北京市朝阳区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷（含解析）

北京市朝阳区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

A=lx\x2-3x＜o|B1={x|y=ln（x-2）}n）

1.已知集合1I,，,AB=（

A（0,+oo）B.（2,+s）C.（2,3）D.（0,3）

；）d，则向量，与B的夹角为（）

2.若|a|=L|6|=2,（aT

A30°B.60°C.120°D,150°

3.已知V45c中，角A,I3,C所对的边分别为a,b,c,若,则V4BC

cosAcosBcosC

是（）

A.钝角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形

4.已知。＜力＜0＜。，则下列不等式正确的是（）

ba0

A.B.a2＞c2

ab

C.logc（-a）＞logc（-/?）D-g]

5.如图，在V45c中，BC=6,D,E是BC的三等分点,且五万•孤=4,则错误的是

（）

A

BDEC

—►2―►1—►

A.2D=-ZS+-ZEB.AE=-AB+-AC

2233

C.~AB-AC=-AD.AB+AC=28

6.已知函数/（X）=f有两个极值点,则实数。的取值范围（）

2

A.0<a<一B.0<a<In2

e

八1e

C.a<eD.0<tz<In—

2

7.已知无穷数列｛an｝满足an+i=an+t（t为常数）,Sn为｛an｝的前n项和，贝『GO”是“｛an｝和｛Sn｝

都有最小项”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知2（西,0）,8（々,0）两点是函数/（》）=25皿3+/）+1（0〉0,96（0,万））与工轴的

两个交点，且满足卜-Z1n=:，现将函数/（x）的图像向左平移£个单位，得到的新函数

图像关于7轴对称，则（P的可能取值为（）

n_兀27r5万

A.—B.一C.---D.——

6336

x+3"x<0

9.若函数/(%)=<13在其定义域上只有一个零点，则实数。的取值范围为

—x—4x+a,x>0

13

()

16161616

A.a<—B.aW—C.a>—D.a2—

3333

10.设函数/（x）=cosx+Jcos2x,下列判断正确的是（）

A.函数/（x）的一个周期为兀；

B,函数/（'）的值域是一奇,2；

C.函数/（X）的图象上存在点P（XJ）,使得其到点（1,0）的距离为日；

JTJT

D.当xe时，函数“X）的图象与直线歹=2有且仅有一个公共点.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/（》）=毋1的定义域为.

X

12.若i为虚数单位，复数满足z(l-i)=|3-4i|,则z的虚部为.

13.已知数列｛6,｝满足%=2,且ax=50+1("eN*),贝|]牝=，S"=.

2

14.已知双曲线/一]_=1的左顶点为4，右焦点为石，尸为双曲线右支上一动点，则双曲

线的渐近线为,网•电最小值为.

，兀、兀

QXHJC<一,

I2J2

15.已知函数/(x)=rcos兀x,]Wx〈兀给出下列四个结论：

e-x+71+4a,x〉7i

①若/(X)有最小值，则。的取值范围是-Lo；

_兀_

②当a>0时，若/(x)=，无实根，则f的取值范围是[颂,4a]U[4a+1,+8)；

③当!■时，不等式/(一+2)>/(忖+4)的解集为(―2,2)；

④当a21时，若存在再<%2，满足一1</(%1)=/(%2)<。，则的+%〉0.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知等差数列｛?｝的公差为d,前〃项和为S“，满足q=1,d>0,且％,a2,邑成

等比数列.

(1)求数列｛%,｝的通项公式；

(2)记a=a,+2%,求数列也｝的前〃项和北.

17.如图，VABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且

V3sin+"+sin一"=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a=3，S^ABC=I'，.

(i)求sirkd的值；

(ii)求N/5C的角平分线8。的长.

18.某公园有一块如图所示的区域O4C8,该场地由线段。4、OB、ZC及曲线段围成.

经测量，ZAOB=90°,。4=。5=100米，曲线5c是以08为对称轴的抛物线的一部分,

点C到OA、OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF,其中点。在

曲线段8C上，点E、尸分别在线段OA、OB上,且该游乐场最短边长不低于30米.设DF=x

米，游乐场的面积为S平方米.

(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；

(2)求面积S关于x的函数解析式S=/(x)；

(3)试确定点。的位置，使得游乐场的面积S最大.

19.已知函数/(x)=asinoxcosox(a>0,。>0).从下列四个条件中选择两个作为已知,

使函数“X)存在且唯一确定.

