北师大版九年级（上）期末数学试卷1

九年级（上）期末数学试卷1（北师大版）

一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要

求，答案涂在答题卡上）.

1.（3分）一元二次方程W=2x的根是（）

A.0B.2C.0和2D.0和-2

2.（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形

3.（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）

1

■

■

■

■

4.（3分）下列说法中，错误的是（）

A.菱形的对角线互相垂直

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.矩形的四个内角都相等

D.四个内角都相等的四边形是矩形

5.（3分）已知△ABCs/kDER相似比为2,且△ABC的面积为16,则△OEF的面积为（）

A.32B.8C.4D.16

6.（3分）一元二次方程y2-〉—搭=0配方后可化为（）

A.（y+分2=1B.（>一今2=1c.（y+寺）2=,D.（y-卞

7.（3分）若点A（-1,yi）,B（2,”），C（3,"）在反比例函数y=的图象上，则yi，”，”的大

小关系是（）

A.y\>yi>y^B.yi>y3>y\C.y\>y3>yiD.y^>yi>y\

第1页（共30页）

8.（3分）如图，在△ABC中，NC=90°,则下列各式中正确的是（）

A.c=b*sinBB./?=(?•sinBC.a—b9tanBD.Z?=c*tanB

9.（3分）如图，在平行四边形ABC。中,点方是AO上的点，AF=2FD,直线3/交AC于点互交CD

)

23

A.-B.-C.一D.-

2334

10.（3分）二次函数丁=〃/+法+。（〃W0）的对称轴是直线％=2,图象如图所示，下面四个结论：①廿-4〃c

>0；②abc<0；®4a+b=0；@4a-2b+c>Q.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

二.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）

11.（4分）若关于x的一元二次方程f+2x-k=0无实数根，则上的取值范围是.

12.（4分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，

在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率稳定在.

13.（4分）将抛物线y=-x?+l向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一

般式为.

第2页（共30页）

14.（4分）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径作弧，交AD于点尸，再分别以点B,

1

斤为圆心，大于万8尸为半径作弧，两弧父于点G,射线AG父BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的

长为.

三.解答题(本大题共6个小题，满分54分)

1

15.(12分)(1)计算:|-5|-(IT-2021)°+2cos60°+(-)-1

(2)解方程：2(%-3)=3x(x-3).

%+2%2—2%

16.（6分）先化简，再求值：（口一月有)其中x=4tan450+2sin60°.

第3页（共30页）

17.（8分）为了解疫情期间网络学习的效果，某中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优

秀”、“良好”、“一般”、“不好”四个等次中，选择一项作为评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成

如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

10冷

8O

6Q

44

2O

（1）这次活动共抽查了人；扇形统计图中，学习效果“一般”所对应的圆心角度数为;

请将条形统计图补充完整；

（2）张老师在班上抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人,

若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.

18.（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实

践.如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面的中点B垂直起飞到达点A处，测得一号楼顶部E

的俯角为55°,测得二号楼顶部F的俯角为37。，此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高CE

为20米，求二号楼的高。E（结果精确到1米）（参考数据sin37°"0.60,cos37°«0.80,tan37°-0.75,

sin55°七0.82,cos55°^0.57,tan55°-1.43）

55八370

力

1

一

号

二

楼

-

C地面

第4页（共30页）

19.(10分)如图，一次函数/=履+6的图象与反比例函数>=亍的图象相交于A(1,2),B(”,-1）两

点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)若点P是x轴上的点，的面积是4,求点尸的坐标.

20.(10分)如图，点E在菱形ABCD的边上滑动(不与A,B重合)，点尸在边CB上，CFAE,DE

的延长线交CB的延长线于点G,DF的延长线交AB的延长线于点H.

(1)求证：DE=DF-,

(2)求证：AB2=AE-AH；

(3)若点E为边A3的黄金分割点(AE〉EB),求证：BH=AE.

