北京市西城区2024-2025学年高三年级上册10月月考数学检测试题（含解析）

北京市西城区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题

提示：答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.已知集合"={T°』},集合8={xeZ|x2_2xW0},那么等于（）

A{-1}B.{0,1}

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.在复平面，复数z对应的点坐标为。，-1）,则忘=（）

A.iB.-iC.1-iD.1+i

3.若Q>0〉6,则（）

A./〉〃B.|«|>|i|

ab

137r

4.已知。=log21.41,b=1.41°,,c=cos贝ij（）

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

5.设1是直线，a,P是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）

A.若///a,/〃A，则a///?B.若///a,/!/?,则a，，

C若1工0,al/3，贝U//aD.若///a,a1/3,则

77

6,将函数y=sin2x的图象向左平移。（°〉0）个单位长度，得到的图象恰好关于直线x=—

6

对称，则。的最小值是（）

71717171

A.—B.一C.一D.一

12643

7.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子・天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的

一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取

的最少次数为（）

A.5B.6C.7D.8

8.已知J等差数列｛%｝的前〃项和，贝心J是是递减数歹广的（)

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.在V/8C中，ABAC=90°,8c=2,点尸在8c边上，且9•（卷+就）=1,则

的取值范围是（）

10.已知无穷数列{4},4=1.性质s:V加，〃eN*,%+“>a,n+%，性质t:X/m,〃eN*,

2<m<n,am_x+an+i>am+an,给出下列四个结论：

①若%=3—2〃，则｛4｝具有性质s；

②若%=/,则｛%｝具有性质/；

③若｛4｝具有性质S,则见2〃；

④若等比数列｛4｝既满足性质S又满足性质f,则其公比的取值范围为（2,+8）.

则所有正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知角乃的终边关于原点O对称，则cos（a-/?）=____.

12.已知向量G=（2,0）,B=（加」），且G与否的夹角为m，则冽=.

13.等比数列｛4｝的前〃项和为S,,能说明“若｛%｝为递增数列,则皿€4,5"<5用”为假

命题的一组为和公比q的值为％=,q=.

「3”

14.设函数/（x）=<',①若4=0,则/（X）的最大值为_________;②若/（X）

[-x,x>a

无最大值，则实数。的取值范围是.

15.在棱长为2的正方体48co-4B1G2中，点瓦/分别为棱2。,8名的中点.点尸为正

方体表面上的动点，满足LEE.给出下列四个结论:

①线段4P长度的最大值为2G；

②存在点尸，使得DP//EF；

③存在点P,使得BF=DP；

④AEPR是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.

16.如图，在三棱柱45C—481G中，侧面48与4，底面45C,AB1AC,E,R分别

是棱48,5c的中点.求证：

(1)4G〃平面

(2)AC±BXE,

17.设函数/(x)=sinox+JMcosox(。〉0).从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函

数/(x)存在.

(1)求/(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)若对于任意的xe|,7r,都有/(x)Wc,求实数c的取值范围.

条件①：函数/(x)的图象经过点［-

57r7T

条件②：/(x)在区间-五，五上单调递增；

条件③：X=今足/(X)的一条对称轴.

18.已知V45c中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(l—3cosC)=3ccosZ.

b

(1)求2的值；

a

(2)若c=2,求B最大时V48C的面积.

19.已知直线歹=注与函数/(x)=xlnx-x2+x的图象相切.

(1)求左的值;

(2)求函数/(x)的极大值.

20.已知函数/(x)=aln(x+l)-xe*+i.

(1)当a<0时，求/(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)存在正零点七，

(i)求。的取值范围；

(ii)记为为/(x)的极值点，证明.项)<3毛

21.给定正整数NN3,已知项数为加且无重复项的数对序列A：

(国,%…，(4/,〃)满足如下三个性质：①e{l,2,…,N},且

XjW乂(，=1,2,…,加)；②%=%(，=1,2,…，加一1)；③(0,q)与(%p)不同时在数对序列A

中.

(1)当N=3,掰=3时，写出所有满足石=1的数对序列A；

(2)当N=6时，证明：加<13；

(3)当N为奇数时，记加的最大值为T(N),求T(N).

北京市西城区2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试题

提示：答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答.

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

1.已知集合"={T°』},集合8={xeZ|x2_2xW0},那么等于（）

A.{-1}B.{0,1}

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

【正确答案】D

【分析】先解不等式化简集合3,再由并集的概念，即可得出结果.

