北京市海淀区2024年高考数学一模试卷（含答案）

北京市海淀区2024年高考数学一模试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U={%|-2<%<2},集合a={x|-1<%<2},则CiM=（）

A.（—2,—1）B,[—2,—1]C.（—2,—1）U{2}D.[—2,-1）U{2}

2.若复数z满足zi=1+i,贝Uz的共根复数是（）

A.-1—iB.1+iC.-1+iD.1—i

3.已知{即}为等差数列，S.为其前n项和.若的=2ci2，公差Sm=0,则m的值为（）

A.4B.5C.6D.7

4.已知向量2B满足|方|=2花=（2,0）,且口+应=2,则位花〉=（）

A.B.IC.年D,

6336

5.若双曲线圣—m=l（a>0,b>0）上的一点到焦点（-，亏,0）的距离比到焦点（d亏,0）的距离大b,则该双曲

线的方程为（）

A,——y2=1B.-y2=1C.x2—=1D.x2-=1

4,21724

6.设a,S是两个不同的平面，I,血是两条直线，且mua,110.则“11£”是“血〃夕’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知/Xx）={[（]+i）:曰:函数/（%）的零点个数为小,过点（0,2）与曲线y=/（%）相切的直线的条数为九,

则771,几的值分别为（）

A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2

8.在平面直角坐标系xOy中，角a以。无为始边，终边在第三象限.则（）

A.sina—cosa<tanaB.sina—cosa>tana

C.sina•cosa<tanaD.sina•cosa>tana

9.函数/Xx）是定义在（-4,4）上的偶函数，其图象如图所示，/⑶=0.设/⑴是

人光）的导函数，则关于x的不等式/（久+1）"'（久）20的解集是（）

A.[0,2]B,[-3,0]U[3,4)C.(-5,0]U[2,4)D.(-4,0]U[2,3)

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10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规

律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉(分叉的角度约为60。)，再沿直线繁殖，…；

②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象

为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿直线繁殖到41，然后分叉向与方

向继续繁殖，其中“2出遇22=60°,且41血1与&血2关于所在直线对称，^11^21=&1&2=方。21，

....若021=4“1,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r(r6N*,单位：cm)至少

为()

培养皿壁

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知In?=2,则仇a?—仇人2=.

b------

12.已知OC：(x-l)2+y2=3,线段是过点(2,1)的弦，则的最小值为.

4432

13.若(％—2)=a4x+a3x+a2x+arx+a0,见la。=；.

14.已知函数/(%)=sin(x+7)sin2x,则疳兀)=____;函数/(%)的图象的一个对称中心的坐标为______

44

15.已知函数/(%)=y/x3—x,给出下列四个结论：

①函数/(%)是奇函数；

②YkGR,且/c。0,关于％的方程/(%)-々％=0恰有两个不相等的实数根；

③已知P是曲线y=中)上任意一点，^A\AP\>j；

④设”(如月)为曲线y=f(x)上一点，火如力)为曲线y=-/(%)上一点,若氏+不1=1，则|MN|>1.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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16.(本小题13分)

在△ABC中，bsinC+y/~3ccosB=2c.

(I)求NB；

(II)若a=2y/~3,b+c=4,求aABC的面积.

17.(本小题14分)

如图，在四棱锥P—2BC。中，AD//BC,M为8P的中点，AM//平面CDP.

(I)求证：BC=2AD-,

(II)若P4VAB,AB=AP=AD=CD=1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使四棱锥P—4BCD存在且唯一确定.

(i)求证：PA

(ii)设平面CDPn平面BAP=I,求二面角C—I—B的余弦值.

条件①：BP=DP；

条件②：ABLPC；

条件③：乙CBM=ACPM.

注：如果选择的条件不符合要求，第①问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计

分.

18.(本小题13分)

某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从

该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩(百分制，且均为整数)及相应过程性积分数据，整理如下表：

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科普测试成绩X科普过程性积分人数

90<%<100410

80<x<903a

70<%<802b

60<x<70123

0<%<6002

(I)当a=35时,

(i)从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

(ii)从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X

的数学期望E(X)；

(II)从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为小，上述100名学生科普

测试成绩的平均值记为匕.若根据表中信息能推断匕<匕恒成立，直接写出a的最小值.