D

第5页(共30页)

四.填空题（每小题4分，共20分）

21.（4分）已知关于x的一元二次方程Q-1）/-2无+/-1=0有一个根为x=0,则々=.

22.（4分）如图，在4X4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，△ABC的顶点都在小正方形的

23.（4分）从7,2,-3,4这四个数中任取两个不同的数分别作为mb的值，得到反比例函数丫=第，

则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是.

24.（4分）如图，点B是反比例函数丫=釜（x>0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足分别

为A,C.反比例函数y=W（x>0）的图象经过08的中点与AB,BC分别交于点E.连接DE

并延长交x轴于点F,则△BDF的面积是.

25.（4分）如图，在6X6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1,已知RtZ\ABC是网格中的格点三

角形，则该网格中与RtAABC相似且面积最大的格点三角形的面积是,符合条件的格点三角形

第6页（共30页）

五.解答题（本大题有3个小题，共30分）

26.（8分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500

千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.

（1）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？

（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？月利润的最大值是多少？

第7页（共30页）

27.（10分）ZVIBC中，AB=AC,ZABC=a,过点A作直线MN,使MN〃BC,点。在直线MN上（不

与点A重合），作射线8。，将射线2。绕点2顺时针旋转a后交直线AC于点E.

（1）如图1,点O在射线AN上，a=60°,求证：AB+AD=AE；

（2）如图2,点。在射线4V上，a=45°,线段AB,AD,AE之间又有何数量关系？写出你的结论,

并证明.

(3)若a=30ZABE=15°,BC=4V3,请直接写出线段A。的长

图1图2备用图

第8页（共30页）

28.(12分)如图，抛物线y=o?+bx+4(aWO)与x轴交于点A(-1,0)和点2(4,0),与y轴交于点

C,顶点为连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴/交于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸是第一象限内抛物线上的动点，连接PB,PC,若SAPBC=|SZMBC，求点尸的坐标；

(3)点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点使得以点M,N,E为顶点的

三角形与△OBC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由.

第9页(共30页)

九年级（上）期末数学试卷1（北师大版）

参考答案与试题解析

一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要

求，答案涂在答题卡上）.

1.（3分）一元二次方程/=2x的根是（)

A.0B.2C.0和2D.。和-2

【解答】解：移项得，?-2x=0,

因式分解得，X（X-2）=0,

解得，xi=0,X2=2,

故选：C.

2.（3分）下列图形中，是中心对称图形,但不是轴对称图形的是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形

【解答】解：A、B、C既是轴对称图形，也是中心对称图形;

。、不是轴对称图形，只是中心对称图形.

故选：D.

3.（3分）如图所示的几何体，其俯视图是（）

【解答】解：从上面看是一个矩形,矩形的中间处有两条纵向的实线，实线的两旁有两条纵向的虚线.

故选：A.

4.（3分）下列说法中，错误的是（)

A.菱形的对角线互相垂直

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.矩形的四个内角都相等

D.四个内角都相等的四边形是矩形

【解答】解：A、•••菱形的对角线互相垂直,

第10页（共30页）

，选项A不符合题意；

2、•••对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

，选项8符合题意；

C、•矩形的四个角都是直角，

；•矩形的四个内角都相等，

，选项C不符合题意；

。、：四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，

四个内角都相等的四边形是矩形，

，选项D不符合题意；

故选：B.

5.（3分）已知△ABCs△/）£/，相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为（）

A.32B.8C.4D.16

【解答】解：:△ABCs相似比为2,

AABC与ADEF的面积比为4,

；△ABC的面积为16,

.♦.△OEE的面积为：16x"=4.

故选：C.

6.（3分）一元二次方程*=0配方后可化为（）

A.（y+号）2=1B.（y—"=1C.（y+一=,D.（y—*

【解答】解：

J-y+*=i

（y一义）2=1

故选：B.