【详解】•.•集合/={—1,0,1},集合8={xeZ|x2—2xW0}={xeZ|0<xW2}={0』,2},

ZuB={-1,01,2}.

故选：D.

2.在复平面，复数z对应的点坐标为。，-1）,则忘=（）

A.iB.-iC.1-iD.1+i

【正确答案】B

【分析】由题可得2=1-i,再由复数除法法则即可求解.

【详解】Z对应的点坐标为（1,—1）,所以z=l-i,

(Ji)?Ji

所以三=1-i

1+i1+i(1+1)(1-1厂2

故选：B.

3.若Q〉0〉6,则()

A.a3>b3B.同>小

D.ln(Q—b)〉0

【正确答案】A

【分析】根据不等式的性质判断A,取特殊值判断BCD.

【详解】a>0>b,a3>G,b3<0,即/>>,故A正确；

取a=1,6=—2,则同>W不成立，故B错误；

取a=l,6=—2,则工〈工不成立，故c错误；

ab

取。=；力=—则ln(a—6)=lnl=0,故D错误.

故选：A

137r

4.已知Q=k)g21.41,b=1.41°,,c=cos-j-,贝ij()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.

c>a>b

【正确答案】B

【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性及诱导公式、特殊角的三角函数

值比较即得.

【详解】依题意，。=10821.41<1082亚=5,6=1.41°，4>1.41°=l,c=cos^=cos|=-,

所以b>c>a.

故选：B

5.设1是直线，a,0是两个不同平面，则下面命题中正确的是()

A.若///a,l//p,则a//〃B.若///a,11/3,则a,万

C.茗1工。,a10,则///aD.若///a,a1/3,贝i"，万

【正确答案】B

【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；

【详解】A：若///a,/〃力，则a//£或相交，故A错误；

B：若IIla,11/3,由线面平行和垂直的性质可得a，，，故B正确;

C：若1工/3,aL/3,则///&或/ua,故C错误；

D：若///a,aL/3,则/，力相交或/〃，或/u用，故D错误；

故选：B.

TT

6,将函数y=sin2x的图象向左平移。（°〉0）个单位长度，得到的图象恰好关于直线x=—

6

对称，则。的最小值是（）

71717C71

A.—B.一C.—D.一

12643

【正确答案】A

【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴

可得。以及。的最小值.

【详解】将函数y=sin2x的图象向左平移夕（9〉0）个单位长度得到的函数图象对应的函数

解析式为J=sin（2x+2。），

TTTTJT

因为其图象关于直线X=—对称，所以2x2+20=2+版■，左eZ,

662

解得°=土+红，左eZ,则正数。的最小值为二，

12212

故选：A.

本题考查了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴.属于基础题.

7.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子•天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的

一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取

的最少次数为（）

A.5B.6C.7D.8

【正确答案】C

【分析】由题可知截取第n次后，剩余的棍棒长为十尺，然后列不等式可求出n的值.

【详解】由题意可知第一次剩余的棍棒长度为:尺，

则第n次剩余的棍棒长为，尺，

由一^<0.33,解得〃27,

所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时，需要截取的最少次数为7.

故选:C.

8.已知J等差数列｛%｝的前〃项和，贝『母金"%”是"｛%｝是递减数列”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.

【详解】当等差数列｛%｝为常数列时，此时5"=〃％,满足前者，但是此时“｛%｝不是递减数

列”，故充分性不成立；

当｛aj是递减数列，则对V〃wN*，*<%，

〃(4+4)〃3-%)

S"=---------=---'

当〃=1时，S"_nan=0,

当〃22时，%>a“，Sn-nan>0,

所以对V〃eN*，Sn>nan,则反推成立，故必要性成立，

贝小电>”是“｛册｝是递减数列”的必要而不充分条件.

故选：B.

9.在V48C中，ABAC=90°,8C=2,点P在8C边上，且万•(赤+%)=1,则

的取值范围是()

C「「1」「也J

A.-JB.—,1C,-,1D,—,1

'」I」L」L

【正确答案】A

【分析】

以8c的中点为原点，过。垂直于3c的直线为〉轴，8c为x轴，建立平面直角坐标系，再

利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标表示即可求解.

【详解】以的中点为原点，过。垂直于的直线为〉轴，5C为X轴,

建立平面直角坐标系，如图：

则8(TO),(1,0),

设尸(x,0),A[a,b],|x|<l,

|。4|=1，a2+b2=l，

则由N-(而+X)=1,得(》_①_勾・(_。,_6)=；,

化简ax=-f

2

222

所以=(x-a)2+/-x_2ax+a+/=%,

由/+/=1，因为。。±1,所以时<1,

所以忖=向$'

所以的取值范围为.

