八年级数学专项复习：等腰三角形中的动态问题

等腰三角形中的动态问题

©等腰三角形存在性

❷等腰中的全等三角畛

❸规律性探讨

【典例解析】

【例1-1］（2020•安徽省泗县月考）如图，4403=120。，。尸平分/A02,且。尸=1.若点M,N分别在

OA,上，且APMN为等边三角形，则满足上述条件的△「河"有（）

A.1个8.2个C.3个D.无数个

【答案】D

【解析】解：如图，在。4、。8上分别截取OE=OP,OF=OP,作/MPN=60。.

：。「平分/4。8,

ZEOP=ZPOF=6Q°,

OP=OE=OF,

:.△OPE,△(?尸尸是等边三角形，

EP=OP,ZEPO=ZOEP=/PON=/MPN=60。,

：.ZEPM=ZOPN,

:ZEMmAPON

：.PM=PN,

ZMPN=60°,

...△PNM是等边三角形，

只要/MPN=60。，APA/N就是等边三角形，

故这样的三角形有无数个.

故答案为：D.

【例1-2］（2020•贵州六盘水期末）如图，在，ABC中，AB=AC=3,/B=NC=50，点。在边BC

上运动（点。不与点瓦C重合），连接AD,作NAT）E=50，OE交边AC于点E.

（1）当ABDA=100时，/EDC=,ZDEC=

（2）当DC等于多少时，AABDmADCE,请说明理由；

（3）在点。的运动过程中，.ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出N3QA的度数；若不可

以，请说明理由.

【答案】(1)30,100；(2)(3)见解析.

【解析】解：(1)在ABAD中，

VZB=50°,ZBDA=100°,

：.ZEDC=30°,ZDEC=100°.

(2)当CD=3时，4ABD/ADCE,理由如下：

'：AB=CD=3,ZB=50°,ZADE=50°

：.NB=/ADE

'：ZADB+ZADE+ZEDC=180°,ZDEC+ZC+NEDC=180°

ZADB=ZDEC

又/B=NC

：.AABDQADCE

(3)可以，理由如下：

---/B=/C=50°,

，ZBAC=80°

①当时，ZDAE^ZDEA=65°,

：.ZBAD=ZBAC~ZDA£=15°

，ZBDA=115°

②当AD=AE时，ZAED=ZADE=50°

：.ZDAE=iSO0~ZAED-ZADE=SQ°

又；/&4。=80°

ZDAE=ZBAE

二点。与点8重合，不合题意.

③当AE=DE时，ZDAE=ZADE=50°

：.ZBAD=ZBAC-ZDA£=30°

ZBDA=100°.

综上所述，当NBZM的度数为115。或100。时，A4DE是等腰三角形.

【变式1-1］（2019•霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2,2）,若点尸在x轴或y轴上，且AAPO是等腰三角

形，这样的点P共有（）个

A.6B.7C.8D.9

【答案】C.

【解析】解：分两种情况进行讨论，

当OA是底边时，作。4的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；

当。1是腰时，以点。为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧,

和坐标轴出现2个交点；

满足条件的点尸共有8个，

故答案为：c.

【变式1-2](2020•山西初二月考)综合与探究：

在A43。中，AB=AC=8C=3cm.点P从点A出发以lcm/s的速度沿线段A3向点3运动.

(1)如图1,设点P的运动时间为f(s),当/=s时，是直角三角形.

(2)如图2,若另一动点。从点3出发，沿线段3C向点。运动，如果动点P,Q都以lcm/s的速度同时

出发，设运动时间为Ms),求当♦为何值时，AP3Q是直角三角形.

(3)如图3,若另一动点。从点C出发，沿射线3C方向运动，连接PQ交AC点。，且动点P,Q都以

lcm/s的速度同时出发.

①设运动时间为*s),那么当/为何值时，ADCQ是等腰三角形？

②如图4,连接PC.请你猜想：在点P,Q的运动过程中，APCD和AQCD的面积之间的数量关系为.

3

【答案】(1)—；(2)(3)见解析.

