2025中考数学专项复习：圆中的重要模型之圆弧的中点模型（含答案）

2025中考数学专项圆中的重要模型之圆弧的中点模型含

答案

圆中的重要模型之圆弧的中点模爨

当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面:三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心

角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上,还要注意各知识点之

间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压

轴题型。

当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这

样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。

目录

例题讲解模型

模型1.与垂径定理相关的中点模型

模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型

模型4.与托勒密定理相关的中点模型

习题练模型

例题讲解模型

模型1.与垂径定理相关的中点模型

图1图2图3

1）条件:如图1,已知点P是叁中点，连接OP,结论：OP±AB；

2）条件:如图2,已知点P是最中点，过点P作上W〃AB,结论：儿W是圆。的切线；

3）条件:如图3,点P是卷中点，连接BP、4P,若结论：脑V是圆。切线。

证明：1）根据垂径定理易得：OP±AB；

2）由1）知：QP_LAB,.•.QP_L2W,.♦.AflV是圆。的切线。

3）由1）知：OPYAB,AZBPO+ZABP=90°,：P是卷中点，二@=磔，,NABP=NBAP,

•：4BPN=ZA,/.4BPN=AABP,：.ABPO+4BPN=90°,，MV是圆。的切线。•M

1.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，ABCD内接于。。，点B是方的中点，CD是OO的直径.若

乙48。=30°,人。=4,则口。的长为（）

C.4V3D.5V2

2.（2023・湖北十堰•九年级校考期中）如图，48是。。的直径，。是。。上一点，。是4己的中点，RD

交AC于点瓦过点。作。斤〃/C交R4的延长线于点尸.

⑴求证：DF是。。的切线；⑵若人尸=2,FD=4,求△DFB的面积.

3.（2023春・福建福州•九年级统考期中）如图，点。在以为直径的半圆。上（点。不与A,B两点重

合），点。是弱的中点、DELAB于点E,连接/。交于点斤，连接OF,过点。作半圆。的切线

DP交R4的延长线于点P.（1）求证：ACV/DP；（2）求证：AC=205；（3）连接CE,CP,若AE：

4.（2023•广东佛山•校联考一模）如图，在。。中，AB为©O的直径，点E在©O上，。为您的中点，连

接AE,8。并延长交于点C.连接O0,在。D的延长线上取一点尸，连接BF,使ACBF=yZBAC.

A

（1）求证：BF为。。的切线；（2）若AE=4,QF=1■，求。。的直径•

模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

^3

1）条件:如图1,已知点P是毋中点，点C是圆上一点,结论：4PCA=ZPCB.

2）条件:如图2,已知点P是半圆中点,结论：/PG4=/PCB=45°.

3）条件;如图3,已知点P是检中点,结论：APBA=APCA=2PCB=NPAB；APDA〜/\PAC；4PDB

△PBC；/XCAP〜AGDB；△CAD〜△CPB。

证明：1）；P是卷中点，.•.！？=您，NPCA=2PCB,

2）「P是短中点，.♦.族=侬，,NPCA=4PCB,

•：AB是直径，.•.ACPB=90°,/.APCA=ZPC®=45°,

3）：P是短中点，二族=侬，，APBA=NPCA=ZFGB=APAB,

•：APCA=/PAD,NAPD=NCPA,：./\PDA〜APAC；

■：APCB=AAPB,NBPD=4CPB,：.NPDB〜APBC；

•：AC=AC,/.NP=/B,；APCB=ZACP,：.△CAP〜△COB；

■：BC=BC,：.ZACD=APCB,：.ACAD〜△CPB。

5.（2023•广东九年级期中）如图，四边形ABCD内接于。O,48为。。的直径，点。为曲的中点，若

乙048=40°,则/6©4的度数是（)

C.60°D.50°

6.（2023•广东佛山•校考三模）如图，8。为。。的直径，点A是弧的中点，AO交8C于点E,AE=

4,ED=8.（1）求证：△4BE〜△4DB；（2）求线段BE的长；（3）延长BC至尸，连接FD,使的

面积等于24+24V3,求NEDF的度数.