(1)求/(X)的解析式；

(2)设g(x)=〃x)_2cos20x+l,求函数g(x)在(0,%)上的单调递增区间.

条件①:

条件②：/（X）为偶函数；

条件③：/（X）的最大值为1；

条件④：/（X）图象的相邻两条对称轴之间的距离为

20.已知函数/（》）=产（》2+办+1）.

⑴若。=0,求人%）在点（oj（o））处的切线方程；

（2）若f（x）在（-1,1）上恰有一个极小值点，求实数。的取值范围；

（3）若对于任意,/（x）〉e[x2cosx+l）恒成立，求实数。的取值范围.

21.己知S={1,2,…,A^S,T={?!，/,}记4={x|x=a+4，aeZ}（i=l,2）,

用|X|表示有限集合X的元素个数.

（I）若〃=5,^={1,2,5）,4n4=0,求T；

（II）若〃=7,|4=4,则对于任意的A,是否都存在T,使得=0?说明理由；

（III）若Ml=5,对于任意的A,都存在T,使得4n4=0，求〃的最小值.

北京市朝阳区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1,已知集合“斗，2一3》<。｝,八｛叩=ln（A2）｝,4n3=（）

A.（0,+”）B.（2,+s）C.（2,3）D.（0,3）

【正确答案】C

【分析】解不等式化简集合A,求出函数定义域化简集合B,再利用交集的定义求解即得.

【详解】由V—3》<0,得0<x<3,则/=（0,3）,

由对数函数的定义域得5="Iy=In（x—2）｝=（2,+”），

所以2口8=（2,3）.

故选：C

2.若|a|=l,|b|=2,（a—，则向量讶与否的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

【正确答案】B

【分析】根据得（。-B）液=0,结合数量积的运算律求出£石，再根据向量的

夹角公式即可得解.

【详解】因为3-司，商,所以他-B）液=0,

即力=0,所以7B=7=i，

ra-b1

所以侬。/=丽=5'

又0°〈凡B<180。，

所以向量@与石的夹角为60°.

故选：B.

cibc

3.已知V/8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若---=------=------，则VZBC

cosAcosBcosC

是()

A.钝角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形

【正确答案】B

【分析】先由正弦定理得tanZ=tan8=tanC,进而得到Z=8=C,即可求解.

qin/qinRsini

【详解】由正弦定理得—=--=J匕，则tanZ=tanB=tanC,又A,B,C为三角

cosAcosBcosC

形内角，

则/=8=C,则V/8C是等边三角形.

故选：B.

4.己知。<6<0<c,则下列不等式正确的是()

ba,,

A.—>—B.〉c~

ab

C.loge(-«)>logc(-Z?)D.>

【正确答案】D

【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令a=-l,c=2即可判断正误；C令0<c<l,

利用对数函数的性质判断即可；D根据指数函数的单调性判断大小关系.

【详解】A：2—q="一,又a<b<0,则1―42<0,ab>Q,故9一?<0,即2<@,

abababab

错误；

B：当。=—l,c=2时，/>/不成立，错误；

C：由a<6<0,即一4〉一6〉0,当0<c<l时有logc(-a)<logc(-b),错误；

D：由a<0<c,则(工］>l>f—1,正确.

故选：D.

5.如图，在V48C中，BC=6,D,E是8c的三等分点，且彳万.衣=4,则错误的是

B.AE=-AB+-14C

33

D.AB2+AC2=28

【正确答案】B

【分析】由向量的线性运算即可判断A,B,取DE的中点G,由8C=6,D,E是BC的三等

分点得G是BC的中点，计算可得4£=ZG--DE,进而得出前2=5,计算可判

断选项C,由C可知方+就=2割，两边平方，化简计算可判断选项D.

【详解】对于A,由题意得D为BE的中点，所以4。=彳/5+彳4£1,故选项A正确；

22

-1〔〔o

对于B,AE=l4C+CE=ZC+jC5=l4C++故选项B不

正确；

对于C,取DE的中点G,

由8C=6,D,E是BC的三等分点得G是BC的中点，且。£=2,

所以万.次*瓦］［前+；瓦］=就2瓦2=4,

所以*2=5,AB-AC=^AG-^BC^AG+^BC^=AG2-^BC2=5-9=-4,故

选项C正确；

对于D,由G是BC的中点得方+就=2怒，两边平方得际+2瓯就+就2=4左，所以

482+l4C2=20+8=28>故选项D正确.

故选：B.