2

【解析】解：(1)当△P8C是直角三角形时，则N8PC=90。，

VZB=60°,

3

..BP=AP=—cm,

2

.二

••l一,

2

3

故答案为：--；

2

(2)①当NBPQ=90。时，BP=；BQ,

即3-r='r,解得：r=2

2

②当NB。尸=90°时，BP=2BQ,

即3-t=2t,解得：t=l

故当仁1或2s时，△PB。是直角三角形;

(3)①・・・/。。0=120。

・•・当△DCQ是等腰三角形，CD=CQ,

：.ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30°

•・•ZA=60°

・•・ZAPD=90°

：.AD=2AP

3-t=2t,解得：t=l

②S△PCD=SAQCO.

过点尸作PELAC于E,过点。作QGLAC于点G,

・•・ZCGQ=ZAEP=90°

9：AB=AC=BC

：.ZA=ZACB=ZQCG=60°

：.△EAP^AGCQ

：.PE=QG

：.APCD与^QCD同底等高

故5APCD=SAQCD-

【例2】(2020•江苏江阴月考)如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6s,点。为A8的中点.

(1)如果点尸在线段5。上以lcm/s的速度由点B向点C运动，同时，点。在线段CA上由点。向点A运

动.

①若点。的运动速度与点尸的运动速度相等，经过1秒后，△8尸。与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点。的运动速度与点尸的运动速度不相等，当点。的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全

(2)若点。以②中的运动速度从点C出发，点尸以原来的运动速度从点3出发都逆时针沿△ABC三边运

动，直接写出经过多少秒后，点P与点。第一次在AABC的那一条边上相遇.

【答案】(1)①△8尸。与△CQP全等，②点。的运动速度是gcm/s.(2)经过30秒后点尸与点。第一次

在△ABC的边2C上相遇.

【解析】解：(1)①ABP。与△CQP全等，

:点P的运动速度是\cmls,点。的运动速度是lcm/s,

二运动1秒时，BP=CQ=lcm,

•；BC」=6cm,

CP=5cm,

VAB=10,。为AB的中点，

：.BD=5f

：.BD=CP,

U：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.4BPD”丛CQP.

②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP丰CQ,

若aBPD与^CQP全等，只能BP=CP=3cm,BD=CQ=5cm,

此时，点尸运动3c加，需3秒，而点。运动5c徵，

•••点。的运动速度是§cm/s.

(2)设经过f秒时，P、。第一次相遇，

的速度是1厘米/秒，。的速度是g厘米/秒，

,5

•.10+10+/=—19

3

解得：仁30,

此时点Q的路程=30X§=50（厘米），

V50<2x26,

・•・此时点。在8C上，

・•・经过30秒后点尸与点。第一次在^ABC的边BC上相遇.

【例3-1］（2019•武汉市期中）如图，已知：NMON=30。,点4、4、4、…在射线ON上，点&、&、&、…

在射线0M上，△A1B1A2.△A2B2A3.△A383A4、…均为等边三角形，若OAi=l,则4A&Aio的边长为（）

【答案】D

：.AIBI=A2BI,Z3=Z4=Z12=60°,

.*.Z2=120°,

ZMON=30°,

.•.Zl=180o-120°-30o=30°,

XVZ3=60°,

・•・Z5=180°-60o-30o=90°,

,?NMON=N1=30。,

OAi=AiBi=l,

,*,△A282A3、△A333A4是等边三角形,

.,.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

Z4=Z12=60°,

：.AXBI//A2B2//A3B3,B1A2/7B2A3,

.•.Zl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°,

:・4282=281A2,53X3=2^2X3,

A3B3MB1A2M,

434=8332=8,

A5B5=16BIA2=16,

的边长为2〃L

・•・AA^Aio的边长为2%I=28=256.

故答案为D

【例3-2】（2020•浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1,周长记为Pi的正三角形纸板，沿图①的底边

剪去一块边长为士的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其

边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的段）后，得图③、④，…，记第〃（«>3）块纸板的周长为P“，则

尸”一尸,一等于...（）

【答案】A

【解析】解：Pi=l+1+1=3,

15

尸2=1+1-I=一,

22

111

尸=31+1+—x3=——，

44

,,1,123

尸4=l+l+—x2+—x3=—,

488

,1151_1

••尸3一尸2=———

42I一百

231111

尸4一尸3=—————T

84823

1

.•Pn~Pn-l=-2向-V

故答案为：A.