7.（2023•湖北恩施・统考一模）如图，是。O的直径，。是圆上的一点，。为念的中点，过点。作。

。的切线与BC的延长线交于点F,与BA的延长线交于点G,弦BD、AC交于点E.

（1）求证：AC〃尸G；（2）求证：5=DE-BD；⑶若DE=2,BE=4,求。尸的长.

8.（2023・四川巴中•统考一模）如图，是半圆O的直径，。为半圆O上的点（不与8重合），连接

点C为防的中点,过点。作CF上AD,交AD的延长线于点斤，连接8F,AC交于点E.

F

D

（1）求证：斤。是半圆。的切线.（2）求证：472=AP.AB.（3）若AF=3,47=2四,求阴影部分的

面积.

模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型

条件:如图，AB是直径，点P是曲中点，过点P作交AB于点X,连结PB交力。于点F。

结论：AD=PD=FD,PQ=AC,AP2=ADxAC=AHxAB=PFxPB.

证明是々中点，.•.助=岳，

•••?18是直径，「〃_1人8,，1?=愈，，0=愈=@..,.2APD=NPAD,；.AD=PD,

•：AB是直径，,NAPB=90°,APAD+NPFA=90°,NAPD+4FPD=90°,

/.FPD—/LPFA,：.FD—PD,C.AD—PD=FD,AP=AQ—CP,：.PQ—AC,C.PQ=AC>

•：AP=AQ,：./APQ=/PCA,ADAP^APAC,：.NPAC^/\DAP-,：.AP2=ADxAC,

ADAP

■：AP=AQ,ZAPQ=ZABP,•：AHAP=ZPAB,^HAP-AB4B；=：.AP2=AHxAB,

■/lOJT-Z

•：AP=PC,APAC=zLABP,■：AAPF=ABPA,：.AAPF-^BPA；>••AP2=PFXPB,

BPAP

9.（2023・湖南长沙•统考一模）如图，已知AB是。。的直径，DA与。。相切于点A,8与。。相交于

点、E,。是弧8E的中点，现有如下几个结论:①R4LD4,②OC〃AE,③/COE=2/CAE,④

=/R4C,其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.（2023•安徽合肥・统考三模）如图，是半圆O的直径，AC是弦，点。是弱的中点，点E是幼的

中点，连接分别交AC于点Q和点P,连接OE,则下列结论中错误的是（）

A.OD±ACB.CE=)BDC.OE//BDD.CD2=DP-BD

11.（2023•山东济南•统考中考真题）如图，4B,CD为。。的直径，。为。O上一点，过点。的切线与

的延长线交于点P,NABC=2NBCF,点E是曲的中点，弦CE,AD相交于点E.

（1）求/OCB的度数；（2）若EF=3,求O。直径的长.

12.（2023•浙江舟山・统考三模）如图1,在。。中，直径AB_LCD于点、F,点E为©O上一点,点。为弧

的中点,连接AE,交CD于点G.（1）求证：=CD；（2）如图2,过点。作。。的切线交R4的

延长线于点Q,若人尸=2,AE=8,求OQ的长度；（3）在（2）的基础上，点P为。O上任一点，连接

P尸、PQ,总的比值是否发生改变？若不变，求出比值;若变化，说明变化规律.

模型4.与托勒密定理相关的中点模型

1）同侧型:

