2025中考数学专项复习：相似常考模型（含解析）

几何压轴题二相似模型

（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）

【题型汇总】

类型一A型模型

1.（2023九年级上•全国•专题练习）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行

工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把

它形象的称为“人字梯”.如图②，是其工作示意图，AB=AC,拉杆EF||BC,AE=\AB,EF=0.35米，

6

则两梯杆跨度B、C之间距离为（）

A

图①图②

A.2米B.2.1米C.2.5米D.?米

【答案】B

【分析】根据相似三角形的判定和性质可得黑=差，即可求解.

【详解】解：・・・“IIBC,

/.△AEF^△ABC,

.EF_AE

**BC~ABf

'JAE^^AB,EF=0.35米，

・0.35_1

,,BC-6，

：.BC=2.1,

即两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米，

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

2・（20-21九年级上.吉林.阶段练习）如图，ZiABO的顶点A在函数6。）的图象上，NA5°=9。。,

过AO边的三等分点M、N分别作无轴的平行线交AB于点P、Q.若AANQ的面积为1,则上的值为（

（9|Bx

A.9B.12C.15D.18

【答案】D

【分析】易证△ANQs^AMPs/iAOB,由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的

面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出.

【详解】解：：NQ〃MP〃OB,

AANQs△AMPsAAOB,

VM,N是OA的三等分点，

.AN_1AN_1

•・AM一2'AO-39

・S^ANQ_1

••~——,

SAAMP4

,/四边形MNQP的面积为3,

•・•S"NQ_一1―,

3+SA4NQ4

••SAANQ=1>

・・1=（竺）2=1

•S"OBW9'

***SAAOB=9,

•«k=2S△AOB=18,

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出SAANQ=1是解题

的关键.

3.（2024•广东东莞•二模）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出

现.北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用.如图2所示为从独轮车中抽象

出来的几何模型.在ATIBC中，AB=BC,以ATIBC的边4B为直径作O。，交4C于点P,且PD，BC,垂足

为点D.

（1）求证：PD是。。的切线；

（2）若tanC==2,求。。的半径.

【答案】（1）见详解

⑵5

【分析】（1）连接0P,由等腰三角形的性质可得。PIIBC,继而可证明PD是。。的切线；

（2）连接PB,可证NC=NBPD,则由tan/BPD=tanC=1可求PD,再运用勾股定理求得BP=2西，最后

由八BDPBPC即可求角电

【详解】（1）证明：连接。P,

\'AB=BC,

Z-A=Z-C,

V0A=OP,

/.Z.OPA=Z-A,

：.^OPA=ZC,

：.0P||BC

:•乙PDC=乙OPD,

又•：PD1BC,

"PDC=90°,

・"OPO=90°,

即PO1OP,

；.PD是。。的切线；

(2)解：连接PB,如图,

•・,/B为直径，

，乙APB=90°,

工人C+乙PBC=90°,

又•：乙BPD+乙PBC=90°,

AzC=乙BPD,

在Rt△PB。中，

Vtan/LBPD=tanC=-=—=

PDPD2

：.PD=4,

：.BP=V22+42=2V5,

■:乙BDP=乙BPC,乙DBP=乙PBC,

：.△BDP〜ABPC,

・BPBD

••—,

BCBP

,2A/5_2

•F=就

解得：BC-10,

：.BA=BC=10,

，。。的半径为5.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质,

等角的三角函数值相等，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键.

题型02构造A型相似

1.（2020・湖北武汉•一模）如图，在RtAABC中，AACB=90°,AC=BC=6,。是4B上一点，点E在BC上,

连接CD,4E交于点R若NCFE=45。，BD=2AD,贝l]CE=

A

C

【答案】2

【分析】过。作DH垂直4C于H点，过。作DGWE交于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次

利用△CDGCBD,求出CG的长，得出BG的长，最后利用4BDGBAE,求出BE的长，最后得出答案.

