北京市房山区2024-2025学年高三年级上册册10月月考数学检测试题（含解析）

北京市房山区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题

一、单选题（共40分）

1.若集合'=｛T，0,2,3｝,则ZU3等于

)

A.{-1,0,1,293}B.{-1,0,2,3)C.{0,1,3}D.{0,3}

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（

1

A.y=x+lB.y=-D.

X

x2,x>0,

y=\

-x2,x<0

己知cos(tz+Q)=；,cosacos^=；,贝Utanatan^=()

3.

]_1

A.B.一C.3D.4

43

4.已知等比数列｛4｝满足q+%=5,g=2,则｛4｝的公比为（)

-1-1

A.—2或——B.—2或一

22

〜131

C2或——D.2或一

,22

5.在V48c中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c.若。=&5,b=V3，c=2,

则角/=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.已知。=log42,b=log104,c=，则下列判断正确的是（)

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.

a<b<c

7.“x<—1”是+x>0”的

A充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分

也不必要条件

8.在A4BC中,若siYN+si/^vsii?。,则角A是

A.钝角B.直角C.锐角D.不能确定

9.某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1,

顶角为a的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成,

该八边形的面积为

A.2sina-2cosa+2；B.sina-Gcosa+3

C.3sina-A/3COSa+\D.2sina-costz+1

10.在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格。与其实际价值之间，存在着

相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格。与其实际价值的

差距.设顾客第〃次的还价为“，商家第"次的讨价为c“，有一种“对半讨价还价”法如下：顾

客第一次的还价为标价。的一半，即第一次还价4=5,商家第一次的讨价为4与标价。的

平均值，即Ci=g4;…，顾客第〃次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价“T的

c+A

平均值，即斐="一:1；商家第〃次讨价为上一次商家的讨价Ji与顾客这一次的还价"

（2+b

的平均值，即孰="一、",现有一件衣服标价1200元，若经过〃次的“对半讨价还价”，bn

与门相差不到2元，则〃的最小值为（）

A4B.5C.6D.7

二、填空题（共25分）

11.函数片»=立巨的定义域为

172-x

7T

12.半径为6,圆心角等于一的扇形的面积是

3------

JT

13.若将函数〃x）=sin（x-w）的函数图象平移。（°€氏）个单位，得到一个偶函数的图象，则

M的最小值为.

14.点P从乎，牛出发，沿单位圆一+/=1逆时针方向运动工弧长到达。点，则点。

、22J3

的坐标为.

V

15.已知函数/(%)==,给出下列结论：

e

①(1,+8)是/'(X)的单调递减区间；

②当左£(-8,1)时，直线产k与y=f(x)的图象有两个不同交点；

e

③函数y=f(x)的图象与y=/+l的图象没有公共点；

④当xe(0,+oo)时，函数y=/(%)+—的最小值为2.

/(x)

其中正确结论的序号是

三、解答题(共85分)

16.已知数列｛4｝是公差不为0的等差数列，的=6,%,4，%成等比数列.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若b“=-----,设数列出｝的前〃项和为S“，求S”.

anan+\

17.已知函数/(x)=V^sin1x-；j+2cosx.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)图象的对称轴方程；

(3)求/(x)在［-兀,0］上的最大值和最小值.

18.设函数/(x)=x(x2—3x+a),aGR

(1)当a=—9时，求函数/(x)的单调增区间；

(2)若函数/(x)在区间(1,2)上为减函数，求a的取值范围；

(3)若函数在区间(0,2)内存在两个极值点X］,x2,且|/(再)—/(々)|>|/(再)+/(%2)1

求。的取值范围.

19.在A/BC中，sin=V3sinB>C=y.

6

（1）求/氏4C的大小；

（2）£是NC的中点.从条件①BE=J7，条件②a+6+c=4+2百，条件③c=06中

选择一个作为己知，使A/BC存在且唯一确定，求4/台。的面积；

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.

20.已知函数/（x）=（l+与e',其中a>0.

x

（I）求函数/（X）的零点；

（II）讨论歹=/（X）在区间（—8,0）上的单调性；

（III）在区间（-8,-曰上，/（X）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说

明理由.

21.在无穷数列｛an｝中，aA=\,对于任意〃eN*,都有4eN,an<an+l.设〃zeN*,记

使得an<m成立的n的最大值为bm.

（1）设数列｛%｝为1,4,7,10,…，写出4，b2,4，〃的值；

（2）若｛册｝为等比数列，且出=2,求4+&+4+…+%的值.