条件:如图1,A为弧B。中点，乙48。=/4。8=。，。为圆上2\人3。底边下方一点,结论：瓦?+00=2AD

XCOS0；

2）异侧型：

条件:如图2,A为弧BC中点，2ABe=AACB=凡D为圆上△AB。底边上方一点，结论：BD—CD=2AD

Xcos。；

托勒密定理（补充知识）：圆内接四边形的对角线乘积等于对边乘积的和。即：4DxBC=BDxAC+。。x

ABo

证明：1）同侧型:设AB=47=?n,则BC=2mcos^□

由托勒密定理可知：ADXBC=BDxAC+DCxAB；即：机*80+馆*。0=2a8$。*人。；故：BD+

CD=2ADxcos。。

特别地：

1）当三角形为等边三角形时（即。=60°）；结论：BD+CD=AD

2）当三角形为等腰直角三角形时（即。=45°）；结论：BD+CD=V2AD

3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即0=30°）；结论：BD+CD^V3AD

2）异侧型:设AB=力。=则BC=2mcos6。

由托勒密定理可知：BOXAC=AOxBC+DCxAB；即：①？X馆=40乂2m8$。+6*M；故：BD-

CD=2ADxcos8。

特别地：

1）当三角形为等边三角形时（即。=60°）；结论：80-8=40

2）当三角形为等腰直角三角形时（即个=45°）；结论：BD—CD=ZAD

3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即6=30°）；结论：BD—CD=&AD

13.（2023•浙江•九年级期中）如图，人。、口。为圆内接四边形ABCD的对角线，且点。为BDC的中点;

（1）如图1,若ZCDB=60°、直接写出AD,与AC的数量关系；

（2）如图2、若ZCDB=90\人。平分乙BCD,BC=4,求AD的长度.

14.（2023•云南红河•统考二模）如图，在。。中，CD为。O的直径，过点C作射线CE,NAOC=120°,点

口为弧AC的中点，连接AB,OB,BC.点P为弧上的一个动点（不与B,。重合），连接E4,

PB,PC,PD.（1）若NECP=NPDC,判断射线CE与0O的位置关系；（2）求证：PA=V3PB+

PC.

15.（2023•山西阳泉•九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒密定理

托勒密（Ptolemy）（公元90年一公元168年），希腊著名的天文家、地理学家、数学

家和光学家.在数学方面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理.

托勒密定理

圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图（1）中，四边形ABCD内接于

求证：ACBD=ABCD+BCAD

下面是该结论的证明过程：

图⑵

证明：如图（2）过C作CP交80于尸，使Nl=/2,

又N3=N4,（依据1）

.AC_AD.

DCDSABCP.••-------AC•BP=AD•HC①

BCBP

又N4CB=NDCP,Z5=Z6,/.AJC^ADCP.（依据2）

...即AC.DP=AB•DC②

DCDP

①+②得AC（BP+DP）=AB-CD+AD•BC.

即AC•BD=AB•CD+AD•BC.

任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？

依据1：依据2：

（2）当圆内接四边形ABC©是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理:（请写出定

理名称）.

（3）如图（3）,四边形4BCD内接于。O,AB=3,AD=5,乙艮4。=60°,点。是弧班＞的中点,求人。

的长.

习题练模型

1.（2023秋•山西阳泉•九年级统考期末）如图，AB为。。的直径，射线AO交。。于点F,点C为劣弧

战的中点，连接AC.若/R4C=30°,AB=4,则阴影部分的面积为（）

A.等B.KC.当D.萼

ooo

2.（2023•陕西榆林•校联考模拟预测）如图，AB为。。的直径，CD为。。的弦，且CD，AB于点E,若

点E为08的中点，48=12,则劣弧无的长为（）

3.（2023•陕西宝鸡・统考三模）如图，AB,CD是。。的两条直径，点E是劣弧晶的中点，连接8C,

DE.若/48。=32°,则NCDE的度数为（）

A.34°B.29°C.32°D.24°

4.（2023•安徽滁州•校考三模）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AB的

延长线交于点E,若点。是40的中点，/E=50°,则NCAO的度数为（）

5.（2023・湖北十堰・统考模拟预测）如图，。。的内接四边形ABCD中，AB=4,AD=6,乙840=60°,

点。为弧BO的中点，则AC的长是（）

A

O

D

B.3V3

6.（2023•四川攀枝花•统考二模）如图，AB是半圆。的直径，C,。是半圆上两点，点。是弧BD的中点,

404。=30°,6。=6,则弧8。的长为（）

7.（2023•新疆博尔塔拉•校考二模）如图，△ABC内接于半径为2函的半圆。中，AB为直径，点M是

怒的中点，连结交AC于点E,AD平分NCAB交于点。，。为8Al的中点，可得（）

①NADB=135°②3。=型0③40=2方@tanZCAB=

544

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

8.（2023春・江西宜春•八年级校考期末）如图,在半径为3的OO中，点/是劣弧8c的中点，点。是优

弧BC上一点，且=30°,则BC的长度是.