【详解】解：如图：过。作DH垂直2C于H点，过。作QGIiaE交于G点,

•.,在RtAZBC中，AC=8C=6,

■■.AB=y]AC2+BC2=6a,

又•:BD=2AD,

-,-AD—2>/2,

•••在等腰直角三角形AH。中，AH=DH=2,

■■.CH=6-2=4,

在Rt△CHD中，CD=y/CH2+DH2=275,

■■■DGWAE,

:.乙CFE=ACDG=45°,乙B=45°,

•-Z-CDG=(B,

又"DCG=乙BCD,

CDGsXCBD,

CD_CG

''CB-CD'

CD2=CG,CB,

即20=6CG,

•c•cCG=10—,

3

：.BG=BC—CG=6--=-,

33

又,••0GII4E,

•••△BDGBAE,

又・・・BD=2AD,

BD_BG_2

''BA~BE~39

又成=£

3

・・・BE=8Gx三=4,

2

，CE=6—4=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做

出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.

2.（20-21九年级上•河南郑州•阶段练习）如图，已知。是BC的中点，M是的中点.求2MNC的值.

【分析】解法1：过点。作AC的平行线交BN于点用构造“A”型和“8”型，得出ABDHBCWff△DHM-

△4NM,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

解法2：过点C作4。的平行线交8N的延长线于点H,构造“A”型和“8”型，得出△BDM“BCH和△4MN-

△CHN,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H,构造“A”型和“8”型，得出△AHM八AHN-

△CBN,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；

解法4：过点。作2N的平行线交AC于点X,根据三角形中位线定理得出4N=NH=CH,

即可得出答案；

因为DH〃4C.

所以△BDH-4BCN,

所以”=也.

CNBC

因为。为BC的中点，所以察=案=].

C/vDCN

因为。H〃4N,所以ADHM“AANM,

所以竺=也.

ANAM

因为M为AD的中点，所以察=普=1.

ANAM

所以DH=4N,

匚ui、14N1

所以而法•

解法2：如图3,过点C作的平行线交BN的延长线于点H.

所以翳嚏

因为。为8c的中点，所以器=案=5

CHBC2

因为M为AD的中点，所以4M=DM,

匚u、

所以II/M1

7C7H7=Z.

因为OM〃CH,

所以A4MNCHN,

所嗒喑1

2

解法3：如图4,过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H.

因为所以△AHMSADBM,

匚匚I、］/"AM

所以一BD=——DM

因为“为的中点，所以AM=DM,所以AH=80.

因为4H〃BD,所以△AHNs△CBN,

所唱，

因为。为BC的中点，且4H=8。,

所嗒，咛

解法4：如图5,过点。作BN的平行线交AC于点H.

在△40H中,

因为M为AO的中点，MN//DH,

所以N为A”的中点，即AN=NH.

在△CBN中，因为。为BC的中点，DH//BN,所以H为CN的中点，即GVHN,

所以4V=NH=CH.

g、［4N1

所以而=1

3.（2020•浙江杭州•一模）如图，点O是AABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB,AC所在直线于

j--(―tABAC

点MK，NT，且茄=m,-=n.

(1)若点O是线段BC中点.

①求证：m+n=2；

②求mn的最大值;

(2)若整=k(k#0)求m,n之间的关系(用含k的代数式表示).

OB

备用图

【答案】(1)①证明见解析；②mn有最大值1；(2)n=k-km+l.

【分析】设AM=a,AN=b.由9=m,丝=n可得AB=am,AC=bn,那么MB=MA-AB=a-am=(1

AMAN

-m)a,CN=AC-AN=bn-b=(n-1)b.

(1)①若点O是线段BC中点，如图1,过点B作BHIIAC交MN于H,禾!J用ASA证明AOBHmAOCN,

得出BH=CN=(n-1)b.由BH||AN列出比例式"旭=空咙，求解即可；

ab

②由①的结论m+n=2得出m=2-n,那么mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+l,根据二次函数的

性质即可得出当n=l时，mn有最大值1；

(2)若？=k(k邦)，如图2,过点B作BGIIAC交MN于G,证明AOBG〜ZkOCN,根据相似三角形对应

0B

(n-l).

边成比例得出整=骼那么BG=?b.由BGIIAN列出比例式&R=玉二，整理即可得出m,n之间的关

BGOBkab

系.

【详解】解：设AM=a,AN=b.

ABAC

一二m,一

AMAN

••.AB=am,AC=bn,

••.MB=MA-AB=a-am=(1-m)a,CN=AC-AN=bn-b=(n-1)b.