【变式3-1］（2020•山东牡丹期末）如图，已知NMON=30°,点A］,4,A3,・在射线QV上，点与，

B2,B3,…在射线OM上，△4月不，以4鸟，AA3B3B4,均为等边三角形.若04=1,则A43/9

的边长为（）

M

A.64B.128C.132D.256

【答案】B

【解析】解:♦••△4山1星是等边三角形，

：.AIBI=AIB2,ZAIBIB2=ZAIB2O=60°

,?NO=30。

ZA2AIB2=90°

ZO=ZOAiBi=30°

OB\=AIB\=A\B2=1

n1

同理可得：483=4,A/4=8,AnBn=2-

：.的边长为2-=128.

故答案为：B.

【变式3-2］（2019•贵州印江月考）如图，已知人5=4民4片=44,4修=4为，4为=4区4

若NA=70。，则“纥_i的度数为（）

B

【解析】解：=AB=43,ZA=70°

ZA4iB=ZA=70°

A耳=A4

・・・ZA1A2B1=ZA131A2

ZAAiB=ZAiA2Bi+ZAxB1A2

170°

・•・ZAiABi=—ZAAiB=——=35°

222

170°

同理可得：NA2A3&=二~XA\A2BI=一厂=17.5°

222

170°

NA3A/3=—NA2A3&=—丁=8.75°

223

70°

•・SA纥一产产

故答案为c.

【习题精练】

1.（2020•山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，/49户40。，点P在x轴上，若△P04

是等腰三角形，则满足条件的点P共有个.

【答案】4.

【解析】解：有。4=0尸、AO=AP,PO=24三种情况:

①以。为圆心，0A长为半径画弧，于X轴有2个交点尸2、尸3,

②以A为圆心，长为半径画弧，与X轴有2个交点。、Pi,

点。与04不能构成三角形，P符合条件，

③作线段的垂直平分线，交无轴有1个交点「4,

*.P^A=P^O,

，尸4符合条件，

综上所述：符合条件的点共有4个，

故答案为：4

2.（2019•浙江宁波模考）如图，ZAOB=W°,点P在08上.以点P为圆心，。尸为半径画弧，交Q4于

点《（点4与点。不重合），连接尸勺；再以点《为圆心，。尸为半径画弧，交05于点6（点鸟与点P

不重合）,连接片鸟；再以点鸟为圆心，0尸为半径画弧，交Q4于点鸟（点鸟与点耳不重合）,连接P2P3；

按照上面的要求一直画下去，得到点?，若之后就不能再画出符合要求点匕+i了，则"=.

【答案】8

【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角NAOB=10。；

由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20。，第三个等腰三角形的底角30。，同理可得第〃个

等腰三角形的底角度数为IQn,

因为等腰三角形的底角小于90。，10〃<90,即X9.

故答案为8.

3.（2020•河北保定一模）如图，ZAOB=W°,点P在05上.以点P为圆心，OP为半径画弧，交。4于

点片（点々与点。不重合），连接心；再以点片为圆心，OP为半径画弧，交于点鸟（点鸟与点P

不重合），连接片鸟；再以点6为圆心，0P为半径画弧，交。4于点〃（点片与点耳不重合），连接2A；

按照上面的要求一直画下去，就会得到OP==4鸟=鸟鸟•,则

（I）NP2P3PL。；

（2）与线段。尸长度相等的线段一共有条（不含。尸）.

【答案】1。。9

【解析】解：（1）由题意可知，PO=PXP,PlP=P2P1,....

则NPO《=NO《P,NPiP—NPRP,…,

ZAOB=W°,

：.ZP}PB=2Q°,/心片A=30。，/鸟鸟B=40。,Z^A=50°,ZP5P4B=60°,

：./P2P3P4=180o-40°-40o=l00°,

故答案为：100；

（2）根据题意，10n<90,解得〃<9.

•〃为整数,故”=8.

ZPPB=60°,

V54P4P5^P5P6,

/.△舄《兄为等边三角形，

...与线段OP长度相等的线段一共有9条（不含OP）,

故答案为：9.

4.（2020・福建连城期中）如图，在AA3C中，ZC=90°,AC=3C=4cm，点。是斜边AB的中点.点

£从点3出发以lcm/s的速度向点。运动，点R同时从点。出发以一定的速度沿射线C4方向运动，规定

当点£到终点C时停止运动.设运动的时间为％秒，连接OE、DF.

2

(1)填空：5AABC=cm;

(2)当x=l且点R运动的速度也是Icm/s时，求证：DE=DF；

(3)若动点R以3cm/s的速度沿射线C4方向运动，在点£、点R运动过程中，如果存在某个时间了,

使得AAZ*的面积是AfiDE面积的两倍，请你求出时间》的值.