7.（3分）若点A（-1,yi）,B（2,y2）,C（3,”）在反比例函数y=-•的图象上，则y\,yi,》的大

小关系是（）

A.y\>yi>y3B.j2>y3>yiC.y\>y?>>y2D.y3>yi>y\

第11页（共30页）

【解答】解：•・•点A(-1,V)、B(2,”)、C(3,”)在反比例函数y=的图象上,

66

6---3-

23

XV-3<-2<6,

故选：C.

8.(3分)如图，在△ABC中，NC=90°,则下列各式中正确的是()

A.c=b9sinBB.b=c9sinBC.a=b9tanBD.b=c9tanB

【解答】解：在中，ZC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,

b=c9sinB,b=c9sinB,a=b9tmA,b=a9tanB.

故选：B.

9.（3分）如图，在平行四边形ABC。中，点尸是A。上的点，AF=2FD,直线8/交AC于点E,交CD

3

D.-

4

【解答】解：由A/=2。/，可以假设=上则Ab=2Z,AD=3k,

四边形A8CD是平行四边形，

：.AD//BC,AB//CD,AD=BC=3k,

tAEAF2

♦♦EC-BC-3’

.BEAE2

EG~EC~3

故选：C.

第12页(共30页)

10.（3分）二次函数y=〃/+/zx+c（〃W0）的对称轴是直线x=2,图象如图所示，下面四个结论：①房-4QC

>0；②HcVO；③4〃+匕=0；④4〃-2。+°>0.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，

方程〃/+版+°=0有两个不相等的实数根，

AZ?2-4。。>0,故①正确，

由图象知，抛物线的对称轴为直线x=2,

•_A-2

*,2a

4〃+Z?=0,

由图象知，抛物线开口方向向下，

*.*4〃+Z?=0,

：.b>0,而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

Ac>0,

/.abc<0,故②③正确，

由图象知，当工=-2时，yVO,

4a-2b+c<0,故④错误，

即正确的结论有3个，

故选：B.

二.填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）

n.（4分）若关于%的一元二次方程/+2x-k=0无实数根，则〉的取值范围是k<-1

第13页（共30页）

【解答】解：由题意可知：△=4+4左＜0,

：.k<-1,

故答案为：％＜-1

12.（4分）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，

在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率稳定在-.

5

1

【解答】解：在试验次数很大时，数字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是一.

6

,,1

故答案为t：-.

6

13.（4分）将抛物线y=-7+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的一

般式为y=-/-2x-2.

【解答】解：将抛物线y=-W+1向左平移1个单位长度得到抛物线＞=-（x+1）2+1,

再向下平移2个单位得到抛物线；y=-（x+1）2+1-2,即y=-（x+1）2-\=--2x-2.

故答案为：y=-?-2x-2.

14.（4分）如图，在平行四边形A3CD中，以点4为圆心，为半径作弧，交AD于点F,再分别以点8,

1

厂为圆心，大于-为半径作弧，两弧交于点G,射线AG交2C于点E.若8尸=8,AB=5,则AE的

2

长为6.

【解答】解：如图，设AE交于点。，连接斯.

由作图可知：AB=AF,AE1BF,

：.OB=OF,ZBAE=ZEAF,

：四边形ABCD是平行四边形,

第14页（共30页）

C.AD//BC,

：./EAF=/AEB,

：.ZBAE=ZAEB,

：.AB=BE^AF,

*：AF//BE,

・・・四边形ABEF是平行四边形，

*：AB=AF,

・・・四边形A形尸是菱形，

：.OA=OEf08=0尸=4,

在RtzXAOB中，VZAOB=90°,

・・・OA=y/AB2-OB2=V52-42=3,

'.AE—2OA—6.

故答案为：6.

三.解答题(本大题共6个小题，满分54分)

1

15.(12分)(1)计算：|-5|-(H-2021)°+2cos60°+(-)-1；

(2)解方程：2(x-3)=3%(x-3).