6.已知函数/(x)=ae、-f有两个极值点，则实数。的取值范围()

2

A.0<tz<-B.0<4/<ln2C.a<eD.

e

八,e

0<a<In—

2

【正确答案】A

【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和g(x)=—有两个

e

2x

交点，然后利用导数求g(x)=——的单调性，进而确定g(x)图象，最后根据图象确定实数a

e

的取值范围.

【详解】因为/(x)=ae、*——,f(x)=aex-2x,

由已知函数f(x)有两个极值点可得有aex-2x=0两个解

2x

即V=a和g(x)二丁有两个交点，

e

e

・•・当x<l时，g'(x)>0,g(x)在(一”/)上单调递增，

当X>1时，g'(x)<0,g(x)在(1,+8)上单调递减，

故gOOmax=8(1)=-，

e

而Xf+8时，g(x)-0,X--00时，g(x)——00；

大致图象如下：

故选：A.

极值点个数问题，一般转化为方程解的问题，再通过适当的变量分离转化为对应函数值域问

题.

7.已知无穷数列｛an｝满足an+l=an+t（t为常数），Sn为｛an｝的前n项和,则“世0”是“｛an｝和｛Sn｝

都有最小项”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行

判断即可.

【详解】•••an+i=an+t,...数列｛aQ为等差数列，且公差为3

①当它0时，若t=0,ai=-2时，数列｛an｝为常数列，且加=-2,

...Sn=-2n为减函数，无最小项，，充分性不成立，

②当｛an｝和｛SQ都有最小项，

Van=ai+（n-l）t=tn+（ai-t）,

n（n-\\t,t

S=naid——-----t=—n2+（ai---）n,

n222

[7=0

则<或t>0,...tNO,...必要性成立，

，亡0是闻｝和｛Sn｝都有最小项的必要不充分条件，

故选：B.

8.已知Z（X1,0）,8（%2，°）两点是函数/（》）=25E（5：+9）+1（0〉0,℃（0,万））与》轴的

两个交点，且满足卜-X2L=0,现将函数/（x）的图像向左平移7个单位，得到的新函数

图像关于J轴对称，则（P的可能取值为（）

71712万5万

A.—B.一C.---D.—

6336

【正确答案】A

【分析】

根据即可求得。，再根据平移后函数为偶函数，即可求得。.

【详解】令2sin(3x+e)+l=0,解得sin(a>x+(p)=--

._(、rIIJi।/A“E,77r117r

因为|石一%2|min=H，故令、2>玉，并取①须+0=*-,G/+0=一—一

则。(々—X])=g,即可求得①=2.

此时/(x)=2sin(2x+^>)+l,

7T

向左平移上个单位得到y=2sin2x+—+cp+1，

6

7T7T

若其为偶函数，则—+0=—+2左肛左wZ,

32

77

解得9=2左万+―.

6

77

当左二0时，(p=—.

6

故选：A.

本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.

x+3)x<0

9.若函数/(x)=<13在其定义域上只有一个零点，则实数。的取值范围为

X-4x+a,x>0

[3

()

16161616

A.a<—B.a<—C.a>—D.a>―

3333

【正确答案】C

【分析】当x<0时，利用单调性结合零点存在性定理可得/(x)在(-8,0］内存在唯一零点,

当x〉0时，利用导数判断单调性得/(x)在(0,2］上单调递减，在(2,+8)上单调递增，可得

/(2)>0,

【详解】当x<0时，则/(x)=x+3'在(-叱0］上单调递增，且

2

/(0)=1>0,/(-1)=--<0

在(-oo,0］内存在唯一零点

则当x〉0时，/(x)=；/-4x+a无零点

/(X)=X2-4,令/'(X)>0,则x>2或x<—2(舍去)

.•./(X)在(0,2]上单调递减，在(2,+⑹上单调递增

则/门"八2)="q>0,即a〉?

故选：C.

10.设函数/(x)=cosx+Jcos2x,下列判断正确的是()

A.函数/(x)的一个周期为兀；

B.函数/(x)的值域是—、-,2；

C.函数/(x)的图象上存在点P(xj),使得其到点(1,0)的距离为1；

JTJT

D.当xe时，函数/(x)的图象与直线歹=2有且仅有一个公共点.

【正确答案】D

【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判

断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用cosxe-1,--U—,1,

2[2

结合两点间距离公式可判断C；结合解/(x)=2,根据解的情况判断D,即得答案.