4

【答案】(1)8；(2)见解析；(3)彳或4.

【解析】解：(1)VSAABC=-XACXBC

2

1

•"SAABC~X4X4=8

2

故答案为：8

(2)如图：连接CD

•：AC=BC,。是A3中点

...CO平分NAC2

又：ZACB=90°

：.ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45°

：.CD=BD

依题意得：BE=CF

BE=CF

在4CDF与△BDE中，(NB=ZDCA

BD=CD

：.(SAS)

：.DE=DF

(3)过点Z)作£>M_LBC于点M,OALLAC于点N,

\"AD=BD,ZA=ZB=45°,NAND=NDMB=90°

：.AAD^ABDM(A4S)

：.DN=DM

当SAA£>F=2SABDE.

11

—xAFxDN=2x—xBExDM

22

/.|4-3x|=2x

.4

..无1=4,X2=—

5

4

综上所述：a二或4.

5.(2020•广东佛山月考)如图，在等边AA3C中，43=4。=3。=10厘米，。。=4厘米，如果点M以

3厘米/的速度运动.

（1）如果点M在线段CB上由点C向点3运动.点N在线段&L上由3点向A点运动，它们同时出发,

若点N的运动速度与点M的运动速度相等：

①经过2秒后，ABMN和ACDM是否全等？请说明理由.

②当两点的运动时间为多少秒时，ABMN刚好是一个直角三角形？

（2）若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点3出发，点用以原来的运动速度从点C同

时出发，都顺时针沿AA5c三边运动，经过25秒时点四与点N第一次相遇，则点N的运动速度是

__________厘米/秒.（直接写出答案）

【答案】见解析.

【解析】解：（1）①4BMN必CDM.

理由如下：N、M速度相等，t=2

：.CM=BN=6,8M=4

：.BN=CM

'：CO=4

：.BM=CD

'：ZB=ZC=60°

:ABMN9XCDM

②设运动时间为t秒，△2MN是直角三角形有两种情况：

当/MWB=90。时，

/BNM=30。,BN=2BM

：.3t=2（10-30

解得：t=2^0

当/BNM=90。时，同理，BM=2BN,

即10-3仁2x3f,解得：/=—

9

.•.当仁生或电秒时，ABMN是直角三角形；

99

（2）分两种情况，

①若点M运动速度快，则3x25—10=25VN,解得狈=2.6；

②若点N运动速度快，则3x25+20=25皈，解得Vv=3.8.

6.（2018・湖北广水期中）（阅读）

如图1,等边AABC中，P是AC边上一点，。是CB延长线上一点，若AP=8Q.则过P作P/〃8C交A8

于尸，可证△APP是等边三角形，再证△尸。尸可得。是用的中点.请写出证明过程.

（运用）

如图2,△ABC是边长为6的等边三角形，尸是AC边上一动点，由A向C运动（与A,C不重合），。是

C8延长线上一动点，与点尸同时以相同的速度由8向C8延长线方向运动（。不与8重合），过尸作尸ELA8

于E,连接产。交于。.

（1）当/8。。=30。时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段即的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发生改变，请说

明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：【阅读】

,/△A2C是等边三角形，

ZABC=ZACB=60°,

'：PF//BC,

：./AFP=NAPF=NABC=ZACB=60°,

：.AP=PF,

'：AP=BQ,

:.PF=BQ,

'：PF//BQ,

：.NFPD=ZDQB,NPFD=ZQBD,

：./^PFD^AQBD；

:.DF=DB.

【运用】（1）

•••△ABC是边长为6的等边三角形，

工ZACB=60°,

・.・/3。。=30。，

：.ZQPC=90°,

设AP=x,贝!JPC=6-x,QB=x,

/.QC=QB^-BC=6+x,

•・•在Rt&。。尸中，ZBQD=30°,

PC=—QC,BP6-x=—(6+x),解得x=2,

22

：.AP=2；

(2)过。作QGLA3,交直线A3于点G,连接。E,PG,

又〈PELAB于E,

：.ZPGQ=ZAEP=90°,

丁点尸、。速度相同，

：.AP^BQf

•「△ABC是等边三角形，

JZA=ZABC=ZGBQ=60°,

在△4尸£和48QG中，

ZAEP=ZBGQ=90°,

：.ZAPE=ZBQG,

：.AAPE^ABQG(A4S),

：.AE=BG,PE=QG^.PE//QG,

.••四边形PEQG是平行四边形，

1

：.DE=-EG,

2

"：EB+AE=BE+BG=AB,

1

：.DE=-AB,

2

又•••等边△ABC的边长为6,

；.£)£=3,

故运动过程中线段ED的长始终为3.