(1)①若点o是线段BC中点，

如图1,过点B作BHIIAC交MN于H,

.­.ZOBH=ZOCN.

在AOBH与AOCN中,

NOBH=乙OCN

OB=OC,

/BOH=乙CON

.-.△OBH^AOCN(ASA),

..BH=CN=(n-1)b.

vBHIIAN,

MB_BH日”(1-匕

------，即------------------，

MAANab

•••1-m=n-1,

・•・m+n=2；

②由①知，m+n=2,

・•・m=2-n,

・•・mn=(2-n)n=-n2+2n=-(n-1)2+l,

・•・当n=l时，mn有最大值1；

(2)若殁=k(k#0),

OB

如图2,过点B作BGIIAC交MN于G,

.-.zOBG=zOCN.

在aOBG与ZkOCN中，

(Z-OBG=(OCN

t/BOG=乙CON'

「.△OBG~△OCN,

0=殁，即空I—

BGOBBG

.-.BG=­b.

k

•.BGIIAN,

MBBG即空吻=笠电

，

MAANab

n-l

Al-m=

k

・•・n=k-km+1.

【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的

判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.

题型03反A型模型

类型条件图示结论

A

反A型模型Z>Z2△ADESAABC,

AD・AC=AE・AB

BAC

作垂线构造反“A”字相ZB=90°4为人8上的一A△ADESAABC,AD・AC=AE・

似模型点AB

Bc

1.如图，在△ABC中，点D、E分另（J在/IB、4c上，AADE=ZC,如果4D=3,zkADE的面积为9,四边形

BDEC的面积为16,耻4c的长为

【答案】5

【分析】由/ADE=NC,/DAE=NCAB,根据相似三角形的判定得到ADAEsaCAB,根据相似的性质

得SADAE：SACAB=（整f，然后把三角形面积代入计算即可.

【详解】解：VZADE=ZC,

而/DAE=/CAB,

Z.ADAE^ACAB,

•,«SADAE：SACAB='

,/AADE的面积为9,四边形BDEC的面积为16,

.,.△ABC的面积=9+16=25,

.•.（明2,

\ACJ25

；.AC=5.

故答案为5.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角

相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方.

2.（2020•山东潍坊・二模）如图，在44BC中，AB=AC,以4c为直径的。。交8c于点D,交力B于点E,过

点D作DF14B,垂足为F,连接OE.

（1）求证：直线DF与。。相切；

（2）若力E=7,BC=6,求AC的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）9.

【分析】（1）连接。D,利用4B=4C,OD=OC,证得。易证DF1。。，故OF为。。的切线;

（2）证得48EO-ABCA,求得8E,利用4c=48=4E+BE求得答案即可.

【详解】证明：连接。D.

'：AB=AC,

：.ZB=ZC,

"：OD=OC,

：.NODC=/C,

：.ZODC=ZB,

：.OD//AB,

■:DF_LAB,

J.ODLDF,

•・,点。在。。上，

・•・直线。尸与。。相切;

(2)解：•・,四边形AC0E是。。的内接四边形,

・•・ZAE£>+ZACD=180°,

•.・ZAE£>+ZBE£)=180°,

J/BED=/ACD,

NB=/B,

：.LBEDsABCA,

,BDBE

••—f

ABBC

VOD//AB,AO=CO,

：.BD=CD=-BC=3,

2

又,：AE=7,

.3_BE

''7+BE-6'

：.BE=2,

：.AC=AB=AE+BE=1+2=9.

【点睛】此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点,

连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可.

3.(2020•浙江金华・中考真题)如图，在AABC中，AB=4a,NB=45。,ZC=60°.

(1)求边上的高线长.

(2)点E为线段48的中点，点F在边AC上，连结EF,沿所将△折叠得到△PEF.

①如图2,当点P落在BC上时，求NAEP的度数.

②如图3,连结4P,当P/LLAC时，求AP的长.

【答案】（1）4;（2）①90。；②2返

【分析】（1）如图1中，过点A作ADJ_BC于D.解直角三角形求出AD即可.

（2）①证明BE=EP,可得NEPB=NB=45°解决问题.

