带电粒子在匀强磁场中的运动（解析版）-2025年高考物理

带电*5在电褛球场中的逞勃

目录

压轴题解读..............................................................................2

压触题窘押..............................................................................2

才向一:带电粒子在匀蕤燧场中的运动...................................................2

考向二:带电桂子在雇场中运动的多解问题..............................................4

考向三:带电程子在班场中运动的桂界极值问题..........................................4

者向四:动态国........................................................................5

1.“平趋BI”模型.................................................................5

2.“茂桥BF模型.................................................................5

3.“散缩BP模型.................................................................6

4.“茶聚焦”与“金发散”模型......................................................6

题型一番电粒■子在直线边界餐场中运动................................................6

题型二带电粒子在特定边界看场中运动................................................8

题型三帚电桩■子在园给边界磁场中运动................................................9

题型四帚电粒子的不统定移成的多解问题.............................................12

题型五殖场方向的不确定性成的多解问题.............................................12

题型六整界状态的不唯一形成的多解问题.............................................14

题型七事电粒子在磁场中运动的整界极值问题.........................................15

题型八“平移BT模型................................................................17

题型九“旋精BT模型................................................................17

题型十“旋带BI”模型................................................................18

题型十一“成聚焦”与“雇友我”模型...................................................19

压轴题速练.............................................................................20

•M

带电粒子在匀强磁场中的基本运动状态，包括匀速直线运动、匀速圆周运动等，特别

是当粒子速度方向与磁场方向垂直时的运动情况。洛伦兹力的性质和作用，包括洛伦

兹力对带电粒子速度大小和方向的影响，以及洛伦兹力作为向心力在匀速圆周运动中的

角色。

带电粒子在匀强磁场中的运动在2025年高考中很可能成为重要命题点。考查方向将

主要集中在带电粒子在磁场中的运动规律、受力分析以及相关的计算问题上。相关的计

算知识点，如匀速圆周运动的半径公式、周期公式等，以及这些公式在解决实际问题中的

命题预测应用。可能会结合有界匀强磁场的情况,考查粒子轨迹的确定、半径和运动时间的计算方

法等。

考生复习备考时，做到深入理解基本概念和原理：熟练掌握带电粒子在匀强磁场

中运动的基本原理，包括洛伦兹力的性质、方向判断以及带电粒子在磁场中的运动轨迹分

析。理解并掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的条件，以及相关的半径、周期等

计算公式。强化解题技巧和方法：学会分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹,特别是

进出磁场时的对称性、角度变化等关键点。掌握通过几何图形（如圆、三角形等）辅助分析

带电粒子运动轨迹的方法，提高解题效率和准确性。

1.带电粒子在匀强磁场中的运动

2.带电粒子在磁场中运动的多解问题

高频考法

3.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

4.动态圆

考向一:带电粒子在匀强磁场中的运动

i.带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定

基本思路图例说明

a1

OV

P、”点速度方向垂线的交点

①与速度方向垂直的■

直线过圆心•••1

圆心的确定

②弦的垂直平分线过

XXX

\XBX

圆心P点速度方向垂线与弦的垂直平分线

x\xX

交点

X

PC

堂田自汉二告步冲.左圉中p—L

利用平面几何知识求半ITJ/IJ肿一*用71＞《玄*工国T,.八

半径的确定smc/

径或由R2=+(R—d)•2求得•R=•

TX^O^xXX

d

Xxx\x匕+屋

±£;瓯

2d

R-d40。

C

利用轨迹对应圆心角e——、

t=-^—T=-^-T=^T

或轨迹长度2求时间

运动时间的27r2兀2兀

①力=忌/

确定,1AB

t=——=------

②土JVV

V

2.带电粒子在有界磁场中运动的常见情形

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)

(2)平行边界:往往存在临界条件，如图所示。

O

d=R"l-cos0)d

d=2R2d=R(l+cos9)d=R(l-cos0)

甲乙丙

(3)圆形边界

①速度指向圆心:沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向角

②速度方向不指向圆心:如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为氏则粒子射出磁场时速度方

向与半径夹角也为8。

③环形磁场:如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动,则一定沿半径方

向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时,粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。

考向二:带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、

运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。

1.带电粒子电性不确定形成多解

分析图例

xx/xk

X

带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，

、/

X

正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解.