9.（2023•湖南常德•统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧

・9

长度的“会圆术”，如图.毋是以。为圆心，。/为半径的圆弧，。是弦的中点，。在幼上，CD

.“会圆术”给出叁长Z的近似值s计算公式：s=AB+号＜，当。4=2,乙4OB=90°时，

\l-s\=.（结果保留一位小数）

10.（2023•河南周口•校联考二模）如图所示，扇形OAB中AAOB=120°,06=2,点。为弱的中点，点

。为40的中点，连接AB,CD交于点P,则阴影部分图形的面积是（结果保留兀）.

11.（2023・江苏•九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，47,。为互正的中点，48

于E,求证：BD2-AD2=AB-AC.

12.（2023秋・河北张家口•九年级统考期末）如图，48是。O上两点，乙408=120°,。为弧AB上一点.

（1）写出弦对的弧的度数；（2）若。是劣弧崩的中点,判断四边形OACB的形状，并说明理由.

13.（2023・广东广州•九年级校考阶段练习）如图，在半径为2的。。中，人口是直径,M是弧AB的中点,

OCX.OD,/\COD绕点。旋转与4AMB的两边分别交于E、F（点E、F与点4B、M均不重合），与

。。分别交于P、Q两点.

（1）连接OM,求证：AOBEn/\OMF.（2）连接PM.QM,试探究；在ACOD绕点O旋转的过程中,

NPMQ是否为定值？若是，求出NPMQ的大小;若不是，请说明理由.（3）连接即，试探究:在

△COD绕点O旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在,请

说明理由.

14.（2023•浙江温州•校考三模）如图，四边形ABCD内接于。O,。是弧怒中点，边上的点E满足

BE=BA,连接DE并延长交。O于点F,连结BF.

（1）求证：DE=DC.⑵若FD平分/BOC,BF=6,5也/石。。=§时，求。。半径的长.

5

15.（2023・湖南•统考中考真题）如图，是。。的直径，47是一条弦，。是命的中点，DELAB于点

私交AC于点尸，交。。于点交AC于点G.

13

⑴求证：AF=DF.⑵若4尸=1间11乙4皿=卓■，求。。的半径.

/0

16.（2023•浙江•九年级假期作业）如图，在。。中，弦AB与CD交于点E,点、。为篇酒的中点，现有以下

信息：

①AB为直径；②AACD=60°；③ACEB=105°.

（1）从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论,组成一个真命题.

你选择的条件是，结论是（填写序号），请说明理由.

⑵在⑴的条件下,若京的长为会，求。。半径.

O

17.（2023•山东・统考中考真题）如图，48为。。的直径，。是圆上一点，。是房的中点，弦

垂足为点尸.⑴求证：BC=DE；⑵P是靠上一点，AC=6,BF=2,求tan/BPC；

（3）在（2）的条件下，当CP是乙4cB的平分线时,求CP的长.

18.（2023•江西九江•统考三模）如图，已知AB是。。的直径，。点是AB弧上的一点，GEL于E,点

。是弧的中点，4D交CE于点交BC于点G.

（1）判断△FGC的形状，并证明；（2）若NCAD=30°,AB=12.①求CF的长.②求阴影部分的面

积.

19.（2023•九年级北京市校考阶段练习）阅读下列材料，并完成相应的任务.

托勒密定理：托勒密（Ptolemy乂公元90年〜公元168年）,希腊著名的天文学家,他的要著作《天文学

大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善,

得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

图1图2图3

托勒密定理:圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和.