故选：A

本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基

础题.

10.已知无穷数列｛《,｝,%=1.性质s:\/m,«eN*>am+n>am+a“，性质〃eN*，

2<m<n,am_X+an+l>am+an,给出下列四个结论：

①若%=3—2〃，则｛4｝具有性质s；

②若。”=〃2,则｛4｝具有性质/；

③若｛%｝具有性质S,则%2,;

④若等比数列｛%｝既满足性质S又满足性质/,则其公比的取值范围为(2,+8).

则所有正确结论的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】C

【分析】根据性质s的定义可判断①；根据性质/的定义可判断②；根据性质s的定义可得

an-«„_i>1，H>2,«GN,,利用累加法可证③；对于④，结合③，可得q>l,由｛册｝满足

性质s,分加="和掰H〃讨论求出q〉2,再由匕„｝满足性质/得>qm-'-qm-2,构

造/(x)=qx-/I,求导结合函数单调性可验证q>2满足题意.

【详解】对于①，因为氏=3-2〃，对V九〃wN*,

am+„-am-all=3-2(m+n)-(3-2rn)-(3-2n)^-3<Q,

即%,+〃<%,+%，所以｛%｝不具有性质S,故①错误；

2

对于②，an=n,对V加,“eN*,2<m<n,

22

am_x+an+l-am-an=(z«-l)-+(77+l)--m-n=2(n-zw)+2>0,

am_x+%+i>am+an,即｛a“｝具有性质t,故②正确；

对于③，若｛%｝具有性质s,令m=l,则见+i>%+4=l+a.，

即an—a,—>1,H>2,nGN,,

a”=(%—)+(a”-i—a〃-2)-----(出一+----nl=〃，又q=l,

所以a“2〃，〃eN*，故③正确；

对于④，｛an｝是等比数列，设其公比为4,又％=1,.•.a“=q"T,

若｛%｝满足性质s,由选项③得an>n,即q"T>n,〃eN*，，9〉1，

由V加,〃eN*,am+n>am+an,得产">/'+/,

当加=〃时，得/>2/,即/'〉2,对V〃eN*，又/之q,二q〉2,

当加时，不妨设〃〉加21,则q"

：.qm+n>qm+qn>2qm,解得q"〉2,，q22,

综上，若｛an｝满足性质s,则q〉2.

若｛册｝满足性质t,对\fm,〃eN*,2<m<n,am_x+an+l>am+an,

可得qm-2+q">q"i+q"',即q"-qn-x>qm-x-qm-2,令/(x)=/—qx-l,贝1]

/(〃)>/(%-1),

又n>m—l,所以函数/(x)=/—“I在xeN*上单调递增，又由｛an｝满足性质s,q>2,

f'[x｝=o'Inq-qiInq=q'"/nq.(q-1)>0成立，

所以等比数列｛册｝既满足性质S又满足性质3则其公比的取值范围为(2,+8).

故④正确.

故正确的为②③④共3个.

故选：C

方法点睛：对于以数列为背景的新定义问题的求解策略：

1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体

的解题过程中；

2、用好数列的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的数列的性质的一些因素.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知角a,万的终边关于原点0对称，则cos(a-^)=.

【正确答案】-1

【分析】根据角尸的终边关于原点0对称得A=a+(2左-l)»(keZ),即可得到

cos4)的直

【详解】•••角万的终边关于原点0对称，

:.0=a+(2k-V)7i(k€Z),

cos（a—夕）=cos[（1—2左）乃]=-\（keZ）.

故答案为1

12.已知向量3=（2,0）3=（加,1）,且&与B的夹角为则加=.

【正确答案】^##-73

33

【分析】根据向量的夹角公式计算即可.

7i1a-b2m万

【详解】由题意得cos£=s=曰百=—r—解得加=型.

32"共2xJ加-+13

故答案为.立

3

13.等比数列｛%,｝的前〃项和为S“，能说明"若｛叫为递增数列，则V〃eN*,S“<S"+]”为假

命题的一组％和公比q的值为%=，q=.

【正确答案】①.—1②.-（答案不唯一）

2

【分析】由题意，等比数列｛%｝为递增数列，且m〃eN*,%+1<0,取一组符合条件的％和公

比q即可.