②如图3中，由（1）可知：AC=-^=—,证明AAEFsZ\ACB,推出竺=竺，由此求出AF即可解决

sm60°3ABAC

问题.

【详解】解：（1）如图1,过点A作于点

在RtAABD中，AD=AB-sin45°=4V2xy=4.

图1

(2)①如图2,AAEF<LPEF,

：.AE=EP.

又；AE=BE,

：.BE=EP,

；.NEPB=NB=45°,

：.ZAEP=90°.

在R3AOC中，AC=^=^.

"：PF±AC,

：.ZPFA=90°.

/\AEF^/\PEF,

：.NAFE=ZPFE=45°,则ZAFE=ZB.

又：/胡P=/。42,

AEAF^ACAB,

.AF_AEAF_2V2

••---------f即Hn—u----7=",

ABAC4V2随

3

：.AF=2^3,

在RSAFP中，AF=PF,贝lj尸=2，K

图3

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角

形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

4.(2022•湖南长沙•中考真题)如图，四边形4BCD内接于。。，对角线4C,BD相交于点E,点/在边力。上,

连接EF.

(1)求证：4ABEs4DCE；

(2)当抚=CB,NDFE=2NCDB时，则些一些=；竺+笠=；—+—-

-BECE-----------------ABAD-----------------ABAD

.(直接将结果填写在相应的横线上)

A2F=_______

(3)①记四边形48CD,XABE,△CDE的面积依次为S.S^S2,若满足岔=店+店，试判断，AABE,A

CDE的形状，并说明理由.

②当ETC=CB,AB=m,AD=n,CD=p时，试用含机，n,p的式子表示AE,CE.

【答案】(1)见解析

(2)0,1,0

(3)①等腰三角形，理由见解析，②呈巴

p2+mn

【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；

(2)由(1)的结论，根据相似三角形的性质可得力=即可得出装一笑=0,根据已知条件

BECE

可得EF||AB,FA=FE,即可得出△DFEZMB根据相似三角形的性质可得=笠，根据恒等式变形,

ABAD

进而即可求解.

(3)①记A40EAEBC的面积为53同,则S=S1+S2+S3+S4,SrS2=S3s4,根据已知条件可得S3=S4,

进而可得SAMD=SA4DC，得出C0MB,结合同弧所对的圆周角相等即可证明△4B&ADCE是等腰三角形；

②证明△D2Cs&EAB,4DCE“△4。。，根据相似三角形的性质，得出£;4-4。+。£・2。=4。2=mn+p2,

则AC=Jmn+p2,EC=—=产竺,,AE=AC-CE=.mn,计算力E-CE即可求解.

ACyjmn+pzy/mn+pz

【详解】(1)证明：・.・加=左力，

•••Z-ACD=Z.ABD,

即=乙DCE,

又(DEC=乙4EB,

•••△ABE^△DCE；

(2)•・•2ABEjDCE,

.AB_BE_AE

''DC~CE~DE'

・•・AE•CE=BE•DE,

AEDEAECE-BEDE八

・・

•-B-E------C-E-=------B-E--C--E-----=0,

••啦=CB,

：.£.BAC=乙DAC=乙CBD=乙CDB,

:•乙CDB+Z.CBD=180°-乙BCD=乙DAB=2乙CDB,

■:乙DFE=2乙CDB

・•・乙DFE=/.DAB,

・•・EFWAB.

•••乙FEA=Z-EAB,

••・加=CB,

•••Z-DAC=Z-BAC

•••Z-FAE=Z-FEA,

・•.FA=FE,

•••EFWAB,

•••△DFEDAB,

.EF_DF

,,-9

ABAD

AF,FEEF,AFDF,AFAD.

