不等式4题型分类-2025年高考数学一轮复习（原卷版）

专题03不等式4题型分类

彩题如工总

题型4：不等式的求解题型1:不等式的性质

专题03不等式4题型分类

题型3：基本不等式题型2：比较大小

彩先祗宝库

1.不等式的性质

（1）对称性：a>b0b<a.

（2）传递性：a>b,b>c=^a>c.

（3）可加性：a>b^a+c>b+c.

（4）可乘性：a>b,oO^aobc；a>b,c<0^ac<bc.

（5）同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d.

（6）同向同正可乘性：a>b>0,c>d>00ac>bd.

nn

（7）同正可乘方性：a>b>0^a>b（n^N9n^2）.

2.两个实数比较大小的方法

a-b>0^a>b,

a—b=O0a=b,(a,b£R).

{a-b<0^a<b.

3.基本不等式

（i）基本不等式：

（2）基本不等式成立的条件：a>0,b>0.

（3）等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.

（4）其中审叫做正数a,b的算术平均数，而叫做正数a,b的几何平均数.

4.几个重要的不等式

（1）a2+b2^2ab（a,b©R）.

,、ba-1

（2）-+^2（a,b同号）.

（3）（a,b©R）.

/人。2+胡"+6丫

（4）一一可2J（。，b©R）.

5.三个“二次”的关系

判别式//>0J=0J<0

小X2/尸

二次函数的图象V

有两个相等的实数

有两个不相等的实

方程的根没有实数根

根X1=X2=一七

数本艮九1,X2(X1<X2)

不等式的解集{x\x<X\,或无>%2}R

6.分式不等式与绝对值不等式

(1)^>0(<0)0f(x)g(x)>0(<0).

(2)怒》O(WO)e/(x)g(x)》O(WO)且g(x)WO.

(3)|x|>a(a>0)的解集为(一8,—a)u(a,+8),|x|<a(a>0)的解集为(一a,a).

彩他题海籍

(―)

不等式的性质

1.常用结论

11

(1)若ab>0,且a>b<4不狂

，、#bb+m

(2)右a>b>0,m>0^~<-r~.

bb+m

（3）若b>a>0,m>O=>a>a+m.

2.判断不等式的常用方法.

（1）利用不等式的性质逐个验证.

（2）利用特殊值法排除错误选项.

（3）作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

题型1:不等式的性质

1-1.（2024高三上•广东•期末）已知一6<3,3<a+b<l,则5a+6的取值范围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

1-2.(2024•全国)若a>b,则

A.\n(a-b)>0B.3a<3b

C.a3-b3>0D.|tz|>|Z?|

1-3.(2024•山东)若a>b>0,且ab=l,则下列不等式成立的是

1b7\1

A.a+-<——<log(tz+Z?)B.<log2(〃+b)<4+/

b2a2

C.a+1<log(a+&)<^[/7、1b

2D.log2(〃+Z?)<a+z<

彩他题海籍

（二）

比较大小

1.不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.

（2）作商（常用于分数指数募的代数式）.

（3）分析法.

（4）平方法.

（5）分子（或分母）有理化.

（6）利用函数的单调性.

（7）寻找中间量或放缩法.

（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.

题型2:比较大小

2-1.（2024•全国）已知9"'=10,a=10'"-ll,b=8"'-9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

hZ7

2-2.（2024IWJ二,全国,课后作业）（1）已知〃>b>0,cVdVO,求证：----<----

a-cb-d

（2）设X,yeR,比较（/—y2『与xy（x—y）2的大小.

23（2024高一上•江苏南京•阶段练习）（1）试比较（％+1）（%+5）与（％+3）2的大小；

（2）已知-<4->求证：ab>0.

ab

彩做题祕籍（=）

基本不等式

1.基本不等式

（1）基本不等式：-\/ab<^y^（a>0,b>0）.

（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时，等号成立.

2.几个重要的不等式

（1）a2+b2^lab（a,b@R）.