【详解】“若｛a„｝为递增数列,则V〃eN*,S“<5用”为假命题,

所以若｛a,,｝为递增数列，则3neN*,S,>Sn+l,

Sn>Sn+l,则S“「S"=a"+i«0,

*1

等比数列｛4｝为递增数列，且三〃£N,%+1VO,则q=—1和公比q=满足题意.

故—1;—

2

14.设函数/（x）=（'一，①若a=0,则/（x）的最大值为_________；②若/（X）

[-x,x>a

无最大值，则实数。的取值范围是

【正确答案】①.2②.(-00-42)

【分析】①分别分析在两段内的单调性即可求出最大值；

②讨论。所在的区间，分别研究函数在每一段的单调性，根据/(x)无最大值列出不等式求出

结果.

、fx3-3x,x<0

【详解】①若a=0,/(x)=<,

-x,x>0

当x〉0时，f(x)=-x,/(x)单调递减，/(x)</(0),

当x«0时，/(x)=x3-3x,/'(x)=3%2-3=3(x-l)(x+l),

所以/(x)在(一巩一1)单调递增，在(-1,0］单调递减，

贝I此时/(x)a=/(T)=2>/(0)，

所以/(X)的最大值为2；

②当a<—1时，

当x〉a时，f(x)=-x,/(x)单调递减，所以/(x)</(a)=-a,

当xWa时，/(x)在单调递增，所以/(%)«/(。)=/一34,

因为/(x)无最大值，所以3。<-a，角由得a<—V2;

当—1<。<1时，

当X〉。时，f(x)=-X,/(x)单调递减,/(x)<f(a)=-at

当xWa时，/(x)在(―%―1］单调递增，在(-1,同单调递减，

所以/(%)”(—1)=2,

因为/(x)无最大值，所以-。〉2,此种情况无解，舍去；

当。21时，

当x〉a时，f(x)=-x,/(x)单调递减,/(x)<f(a)=-a,

当时，/(x)在(―%―1］单调递增，在(—1』单调递减，在&单调递增,

所以/(x)max=max{/(-l),/(«)},

—

/\—Q>f(1)

因为/(X)无最大值，所以彳_,此种情况无解，舍去；

所以实数。的取值范围是J5)

故①2愈(-8,-6

15.在棱长为2的正方体4BCD-45G2中，点E,歹分别为棱2。,8名的中点.点尸为正

方体表面上的动点，满足4尸，所.给出下列四个结论：

①线段4P长度的最大值为2g；

②存在点尸，使得DP//EF；

③存在点尸，使得=

④是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是.

【正确答案】①③④

【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断①，找出平行直线再由坐标判断是否

垂直可判断B,设点的坐标根据条件列出方程组②，探求是否存在符合条件的解判断③④

【详解】如图，建立空间直角坐标系,

B

X

则4(2,0,2),£(1,0,0),尸(2,2,1),C(0,2,0),。(0,0,0),耳(2,2,2),

对①，由正方体性质知当P在。时，线段40长度的最大值为2g，

此时存=(—2,2,—2),丽=(1,2,1),乖.丽=—2+4—2=0,

所以乖，而，即满足LET"故①正确；

对②，取正方形的中心M,连接易知MFIIDE,MF=DE,

所以四边形£>〃FE为平行四边形，柝以DMIIEF,故尸运动到M处时，DP//EF,

此时P(l,2,l),4P=(-1,2,-1),乖•丽=—1+4—1=2力0,即不满足4尸，£尸，

综上不存在点尸，使得DP//EF,故②错误；

对③，设P(x/,z),则乖=(x—2,y,z—2),EF=(1,2,1),若存在，

x—2+2y+z—2—0

由BF=DP,4尸工所可得方程组r—「——「一/七一-~

[/x-2『+(y—2『+(z—2『二6+/+/

x+2y+z-4

化简可得《。，解得x+z=2,y=lf

x+y+z=3

显然当x=0,z=2,y=1时满足题意，

即存在点尸，使得"P=DP,故③正确；

对④，设p(x/,z),若PE=PF,

则^(x-l)2+/+z2=加―2『+(y—2『+(z—，化简可得x+2y+z=4,

由③知4尸~L跖时可得x+2y+z=4,所以不妨取x=0,y=l,z=2,

此时P(0』,2)在正方体表面上，满足题意，故④正确.

故①③④

关键点点睛：本题的关键之处在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算建立方程，探求是否

存在满足条件的点，运算比较复杂，属于难题.

三、解答题：本大题共6小题，共85分.