7.(2020・乐清市月考)如图所示，△ABC中，4B=AC=BC=10厘米，M、N分别从点A、点2同时出发,

沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B

点时，M,N同时停止运动.设运动时间为f秒.

(1)M,N同时运动秒后，M、N两点重合？

(2)当0<f<5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形AAMN?

(3)M、N在8C边上运动时，能否得到以为底边的等腰如果存在，请求出此时M、N运动

的时间，如果不存在请说明理由.

【解析】解：(1)M、N同时运动10秒后，点M、N重合;

故答案为10；

(2)如图，

根据题意得：AM=t,BN=2t,则AN=lQ-2t,

**-Q10-2t,解得t=—；

3

・•・当0V/V5时，M.N同时运动W秒后，可得等边三角形AAMN；

3

（3）M、N在3。边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形，理由如下:

由（1）知10秒时V、N两点重合，恰好在C处.

如图，

：.AN=AM

：.ZAMN=ZANM

：.ZAMC=ZANB

\9AB=BC=AC

•••△AC3是等边三角形

：.ZC=ZB

在△ACM和△A5N中

VAC=AB,ZC=ZB,ZAMC=ZANB

：./\ACM^AABN

：.CM=BN

设运动时间为y秒时，△AMN是等腰三角形

ACM=y-10,NB=30-2y

40

.*.j-10=30-2y,解得产?-

40

・••当运动时间为一秒时，M,N在8C上使△AMN为等腰三角形.

3

8.（2020.南京月考）在ABC中，ZBAC>90°,A3的垂直平分线交5C于M,交A5于£,AC的

垂直平分线交于N,交AC于尸.

c

X-Q

B""E\A

(1)若Afi=AC,ABAC=120°,求证6N=AZZV=NC；

(2)由(1)可知—AMN是_____三角形；

(3)去掉(1)中的“/a4。=120。”的条件，其他不变，判断一AMN的形状，并证明你的结论;

(4)当与NC满足怎样的数量关系时，是等腰三角形？直接写出所有可能的情况.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)连接AM,AN,

9

：AB=AC9ZBAC=120°

：.ZB=ZC=30°

TAB的垂直平分线交5C于M,AC的垂直平分线交3c于N,

：.BM=AM,CN=AN,

：.ZC=ZCAN=30°,ZB=ZBAM=30°,

：.ZAMN=60°,ZANM=60°

：.ZMAN=60°

•••△AMN是等边三角形

：.AM=AN=MN

：.BM=MN=CN

(2)等边；

(3)等腰三角形，理由如下：

*：AB=ACf

：.ZB=ZC,

VAB的垂直平分线交BC于M,AC的垂直平分线交BC于N,

：.BM=AMfCN=AN,

:.ZC=ZCAN9ZB=ZBAM,

：.ZAMN=2ZB,ZANM=2ZC

'：ZB=ZC

?./AMN=NANM,

：.AM=AN

...△AMN是等腰三角形

(4)/AMN=2/B,NANM=2/C,ZMAN=18O0-2ZB-2ZC,

①当时，NB=/C；

②当MN=AN时，得2N3+/C=90。；

③当时，得N3+2NC=90。.

9.(2020・长沙月考)点尸是边长为3cm的等边AABC的边AB上的动点，点尸从点A出发.沿线段AB向点

8运动.

M1图2

(1)如图1,若另一动点。从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点尸，。都以Icm/s的速度同时出

发，设运动时问为f(s),连换A。、CP交于点

①当f为何值时，△PB。是直角三角形？

②在P,。运动的过程中，NCMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

(2)如图2,若另一动点。从点C出发，沿射线8c方向运动，连接PQ交AC于点。，如果动点P,。都

以la〃/s的速度同时出发，设运动时间为f(s),连接尸C,

①当f为何值时，AOCQ是等腰三角形？

②在点P,。的运动过程中，请探究△PCD和小QCD的面积之间的数量关系.