19.(本小题15分)

已知椭圆G：龙2+爪〉2=爪的离心率为苧,4］，4分别是6的左、右顶点，尸是G的右焦点.

(I)求m的值及点F的坐标；

(II)设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线x=2上，且PF1FQ,直线PQ与x轴交于点M.比较与

IMA/•阳加的大小.

20.(本小题15分)

1

已知函数/(%)=xe所产.

(I)求人久)的单调区间；

(II)若函数g(x)=|/(x)+e~2a\,xe(0,+8)存在最大值，求a的取值范围.

21.(本小题15分)

已知：Q：a］，a?,…，<2巾2(巾N2,meN*)为有穷正整数数列，其最大项的值为?n,且当k=0,1,m-1

时,均有a/„n+t丰afcm+7(l<i<j<m).设坛=0,对于te［0,1,1},定义=min{n\n>bt,an>t},

其中，m讥M表示数集M中最小的数.

(I)若Q：3,1,2,2,1,3,1,2,3,写出瓦，仇的值；

(II)若存在Q满足：&+历+以=11，求小的最小值；

(III)当爪=2024时，证明：对所有Q,历023320240.

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1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】4

12.【答案】2

13.【答案】16-g

14.【答案】—1(一％0)(答案不唯一)

15.【答案】②③④

16.【答案】解：(I)bsinC+y/~3ccosB=2c,

•••由正弦定理得，sinBsinC+y/~3sinCcosB=2sinC,

CG(0,7r),•••sinCW0,

•••sinB+y[3cosB=2,

1.,<3门y

:.-sinBn+—cosB=1,

•••sin(B+^)=1,

・•・B=I；

o

(II)•••B=^,a=2/3,b+c=4,

由余弦定理=a2+c2—2accosB,得炉=12+(4—b)2—2x2V~3x(4—fa)x苧,

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解得b=2,

c-2j

ABC的面积S=^acsinB=jx273X2X1=<3.

17.【答案】解：（I）证明：取PC的中点N,连接MN,ND,

1

因为M为BP的中点，所以MN=：BC,MN//BC,

因为4D〃BC,所以AD〃MN,所以M,N,D,4四点共面.

因为4M〃平面COP,平面MN£MCl平面CDP=DN,所以4M〃DN,

所以MN=4D.所以BC=2AD.

(II)取BC的中点E,连接AE,AC,

由(I)知BC=2AD,所以EC=AD.

因为EC〃4D,所以四边形4ECD是平行四边形.

所以EC=4。=1,AE=CD.

1

因为4B=CD=L所以4E=1=/8C,所以NB"=90。，^AB1AC.

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选条件①：BP=DP.

(i)证明：因为4B=4D=LPA=PA,所以aPAB之△「&£>,所以NPAB=NPAD.

因为28_LPA,所以ZJMB=90。，所以NPA£)=90。，即AP_L2D所以4P1平面ABCD.

(花)由(i)知4PJ•平面ABCD,所以AP_LAC.

因为24LAB,AP=1,如图建立空间直角坐标系2—xyz,

则P(0,0,l),C(0,V3,0),D(—

所以丽=(一a一苧,0),而=(4,亨1),IC=(0,/3,0)，

设平面PDC的法向量为元=(x,y,z),贝4g,迈=°,即!一彳”后-o

AyO

tn-PD=01_工久中-Z-

令x=6,贝1Jy=-1，Z=-<3>所以元=(，1,一1,—，I)，

因为正为平面PAB的法向量，且cos(而，元>=备5=—?,

|因帆|7

所以二面角C一/—B的余弦值为—

选条件③：乙CBM=LCPM.

(i)证明：所以CB=CP.因为AB=2P=1,CA=CA,所以△ABC丝△2PC.

所以NP4C=N84C=90。，即PA_L4C.因为PA_L48,所以PA1平面48CD.

(ii)由(i)知AP_L平面4BCD,所以AP1AC.