（2）^+^2（a,b同号）.

（3）（a,b©R）.

22

z.sa+bra+b^\.,CD.

（4）一一’2J（a，b©R）.

3.基本不等式求最值

（1）前提：“一正”“二定”“三相等”.

（2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

（3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代

换的方法；三是消元法.

题型3:基本不等式

3-1.（2024高一下•广西柳州•期末）若x>-2,则〃月=尤+-^的最小值为.

32（2024高三・河北•学业考试）若x,yeR+，且x+2y=3,则芍的最大值为.

3-3.（2024高三上•湖南娄底•期末）已知a,6为正实数，且2a+%=l,则2+三的最小值为.

3-4.（2024•天津南开,一模）已知实数a>0,〃>0,Q+b=l,则2a+2"的最小值为.

41

35（2024高三上•江苏常州•开学考试）已知正实数。力满足--+—=1,则〃+2万的最小值为________.

a+bb+\

3-6.（2024・上海浦东新•二模）函数y=logzX+1—1在区间（5+8）上的最小值为

log4（2x）2

3-7.（2024・上海长宁•二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，

矩形的一条边为围墙，如图.则至少需要米栅栏.

彩健题海籍

（四）

不等式的求解

1.含参一元二次不等式的解法

（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类.

（2）根据判别式/与0的关系判断根的个数.

（3）有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.

2.一元二次不等式恒成立问题

（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.

（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式/；一元二次不等式在给定区间上恒成立,

不能用判别式4，一般分离参数求最值或分类讨论.

题型4:不等式的求解

4-1.（2024•全国）已矢口集合4={泪£_3工_4<0},8={-4,1,3,5},贝!）4B=（）

A.HM}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

4-2.（2024IWJ—^下,广东阳江,期末）不等式加-（。+2）%+220（。〈0）的解集为（）

a_

「2

u［l,+oo）D.（-cc,l］u—,+oo

a

4-3.（2024IWJ三,全国,专题练习）解下列关于1的不等式方?+（々+2）X+1>。（々wO）.

44（2024高三・全国・专题练习）若不等式2x-l>m（dT）对任意〃好［T/恒成立，实数x的取值范围

是—.

4-5.（2024高二下•吉林•期末）若上《1,2］使关于x的不等式尤2一6+120成立，则实数。的取值范围

是.

4-6.（2024广西•模拟预测）若不等式依2>尤2一》_］对xe（F,0）恒成立，则。的取值范围是.

4-7.（2024高三上•北京•期中）若关于x的不等式办2一2x+aW0在区间［0,4］上有解，则实数a的取值范围

是.

炼习与稷升

一、单选题

1.（2024高一上•吉林延边•期末）已知-1<Z?<4,则a-2Z?的取值范围是（）

A.—7<a—2Z?<4B.—6<a—2b<9

C.6<a-2b<9D.-2<a-2b<S

2.（2024・辽宁•二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图形，在

等腰直角三角形ABC中，点。为斜边AB的中点，点。为斜边A2上异于顶点的一个动点，设AD=。，=6,

用该图形能证明的不等式为（）.

B

A.之《^(a>0,b>0)

Ca+b<Q(a>0,0〉0)D.a1+b2>2A/^(<7>0,Z?>0)

・2

3.（2024,黑龙江哈尔滨•三模）已知工,y都是正数，且xwy,则下列选项不恒成立的是（）

xy

A.三>而B.-+->2

yx

D.xy+—>2

孙

4.（2024高二上•宁夏•期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

①已知自。，求片的最小值；解答过程：ab

—x—=2；

ba

②求函数丁=j的最小值;解答过程：可化得了=&+4c2；

③设x>l,求丁=龙+:7的最小值；解答过程：y=x+^->2,2x

x—1x—1x-1

2把x=2代入4户得最小值为4.