如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨

迹为6

2.磁场方向不确定形成多解

分析图例

只知道磁感应强度大小，而未具体指出

磁感应强度方向，由于磁感应强度方向

不确定而形成多解粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a,若B垂直纸

面向外，其轨迹为b

3.临界状态不确定形成多解

分析图例

,0_______

x

带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入XyXx\X

射界面一侧反向飞出，于是形成多解

考向三:带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的"恰好""最大""至少"等为突破口，寻找临界

点,确定临界状态,根据磁场边界和题设条件画好轨迹,建立几何关系求解。

1.临界条件

刚好穿出（穿不出）磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

2.几种常见的求极值问题

（1）时间极值

①当速度n一定时，弧长（弦长）越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的

两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大,粒子运动时间最长。

③最短时间:弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。

如图，P为入射点，M■为出射点,此时在磁场中运动时间最短。

X、%

Xx'\

IXXX

XX：

XXX

4/-攵

单边界磁场平行边界磁场

(2)磁场区域面积极值

若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆

就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。

考向四:动态圆

1.“平移国”模型

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子

进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为。。，则

半径如图所示

适用条件qB

XXXXXXX

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的

轨迹圆圆心共线

连线平行

将半径为&=〃鲁的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平

界定方法

移圆”法

2.“旋转圆”模型

粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时,它们在磁场中

做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为期。,则圆周运动轨迹半径为/?=

笔，如图所示

qB

适用条件

P

轨迹圆圆心共如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=

圆窄的圆上

qB

XXX~XXX

XX2XX。X\XX

XXV)\^1X)<X

XXx^s<x^xXX

将一半径为&=4等的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件,这种方

界定方法qB

法称为“旋转圆”法

3.“放缩圆”模型

粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径

适用条件

随速度的变化而变化

P'__

X、XXX

入

X'X、X-”v、X\X

/J'、/:

轨迹圆圆心X：x：/、X,'<：*

'、：〃'、叩

共线xX'、xx^9x

、、二w二P■■■

XXXXXX

带正电粒子速度n越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线

PP上

以入射点P为定点，圆心位于PP,直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条

界定方法

件，这种方法称为“放缩圆”法

4.“磁聚焦”与“磁峰”模型

磁发散磁聚焦

带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半

入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射

方向与入射点的切线方向平行出，该点切线方向与入射方向平行

卜布x~-

…二…

WE一

•M

1.如图所示，在空间直角坐标系O—或后中，N>0区域存在沿g轴正方向、磁感应强度大小为2B的匀

强磁场；zV0区域存在与xOy平面平行，与c轴、g轴正方向夹角均为45°,磁感应强度大小为V2B

的匀强磁场。一质量为m、电荷量为+q的带电离子（不计重力），以初速度。。从。点沿z轴正方向射

出，离子之后经过力Og平面的位置坐标可能为（）

mvTTLVQmvmv

BC.0，UG0

A（。，鬻。5。8QBD.

【答案】。

【详解】由洛伦兹力提供向心力得

mv2

qvB=

R

即

nmv

R=FqB

可知离子在z>0区域运动的轨迹半径为

mv0

Ri二2qB

离子第一次进入NV0区域时速度方向沿2轴负方向，在ZV0区域轨迹半径

Ri=V^L=v^Ri

由几何关系可知离子从Z<0区域进入Z>0区域时速度方向沿Z轴正方向，且入射点在g轴上。故离子

在2>0区域中始终在平行力。2平面内做圆周运动，在N<0区域做圆周运动的平面始终与该区域磁场

方向垂直，运动轨迹如图所示。

由上述分析可知,离子奇数次经过xOy平面时的力坐标为

mv

Qy坐标为

~qB

Vn""2^B(71=1,3,5,7,…)

离子偶数次过/Og平面时x坐标为0,y坐标为

nmvQ

yL2qB(九二2,4,6,8,•••)

故选。。

题型二带电粒子在伸定边界磁场中运动

2.如图所示，矩形区域abed内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为口的匀强磁场，在ad边的中

点O处垂直磁场方向向里射入一带正电粒子，其入射速度大小为”0、方向与ad边的夹角为30°o已知

粒子的质量为小、电荷量为q,ad边长为L,而边足够长，粒子重力不计。欲使粒子不从而边射出磁

场，则磁场的磁感应强度大小B的范围为（)

、b

A./<8<边也

qLqL

D.B<粤或

qLqLqL

【答案】。

【详解】粒子在磁场中做圆周运动,有

我出=下~

得

o_rnvQ

则磁场的磁感应强度越大，粒子的轨迹半径越小。如图所示

设粒子的轨迹刚好和cd边相切时,轨迹的圆心为O,则有

用一Risin30。=~

得

Ri=L

则

mv

场二Q

qL

故当磁场的磁感应强度小于卫粤时，粒子将从cd边射出磁场；设粒子的轨迹刚好与帅边相切时，圆心为

qL

。2,则有

J22+/?2sin30°=.