【解答】解：(1)原式=5-l+2x2+3

=5-1+1+3

二8；

(2)2(x-3)=3%(x-3)

(x-3)(2-3x)=0,

则x-3=0或2-3%=0,

解得:xi=3,X2=|.

2

X-2XV—44.

16.（6分）先化简，再求值：（―-—------)+—,其中％=4tan450+2sin60°.

%2-4%+4x—乙

—■-%+2X2-2Xx—4

v

■川十口‘"十.%_2%2_4%+4，.2

C+2x(x-2\x-2

-x-2—(x-2)2

第15页（共30页）

x+2xv—2

=（----------）

x-2x-2%—4

2x-2

-%—2%—4

_2

当x=4tan45°+2sin60°=4X1+2X噂=4+百时，原式=―—=孕.

24+V3-43

17.（8分）为了解疫情期间网络学习的效果，某中学随机抽取了部分学生进行调查.要求每位学生从“优

秀”、“良好”、“一般”、“不好”四个等次中，选择一项作为评价网络学习的效果.现将调查结果绘制成

如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题:

尤秀良好一般不好

（1）这次活动共抽查了200人:扇形统计图中，学习效果''一般”所对应的圆心角度数为108。；

请将条形统计图补充完整；

（2）张老师在班上抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人,

若从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法，求抽取的2人学习效果全是“良好”的概率.

【解答】解：（1）这次活动共抽查了804-40%=200（名），

扇形统计图中，学习效果“一般”所对应的圆心角度数为360。x黑=108。，

“不好”的人数为200-80-40-60=20（名），

补全条形统计图如图所示：

02

80

60

4o

2O

故答案为：200、108°；

（2）把学习效果“优秀”的记为4“良好”记为8,“一般”的记为C,

画树状图如图：

第16页（共30页）

一开始7

zA\zB\zB\C

BBCABCABCABB

..•共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，

21

抽取的2人学习效果全是“良好”的概率为一=

126

18.（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的一、二号楼进行测高实

践.如图为实践时绘制的截面图，无人机从地面C。的中点8垂直起飞到达点A处，测得一号楼顶部E

的俯角为55。，测得二号楼顶部P的俯角为37°,此时航拍无人机的高度为60米，已知一号楼的高CE

为20米，求二号楼的高DF.（结果精确到1米）（参考数据sin37°«0.60,cos37°~0.80,tan37°-0.75,

sin55°^0.82,cos55°-0.57,tan55°仁1.43）

1

号

楼

解：过点E、尸分别作EALLAB,FNLAB,垂足分别为M、N,

1

号

楼

由题意得，EC=2Q,ZAEM=55°,ZAFN=31°,CB=DB=EM=FN,AB=6Q,

：.AM=AB-MB=60-20=40,

在RtAAEM中，

VtanZAEM=~

第17页（共30页）

40

：.EM=亡27.97,

tanZ-AEM-tan55°

在RtAAF2V中,

tanXAFN=

AN=tan37°XPN=0.75X27.97心20.98,

：.FD=NB=AB-AN=60-20.98心39,

答：二号楼的高度约为39米.

19.(10分)如图，一次函数/=依+6的图象与反比例函数y=亍的图象相交于A(1,2),B(n,-1)两

点.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)若点P是x轴上的点，△ABP的面积是4,求点尸的坐标.

【解答】解：⑴•••反比例函数尸子的图象过点A(1,2),B(n,-1),

m

•・•2o—-,

解得加=2,

即反比例函数的解析式为y=p

7

/.-1==-,解得〃=-2,

n

・••点3(-2,-1),

•・•一次函数的图象过点A(1,2),3(-2,-1),

.(k+b=2

Y—2k+b=-1'

即一次函数的解析式为y=x+l；

(2)设点P的坐标为(p,0),

:一次函数y=x+l,

第18页(共30页)

...当y=0时，x=-1,

的面积是4,点A(1,2),3(-2,-1),

.|p-(-l)|x[2-(-l)]

••一4，

2

解得〃1=一号.2=|，

5

即点尸的坐标为(-争o)或.，o).