当且仅当户口即修时等号成立，

Vx-1

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.（2024高三下•重庆渝中•阶段练习）已知正实数a,b满足历+2。-2=0,贝!|4a+b的最小值是（

A.2B.4A/2-2C.4.73-2D.6

6.（2024高三下,浙江•期中）设a>0,b>0,若a1+b2-乖ab=1,则6a2-仍的最大值为（）

A.3+73B.2A/3C.1+行D.2+73

7.（2024高三上•河北承德•阶段练习）已知集合A=41},集合8={*|》2-(4+2)X+2°<0},若“X右4”

是“xe8"的充分不必要条件，则实数。的取值范围（

11

A.—oo,------B.—oo,------C.--2D.,2

222'4

8.（2024・全国•模拟预测）若关于尤的不等式龙2-（机+2）x+2〃?<0的解集中恰有4个整数，则实数相的取值

范围为（）

A.(6,7]B.[—3,—2)

C.[-3,-2)(6,7]D.[-3,7]

9.（2024高一下,浙江湖州•开学考试）已知关于x的不等式*+fox+c<0的解集为{x|x<-L或x>4},则下

列说法正确的是（）

A.a>0B.不等式加+cx+Z?>0的解集为{X|2-\/7<X<2+\/7}

C.a+b+c<0D.不等式ov+Z?>0的解集为{小>3}

10.（2024高一上•上海浦东新期中）已知实数关于％的不等式%2-（〃+»%+而+1<0的解集为（看,%）,

则实数。、b、巧、巧从小到大的排列是（）

A.a<xx<x2<bB.xx<a<b<x2

C.a<x{<b<x2D.xx<a<x2<b

安徽省合肥一六八中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题）关于x的不等式依?+法+。<。的解集为

（-3,1）,则不等式加+分+,<0的解集为（）

A.（1,2），B.（-1,2）UD.,T,l）

12.（2024•北京海淀•模拟预测）已知关于x的不等式一+以+方>0（〃>0）的解集是{x|xwd},,则下列四个结

论中错误的是（）

A.a2=4b

1

B.6Z9+->4

b

C.若关于x的不等式炉+办—b<0的解集为（不入2），贝也无2>。

D.若关于X的不等式f+ox+z?vc的解集为（不，%2），且上一百=4,贝ljc=4

13.（2024高三上•江苏南通・期中）已知关于x的不等式加+2区+4<0的解集为（九其中根<0,则

b；4的最小值为（）

4〃b

A.-2B.1C.2D.8

14.（2024•山东）已知二次函数y=Q/+"+。的图像如图所示，则不等式加+云+°>。的解集是（）

A.（-2,1）B.2）u（l,y）C.[-2,1]D.（-a）,-2][1,^）

15.（2024•全国）已知集合A：*——%一2>0卜则JA=

A.1x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2|

C.卜|%<-1}口卜|%）2}D.1x|x<-1}|x>2）

14

16.（2024•四川成都•三模）设S"为正项等差数列{q}的前，项和.若$2023=2023,则一+——的最小值为

“442020

（）

59

A.-B.5C.9D.-

22

17.（2024•北京房山•二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）

A./（x）=X2-2XB./（%）=|lnX

C.f（x）=xsinxD.f（x）=2X+2~x

121

18.（2024海南海口•模拟预测）若正实数光，丁满足x+3y=l.则一+一的最小值为（）

%y

A.12B.25C.27D.36

19.（2024•湖北荆门•模拟预测）已知实数a/满足Iga+lgb=lg（a+26）,则2a+b的最小值是（）

A.5B.9C.13D.18

20.（2024•湖南长沙•一模）已知2加=3〃=6,则加，〃不可熊满足的关系是（）

A.m+n>4B.mn>4

22

C.m+n<8D.（根—1）2+（〃->2

21.（2024•浙江杭州•二模）已知a>l,b>\,且log?&=logz,4,则。。的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