则

则

3mv（）

B=

2qL

故当磁场的磁感应强度大于或等于即等时，粒子将从ad边射出磁场。

qL

故选。。

题型三帚电粒子在国移边界磁场中运动

3.受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电

粒子束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径Ri=V3m，外圆半径凡=3巾,区域内

有垂直纸面向外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小LOT,被束缚的带正电粒子的比荷

&=4.0xlCTC/kg,中空区域中的带电粒子由内、外圆的圆心。点以不同的初速度射入磁场，不计带

rrt

电粒子的重力和它们之间的相互作用，且不考虑相对论效应。

⑴求带电粒子在磁场中运动的周期T和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度为;

（2）若中空区域中的带电粒子以（1）中的最大速度。。从O点沿圆环半径方向射入磁场,求带电粒子第

一次回到。点所需要的时间;

（3）为了使束缚效果最好，在半径为Ri的圆内也加上磁场,磁感应强度B=26,方向相同。求粒子不

能射出半径为七的圆形区域的最大速度明

【答案】⑴1.57x10-7s,4x107m/s

（2）1.91x10-7s

（3）8x107m/s

【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

qvB=m—

r

2兀，

解得带电粒子在磁场中运动的周期为

T=1.57x10%

当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外

边界的最大速度,如图所示

根据几何关系有

2

密+褶=（凡一r0）

解得

T*o=1m

洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有

qv13=m——

0『0

解得

*=4X107m/s

（2）带电粒子以速度射入磁场中时，根据几何关系有

tan八萼=冬

解得

故其运动轨迹如图所示

•••

带电粒子在磁场中运动的圆心角为~~,在磁场中运动的时间为

O

47r

带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间为

Vo

故带电粒子从O点沿圆环半径方向射入磁场到第一次回到。点所需要的时间

t=t1+t2

解得

t=1.91x10-7s

（3）要使束缚效果最好，则B与右的方向应相同，如图所示

粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为Oi,在圆环区域内运动时，轨迹圆心为。2,设粒子在两区域内的运

动半径分别为『1、『2,因为

B，=2B

所以

_『2

根据几何关系有

2/icosa=Rr

OOr—%

OO2=R2—r2

OO2=r2—n=n

则三角形0002为等腰三角形，/OOQ2=2a,所以

2/回11。=R2—r2

解得

r2=2m

则

v=8x107m/s

m

■「展也・带电粒子的不确定册成的多解问题

4.平面（W和平面ON之间的夹角为35°,其横截面（纸面）如图所示，平面OAf上方存在匀强磁场，大小

为方向垂直于纸面向外。一质量为m,电荷量绝对值为外电性未知的带电粒子从•上的某点向

左上方射入磁场,速度与（W成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列

几种情形可能出现的是（）

B.N

,一比二、3§,一…♦—-Q

OV^<20OM

A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点，在磁场中运动的时间是翟

9qB

B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是芈等

C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是李警

D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是火等

【答案】ABD

【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有

"47r2

qvB=m—,qvB=r

得到

迎纨=2

qB'vqB

AC.若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到。州直线时，由圆周运动的对称性，速度

方向必与（W成20°,但由于35°>20°,则粒子轨迹与ON只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为40°,

运动时间

t—40°x27tm_2兀m

—360°qB~9qB

4正确、。错误。

BD,若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON有几个交点，粒子回到OAf'直线时,

由圆周运动的对称性，速度方向必与■成20°,粒子偏转角为

360°-40°=320°

则粒子运动时间为

,_320y27ml_16兀?n

工--------x------------

360°qB9qB

BD正确。

故选ABDo

题型五播场方向的不碗定性成的多解问题•••

5.如图甲所示，4BCD是一长方形有界匀强磁场边界,磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为

磁场的正方向，图中AB=一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速度”（）在力=0时

从A点沿4B方向垂直磁场射入,粒子重力不计.则下列说法中正确的是（）

A.若粒子经时间t=《为恰好垂直打在CD上,则磁场的磁感应强度场=等

2qL

B.若粒子经时间t=^-T0恰好垂直打在CD上,则粒子运动的加速度大小a=萼

2ZIJ

C.若要使粒子恰能沿。。方向通过。点，则磁场的磁感应强度的大小瓦=等普5=1,2,3,…）

D.若要使粒子恰能沿。。方向通过。点，磁场变化的周期玛=弊伽=1,2,3,…）

onvo

【答案】AD

【详解】A.若粒子经时间±=十为恰好垂直打在CD上，则粒子运动的半径为

R—L

根据

R=m—喘

ri

解得磁场的磁感应强度

选项A正确；

运动中的加速度为

选项B错误；

CD.若要使粒子恰能沿。。方向通过。点，粒子运动的时间必定为磁感应强度变化的周期的整数倍，如

图；根据运动的对称性可得，枕道半径满足

2L=2nr'

即

r'——2、3、…

n

由洛伦兹力提供向心力得

qv0B0=7n号

得

瓦=不（=o、i、2、3、….）

qLn

粒子圆周运动周期为

T__2KL

VQ3TW0

磁感应强度变化的周期

To=T

得

TQ=^L（九=0、1、2、3、….）

6nv0

选项。错误，。正确；

故选AD.