（3）设％=q,aA+a2-\ap=A,直接写出BI+HH的值.（用0表示）

北京市房山区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题

一、单选题（共40分）

1.若集合5={T，023},则ZU5等于（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,2,3}C.{0,1,3}D,{0,3}

【正确答案】A

【分析】

直接利用集合的并集运算求解.

【详解】因为集合/={0,1,3},5={-1,0,2,3）,

所以ZUB={-l,0,l,2,3},

故选：A

2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）

A.>=%+1B.y=—C.y=-x3D.

x

x2,x>0,

y=\

-x2,x<0

【正确答案】D

【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项中的函数逐一做出判断，从而得出结论.

【详解】解：由于函数y=x+l是非奇非偶函数，故排除出

由于>=—在（-8,0）U（0,+oo）上不具有单调性，故排除5；

X

由于>=-％3是奇函数，且在R上是减函数，故排除C；

A,B,。都不对，

,2

对于。，>=一：'X,数形结合可知函数在R递增且为奇函数；

[V%>0

故选D

本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握常见函数的图像与性质是解题的关键，属于

基础题.

3.已知cos(o+/)=：,cosacosQ=g,则tanatan/?=()

11

B.一C.3D.4

A，73

【正确答案】A

【分析】根据余弦两角和公式和同角三角函数关系求解即可.

【详解】因为cos(a+p)=cosacos尸一sinasin，=—,cosacos/3=—,

所以sinasinQ.

1

-…nsinasinQi?1

所以tanatan。=--------二牛=一.

cosacos/?14

3

故选：A

4.已知等比数列｛4｝满足q+%=5,g=2,则｛为｝的公比为（）

-131

A.—2或—B.—2或一

22

-1廿1

C.2或—D.2或一

22

【正确答案】D

【分析】设出公比，利用等比数列通项公式基本量计算列出方程，求出答案

【详解】设公比为q,则%+%=+a?q~—2^=5,

qQ

解得q=2或工.

2

故选：D

5.在V48C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c.若。=&5，6=0，c=2,

则角/=（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

【正确答案】D

【分析】根据余弦定理即可求解.

3+4-13

【详解】由余弦定理可得cosZ=

2x^3x22

vAe(O,7r),.,.A=一,即150°，

6

故选：D

6.已知。=log42,b=log104,c=(^\,则下列判断正确的是(

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.

a<b<c

【正确答案】D

【分析】根据指对数的函数性质判断各数的大小关系.

-0.2]

>1=log10>Z?=log4>logVio=-=log2=a,

【详解】CI1010104

故选：D

7.“x<—1”是“一+T〉0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D,既不充分

也不必要条件

【正确答案】A

【分析】解不等式好+%>0,根据x<—1与其解集的关系即可求出.

【详解】由一+%>0解得：x<—1或x〉0,

当》<一1时，能推出了<-1或x〉0成立，反之，不能由x<-l或x〉0推出x<-l,

故“x<-1”是“必+%>o”的充分不必要条件，故选A.

本题主要考查了二次不等式的解法，充分必要条件的判定，属于中档题.

8.在AABC中，若sin2/+sin25<sin2。，则角A是

A.钝角B.直角C.锐角D.不能确定

【正确答案】C

【分析】首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理确定NN的大小即可.

【详解】由5讥24+5加23<5山2。结合正弦定理可得：a2+b2<c2>则/+/一。2<()

272_2

结合余弦定理有：cosC="—<0,故/C为钝角，则角/是锐角.

2ab

本题选择C选项.

在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现

边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理

时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

9.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1,

顶角为。的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，

该八边形的面积为

A2sincr-2costz+2；B.sina-gcosa+3

C.3sina-A/3COSa+\D.2sina-cosa+1

【正确答案】A

【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积E=(F+12—2cosa)=2-2cosa；利

用三角形知识得出四个等腰三角形面积S2=4xgxlxlxsina=2sina；故八边形面积

S=S1+S2=2sina-2cosa+2.故本题正确答案为A.

考点：余弦定理和三角形面积的求解.

【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关

键；首先根据三角形面积公式S=gxlxlxsina=gsina求出4个三角形的面积

4s=2sina；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方(F+『-2cosa),进而得到

正方形的面积E=(F+E_2COS可=2-2cosa,最后得到答案.