22.（2024•河南安阳•三模）已知〃>03>0,则下列命题错误的是（）

A.若ubVI,则—I—之2

ab

19

B.若a+b=4,则一+7的最小值为4

ab

C.若〃2+/=4,则次?的最大值为2

D.若2a+b=l,则浦的最大值为正

2

23.（2024•广东湛江二模）当x,ye（O,y）时，£±鉴匕孥<与恒成立，则优的取值范围是（）

x+2xy+y4

99

A.（25,+oo）B.（26,+oo）C.干+8D.（27,+oo）

二、多选题

24.（2024•重庆•模拟预测）已知ac>Q,则下列关系式一定成立的是（）

A.c2>be

cbA

C.a-\-b>cD.-+->2

bc

25.（2024•山东•二模）已知实数。也c满足且a+b+c=0,则下列说法正确的是（）

11〜

A.------->-------B.a—c>2bC.a2>b2D.abbe>0

ci—cb—c

26.（2024高三上•山东泰安•期末）若a>0>6>c,则下列结论正确的是（）

aa

A.—>—B.b2a>c2a

cb

_a—bb

C.------->—D.a-c>

c

27.（2024IWJ二上•江苏,阶段练习）已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则（）

A.x的取值范围为（-1,2）B.>的取值范围为（-2,1）

C.彳+^的取值范围为（-3,3）D.x-y的取值范围为（-1,3）

4151

28.（2024高三下•河北衡水•阶段练习）已知a>0,Z?>0,且满足。>一+7，/?>-+-.贝!JQ2+〃的取值

abba

可以为（）

A.10B.11C.12D.20

29.（2024高三•重庆沙坪坝•阶段练习）已知/（尸+1）=1,则（）

21

A.xy<lB.x2y>——

2

25

C.x+xy<\D.x+xy<—

b满足3>—j=,则（

30.（2024•全国•模拟预测）已知实数a,）

A.l°g0.2023a<l0g0.2023'B.a3<b3

bb+1D-"+£的最小值为i

C.->------

aa+1

（2024•江苏•模拟预测）已知bg糖水中含有"g糖（方>a>0）,若再添加mg糖完全溶解在其中，则糖水

变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大），根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）

aa+m、a+ma+2m

A.-<--------B.--------<----------

bb+mb+mb+2m

2]

C.(«+2m)(6+m)<(tz+m)(Z7+2m)D.——<

3—13

32.（2024•全国）若％,y满足/+J?一孙=i,贝|j（）

A.B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

33.（2024•重庆•模拟预测）若实数。，Z?满足/+〃=必+1,则（）

B.a-b<^-

A.a-b>—l

3

71

C.ab>——D.ab<-

33

（2024高三下•湖北•阶段练习）已知。>0力>0,且；=贝I］（）

34.

b

A.工+b的最小值为4

B./+记的最小值为了

a

c泊最大值对D.gb-。的最小值为血-1

35.（2024•云南红河•一模）已知%>0,y>0,且无+y-孙+3=0,则下列说法正确的是（）

D.。J+3

A.3<xy^12B.x+y>6C.x2+y2^18

xy3

36.(2024•山西•一，模)设u>0,b>0,a+b=\,则下列结论正确的是（)

A

-曲的最大值为:B.6+〃的最小值为3

41

C.2+；的最小值为9D.6+而的最小值为代

ab

37.（2024•山东）已知。>0,b>0,且o+b=L则（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log2tz+log2Z?>-2D.s/a+y/b<^2

38.（2024•全国•模拟预测）已知实数〃，6满足2人20,则下列说法正确的有（）

B.2"+42

A.>(2Z?)1

C.若Z?>0,贝！Jln〃一lnbNln2D.4Z3>7Z?3

39.（2024高一上•浙江温州•期中）已知〃>0,b>0,且〃+b=4则下列结论一定正确的有（）

A.(a+2Z?)2>SabB.~~j=H—1=22Jab

14

C.H?有最大值4D.—+7有最小值9

ab

40.（2024高一上•江苏苏州•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.若且x+y>4,则x,y至少有一个大于2