ABAD-ABAD-ADAD-AD~

AF,AFAF,EF

■:-----1-----=------1-----=14,

ABADABAD

AF,AF«

-----1-----=1f

ABAD

1,11八

-----1------------=0,

ABADAF

故答案为：0,1,0

(3)①记△AO£■,△E8C的面积为S3，S4，

则S=Sr+S2+S3+S4,

,,_S4_BE

•S3-S2-DE'

SrS2=S3s4①

Vs=

即5=S]+S2+2JS1S2,

*'-S3+S4=2-JS1S2@

由①②可得S3+S4=2店如，

即(疝_店)=0，

•••S3=S4,

•••S—BE+^LADE=S4ABE+LEBC，

即SfBO=

・••点。和点。至MB的距离相等，

・•・CDWAB,

•••Z-ACD=乙BAC,乙CDB=乙DBA,

•・•Z.ACD=乙ABD,Z.CDB=乙CAB,

•••乙EDC=乙ECD=Z.EBA=Z.EAB,

：.△ABEAOCE都为等腰三角形;

②・・•沃：=既,

Z.DAC=Z.EAB,

Z.DCA=Z.EBA,

DACEAB,

ADAC

---=----,

EAAB

AB=zu,AD=n,CD=p,

••・EA•AC=DAxAB=mn,

Z-BDC=Z-BAC=Z.DAC,

•••乙CDE=Z.CAD,

又乙ECD=/.DCA,

•••△DCEACD,

CDCE

ACCD

・•・CE-CA=CD2=p2,

•••EA•AC+CE-AC=AC2=mn+p2,

・•.AE=AC-CE=

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性质与判定，对于相似恒

等式的推导是解题的关键.

5.（2023•湖北武汉•模拟预测）【问题背景】（1）如图1,AABC中，乙BED=KBCA,求证：竿=咚

ABBC

【问题探究】（2）如图2,△ABC中，N4=90。，BD平分N4BC,CD1BD于点D,过点。作BC的平行线交4B

于点E,作EF1BC于点F,猜想EF与己有的哪条线段的一半相等，并加以证明；

【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当FC=AC时，直接写出NBCD的正切值tan/BCD.

【答案】(1)证明过程见解析；⑵EF=\AC,证明过程见解析；⑶tanzBCD=3

【分析】(1)证明△力BCsABDE即可.

(2)延长交于点M,证明△DCB=△BDM,得到。为MC的中点且乙MBC为等腰三角形，根据BC||ED,

可证△MEDMBC,可得E为MC中点，即EB=：MB=”C,最后证明△ABCBFE即可得EF=^AC.

(3)设BE=a,AM=c,由(2)得△BCM为等腰三角形，且BC||ED,E为BM中点，可得EM=ED=BE=a,

/.EDM=Z.EMD,已知AC=C凡EF1BC,EALAC,则可表示ZE=EF,CF,BM=BC,BF,由(2)

得△ZBCsABEF,可得4B=2BF,即可得到a与c的关系式，可表示AC=4尸的值，最后在RtAAMC中

tanzSCD=tanzM=—,即可得到tan/BCD的值.

AM

【详解】(1)・・•在与△BEO中：

.BED=Z.BCA

I乙B=(B

/.△ABC—△BDE

.DB_BE

**AB~BC'

1

(2)EF=-AC.

2

•：BFIBC,

:•乙BFE=^A=90°,

•・,在△ZBC与△BEF中:

(Z.BFE=Z.A

tZ-B=ZB

/.△ABCBEF,

•BE_EF

*'BC-AC"

•「BO平分乙4BC,

:.乙CBD=(MBD,

VCD1BD,

：.^MDB=乙MDC=90°

・••在Rt△DBM与Rt△CBD^p：

ZCBD=4MBD

BD=BD

/MDB=AMDC

：.Rt△DBM=Rt^CBD(ASA),

：.MD=DC,BM=BC,

•；BC||ED,

：.△MED~AMBC,

：.EM=EB,即E为BM中点，

：.EB=-MB=-BC,

22

・・.些=竺=土=±^EF=-AC,

BCACBC22

故EF=\AC.

(3)设BE=a,AM=c,

•.•由(2)得△BCM为等腰三角形，且BCIIED,E为BM中点,

.'.EM=ED=BE=a,乙EDM=乙EMD,

'：AC=CF,EF1BC,EA1AC,

'•AE=EF=a—c,

CF—2a—c9

9CBM=BC=2a,

：.BF=2c,

•・•由(2)得△ABC八BEF,

.ABACc

••—=2,

BFEF

：.AB=2BF,

2a—c=2-2c,

._5

••CL——Ct

2

AC

•.AC=AF=3c,tanZ-BCD=tanzM=—=3,

故tan/BCO=3.