10.在当前市场经济条件下，私营个体商店中的商品，所标价格。与其实际价值之间，存在着

相当大的差距，对顾客而言，总是希望通过“讨价还价”来减少商品所标价格。与其实际价值的

差距.设顾客第〃次的还价为〃，商家第〃次的讨价为g,有一种“对半讨价还价”法如下：顾

客第一次的还价为标价。的一半，即第一次还价仇=],商家第一次的讨价为伍与标价。的

平均值，即9=@乎；…，顾客第〃次的还价为上一次商家的讨价与顾客的还价at的

c+h

平均值，即斐="一'商家第〃次讨价为上一次商家的讨价q-与顾客这一次的还价〃

C+h

的平均值，即%="，现有一件衣服标价1200元，若经过〃次的“对半讨价还价”，bn

与cn相差不到2元，则〃的最小值为()

A.4B.5C.6D.7

【正确答案】B

【分析】判断出数列是等比数列，由此列不等式，从而求得”的最小值.

【详解】依题意可知%>b”,

%+"b

c_b=%+4_%+%==2"T=%-4T

“"-22-2-24

c-b_1a+b71200+600______

则---n--:-n=-又「

fc1bi1=------b[=----------600=300,

cn-\,-bn-\,42乙2乙

所以数列｛c“-〃｝是以300为首项，公比为:的等比数列,

所以％—2=300x("=1200x(j,

由ci=1200x2]<2得焉4”卜00,其中〃eN*，

解得〃之5,因此〃的最小值为5.

故选：B.

二、填空题(共25分)

11.函数/@)=以二1的定义域为.

【正确答案】口,2)-(2,+8)

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

x-1>0

【详解】依题意，八，解得X21且XH2,

2—XHO

所以/(x)的定义域为［1,2)口(2,+8).

故口,2)u(2,+8)

71

12.半径为6,圆心角等于一的扇形的面积是,

3

【正确答案】6兀

11

【分析】由扇形面积公式S=—>=—。/即0可直接计算求解.

22

11JT

【详解】由题得扇形的面积是S=—a/=—x—x6?=6兀.

223

故答案为.6%

13.若将函数〃x)=sin(x-IT§的函数图象平移个单位，得到一个偶函数的图象，则

M的最小值为.

TT

【正确答案】一

6

【分析】

分两种情况讨论，先求出。的值，再比较即得解忸|的最小值.

【详解】若将函数〃x)=sin(x7-Tf的函数图象向左平移°(。€氏)个单位，得到函数

y=sin(x+e-g)的图象，

根据所得图象为一个偶函数的图象，故9一彳77=左〃+彳TF，keZ,此时，(p=k/57jr

326

若将函数/（X）=Sin（x-。）的函数图象向右平移。eR）个单位，得到函数y=sin（x-0-2）

的图象，

77-777T

根据所得图象为一个偶函数的图象，故9+—二左=+—,keZ,止匕时，（p=k7i—,,

326

综上可得，|如的最小值为J生T，

6

故工.

6

本题主要考查函数y=/sin（ox+0）的图象变换规律及正弦函数的奇偶性，意在考查学生对这

些知识的理解掌握水平，属于基础题.

14.点尸从《，拳出发，沿单位圆一+/=1逆时针方向运动工弧长到达。点，则点。

I22J3

的坐标为.

,十7AMfV2-V6V2+V6

144J

7T

【分析】由题意先求出/POx的正弦值、余弦值，再根据条件得到NQOX=NPQX+H，再

根据两角和的正弦、余弦公式求出的正弦值、余弦值，然后求出点。的坐标.

【详解】解：：点彳,:在单位圆/+/=1上,

sinZPOx=——，cosZPOx=——，

22

TT

V点P沿单位圆逆时针方向运动J弧长到达。点，

rejr

.••点尸逆时针转动了则NQOx=NPOx+§,

sinAQOx=sinfZPOx+—|=sinZPOxcos—+cosZPOxsin—=x—+x

~I3J332222

_V2+V6

------------,

4

cosZQOx=cosfZPOx+—I=cosZPOxcos--sinZPOxsin—=^2LX—......-x—^-

~I3J332222

-_-V--2----V--6-,

4

_y/2-y/~6V2+V6

.,.点Q的坐标为-------，—-—,

(44

(A/2-V6V2+V6

(44J

本题主要考查三角函数的定义以及两角和的正余弦公式，属于基础题.

X

15.已知函数/(')==,给出下列结论：

e

①(1,+8)是〃>)的单调递减区间；

②当左£(-叫—)时，直线产k与y=f(x)的图象有两个不同交点；

e

③函数y=f(x)的图象与的图象没有公共点；

④当xe(0,+oo)时，函数y=/(x)+—^―的最小值为2.