【详解】对于A,xeR,

/(兀+x)=cos(兀+x)+Jcos(2兀+2x)=-cosx+Jcos2x丰/(x),

故兀不是函数/(x)的一个周期，A错误；

对于B,/(x)=cosx+Jcos2x=cosx+J2cos2x-l,

毋,21「行]「后一

需满足2cos2x—120，即cosx>—,cosxG—1,——u-^-,1,

令，=COSX,t€—1,--—u-^-,1V,则/2(x)即I为]/=t+N2t2—1,___

B___BB

当时，y=%+，2产-1在，1上单调递增，贝！Jj’2

，_14/2t_也产7-府八

当叱-1,

了ZE^T&J

((2/—D—4/=—2『—1<0,故以―1—斤<o)

此时y=t+52产-1在T-上单调递减，则y€二,0，

■/y申,2,B错误;

综上，/(、)的值域是——50

2

「，V21「正2V，

对于C,由B知，cosXG—1,----u,1，

22

r1V2,3兀71c75兀71c77r

当COSX£—1,----时，X€F2^71.卜2kli,keZ、

2444

满足此条件下的/(x)图象上的点P(x,y)到(1,0)的距离

7(x-1)2+(/(x)-0)2x-11>—■"―1>>

/、「夜

当cosxe—V2,11时，/(x)e-,2,

满足此条件下的/(x)图象上的点P(x,y)到(1,0)的距离

^/(x-l)2+(f(x)-0)2>|/(x)-01>；，

当且仅当/(x)=*且x=l时等号成立,

而/(x)=Y^时，cosx=x=巴+2左兀，左eZ或x=-2+2左兀,左eZ,

')2244

满足此条件的x与x=l矛盾，即等号取不到，

故函数/(x)的图象上不存在点P(x,y),使得其到点(1,0)的距离为等,C错误;

对于D,由B的分析可知/(x)=2,则cosx=l,即x=2®,左eZ,

7171

又xe,故当且仅当x=0时，〃x)=2,

_44

即当xe-巳,£时，函数/(x)的图象与直线y=2有且仅有一个公共点，D正确.

故选：D

难点点睛：本题综合考查了函数的知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和

函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调

性，综合求解.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数/(x)=的定义域为.

【正确答案】［-1,0)3(0,+8)

【分析】函数/(刈=卫1的定义域满足＜x+1＞0

上。’解得答案.

X

【详解】函数/(%)=名1的定义域满足：＜x+1>0「…/、

》2彳0，解得xe[—l,O)U(O,+8).

X

故答案为.[一1,o)u(0,+00)

12.若i为虚数单位，复数满足z(l-i)=|3-4i|,则z的虚部为,

【正确答案】-##2.5

2

【分析】根据复数的除法运算可得z=*+3i,进而即得.

22

【详解】因为z(l—i)=|3+4i|=5,

55(1+1)

所以z=U

(I)(l+i)

所以复数z的虚部为9.

2

故答案为.一

2

13.己知数列｛4｝满足q=2,且a,#]=S“+l(〃eN*),贝!]%=，S,，=

【正确答案】①.24②.3-2"-1-1

【分析】先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再结合等比数列定义求对应通项公式,

注意验证起始项是否满足，不满足需用分段函数表示.

【详解】因为4+i=S〃+1,所以当2时,an=5„.1+1,所以%=an,即工用=2%,

所以当〃22时，｛册｝是以2为公比的等比数列，

当〃=1时，。2=81+1=%+1=3,所以当〃22时，%=3x2〃一之，

2/=1

因此"3""2'所以33'25s一9/4,

2,«=1

2,〃二1

S"=<3(1-2"T)

2+-^------L,n>23X2”T-1,〃22’

1-2

发现E=2也满足S“=3x2"T-1,

故24;3x2"T—1

14.已知双曲线己_=1的左顶点为4,右焦点为石，尸为双曲线右支上一动点，则双曲

线的渐近线为,网•理最小值为.

【正确答案】①.y=+4ix②.—2

【分析】根据双曲线的渐近线方程公式可直接得该双曲线的渐近线方程；设0(x,y)(x21),

利用数量积公式化简，结合双曲线方程以及二次函数的性质即可得最小值.

2L

【详解】根据题意双曲线必―2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±-x=土&;

3a

设P(x,y)(x21),则4(-1,0),g(2,0),

所以尸4,PF2—(-1-X,—y),(2-x,-y)—%2-x+y2—2=4x2—x—5,

由双曲线性质可知，1或X21,

结合二次函数的性质可得当x=l时，取得最小值为-2,

故答案为.y二土JJx,-2

7T

15.已知函数/(x)=jcosx，5VxW兀给出下列四个结论:

e-x+7C+4a,x>兀

①若/(X)有最小值，则。的取值范围是-1,0；

\_71_

②当a>0时，若/(x)=，无实根，贝限的取值范围是[而,4a]U[4a+1,+8)；

③当!■时，不等式/(/+2)>/(忖+4)的解集为(—2,2)；

④当a21时，若存在再<%2，满足一1</(不)=/(%2)<0，则占+%〉0.