因为PALAB,AP=1,如图建立空间直角坐标系4-xyz,

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则P(0,0,l),C(0,<3,0),O(U亨0),

所以丽=(一：,—苧,0),丽=(+，?,—1),Zc=(0,73,0),

1

o

-X--

n2

n-CD=Op

设平面尸0C的法向量为元=（x,y,z）,则f1

元•丽=0'-X十Z-O

2-

令x=g则y=-Lz=-V3,所以元=（门,一1,-6）,

因为近为平面P4B的法向量，且cos（正，元＞=萼1=—?,

所以二面角C—/—8的余弦值为

不可选条件②，理由如下：

由①可得4B14C,XPAA.AB,

PAOAC=A,PA,ACu平面PAC,ABI平面PAC,

・••PCu平面PAC,ABLPC,

AB1PC是由已知条件可推出的条件，

故不可选条件②.

18.【答案】解：（I）当a=35时,

⑷由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为10+35=45,

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为喘=0.45,

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45；

（花）根据题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率

珀35_7

力35+10-9"

所以从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，

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这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，

同理，从该校学生活动成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估

计为|，

由表可知X的所有可能取值为6,7,8,

P(X=6)="C，P(X=7)=2xZx|=g,P(X=8)=-x-=-)

所以X的数学期望E(X)=6X^+7X^+8X/=M

olololV

(n)7.

19.【答案】解：(I)由题意知m>1,设。2=血，b2=1,

则c2=a2-b2=m-1,

因为G的禺心率为苧，

所以M=2c2,

即m=2(m—1),

所以m=2,c=1,

所以m的值为2,点尸的坐标为(1,0)；

(II)由题意可设P(%o，yo)，尸(%0，泗)(%0、0。0)，Q(2JQ)，则％O<2,g。/，

XQ+2%=2,①

因为PF1FQ,

所以(%o-l,y0)•(l，yQ)=。，

所以=+£，②

因为Q,P,M三点共线，xoe(-72,0)0(0,72),

所以笠之=_2^,③

2rox0-xMJ

由①②③可得XM=g

%o

由(I)可知4式一，1,0),X2(72,0),

所以|MP|2-IM41I•IM&I=(x0-$2+据—舄+<2)(^-72)

=%2-4+±+1-^--1+2=^-1,

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y2

所以IMPy-\MAr\­\MA2\=-^-1<0,

即|MP『<\MAr\■\MA2\.

i

20.【答案】解：⑴因为/Q)=x•为一产,

axaxax

所以f'Q)=e4-1-e4=e4(l-1),

令((x)=0,得x=2,

所以在(一8,2)上[(x)>0,f(x)单调递增，

在(2,+8)上((%)<0,/(%)单调递减，

所以函数/(X)的单调递增区间为(-8,2),单调递减区间为(2,+8).

(II)令h(x)=f(x)+e~2a,则

由(I)得，函数/i(x)得单调递增区间为(一附2),单调递减区间为(2,+8),

所以h(x)在x=2处取得最大值八(2)=2ea-1+e~2a,

_1

所以当%>2时,h(x)=x-ea~2x+e~2a>e~2a=/i(0),

当0<x<2时，/i(x)>h(0),

即当％E(0,+8)时,he(/i(0),/i(2)],

所以g(x)=|h(%)|在(0,+8)上存在最大值的充分必要条件是[2・e^T+?-2可>\e~2a\,

2-ea-1+e_2a+e-2a_,_

即0n---------------=eaaL1+e2>0n,

令?n(%)=ex~1+e~2x,则M(%)=ex-1+e~2,

因为=e*T+e~2>0,

所以TH。)是增函数，

因为??i(—1)=e~2—e~2=0,

所以m(a)=ea-1+e~2a>0的充要条件是a>一1,

所以a的取值范围为[-1,+8).

21.【答案】解：(I)由Q：3,1,2,2,1,3,1,2,3,b0=0,

则瓦=min{n\n>0,an>0},故瓦=1,

b2=min{n\n>l,an>1],故==3,

Z?3=min{n\n>3,an>2],故①=6；

(II)由题意知TH>3,

当m=3时，因为的之1,b0=0,所以d=1,

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因为g。的，且02，%均为正整数，

所以。2>1，或。3>L

所以与<3,

因为。4,。5,与是互不相等的正整数，所以必有一项大于2,

所以久<6,

所以