/(x)

其中正确结论的序号是

【正确答案】①③

【分析】①先求出函数的导数，令导函数小于0,解出即可判断；②根据函数的单调性画出函

数的图象，通过图象读出即可；③求出一(X)的最大值小于>=X2+1的最小值，从而得到答案;

④利用对勾函数即可作出判断.

1—V

【详解】解：@f(x)=h，令/G)<0,解得：X>1,

二函数/(x)在(1,+oo)递减，故①正确；

②：/(X)在(-00,I)递增，在(1,+00)递减，

-V(X)max^f(1)=一，

e

%--00时，f(%)-—00,x—>+co时，f(x)—0,

画出函数/(X)的图象，如图示:

二.当左£(-oo,0)时，直线y=左与>=/(%)的图象有1个不同交点，

当4e(0,-)时，直线y=左与夕=/G)的图象有两个不同交点，故②错误;

e

③函数/(x)<—,而y=x2+lNl,

e

.•・函数y=/(x)的图象与y=N+l的图象没有公共点，故③正确；

(11

④当xe(0,+oo)时，令t=/(x)e0,-,

上单调递减,

最小值不等于2,故④错误.

故答案为①③.

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.

三、解答题(共85分)

16.己知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，%=6,%,4，%成等比数列•

(1)求数列｛4｝的通项公式;

，2，、

⑵若〃=-----,设数列出｝的前〃项和为5“，求S”.

anan+\

【正确答案】(1)%=2〃

n

⑵S"

2〃+2

【分析】(1)根据等差数列的通项公式及等比中项列出方程组求出首项与公差，即可得解;

(2)利用裂项相消法求和.

【小问1详解】

因为%=6,ax,a2,a4成等比数列，

%=%+2d=64]=2

所以八2/、，解得Lc，

(q+d)=ax+3d)ya=2

所以=2+2(〃-1)=2〃.

【小问2详解】

,2

因为a=--------,

,211

所以a=2。”(2〃—+2J=n2—n—0In「+2,

所以2=4+%+A+…+b“_[+b

n2n2n+2)

所以S“=g1n

2〃+22〃+2

17.己知函数/(x)=J5sin+2cosx.

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求/(x)图象的对称轴方程；

(3)求“X)在［f,0］上的最大值和最小值.

【正确答案】(1)2兀

71

(2)x=—+k7i,keZ

(3)f(x),=-V2,/(x)=1.

J\)min"\/max

【分析】(l)利用辅助角公式可将化简/(x),从而求得其最小周期;

(2)利用整体代入法求得/(x)图象的对称轴方程，从而得解；

(3)利用正弦函数的性质，结合整体法即可得解.

【小问1详解】

‘走sinx-克coj+2cosr

227

=sinx+cosx=V2s:,inY，

所以/(x)的最小正周期为：T=T27r=2兀；

【小问2详解】

7T兀7C

令x+—=—+E,左wZ,=—+kn.keZ

424f

所以/(X)图象的对称轴方程为x=：+E#eZ；

【小问3详解】

37171

因为兀,0],所以X+

T?4

371i717r

注意到y=sinx在-4匹-Q上单调递减，在-'q上单调递增,

所以/(x)mm=-亚，/(x)max=L

18.设函数/(x)=x(x2—3x+a),aeR

(1)当a=—9时，求函数/(x)的单调增区间;

(2)若函数/(x)在区间(1,2)上为减函数，求。的取值范围；

(3)若函数在区间(0,2)内存在两个极值点百，%,且|/(再)一/(%2)|>|/(再)+/(以,

求。的取值范围.

【正确答案】(1)(-00,-1),(3,+00).

(2)a<0

9

(3)0<6/<一

4

【分析】(1)把a=-9代入求导，再求出导函数大于0的不等式解集即可；

(2)由函数/(x)的导函数在(1,2)上恒小于等于0即可出a的范围；

(3)根据给定条件可得函数/(x)在区间(0,2)内的两个极值一正一负，再列出不等式求解即得.

【小问1详解】

当a=-9时，f(x)=x(x2-3x-9),则f'(x)=3x2-6x-9=3(x+l)(x一3),由fr(x)>0

解得：或x>3,

所以函数/(X)的单调增区间是(一叫―1),(3,+8).

【小问2详解】

函数/(x)=x(x2—3x+a),贝U/'(x)=3x2—6x+a,因函数/(x)在区间(1,2)上为减函数，

则Vxe(l,2),/'(x)<0成立，

即Vxe(l,2),3x2-6x+a<0^a<-3x2+6x，显然-3■+6x在。,2)上单调递减,即

Vxe(l,2),—3f+6x>0，则a<0，

所以。的取值范围是a<0.