其中，所有正确结论的序号为.

【正确答案】②③④

【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，

数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系,

以及图形的对称关系，数形结合求解.

【详解】当x>兀时，f(x)=QX+K+4aG(4a,4a+1),

当兀时，/(x)=cosxe[-l,0],

jrjr

若a>0,则当x<5时，/(%)<=则此时函数无最小值；

若a=0,则当x<1■时，/(%)=0，x>兀时，f(x)=e^x+n+4ae(0,1),

则函数有最小值为-1满足题意；

若a<0,则当x<|■时，/(x)>f(1-)=an,x>7i时，f(x)=e~x+n+4tze[4a,4tz+1),

na>-11

要使函数有最小值，贝叫,，，解得——<a<0；

4(z>-14

综上，。的取值范围是-!，0,①错误；

_4_

当a>0时，函数/(X)在单调递增，|,71单调递减，(兀,+8)单调递减，

因为/(、)=%无实根，所以兀Q〈/<4。或，>4。+1,②正确;

因为4a+l〈—1,所以函数/(x)在+s单调递减,

又因为/+222,国+424,所以由/优+2)>/(忖+4)可得,

%2+2<|x|+4,即X?—国一2<0,解得0«[乂<2,所以XE(—2,2),

所以不等式/(炉+2)>/3+4)的解集为(-2,2),③正确；

函数y（x）在点1,o处的切线斜率为f\x）=-sm^=-\,

jr兀兀

所以切线方程为J7=—%+万，则由图象可知，X€—,71时，COSX>—X+—,

设/（再）=/（%）=加6（—1,0）,

记直线y=加与函数/（x）,xe[-叫,y=-x+^,/（x）,xe|■，兀的交点的横坐标为

勺,八0,二，

因为/（》）=。1%+|'；》<_|经过点（一|,0），

所以由对称性可知，当时，X1+Xo>0,又因为%>/，所以玉+工2〉0，④正确；

故答案为:②③④.

关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、

最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解

决问题的关键.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为S",满足q=1,d>0,且%,电，邑成

等比数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵记"=an+2%,求数列也｝的前〃项和7；.

【正确答案】（1）an=2n-l

22«+1

22

（2）Tn=n+

33

【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.

（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.

【小问1详解】

%,a2,邑成等比数列，故a2?=%S3n（l+d『=3+3d，化简得：/—d—2=0,因为

d>0,所以d=2,因此

【小问2详解】

a21

bn=an+2"=2n-l+2"-,因此

zt\(1+2--1)"2x0-4")

1=(%+。2+…+%)+(2+2+…+2"-)=-----------+—j—---

=n'+-------------

33

17.如图，VABC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,且

V3sin+B]+sin一B]=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a=3，S^ABC=",.

(i)求sirkd的值；

(ii)求/Z8C的角平分线5。的长.

【正确答案】(1)B=—

3

15

(2)(i)sin/=---;(ii)BD——.

148

【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得出tanB的值，结合角8的取值范围可求得

角5的值；

(2)(i)利用三角形的面积公式求出c的值，利用余弦定理求出b的值，然后利用正弦定理

可求得sinA的值；

(ii)由=SA^D+5段8结合三角形的面积公式可求得AD的长.

【小问1详解】

解:

jl7T.।|.7171

—cosB+cos—sin3+sin—cosB-cos—sinB

66JI33

二——cos5+—sin5+——cos5sin5=sin5+6cos3=0，

2222

所以，sinB=-V3COSB>0可得tan5=—g，

又因为0<5<兀，故5二”.

3

【小问2详解】

解：(i)因为=；acsinB=3，。=15f，解得。=5,

由余弦定理可得，之=/+/—2clecosB-9+25—2x3x5x[—49,则6=7,

由正弦定理可得一一一，所以，./6/sin5373；

smAsin5sm/=---=------=------

6714

(ii)因为^^ABC=SAJBQ+S2CD，即

}^-=-c-BDsm~+-a-BDsm-=~(a+c]BD=2r^3BD，

423234v7

因此，BD=—.