【点睛】本题考查相似三角形性质和判定，全等三角形的性质与判定，熟记相似三角形的判定方法和性质

运用是解题的关键.

题型04作垂线构造反“A”字相似模型

1.（2024九年级•江苏连云港•阶段练习）如图，小杨将一个三角板放在。。上，使三角板的一直角边经过圆

心。，测得AC=5an,AB=3cm,则＜3。的半径长为.

【分析】作OHLBC于H,如图，贝|CH=BH,先利用勾股定理计算出BC=V^,则CH=与，再证明

RtACOHSRSCBA,然后利用相似比计算OC即可.

【详解】解：连接BC,作。于X,

贝I]CH=BH,

在RtAACB中,BC^yjAC2+AB2=V34,

：.CH=-2BC=—2,

•：NOCH=/BCA,

.'.RtACOHsRtACBA,

V34

.oc_CH日口oc_-

••方=百'即席=可，

解得，0c=3.4.

故答案为：3.4C777.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质.

类型二X型模型

类型X型模型作平行线构造X型相似

条件AB//CD*

;DO

图示ABAB

DC

ADC

结论△AOBSACOD过点D作CD〃AB,交AO的延长线于点C,则可构造AAOBs^cOD,可得

BOAOAB7

DO~CO~CD~

题型01直接用x型相似

1.（2021•山东聊城•一模）如图，在平行四边形4BCD中，点E是力。上一点，AE=2ED,连接BE交4C于点

G,延长BE交CD的延长线于点尸，则要的值为（）

L

BC

A-IB-1C-1D.-

4

【答案】A

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质,,解决本题的关键是利用平行四边形的

性质对边平行而构建相似三角形.

先根据平行四边形的性质得到4B||CD,则可判断^ABG八CFG,AABEDFE,于是根据相似三角形

的性质和力E=2ED即可得结果.

【详解】解：••・四边形4BCD为平行四边形，

AB||CD,

ABGCFG,

BG_AB

•.GF-CF

ABEs&DFE,

tAE_AB

•*•-9

DEDF

•••AE=ZED,

・•.AB=2DF,

AB_2

,——，

CF3

BG_2

,GF—3

故选：A.

2.（22-23九年级上•北京房山•期中）如图，AD与交于。点，乙4=NC,B0=4,DO=2,AB=3,

求C。的长.

【答案】1.5

【分析】由乙乙40B=〃。£＞可得出MOB*c。。，利用相似三角形的性质可得出色=券，代入

BO=4,DO=2,AB=3,即可求出C。的长.

【详解】解：与BC交于。点，

••Z-AOB=Z.COD.

,-Z.A=乙C,

COD.

AB_BO

CD~DO

，:BO=4,DO=2,AB=3,

.'.CD=1.5.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式.

3.（2024•广东东莞.一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架4。与CB交于点。,

测得力。=B0=50cm,CO=D0=30cm.

A，B

D

图1图2

⑴若CD=40cm,求ZB的长;

(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度乙40B=106%求力B距离地面的高.(结果保留整数)(参考数值sin37。«

0.60,cos37°x0,80）

【答案】(1)42的长为罢cm

(2)AB距离地面的高为48cm

【分析】此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形的应用,

(1)先证明AAB。s^DC。，再由相似三角形的性质求出4B的长即可;

(2)过点。作。E于点瓦。尸_LCO于点F,在RtZkO。/中，。尸=。0•sin37。，在RtZkBOE中，0E=

OB-sin37°,EFOE+OF,进而作答即可.

【详解】（1）解：4。=B。=50cm,CO=DO=30cm,

4。8与AC。。是等腰三角形,

•••Z.AOB=乙COD,

Z-A=Z-B=乙C=Z.D,

：.LABODCO,

ABAO

CDOD

AB50

4030

200

即4B的长为等cm；

(2)过点。作0E14B于点E,OF于点F,如图,

-AB||CD,

:石、。、上三点共线,

AE，B

C2^D

LFD•••^AOB=106°,△4。8与AC。。是等腰三角形,

在RtADOF中，

OF=OD•sin37°«30x0.60=18(cm),

在RtABOE中，

OE-OB-sin37°®50X0.60=30(cm),

EF-OE+OF=30+18=48(cm),

•••4B距离地面的高为48cm.