已知：如图1,四边形48co内接于。O,求证：AB-CD+BC-AD=AC-BD

下面是该结论的证明过程：

证明：如图2,作ABAE=4cAD,交BD于点E.

•：普=粤/.AABE=ZACD：.4ABE〜/\ACD

ACCD

：.=黑：.AB-CD=AC-BE

ACCD

•：AB=ABNACB=NADE（依据1）

•/ABAE=ACAD：.ABAE+AEAC=ACAD+ZEAC

即ABAC=AEAD/.LABC〜依据2）

AAD-BC=AC-ED：.AB-CD+AD-BC=AC-（BE+ED）：.AB-CD+AD-BC=AC-BD

任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

（2）当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理:.（请写出）

（3）如图3,四边形ABCD内接于。O,48=3,40=5,4BAD=60°,点。为防的中点，求AC的

长.

20.（2023•江苏扬州•九年级校联考阶段练习）阅读下列材料，完成文后任务:

克罗狄斯・托勒密（约公元90年-公元168年）,希腊著名的天文学家、地理学家和光学家.在数学方

面，他论证了四边形的特性，即著名的托勒密定理:圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边

的乘积之和.

用数学文字表示为:如图1,已知四边形ABCD内接于©O,则4B•CD+瓦＞4D=

任务：（1）如图1,当^ABD为等边三角形时，AC与BC+CD有怎样的数量关系？并说明理由;

⑵如图2,已知3。为直径，49=48=工署，BC=5,求AC的长；

⑶如图3,在四边形ABCD中,ABAD=90°,ABCD=90°,AD=3,AB=373,BC=,则

A4OC的面积为.

•M

圆中的重要模蛰之圆如的中点模爨

当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面:三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心

角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上,还要注意各知识点之

间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压

轴题型。

当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这

样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。

目录

例ano模型

模型1.与垂径定理相关的中点模型

模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

模型3.垂径定理与画周角定理结合的中点模型

模型4.与托勒密定理相关的中点模型

习题练模型

例题讲解模型

模型1.与垂径定理相关的中点模型

BB

-NM-N

1）条件:如图1，已知点P是年中点，连接QP，结论

2）条件:如图2,已知点P是最中点，过点P作MN//AB，结论：2W是圆。的切线；

3）条件;如图3,点P是卷中点，连接BP、4P,若结论是圆。切线。

证明：1）根据垂径定理易得：OP±AB；

2）由1）知：QP_LAB,.•.QP_L2W,.♦.AflV是圆。的切线。

3）由1）知：OPYAB,AZBPO+ZABP=90°,：P是卷中点，二@=磔，,NABP=NBAP,

•：4BPN=ZA,/.4BPN=AABP,：.ABPO+4BPN=90°,，MV是圆。的切线。•M

1.（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，ABCD内接于。。，点B是①的中点，①是OO的直径.若

乙48。=30°,人。=4,则口。的长为（）

C.4V3D.5V2

【答案】B

【分析】连接40,先求得/。40=/。5。=90°,再利用直角三角形的性质求得。0=24。=2*4=8,又

由点B是®的中点、得BC=BD,进而利用勾股定理即可得解.

【详解】解:如图，连接4。，•.♦CD是。。的直径，.•./CAD=4CBD=90°,

•：ZABC=30°,AZGDA=ZABC=30°,ACD=2AC=2x4=8,

•.•点B是①的中点，BC=BD,

ACBD=90°,：.BC2+BD2=CD2即2BC?=64,解得BC=472,故选：B.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，30°直角三角形的性质，弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角

定理及勾股定理是解题的关键.

2.（2023•湖北十堰•九年级校考期中）如图，是。O的直径，。是。O上一点，。是40的中点，

交AC于点瓦过点D作DF//47交BA的延长线于点F.

（1）求证：。斤是©O的切线；（2）若4F1=2,FD=4,求的面积.