20.(10分)如图，点E在菱形ABC。的边AB上滑动(不与A,B重合)，点厂在边CB上，CF=AE,DE

的延长线交CB的延长线于点G,DF的延长线交AB的延长线于点H.

(1)求证：DE=DF；

(2)求证：AB2=AE'AH；

(3)若点E为边AB的黄金分割点(AE>EB),求证：BH=AE.

【解答】证明：(1)二•四边形A3CZ)为菱形,

：.AB=BC=DA=DC,ZA=ZC,AD//BC,

在和中，

DA=DC

Z-A=Z-C,

AE=CF

：.ADAE^ADCF(SAS),

:.DE=DF；

(2)VADAE^ADCF,

：.ZADE=ACDF,

9：AB//CD,

：.NAHD=NCDF,

：.ZADE=NAHD,

・・•NA=NA,

・・・AADE^AAHD,

第19页(共30页)

.ADAE

••—,

AHAD

：.AD2^AE-AH,

：.AB2=AE'AH,

（3）•.•点E为边4B的黄金分割点，AE>EB,

：.AE2=AB'EB,

.*.A£2=AB»（AB-AE）=AB2-AB-AE,

'：AB2=AE'AH,

：.AE1=AE-AH-AB'AE,

:.AE=AH-AB=BH.

四.填空题（每小题4分，共20分）

21.（4分）已知关于x的一元二次方程（a-1）7-2尤+/-1=0有一个根为x=0,则a=-1

【解答】解：把x=0代入（a-1）/-2x+42-1=。得/-1=0,解得。=±1,

•：a-1W0,

・・4=-1.

故答案为-1.

22.（4分）如图，在4义4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，△ABC的顶点都在小正方形的

4

顶点上，则sinZACB=-.

【解答】解：如图，过点A作AHLBC于巴

在RtZXACH中，VAH=4,CH=3,

：.AC=7AH2+CH2=V42+32=5,

AJJ4

AsinZACH=^=J.

第20页（共30页）

、4

故答案为：--

23.（4分）从-1,2,-3,4这四个数中任取两个不同的数分别作为mb的值，得到反比例函数y=（,

则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是2.

-3-

【解答】解：画树状图得：

开始

a2-14-3

/4\/N/N/K

b-14-324-32-1-32-14

则共有12种等可能的结果，

•反比例函数中，图象在二、四象限，

.•.有8种符合条件的结果，

：.P（图象在二、四象限）=白=多

故答案为：—.

24.（4分）如图，点8是反比例函数y=¥（尤>0）图象上一点，过点8分别向坐标轴作垂线，垂足分别

JX

为A,C.反比例函数（x>0）的图象经过的中点与AB,BC分别交于点。，E.连接。E

9

并延长父x轴于点F,则△3。尸的面积是5.

【解答】解：设点3（s,力,则4=12,

・・・M是的中点，

一11

点M夫—0,

则k=^s*-t=*=3,

第21页（共30页）

连接如图所示:

・・・R4，y轴，

J.BA//OF,

11Q

.,.△BDF的面积=4OBO的面积=SABOA-S^OAD=xl2-^x3=

9

故答案为：--

2

25.（4分）如图，在6X6的正方形的网格中，每个小正方形的边长为1,已知Rt/XABC是网格中的格点三

角形，则该网格中与RtZ\ABC相似且面积最大的格点三角形的面积是一也符合条件的格点三角形共

【解答】解：在Rtz^ABC中，AC=LBC=2,

：.AB=V5,AC：BC=1：2,

...与RtZkABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2,

若该三角形最短边长为4,则另一直角边长为8,但在6X6网格图形中，最长线段为6金，但此时画出

的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4,

在图中尝试，可画出EF=2V10,。尸=5近的三角形，

第22页（共30页）

V102V1O55/2!—

v—==V10,

，△ABCs^DFE,

：.ZDEF=ZC=9Q°,

此时△£>£尸的面积为：V1OX2V1O-2=1O,△OEP为面积最大的三角形，

RtZ\ABC的三边为1：2：遥的直角三角形，

:相似，直角边为1：2,

...直角边最长应为VTU与2VIU,如图中4个，

每旋转90°又有4个，

.•.共4X4=16（个）.

