X〉1,

所以解集为(-*0)u(0J)u(1,+8),故C选项正确；

31[31

—9^——,一—,

对于D选项：若分3=42]即”x)=42]

—,x2—X+1,X>一,

1-9Q

所以Ma<M2x+2）得：-<x<2x+2^2,解得%“

22x+2>-4

I2

则X的取值范围为，j+故D选项错误；

故选：AC.

11.已知尤>0,y>o,且x+y+盯一3=0,则下列结论正确的是（）

A.刈的取值范围是（0,9］B.》+了的取值范围是［2,3）

C.x+2y的最小值是4亚一3D.x+4了的最小值是3

【答案】BC

【分析】根据基本不等式可求得0<xyWl,判断A,将x+y+孙-3=0变形为3-（x+y）=xyV［亨J结合

4

基本不等式，判断B,由x+V+盯-3=0整理得到x=-1+—;结合基本不等式可判断CD.

【详解】对于A,因为x>0,>>0,

所以x+y22A,当且仅当％?时取等号,

由x+y+盯一3=0=>3—盯=%+>,

即3—盯2,解得0<y[xy<1,

即OvxyWl,A错误;

对于B,由x>0,y>0,3-(x+y)=xy<

当且仅当x=V时取等号，

得(x+y)~+4(x+y)-12>0,

所以x+>22,

又3-卜+y)=孙>0,

所以x+y<3,即2Vx+y<3,

故B正确;

对C选项，因为x>0,y>0,x+y+xy-3=Q,

.—y+34

得x=-^-=T+—

y+1y+1

44l

所以x+2y=-ld-------H2y=-------i-2(j+l)-3>4J2-3,

y+\y+1

4

当且仅当Q=2Q+1),即》=8-1时等号成立，C正确,

—V+34

对于D,C选项知：X=K=-1+R,

44

则x+4y=_ld--------l-4y=-------l~4(y+l)-5>2

y+1j+1

4

当且仅当Q=4(N+1),即y=0时等号成立，但y＞。,

所以x+4y＞3.(等号取不到)，故D错误;

故选：BC.

12.已知正实数。、6、。满足logs。=logs6,logs6=logsc,其中。＞1,贝!]()

2aCb+1

A.logab=log35B.a>b>cC.ac>bD.2+2>2

【答案】ACD

【分析】利用换底公式可判断A选项；^log3«=log56=m>0,log5c=log3Z)=/7>0,利用对数与指数的

互化，以及幕函数的单调性可判断B选项；比较“、〃的大小，利用作商法结合幕函数的单调性可判断C

选项：利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为。＞1,所以logs。〉。，

,,i7—In<7In6nJnbIn5”八—,,一

由logsa=logsb,可得丁；=:二，则>>_=—,所以bg“67=logs5,故A对;

m3In5Inam3

对于B选项,log3a=log5b=m>0,则0=3"‘，b=5"',

因为幕函数y=V"在（0,+“）上为增函数，所以3”<5加，即。<6,

设log5c=log3b=">0,则6=3",c=5",

因为幕函数丁=x"在（0,+功上为增函数，

所以3"<5",即6<c,则”6<c,故B错；

对于C选项，因为6=5"'=3",且机>0,">0,

所以加In5=〃In3,所以"=也？>1,则机<”,故"?-〃<0,

mIn3

Q\m~n

所以与=±>1,即*>凡故C对；

b25*3"UJ

对于D选项，由基本不等式，可得a+c>2痴>26,

所以，2"+2。>2万1>2，萍=2"|，故D对.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为400cm2,它的两边都留有宽为acm的空白，顶部和底部都留

有宽为6cm的空白，若”=1,6=4,则纸张的用纸面积最少为cnA

Or

【答案】576

【分析】设矩形的长和宽分别为x，J,得到纸张面积为S=(x+2a)(y+23=k+2阮+2即+4而，结合基本

不等式，即可求解.

【详解】由题意，设排版矩形的长和宽分别为X/且孙=400,且a=1,6=4

贝11纸张的面积为S=(x+2axy+2b)=盯+2bx+lay+4ab

>xy+2yj2bx-2ay+4ab=(-\[xy+2y[aby=(20+2A/4)2=576

当且仅当如x=2即时，即>=4x,即x=10/=40时，等号成立,

所以纸张的用纸面积最少为576cm2.

▲1+26>y1+-2,则。+6的最小值为

abba

【答案】273

33

【分析】由已知可得〃+62巳+；,结合基本不等式求(〃+6)2的最小值，再求6的最小值.

ab

1?12

【详解】因为。之一+不，&>-+-,

abba

~33

所以〃+62—I—,又Q>0,b>0,

ab

所以(0+6)2#+1[3+6)=6+皿+乎212,当且仅当°=6=6时取等号.

\abJab

所以a+当且仅当a=6=G时取等号.

所以a+6的最小值为2G.

故答案为：2G.

15.若不等式/-5x+6<0的解集也满足关于x的不等式2/一9x+a<0,则。的取值范围是.