16.如图，在三棱柱45C—481G中，侧面48与4，底面45C,AB1AC,E,R分别

是棱48,5c的中点.求证:

（1）4G〃平面4匹；

（2）AC±B.E,

【正确答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）要证明4cl〃平面4跖，只需证明4c1〃EE即可;

（2）要证明与E,只需证明/CJ_平面即可.

【详解】（1）在V48c中，E,E分别是棱48,8C的中点，

所以防〃ZC.

又在三棱柱ABC=481G中，4c1〃ZC,

所以4ci〃EE.

又因为4G（Z平面,EEu平面8]EE,

所以4G〃平面与E2L

(2)因为侧面ABB.A,1底面ABC,侧面ABB{AXA底面ABC=AB,

ABIAC,ZCu平面NBC,

所以/CL平面NAB/i.

又因为5]£u平面45与4,所以

本题考查线面平行的判定定理以及面面垂直的性质定理，考查学生的逻辑推理能力，是一道

容易题.

17.设函数/(X)=sinox+J}COSGX(G>0).从下列三个条作中选择两个作为已知，使得函

数/(X)存在.

(1)求/(X)的最小正周期及单调递减区间；

(2)若对于任意的xep7r,都有/(x)<c,求实数c的取值范围.

条件①：函数/(x)的图象经过点，;2)

57rJT

条件②：/(X)在区间-五，五上单调递增；

条件③：X=6■足/(X)的一条对称轴.

JT7冗

【正确答案】(1)T=n,单调递减区间为—+kTi,—+kTt/eZ)；

(2)[G,+oo)

【分析】(1)利用辅助角公式化简，结合所选条件，利用周期与单调性求出。，求函数解析

式即可；

JT

(2)由x的范围求出2x+—的范围，即可求出函数的值域，依题意.

3^\/max

【小问1详解】

因为/(1)=$m69%+^/§^050工=2gsinox+，cos69x=2sin^69x+y^,

若选①②：由①函数/(X)的图象经过点[一看,21

冗〃)71JT

则----1———F2kji,kwZ,即。=—1—12左，keZ,

632

由②/(x)在区间一三，白上单调递增，有工-即72兀，

1212"\/乙

又69〉0且7二--,即---2兀，所以0<69«2,此时G不存在；

CDCD

选条件②③：由②/(x)在区间-上单调递增，有不-[-不]二不，即72兀，

_1212_1，\1，//

2兀2兀一

又①〉0且T=—，即—2兀，所以0<69〈2,

CDCD

TTJT7T7T

由③X=上是/(x)的一条对称轴，则+2kwZ,

121232

所以G=2+12左，左EZ,所以@=2,

所以/(x)=2sin(2x+]],则/(x)的最小正周期T=/=兀，

qrqr47rTT77r

由一+2kli<2x+—<一+2kji(keZ),解得---\-kn<x<-----Fkn(k€Z),

2321212

兀7兀

所以〃x)的单调递减区间为丘+配,石■+E/eZ)；

若选①③：由①函数/(x)的图象经过点[-巳,2；

T10)兀兀

则----1—=—F2AJI,kGZ,即0=—1—12左，左£Z,

632

jrjr7L7L

由③x=—是f(x)的一条对称轴，则—coH—=—Fkit,左eZ,所以<y=2+12k,左eZ,

121232

此时。不存在；

【小问2详解】

由(1)可知/(x)=2sin

「、1兀LLIIC兀4兀7兀

因为5'兀'所以+

所以sin12x+§卜—1,^-,/(x)£卜2,百］,

71r-

因为对于任意的xe—,ii,都有/(x)Wc,所以c2百,

即c的取值范围为[百,+s).

18.己知V45C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a(l-3cosC)=3ccosZ.

(1)求2的值；

a

(2)若c=2,求B最大时V45C的面积.

【正确答案】(1)-

3

(2)e

2

【分析】(1)正弦定理化边为角，利用三角变换后再由正弦定理化角为边可得；

(2)利用余弦定理及基本不等式求得COS5的最小值即得3最大，由此求得三角形的边长人

后，再利用面积公式可得结论.

【小问1详解】

因为a(l-3cosC)=3ccosA,

由正弦定理得sinZ(1-3cosc)=3sinCcosA,

得sin/=3sinAcosC+3cosZsinC=3sinQ+C)=3sin5,

由正弦定理得a=36,所以2=」.

a3

【小问2详解】

M।_T29b2+4-b22b112b12V2

由余弦定理得cos5=巴士——

lac12b33b733b3

当且仅当攻=工，即6=立时取等号，

33b2

当cos8取最小值时，B最大，

此时a=3/?=^^，c=2,sin5=\Jl-cos2B=-,

23

VABC的面积为』acsin8=—xx2x—=-

22232

19.已知直线》=自与函数/(xhxlru-V+x的图象相切.