B.VxeR,岳=x

C.若l<a<3,2<Z?<4,贝！J-2<2<7-b<4

yjx1+3+-^=

D的最小值为2

，尤2+3

41.（2024•云南曲靖•模拟预测）若实数羽,满足2、+2阳=1，贝I（）

A.x<0且"TB.x+y的最大值为-3

C.&]+」的最小值为7D.同+出」2心<2

三、填空题

42.（2024高一•全国・单元测试）若0<a<瓦。+b=1,贝U将a/,J,lab,a1+b2从小到大排列为,

43.（2024高二・全国•单元测试）如果〃坊，给出下列不等式：

①②〃泌3；（3）J^2~；@2ac2>2b（^}（5）—>1；@a2+b2+l>ab+a+b.

ClUV>Yb

其中一定成立的不等式的序号是.

44.（2024高三上•上海普陀•期中）已知三个实数a、b、c,当c>0时，b<2a+3c且6c=H,则二的

b

取值范围是.

45.（2024•浙江）已知实数。、b>c满足a+Z?+c=0,a2+b2+c2=1,则。的最大值为.

46.（2024•山西•一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为:

b〃+m854366239

广占‘其中且据此可以判断两个分数的大小关系，比如局时——

854366236（填〃>〃〃<〃）.

998763418

47.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）若，克不饱和糖水中含有人克糖，则糖的质量分数为b士，这个质量分数决

a

定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式

>±（a>6>0,m>0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出logs?log1510

a+ma

（用，y〃或，，〉〃填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

48.（2024高三上•天津南开•阶段练习）若"，b>Of且aZ?=a+Z?+3,则必的最小值是

4

49.（2024・重庆•模拟预测）已知%>0,则2%+^一；的最小值为_______.

2x+l

50.（2024高三•全国•专题练习）若x>l,则x-+2x+2的最小值为

x-l

1-I-OA-I-4个

51.（2024高三下•上海浦东新•阶段练习）若关于x的不等式/+"+。203>1）的解集为R,则71

b-\

的最小值为.

52.（2024高三上•重庆沙坪坝•阶段练习）若龙,yeR+,0-“虫孙）3,则工+工的最小值为.

53.（2024高二下•浙江•期中）已知x>0,y>0,满足尤?+2孙-2=。，则2x+y的最小值是.

4ct+h

54.（2024•天津•一模）若〃>0,b>0,c>0,a+Z?+c=2,贝U---+----的最小值为_____.

a+bc

55.（2024高三上•浙江宁波・期中）已知a>0,b>0,a+2b=l,则“1，+」：取到最小值为_____.

3。+4人a+3b

56.（2024,安徽蚌埠二模）若直线土+；=1（4>0,6>0）过点（2,3）,贝U2a+b的最小值为____.

ab

4-2b1

57.（2024高三下•河北•阶段练习）已知。>0,6>0,。+26=3,则-----+1■的最小值为________.

a2b

58.（2024高一上•山东烟台•阶段练习）已知x〉（，y>2,且3x+y=7,则——的最小值为____.

33x-ly-2

59.（2024高三下.浙江•开学考试）已知正实数a,b,c,a+b=3,则ac与+3—c+\3的最小值为___________.

babc+1

60.（2024•天津滨海新•模拟预测）已知x>0,y>。，则三簧产+3、的最大值是.

61.（2024•上海金山・二模）若实数无满足不等式尤2-3元+2<0,则了的取值范围是.

62.（2024高三•全国•课后作业）不等式/+^147胃Y的解集为.

63.（2024高一下•湖北省直辖县级单位•期末）函数"X）=也x1+x-3+log?（3+2x-f）的定义域为.

64.（2024高三,全国•课后作业）不等式-2d+3x-孑之。的解集为.

65.（2024高一上•上海松江•阶段练习）不等式二>0的解集为______.

尤+2

2-9

66.（2024,江西）不等式的Lr^>0的解集是

x—2

67.（2024•上海崇明・二模）若不等式则无