【答案】（1）见解析（2）窜

5

【分析】⑴连接OD,由垂径定理得OD_LAC,根据平行线的性质证明ODLDF1,进而可得结论;

⑵设。。的半径为r,根据勾股定理列方程可得：/+42=（r+2）2,解得：r=3,利用面积法求出DH=

孕，然后利用三角形面积公式即可求解.

5

【详解】（1）连接OD,・・・。是怒的中点，・・.OD，AC,

•：DF//AC,：.OD_LDFf丁OO为。O的半径，.••直线DF是。。的切线；

（2）连接40,作。H_LAB于点设。O的半径为『，则OD^OA^r,OF=2+r9

/ODF=90°,/.r2+42=（r+2）2,解得r=3,AB=6,BF=8,：.OF=8—3=5.

1119

•：3FD・OD=0OF・DH,：・4x3=5DH,,・,DH=胃,

ADFB的面积=卷FB•DH=[x8x率=*.

/Jzoo

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答此题的关键是正确作出辅助线..

3.（2023春・福建福州•九年级统考期中）如图，点。在以为直径的半圆。上（点。不与A,B两点重

合），点。是弱的中点、DE，AB于点E,连接47交于点尸，连接。尸，过点D作半圆O的切线

DP交R4的延长线于点P.（1）求证：4SV/DP；（2）求证：4。=2£©；（3）连接CE,CP,若AE：

（分析】（1）连接OD,由垂径定理得出。。_LA。，由切线的性质得出。。_LDP,则可得出结论；

（2）证明LODE注△OAW（44S）,由全等三角形的性质得出。E=4M,则可得出结论：

（3）连接OD,OC,CE,CP,证明△OOE〜△POD,由相似三角形的性质得出器=雀，证出/XCOE

△FOC,得出寇=偿，则可得出答案.

OiCyO

【详解】（1）证明：连接。。，

为弧AC的中点，二。。，AC,又为。。的切线，.•.OD_LDP,.•.ACV/DP；

（2）证明：•.•££；_LAB,/./DEO=90°,由（1）可知。D_LAC,设垂足为点河，/.ZOAM=90°,

NDEO=AOMA,AC=2AM,又:/DOE=ZAOM,OD^OA,

：.△ODE空△OAM(44S),:.DE=AM,：.AC=24M=2DE;

⑶解:连接OD,OC,CE,CP,■：AODP=NOED=90°,/DOE=ADOP,

/XDOE〜/\POD,：.黑=器,：.OD2=OE,OP,

•：OC=OD,：.OCUOE.OP,：.程=踹,

CEOE

又•・・/COE=APOC,：.△COE〜△POC,・・.嗡=嘿,

O-tCxO

../ip.FO-ro.OE_2.OE_2.CE_2

-W°T2—丁.芳—丁.•声一亍

【点睛】本题是圆的综合题，考查的是切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等

三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

4.（2023•广东佛山•校联考一模）如图，在。。中，48为。。的直径，点E在。。上，。为西的中点，连

接AB,AD并延长交于点C.连接OD,在OD的延长线上取一点尸，连接BF,使ZCBF=yZBAC.

（1）求证：BF为。。的切线；（2）若4E=4,OF=3,求。。的直径.

【答案】（1）证明见解析（2）6

（分析】（1）如图所示，连接AD,由直径所对的圆周角是直角得到ZADB=90°,由。为卷的中点结合

/CBF=^/BAC,得到/CBF=/BAD,进而证明乙4BF=90°,由此即可证明为OO的切线；（2）如

图所示，连接BE,同理得AAEB=90°,证明△OBF〜AAEB,利用相似三角形的性质求出OB=3,则。。

的直径为6.

【详解】（1）证明：如图所示，连接AD,­：4B是。。的直径，,AADB=90°,

。为彘的中点、，:.玩)=俞，:.ABAD=ACAD=-yZBAC,

•/ZCBF=yZBAC,/.NCBF=ABAD,

•：ABAD+NABD=90°,/ABF=4ABD+ACBF=90°,AB±BF,

•.♦OB是。。的半径，.•.BF是。。的切线；

⑵解:如图所示，连接BE,AB是。。的直径，二AAEB=90°,

；NBOD=2ABAD,2ABAD,：.ABOD=ABAC,

又,//ABF=AAEB=90°，二/\OBF〜/\AEB,：.OB-.AE=OF-.AB,

：.OB-A=y：2OB，:.OB2=9,即OB=3,。的直径为6.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，切线的判定，三角形内角和定理，正确作出

辅助线是解题的关键.