【小问3详解】

2

由(2)知，/(X)=3X-6X+«,因函数/(x)在区间(0,2)内存在两个极值点为，x2,贝!!

/(X)=0在区间(0,2)内有两个不等根为，x2,

，,

7(0)=/(2)=a>0a

即有_，解得0<a<3,且有玉+工2=2,再々=一，

/(1)=-3+a<03

不妨令0<<x2<2,则f\x)=3(x-%1)(%-x2)，当0<x<X］或/<x<2时，>0,

当玉<X<々时，/'(X)<0，

则/(X)在公处取得极大值/(xj,在/取得极小值/(/)，显然，/(占)〉/(%)，

由|/(再)-f(x2)|>|/(再)+f(x2>两边平方得/a)•/区)<o,

x=x

而/(/)•f(2)i(%；-3%+a)-x2(%2-3X?+〃)<0，即(%：-3占+〃)(x；-3x2+a)<0,

2

整理得：（Xi/）?-3再入2（再+%2）+1[（再+'2）2~12xix2]+9xix2-3a（芭+x2）+tz<0,

把项+%=2,玉％=三代入上述不等式并整理得：^a2-a<0,解得

9

综上得0<4Z<一,

4

9

所以实数a的取值范围是0<a<\

4

含有多个变量的处理方法是减少变量的个数，减少变量方法有：

（1）若这些变量之间有关系可以用它们之间的关系消元，如在本题中不等式

（x；-3xj+«）（%2-3X2+a）<0含有三个变量，可以通过韦达定理％+x2=2,xtx2=^|■代入的

办法消去看，x2,只剩下关系。的不等式.

（2）若这些变量之间没有关系可以通过构造比值或差值消元，如证明不等式

_土-1a+1

<三等时可变形为±_<三一后构造=五消元，只剩下关于t的不等式;

।%一：t

In^-lnx22[口土2x2

x2

QXI—QX2«西+e*2QXI-X2_]«西一*2+]

证明不等式-------<--一时可变形为--------<---后构造，=%一/消元，只剩

xx-x22-x22

下关于看的不等式.

19.在△ZSC中，sin^4=V3sinB，

6

（1）求/A4C的大小；

（2）£是/。的中点.从条件①BE=J7，条件②a+6+c=4+2百，条件③c=06中

选择一个作为已知，使A/BC存在且唯一确定，求A/BC的面积；

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分.

2兀

【正确答案】（1）—

3

（2）答案见解析

【分析】（1）由正弦定理化角为边可得a=同，结合余弦定理证明6=c,由此可求2,再

结合内角和公式求A；

（2）对于①：在ABCE,利用余弦定理求得c=2,进而可得面积;

对于②：根据（1）中边的关系分析可得6=2,进而可得面积；

对于③：根据（1）中边的关系分析判断；

【小问1详解】

因为sin/=gsinB，由正弦定理可得a=,

jr

又因为。二一，

6

由余弦定理可得°2=/+尸一2abcosC=3/+/—2回2义@/，

2

即c=b,则3=C=四，所以/氏4。=兀—（8+。）=".

63

【小问2详解】

对于①：zc边上的中线长为3£=J7，

在ABCE,由余弦定理得6后2=BC?+CE?-2BCCEcosC

即（4『=3/+?—2x®xgx曰，解得6=2，

则6=c=2,a=2V3，

所以4/台。的面积为=—ocsin5=—x2V3x2x—=V3；

对于②：因为a+b+c=+b+b=4+，解得6=2,

则6=c=2,a=2G，

所以VABC的面积为SARC=—acsmB=—X2A/3X2X—=6）；

“Be222

对于③：若c=J5b，这与6=c相矛盾，不合题意；

20.已知函数/（x）=（l+里）e）其中二＞0.

x

（I）求函数/（X）的零点；

（II）讨论）=/（X）在区间（-8,0）上的单调性;

（III）在区间（-8,-1］上，/（X）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说

明理由.

【正确答案】（1）函数/（x）的零点为一心

⑵在区间(―oo,—"'j+%)上/(x)是增函数,在区间(土亭也,o)上/(x)是减

函数

(3)见解析.

【详解】(I)解/(X)=0,得X=所以函数/(工)的零点为一a

(ID函数/(x)在区域(—8,0)上有意义，八外=丁+a"a

X2

令f(x)=0,得M=-a7：+4a6=…丁丁+',

因为a