(1)求左的值;

(2)求函数/(x)的极大值.

【正确答案】(1)k=0；

(2)0.

【分析】(1)设出切点，利用导数的几何意义求解即得.

(2)利用导数判断函数的单调性，然后求出极值即可.

【小问1详解】

函数/(x)=xlnx-，+4的定义域为(0,+8),求导得r(x)=lnx-2x+2,

设切点为(Xo，/In/—x；+Xo),则切线的斜率为左=111X0-2x0+2,

切线方程为y-(x0lnx0-XQ+X0)=(Inx0-2x0+2)(x-x0),

又切线过点(0,0),于是竟—x0=0,而％〉0,解得%=1,所以上=0.

【小问2详解】

由(1)知，f'(x)=lnx-2x+2,设g(x)=lnx—2x+2,求导得g'(x)=1—2,

令g<x)=O,得x=L,当xe(04)时，g'(x)>0,当xe(：,+oo)时，g\x)<0,

222

因此函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(；,+8)上单调递减，

于是gOOm儆nglfnl—必2〉0,又g(^)=—<0,g⑴=0，

则存在Xig(X])=O,当xe(0,Xi)U(l,+8)时，/'(x)<0,当xe(X],l)时,

/'(x)〉0，

从而/(X)在(0,X1),(1,+8)上单调递减，在(石,1)上单调递增，

所以/(X)存在唯一极大值/(1)=0.

20.己知函数/(x)=aln(x+l)-xe*+i.

(1)当a<0时，求/(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)存在正零点七,

(i)求。的取值范围；

(ii)记不为/(x)的极值点，证明.与<3当

【正确答案】(1)单调递减区间是(-1,+8),无单调递增区间

(2)(i)(e,+8)；(ii)证明见解析

【分析】(1)借助导数的正负即可得函数的单调性;

(2)(i)求导后借助导数分a<0、0<a<e及a>e讨论函数的单调性，再结合零点的存在

/(国)=0

性定理计算即可得；(ii)利用零点定义与极值点定义可得<，代入计算可得

/(Xo)=0

留-』=(』+1)1115+1),再借助x>1时，3<%—1,即可得］。一』<(西+1丁，再计算

%

并化简即可得.

【小问1详解】

由已知可得/(x)的定义域为(—1,+。)，

4_(》+])2*

且/(》)=+xex+1)=

x+1

因此当a<0时，a-(x+l)2ex+1<0,从而/0)<0,

所以/(x)的单减区间是(—1,+“)，无单增区间；

【小问2详解】

/、/rr/\(7—(%+1)"O''

(1)由(1)知，/'(%)=-------------，

X+1

令g(x)=a-(x+1)2ex+1,g'(x)=-(x?+4x+3)ex+1,

当xe(—1,+oo)时，g，(x)=—+4x+3)e"+i<0,g(x)单调递减.

①当aK0时，可知/'(x)<0J(x)在(―1,+。)内单调递减，

又/(0)=0,故当x〉0时，/(x)<0,所以/(x)不存在正零点；

②当0<a<e时，g(0)=a-e<0,xe(0,+oo),g(x)=a-(x+l)2ev+1<0,

/(x)在(0,+8)单调递减，故当x〉0时，/(x)<0,函数/(x)不存在正零点;

③当a>e时，Ina—1>0,止匕时g(0)=a—e>0,g(lna—l)=a(l—lna)2<0,

所以存在ae(O,lna—1)满足g(a)=O,

所以/(x)在(—l,a)内单调递增，在(%+。)内单调递减.

令〃(x)=lnx-x+l,则当x〉0时，l(x)=——1,

JC

故h(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，

从而当x>l时，//(%)</?(1)=0,即lnx<x-l,

所以/(Ina-1)=a[inlna-(Ina-1)]<0,

又因为/(0)=0,所以/(a)>0,

因此，此时存在正零点x()；

综上，实数。的取值范围为(e,+“)；

»*f/'(xJ=O[«=(x+l)2eX1+1

(ii)由题意，匕(八，即《；(p，

[aln(xo+l)=xoe°

从而ln(x0+1)=厂多丁…，即=(e%(x0+l),

a+i)/

由(i)知当x>l时，lux<x-1,即x>0