模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

1）条件:如图1,已知点P是年中点，点C是圆上一点,结论：/.PCA=ZPCB.

2）条件:如图2,已知点P是半圆中点,结论：NPCA=ZPGB=45°.

3）条件:如图3,己知点P是弱中点,结论：APBA=APCA=APCB=APAB；APDAfPAC；/\PDB

△PBC；△CAP〜△COB；/\CAD〜△CFB。

证明是卷中点，.,.0=@，,4PCA=2PCB,

2）：P是卷中点，.•.助=磔，,4PCA=2PCB,

■：AB是直径，.•.4CPB=90°,AAPCA=APCB=45°,

3）：P是检中点，.•.族=靛，APBA=APCA=ZPCB=APAB,

•：APCA=APAD,AAPD=ZCB4,A^PDA〜APAC；

,：4PCB=4APB,ABPD=ACPB,：."DB〜APBC；

•：AC=AC,：."=",•••Z.PCB=ZACP,：.△CAP〜ACDB；

•：BC=BC,：.ZACD=APCB,：.ACAD〜△CPB。

5.（2023•广东九年级期中）如图，四边形ABCD内接于。O,AB为。。的直径，点。为曲的中点，若

乙DAB=40°,则NCSA的度数是（）

A.70°B.40°C.60°D.50°

【答案】A

【分析】连接AC,根据圆周角定理得到/CAB=20°,ZACB=90°,根据直角三角形的性质计算即可.

【详解】解:连接A。，

•.•点。为曲的中点，ZDAB=40°,/.ZCAB=^-ZDAB=20°,

•/48为。。的直径,/.ZACB=90°,/.NABC=90°-20°=70°,故选：4

【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

6.（2023•广东佛山•校考三模）如图，为。O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于点、E,AE=

4,£D=8.（1）求证：AIBE〜△4DB；（2）求线段BE的长；（3）延长至尸，连接FD,使尸的

面积等于24+2泵络,求NEO尸的度数.

【答案】⑴见解析（2）8（3）75°

【分析】（1）由前=布，可得ZADB=AABC,再利用“两角分别相等的两个三角形相似”进行证明；

（2）先利用相似三角形的性质求出AB,再用勾股定理求BE;

⑶连接CD,并求其长度，利用4BDF的面积求出的长，进而得到CE,CF,利用特殊角的三角函数求

出/EDC与/FDC的度数，进而得到NEDF的度数.

【详解】（1）解：••,前二怒，二NADB=NABC,又；ZA=ZA,:.4ABE〜4ADB.

（2）解：・.・4E=4,ED=8,：.AD=AEED=12.

•：AABE〜AADB,；.需=缥，即焉=笔，解得AB=4V3.

A.BA.DA.B12

•/BD是OO的直径，NBAD=90°.在Rt^ABE中，BE=y/AB2+AE2=V（4A/3）2+42=8.

⑶解:连接CD,如图.

BD是。O的直径，,ABAD=ZBGD=90°.

由SABED=],跳;.CD=].ED•AB,得]x8xCD=5x8x473,解得CD=4V3.

SARDF—~~'BF,CD—~~xBFx4^/3^—24+24^/^,BF—4^/3^+12.

在RtdABD中，BD=y/AB2+AD2=V（4V3）2+122=873.

在Rt^BCD中，5。=dBlf—Clf=J（8遍）2—（泵后）2=12.:.CE=BC—BE=4,CF=BF-BC=

4V3.