4.(20-21九年级上•四川达州•期末)某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m

的梯形空地上种花(如图所示).

(1)他们在和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/泞.当△AM。地带种满花后(图中阴影部分)

花了160元，请计算种满△而WC地带所需的费用；

(2)若和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/祖2和io元/加2,应选择

哪一种花，刚好用完所筹集的资金？

【答案】(1)640元；(2)茉莉花.

【分析】(1)由梯形的性质得到AD平行BC从而得到AAMD和ACMB相似，通过相似的性质即可得到ABMC

的面积，即可算出所需费用；

(2)通过三角形等高时，得到面积比等于底的比，即可通过AAMD得到AAMB的面积，同理得到ADMC

的面积，再分别算出种植两种花时所需的费用，比较大小即可求出结果.

【详解】解：⑴,•,四边形ABC。是梯形，・,.ADIIBC,••.△AMZJsACMB,.•.|黑=端)2=(弟2=%

•种满地带花费160元，,•.S〃AMO=&=20(m2),.■.SCMB=4SAMD=S0(疗)，...种满△的!〃:地带所需

8AA

的费用为80x8=640(元).

〜AM_DM_AD_1

(2)MAMDACMB,MC~MB~BC~2

•••△AMD与ZkAMB等高，・・・①这=—=1,：.SAAMB=2SAMD=40（疗）.

SAAMBMB2A

同理可求SADMC=40HT.

当△AMB和AOMC地带种植玫瑰花时，所需总费用为160+640+80x12=1760（元），

当AAMB和△£>MC地带种植茉莉花时，所需总费用为160+640+80x10=1600（元），

种植茉莉花刚好用完所筹资金.

【点睛】本题考查相似三角形的性质、梯形的几何特征，熟知三角形的性质是解题的关键.

5.（2021・四川广元・中考真题）如图，在平行四边形力BCD中，E为DC边的中点，连接4E,若4E的延长线和

BC的延长线相交于点F.

（1）求证：BC=CF；

（2）连接4C和8E相交于点为G,若AGEC的面积为2,求平行四边形4BCD的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）24.

【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到。E=再根据四边形ABC。是平行四边形，可以得到

乙ADE=^ECF,再木艮据A4ED=NCEF,即可得至!]△ADE三△ECF,贝U答案可证；

（2）先证明ZiCEG〜△4BG,根据相似三角形的性质得出SA"G=8,[=笑=；，进而得出ZBGC=4，由

GCGEZ

^LABC~S^ABG+S^BCG得S“BC=12,则答案可解•

【详解】（1）证明：•・•四边形A8C0是平行四边形，

MP//BC,AD=BC,

'-Z-ADE=Z-ECF,

・・•点E为DC的中点,

-'-DE=CE,

在△AOE和中

\LADE=乙ECF

DE=CE

^AED=乙CEF

•••△4DE三△ECFQ4s/）,

•.AD=CF,

・・・BC=CF；

（2）•・・四边形ABC。是平行四边形，点石为。。的中点，

：.AB//DC,AB=2EC,

''Z-GEC=Z.ABG,Z.GCE=Z.GAB,

CEG-△ABG,

•・・△GEC的面积为2,

二寰=（阳=G）=?即S=G=4SACEG=4X2=8,

•・,△CEG-△ABG

tAG_AB_1

''GC~CE~21

••,SABGC~2^LABG=5X8=4,

•••S—BC=^LABG+S^BCG=8+4=12,

・•,S团ZBCO=2s=2X12=24.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的

关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

题型02构造X型相似

1.（21-22九年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，G为△A3C的重心，AG=12f则AD=.

【答案】18

【分析】连接CG并延长交A5于点应连接DE,根据题意，可以得到OE时△ABC的中位线，从而可以得

到。EIIAC且。E=/C,然后即可得到△DEGsACG,由相似三角形的性质得到。G和AG的比值，求出然

后DG,即可得到结果.

【详解】解：如图，连接CG并延长交于点E,连接。E,

■.・点G是AABC的重心，

.・•点E和点。分别是和BC的中点，

.•.OE是AABC的中位线，

■■.DEWACS.DE=^AC,

:ADEGfACG,

DE_DG_1

'"AC~AG_29

•.AG=12,

•・£）G=6,

•.AD=AG+GD=1S.