【答案】(1)①U1或2；②不发生变化，ZCMQ=60°；(2)①f=l；②面积相等

【解析】解：(1)①当APB。是直角三角形时，/B=60。，BP=3-t,BQ=t

ZPQB=90°,止匕时BP=2BQ

根据题意，得3-t=2t

解得仁1

②当/2尸。=90。时，此时BQ=2B尸

根据题意，得Z=2(3-Z)

解得：t=2

.••当仁1或2时，△尸5。是直角三角形；

②不发生变化，ZCMQ=60°

AP二BQ

在△A3Q与△口1尸中，＜/APQ=/CA尸

AB=CA

.*.△CAP

：.ZBAQ=ZACP

：.ZMAC+ZMCA=ZMAC+ZBAQ=ZCAP=60°

丁ZCMQ=ZMAC+ZMCA

：.ZCMQ=ZCAP=60°

故不发生变化，ZCMQ=60°；

(2)①=120。，当△OCQ是等腰三角形时，CD=CQ

：.ZPDA=ZCDQ=ZCQD=30°

•・•ZA=60°

・•・ZAPD=90°

：.AD=2AP,BPAD=2t

9：AC=AD+CD

2/+/=3

解得

故答案为/=1时，△DC。是等腰三角形；

②面积相等，如图所不：

过产作PE±AD于E,过。作QG_LAZ)于G,则PE\QG

：.ZG=ZAEP

易证△EAPdGCQ

：.PE=QG

:PCD和4QCD同底等高

△PCD和4QCD面积相等

故答案为42。和4QCO面积相等.

10.(2020•广东惠来期末)如图，在等边AABC中，AB=6cm,动点P从点A出发以1c机/s的速度沿A8匀

速运动.动点。同时从点C出发以同样的速度沿2C的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q

同时停止运动.设运动时间为/(s).过点尸作PELAC于E,连接尸。交AC边于D以C。、CE为边作平

行四边形CQFE.

(1)当r为何值时，ABP。为直角三角形；

(2)是否存在某一时刻使点P在/A8C的平分线上？若存在，求出f的值，若不存在，请说明理由；

(3)求。E的长.

【解析】解：(1)：△ABC是等边三角形,

.\ZB=60°,

.•.当8。=28P时，ZBPQ=90°,

6+t=2(6-r),

.1=2时，△BP。是直角三角形.

(2)存在.理由：连接2尸交AC于

：.BF±AC,AM=CM=3cm,

■:EF//BQ,

：.ZEFM=ZFBC=—NA3C=30。,

2

:・EF=2EM,

••t=29(3--/),

2

解得t=3.

(3)过。作尸K〃3C交AC于K.

•・・△ABC是等边三角形，

：.ZB=ZA=60°,

■:PK//BC,

：.ZAPK=ZB=60°,

：.ZA=ZAPK=ZAKP=60°,

•••△APK是等边三角形，

：.PA=PK,

9：PE±AK,

；・AE=EK,

9

：AP=CQ=PKfNPKD=NDCQ,NPDK=NQDC,

:ZKDQXQCD,

:,DK=DC,

：.DE=EK+DK=—(AK+CK)=—AC=3cm.

22

n.(2019•哈尔滨市月考)如图，A(6,0),5(0,4),点5关于元轴的对称点为。点，点。在九轴的负半轴

上，△A3。的面积是30.

(1)求点。坐标；

(2)若动点P从点3出发，沿射线3c运动，速度为每秒1个单位，设P的运动时间为/秒，△APC的面

积为S,求S与♦的关系式.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)由题意知，-ADBO^3Q,

2

：.AD=15,0D=9,

.•.点。坐标为(-9,0)；

(2)：点8(0,4)关于x轴的对称点为C点，

.••点C坐标(0,-4),

.•.当0<f8时，S=-3f+24,

当>8时，S=3r-24

12.(2020.湖北襄州期末)已知等边△ABC的边长为4c机，点尸，。分别是直线A3,8C上的动点.

(1)如图1,当点尸从顶点A沿4B向2点运动，点。同时从顶点B沿8c向C点运动，它们的速度都为

Icm/s,到达终点时停止运动.设它们的运动时间为t秒，连接A。，PQ.

①当/=2时，求/AQP的度数.

②当f为何值时4P3Q是直角三角形？

(2)如图2,当点P在54的延长线上，。在8c上，若PQ=PC,请判断AP,CQ和AC之间的数量关系，

并说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：⑴①根