…CE_4V3,CF4遍[

；tan/_EDC=——=——=-tanZFDC=——=——=1,

CD4A后3CD4V3

ZEDC=30°,AFDC=45°,/.ZEDF=ZEDC+ZFDC=75°.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定

理，利用特殊角的三角函数求角，熟练掌握相关性质定理是解题的关键.

7.（2023・湖北恩施・统考一模）如图，是。。的直径，。是圆上的一点，。为命的中点，过点。作。

O的切线与BC的延长线交于点F,与BA的延长线交于点G,弦BD、AC交于点E.

（1）求证：AC//FG；⑵求证：C»=DE.BD；⑶若2,8E=4,求CF的长.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）CF=0

【分析】（1）连接OD,OC,OD文AC于H,根据CD^AD得到AAOD=ZCOD,结合OC=OA得到OD

，AC,即AOHC=90°,根据FG是的OO切线，OD为半径得到ODLFG,即可得到证明；（2）根据CD

=2力得到4ECD=4BDC,结合4CDE=乙8。。得到△CDE〜△BDC,即可得到证明⑶连接AD,根

据CE=2,4,得到瓦？=6,结合⑵得至IGD=2代，即可得到AD,结合三角函数即可得到答案;

【详解】（1）证明：连接OD,OC,OD交AC于H,

•：D是劣弧AC的中点，①=九3，ZAOD=ACOD,

•：OC=OA,：.OD±AC,：./。次7=90°,；FG是的。。切线，OD为半径，：.OD_LFG,

：.NODF=90°,/.AOHC=2ODF,：.ACIIFG-,

（2）证明：是劣弧AC的中点.•.田=①，4ECD=2BDC,

•：ZCDE=ABDC,/.ACDE〜"DC,：.晦=架，二CD1=DE-BD;

J3L）CD

⑶解:连接AD,；您=2,跳；=4,.•.BD=6由⑵不得dfuDE-BD,：.Clf=\2,：.CD=2通,

•J。是劣弧AC的中点.•.6方=初，.•.CD=AD=2，^,

AB是。。的直径，/.AADB=90°,则tan/ABD=桀，

J3L）

•：AD=2岛=6,tan/ABD=-=空AABD=30°,

o3

又AABD=AACD,：.AACD=30°,•：AC//FG,：.ACDF=AACD=30°,

AB是OO的直径，.•./AC®=90°,又1/AC//FG,：.4ACB=4GFC,

：.NGFC=90°,：.sin/GDF=偿,Asin30°=%,即隽=卷，又GD=2遍，CF=皿.

01.701-7（_yjLz/

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据圆

的性质得到等角及直角.

8.（2023・四川巴中•统考一模）如图，4B是半圆O的直径，。为半圆O上的点（不与4,8重合），连接

点。为助的中点，过点。作交的延长线于点尸，连接BF,AC交于点E.

F

（1）求证：FC是半圆O的切线.（2）求证：AC2=4p.AB.（3）若AF=3,AC=2四,求阴影部分的

面积.

【答案】⑴见解析⑵见解析⑶小后一春兀

【分析】⑴根据点。为弧的中点，得出NFAC=/CAB,然后得出NFAC=乙4CO,根据平行线的性质

得出CF±AO,进而即可证明结果；（2）连接BC,根据圆周角定理可得乙4CB=90°,证明4AFC〜

/\ACB，即可得出结果；（3）根据cosAFAC=需=召==空，可得NCAB=AFAC=30°,从而可证

A。2V32

2

△DOC是等边三角形，即得ADCO=/COB,即。C7/,从而可得S^DC=S^oc，由（2）可知，AC^

4F-AB,从而求出r=2,最后根据S阳影=SAAFC—S^jDOC即可求出结果.

【详解】（1）证明：连接OC,•.•点。为弧BD的中点，：.CD=CB,：.NFAC=NCAB,

又•/OA=OC,：.ZCAB=ZACO,：.NFAC=ZACO,：.OCIIAF,

又♦.•CF_LA。，.•.C『_LOC,.•.FC是半圆。的切线；

（2）证明：连接BC,：AB