8

18.某公园有一块如图所示的区域。NC8,该场地由线段。4、08、ZC及曲线段围成.

经测量，AAOB=90°,。4=。5=100米，曲线5c是以08为对称轴的抛物线的一部分,

点C到0A、0B的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场0EDF,其中点。在

曲线段上，点、E、F分别在线段0A、0B上,且该游乐场最短边长不低于30米.设DF=x

米，游乐场的面积为S平方米.

(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段5c的方程；

(2)求面积S关于x的函数解析式S=/(x)；

(3)试确定点。的位置，使得游乐场的面积S最大.

【正确答案】(1)j=--X2+100(0<X<50)

1,

(2)S=——x3+100x,30<x<50.

50

(3)点。在曲线段5C上且到08的距离为迎R米时，游乐场的面积最大.

2

【分析】(1)先以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,

然后根据题意求解析式即可；

(2)分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积；

(3)在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D的位

置.

【小问1详解】

以。为坐标原点，OA,08所在直线分别为x轴、歹轴建立平面直角坐标系，

如图所示，则/。00,0),5(0,100),0(50,50),

设曲线8C所在的抛物线方程为歹="2+。，。<0,点3,。在抛物线上,

c=100

解得。=----，c=100,

2500。+c=5050

所以曲线段8C所在的抛物线方程为j=-^x2+100(0<x<50).

【小问2详解】

因为点。在曲线段BC上，=30<x<50,所以|DE|=—+

111150

S=f(x)=x|---%2+100|=---x3+100x,30<x<50.

【小问3详解】

3

f'(x\=---%2+100,30<x<50,

「50

3，5076

令——x2+100=0,解得x=+-----

503

,50mx,(50765

当xe30,---时，/(久)>0,当xe---,50时，/(%)<0,

所以xe30,时，函数/(x)单调递增，xe-^,50时，函数/(x)单调递减,

因此，“竽时,s"竽)▼是极大值也是最大值,

即当点。在曲线段上且到08的距离为皿5米时，游乐场的面积最大.

3

19.已知函数/(x)=asinoxcosox(a>0,。>0).从下列四个条件中选择两个作为已知,

使函数/(x)存在且唯一确定.

(1)求/(X)的解析式;

(2)设g(x)="X)-2cos?0X+1,求函数g(x)在(0,%)上的单调递增区间.

条件①：f1;

条件②：/(X)为偶函数；

条件③：/(X)的最大值为1；

条件④：/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为搭.

【正确答案】(1)/(x)=sin2x；

【分析】(1)先由降塞公式得/口)=1近112。X(。>0,。>0),故/(x)为奇函数，排除条件

②，若选①③，/(x)不唯一，不合题意；若选①④由/1及周期解出/(x)即可；若

选③④由最大值及周期解出/(x)即可；

(2)先由倍角公式及辅助角公式求出g(x)=J^sin(2x-?),再令

g+2版•〈Zx—?/+2版■水“解出单调区间，最后写出在(0/)上的单调递增区间

即可.

【小问1详解】

f(x)=asincoxcoscox=^sinIcoxia>0,>0),易知/(x)为奇函数，故条件②不成立，

舍去.

若选①③，则/(工)=qsin丝=1且巴=1,故a=2,—=-+2^,^eZ,解得

422222

。=1+4左，左eZ,故/(x)不唯一，不合题意；

若选①④，/(°)=2sin丝=1且一=°,故7="=/，解得。=1,a=2,存在且唯

422222。

t,故/(x)=2sinxcosx=sin2x；

aTjr27r

若选③④，则±=1且一=2,故7="=——,解得a=2,co=l,故

2222a)

/(x)=2sinxcosx=sin2x,存在且唯一，故/(x)=sin2x；

【小问2详解】

g(x)=/(%)-2cos2ox+1=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x=42sin(2x--),令

--+2k7i<2x--<—+2kn.kGZ,

242

解得一二+左〃VxV也+左匹左£Z,当左=0时，一至当左=1时，—<x<^-^,

888888

故函数g(x)在(0,〃)上的单调递增区间为1o,*7%

20.已知函数/(》)=j(》2+办+1).

⑴若。=0,求/㈤在点(oj(o))处的切线方程；

(2)若“久)在(-1,1)上恰有一个极小值点，求实数。的取值范围；

(3)若对于任意xe]o,?,/(x)〉e*(x2cosx+l)恒成立，求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)y=x+]

(2)(-2,0)

(3)[0,+co)

【分析】(1)求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程；

(2)求导，可得函