故答案为：10；16.

五.解答题（本大题有3个小题，共30分）

26.（8分）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500

千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.

（1）当月利润为8000元时，每千克水果售价为多少元？

（2）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？月利润的最大值是多少？

【解答】解：（1）设每千克水果售价为x元，则每千克的销售利润为（尤-40）元，月销售量为500-10

（x-50）=（1000-10%）千克，

依题意得：（x-40）（1000-10.r）=8000,

整理得：?-140x+4800=0,

解得：xi=60,X2=80.

答：每千克水果售价为60元或80元.

（2）设每千克水果售价为x元，获得的月利润为w元，则每千克的销售利润为（尤-40）元，月销售量

为（1000-10x）千克，

依题意得：w=（x-40）（1000-10x）=-10?+1400x-40000=-10（x-70）2+9000.

V-10<0,

...当x=70时，w取得最大值，最大值为9000.

答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大，月利润的最大值是9000元.

27.（10分）ZVIBC中，AB=AC,ZABC=a,过点A作直线MN,使MN〃BC,点D在直线MN上（不

与点A重合），作射线将射线BD绕点2顺时针旋转a后交直线AC于点E

第23页（共30页）

(1)如图1,点。在射线AN上，a=60°,求证：AB+AD=AE；

(2)如图2,点。在射线A7V上，a=45°,线段AB,AD,AE之间又有何数量关系？写出你的结论，

并证明.

(3)若a=30°,ZABE=15°,BC=4V3,请直接写出线段AD的长

图1图2备用图

图1

•・•当a=60°时，ZABC=ZDBE=60°,

・・・/ABD=NCBE,

又,.・AB=AC,

AAABC是等边三角形，

：.AB=CB,ZACB=60°,

AZBCE=120°,

•:MN〃BC,

：.ZBA£)=180°-ZABC=120°,

ZBAD=ZBCE,

:•△BMy^XBCE(SAS),

：.AD^CE,

：.AE^AC+CE^AB+AD；

第24页(共30页)

(2)结论：AE=AB+V2AD.

理由：如图2中，当a=45°时，ZABC=ZDBE=45

图2

，ZABD=ZCBE,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=45°,ZBAC=90°,

...△ABC是等腰直角三角形，

：.BC=五AB,

•JMN//BC,

/.ZBAD=180°-ZABC=135°,

VZBCE=180°-ZACB=135°,

ZBAD=ZBCE,

:.△BADs^BCE,

.ADAB1

"CE~BC~yj2'

：.CE=五AD,

：.AE=AC+CE^AB+V2AD.

(3)由题可得，/ABC=/DBE=/BAD=30°,

分两种情况:

①如图所示，当点E在线段AC上时，过点A作AHLBC于H,过点。作。GLBC于G.

第25页（共30页）

/.ZABD=ZABE=ZEBC=15°,

：.ZDBG=45°,

'：AB=AC,AH±BC,

:.BH=CH=2娼,AH=BH»tan30°=2,AB=2AH=4,

'：MN//BC,DGLBC,AH±BC,

ZDGH=ZAHG=ZADG=9Q°,

四边形AHGO是矩形，

:.DG=AH=2,AD=GH,

：.BG=DG=2,

:.AD=HG=BH-BG=2V3-2.

②如图所示，当点E在CA的延长线上时,

过。作DH1AB于H,

,：ZDAH=30°,

：.AD=2DH,AH=y[3DH,

'：ZDBH=150+30°=45°,

:./DBH=NBDH=45°,

:.BH=DH,遗BH=DH=x,

'