【答案】58,9]

【分析】解得不等式无2-5x+6<0的解集，令/(无)=2尤2-9x+a,根据不等式x?-5x+6<0的解集也满足

关于x的不等式2/-9x+a<0,列出不等式组，即可求得答案.

【详解】解不等式/一5》+6<0可得2<x<3,即不等式/一5》+6<0的解集为(2,3)

因为不等式一一5x+6<0的解集也满足关于%的不等式2r-9x+a<0,

但-

故令〃x)=2x,-9-则[[〃/(23))<«00吊8-1827++aWaVOO'

解得。49,

即a的取值范围是(一叫9],

故答案为：(-8,9]

16.若14x42,不等式/+/HX+加20恒成立，则实数加的最小值为.

【答案】-g/-0$

2

【分析】构造新函数为(x)=--」(14x42),利用二次函数的性质求得〃(x)最大值，进而求得实数加的最

X+1

小值.

【详解】1WXV2时，不等式f+%x+%N0恒成立，即机2--匚恒成立,

X+1

1

令3)=-占1""r5——(1<X<2)

——।—

2

XX~4

故答案为：

四、解答题：本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.证明下列不等式:

(1)已知。>儿e>f,c>0,求证/—acve—bc

(2)已知a>b>0,c<d<0,求证:

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)(2)利用不等式的基本性质即可证明.

【详解】(1)证明：'：a>b,c>0,

/.ac>bc,-ac<-be,

又因为e>/,即/<e,

所以7-acve-bj

(2)证明：c<d<0,—<—<0,—>—>0；

dcdc

l,abab

又a>b>0,—->—

ac

18.求下列不等式的解集:

(1)-3X2-2X+8>0;

2x+l

【答案】

⑵

【分析】(i)利用二次不等式的解法求解即可;

(2)利用分式不等式的解法求解即可.

【详解】⑴因为-3/一2尤+820,

4

所以3/+2X一840,则（3x-4）（x+2）W0,解得-24x41

所以-3x?-2X+820的解集为1x|-2wg1.

3x

（2）因为^—-<1,

2x4-1

所以卢则372;1<0,即gwo,

2x+l2x+l2x+l

（x-l）（2x+l）<0解得一

故g<x41,

2x+lw0

所以之力的解集为4-

2x+lI2

19.已知关于x的不等式亦2一3x+2>0的解集为{无忖<1或x>6}(6>l).

⑴求。力的值；

(2)当x>0,y>0,且满足q+2=1时，有2x+y2/+左+2恒成立，求左的取值范围.

xy

[(7=1

【答案】⑴-C

⑵[-3,2]

【分析】(1)根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，即可求出。、b的值;

12

（2）由题可得一+—=1,结合基本不等式，求出2x+y的最小值，得到关于上的不等式，解出即可.

xy

【详解】（1）因为不等式办J3x+2>0的解集为卜卜<1或x>b｝（b>l）,

所以1和b是方程〃尤2-3尤+2=0的两个实数根且。>0,

a—3+2=0ci—\a=1

所以,解得6=2或（舍）.

-36+2-0b=l

I（2=112

（2）由（1）知，…于是有一+一=1,

[b=2xy

故2x+y=（2]+>）[，+2]=4+2+如》4+2^^=8

y）xy\xy

y4x12[x=2

当且仅当」=一，一+—=1时，即,时，等号成立.

XyXy[y=4

2

依题意有（2x+j）min>k+k+2,即82/+左+2,

得上2+左一64On-34左42,所以发的取值范围为[-3,2].

20.“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为

代表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具

有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的

科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该

高级设备的年产量为x百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80

3x2+20x,0<x<40,xeN

百台，每生产一百台台高级设备需要另投成本G（x）万元，且G（x）=18000s、T

205尤+------3350,40<x<o8n0,xeN

、x

每台高级设备售价为2万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出.

（1）求企业获得年利润P（x）（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润=销售收入一成本）;

（2）当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.

-3X2+180X-1500,0<X<40

【答案】（l）P（x）=18000

-JX----------F1850,40<x<80

（2）当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元

【分析】（1）由条件根据利润和销售收入，成本之间的关系求出年利润与年产量之间的关系；

（2）分区间，结合二次函数性质和基本不等式求年利润的最大值.

3x2+20x,0<x<40,xeN

【详解】（1）•••G（x）=<205x+^^-3350,40<x<80,xeN'

X

...当04xW40时,

p(x)=200x-(3x2+20x)-1500=-3x2+180x-1500.

当40<xV80时，

P(x)=200x-205x-^^+3350-1500=-5x-^^+1850.

XX

-3x2+180x-1500,0<x<40

综上所述，尸(x)=[18000

'7-5x----------+1850,40<x<80

'-3X2+180X-1500,0<X<40

(2)由(1)得P(x)=118000

'7-5x----------+1850,40<x<80

、x

・••当0WxK40时，尸(％)=-3x2+180x-l500=—3(x—30)2+1200

・・・当％=30时，P(x)max=1200(万元)

当40<xW80时,

z、「18000/3600、「cI3600一、

P（x）=-5