故答案为：18.

【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形

结合的思想解答.

2.（20-21八年级下•湖南常德・期中）如图在平行四边形A8CD中，E是C。的中点，F是AE的中点，CF交

BE于点G,若BE=8,则GE=_.

【答案】2

【分析】延长C尸、BA交于M,根据已知条件得出EF=AF,CE=^DC,根据平行四边形的性质得出DCWAB,

DC=AB,根据全等三角形的判定得出ACE/WAMAR根据全等三角形的性质得出CE^AM,求出BM=3CE,

根据相似三角形的判定得出ACEGsAMBG,根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可.

【详解】解：延长CF、BA交于

••・E是CD的中点，尸是AE的中点,

：.EF=AF,CE=^DC,

•••四边形ABCD是平行四边形,

■■.DCWAB,DC=AB,

..CE=±AB,乙ECF=^M,

2

在aCE尸和△MA尸中

Z-EFC=^AMF

乙ECF=Z-M，

、EF=AF

.MCEF三AMAF(A4S),

..CE=AM,

-CE=-AB.

2

・•.BM=3CE,

-DCWAB,

•*.△CEG~AMBG,

CE_EG_1

"'BM-BG-3’

•・・3E=8,

GE_1

：t•——f

8-GE3

解得：GE=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和

判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

3.(20-21九年级上.全国•课后作业)已知：如图，在AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE||BC,

点F在边AB上，BC2=BF・BA,CF与DE相交于点G.

(1)求证：DF・AB=BC・DG；

(2)当点E为AC中点时，求证：2DF«EG=AF・DG.

【分析】(1)由BC2=BF«BA,NABC=NCBF可判断ABACSABCF,再由DEIIBC可判断ABCFSADGF,

所以△DGFBAC,然后利用相似三角形的性质即可得到结论；

(2)作AHIIBC交CF的延长线于H,如图，易得AHIIDE,由点E为AC的中点得AH=2EG,再利用AHIIDG

可判定△4HF-ADGF,则根据相似三角形的性质得黑=黑，然后利用等线段代换即可.

DGDF

【详解】证明：(1)VBC2=BF«BA,

••.BC：BF=BA：BC,

而NABC=NCBF,

BAC〜&BCF,

vDEIIBC,

•••△BCFDGF,

・•・••・△DGFBAC,

.-.DF：BC=DG：BA,

••・DF・AB=BC・DG；

(2)作AHIIBC交CF的延长线于H,如图，

•••DEIIBC,

•••AHIIDE,

••,点E为AC的中点，

EG为4的中位线,

••.AH=2EG,

vAHHDG,

••••••AAHFDGF,

AH_AF

•*,—，

DGDF

t2EG_AF

,•=~j

DGDF

即2DF・EG=AF-DG.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相

似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系.

(2)求证：DA，OC=OD，CE.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差得到/2=NADE，由于黑=照=1,根据SAS得到结

BCDE

论；

（2）根据相似三角形的性质得到于是得到/A4r>=NC4E=/COE,证得ACOD^AEOA,

根据相似三角形的性质得到第=络由NAOO=/COE,推出△AOOSACOE,根据相似三角形的性质即

OEOA

可得到结论.

【详解】（1）•：/ADC=NABC+/BAD=NADE+NEDC,

：.ZB=ZADE,

,.BA_DA_（

•--------1，

BCDE

：.△ABCS/XAQE；

（2）VAABC^AADE,

ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE=ZCDE,

,：ZCOD=ZEOA,

：./\COD^/\EOA,

.OC_OD

'"OE-OA'

,/ZAOD=ZCOE,

：./\AOD^/\EOC,

：.DA：CE=OD：OC,

即DA・OC=OD・CE.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是

解题的关键.

2.（2023•湖北武汉•模拟预测）探索发现：如图1,等边△力BC中，G为BC中点，D、E分别是BC、4C上的

两点，BD=CE.

图1图2

⑴求证：^BAD=乙CBE；

(2)H为EF上一点，若N8HG+"FH=90。，求色的值；

FH

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