题型六临界状态的不唯一给成的多解问题

6.空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面，线段VN是屏与纸面的交线,长度为4L,

其左侧有一粒子源S,可沿纸面内各个方向不断发射质量为小、电荷量为外速率相同的粒子；SPL

为垂足，如图所示，已知SP=MP=L，若MN上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒

子的速率至少为（）

M

S--P

N

入V2qBLn2qBL小VbqBL「VlOqBL

mmmm

【答案】。

【详解】粒子要打中儿w的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从s飞出，绕过距离最近的河点，从右侧打

中最下端的N点，粒子运动的轨迹如图所示

•••

N\""AIN为轨迹圆的弦长，Q为；W中点，SP=PQ=L,MQ=2L；

粒子运动的半径为r,根据几何关系可知四边形SPOQ为平行四边形，则

e^OQ2+MQ2

解得

r=V5L

粒子在句强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知

qvB=m—

r

解得粒子的最小速率为

VbqBL

V=-------

m

故选C。

题型七带电粒子荏忒场中运动的整界极值问题

7.如图，在xOy坐标系的第一象限内，直线夕=丹Z—kx（k>0）的上方有垂直纸面向外的有界匀强磁

场，磁感应强度大小为口。在P（0,1~Z）点有一粒子源，能以不同速率沿与夕轴正方向成60°角发射质

量为m、电荷量为q（q>0）的相同粒子。这些粒子经磁场后都沿方向通过刀轴，且速度最大的粒

子通过力轴上的A/点，速度最小的粒子通过力轴上的N点。已知速度最大的粒子通过力轴前一直在

磁场内运动，不计粒子的重力，求：

⑴粒子最大速度的值与R的值；

（2）粒子从P点到穿过，轴经历的最长时间；

（3）有界磁场的最小面积。

O

【答案](1)m=；k=卓；(2)4=岱兀管”.()S=5(4兀/⑶心

m312qB363

【详解】(1)设粒子的最大速度为5,由于速度最大的粒子穿过c轴前一直在磁场内运动，过P点作速度的

垂线交立轴于Q点,就是速度为g的粒子做圆周运动的圆心，POi即为半径Ri,由几何关系可知

Risin60°=yP

解得

7?i=V31

由洛伦兹力提供向心力，则

R忧

qviB=m-^~

解得

V3qBl

----------

m

由于所有粒子离开磁场时方向均沿沙轴负方向，所以它们在磁场中偏转的角度均相同。即从磁场射出的粒

子,射出点一定在PA1连线上，PM■连线即为y=母/一for直线

,yp=yp

~OM~OOy+Rr

解得

(2)所有粒子在磁场中运动的时间均相等，速度小的粒子离开磁场后再做匀速直线运动，速度最小的粒子在

磁场外运动的位移最大，时间最长。设粒子在磁场中运动的时间为白

rp_2lVm._]np

_qB'LgT

设速度最小的粒子在磁场中半径为尺2,速度为。2,根据几何关系有

CN=NM

~OP~~OM

/?2sin30°+R2=OM—MN=V3Z

解得

CN*l,R?二号l

由洛伦兹力提供向心力，则

vl

qvBR=m—

2K]

解得

2MqBl

v=-o------

26m

最小速度的粒子离开磁场后运动的时间为t2,有

V2

粒子最小的粒子从离开P点到打在力轴上经历的时间

（8兀+3四）馆

一丽一

（3）磁场的最小面积为图中PCM阴影部分面积

S=（7T2?I——/?isin60°）—兀禺―；用sin60）

解得

5(4TT-3V3)

36

题型八“平移Bl”模型

8.如图所示，在①Oy平面的I、IV象限内有一圆心为。、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从4

轴左侧平行于非轴正方向不断射出质量为小、电荷量为外速度大小为列的带正电粒子。磁场的磁感

应强度大小为黑、方向垂直平面力。"向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所

有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为（）

y

xxx：X

KRKRKR

6。042c.酝2”o

【答案】C

【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动,有qvB=m—,解得r=2灭,如图所示，当粒子在磁场中的运动

0r

轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sina—上区,要使圆心角a最大，FE最

r

长，经分析可知，当粒子从g轴上的D点射入、从I轴上的E'点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最

7T

长，有sin°E，解得〃=£■,从。点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且%=袅.2里,

r62TLVQ

解得t—~~~~,故C正确。

m3*

题型九“茂林园”模型•••

9.如图所示,在直角坐标系cOy第一象限内c轴上方存在磁感应强度大小为8、方向垂直纸面向里的匀

强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为山、电

荷量大小均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是宓轴上的P点。已知粒子带

负电，粒子重力及粒子间的相互作用均不计，则