2025中考数学一轮复习专项训练：全等三角形常考模型 （含答案）

专项训练

全等三角形常考模型

模型一平移型

ADADA1)

八八/

图示BECFiiCE!■'

有一组边共线，;另两组边分别平行，常在移动方向

方法点拨上加(减)公共2戋段，构造线段相等，并利用平行

线性质找到对应)甬相等。

1.如图所示，点A,D,C,F在同一条直线上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(1)求证：AABC等ADEF；

(2)若NA=60。，ZB=80°,求NF的度数.

2.已知：如图所示，点B,E,C,F四点在一条直线上，且AB〃DE,AB=DE,BE=CF.

(1)试说明：△ABCgADEF；

(2)判断线段AC与DF的关系，并说明理由.

3.已知：如图所示，点A,B,C,D在一条直线上，EA〃FB,EA=FB,AB=CD.

(1)求证:ZE=ZF；

(2)若NA=40。，ZD=80°,求NE的度数.

13(：I)

模型二对称型

5.如图所示，AB=AD,ZBAC=ZDAC=25°,ND=80°.求NBCA的度数.

6.已知:AB=AC,AF=AG,AELBG交BG的延长线于E,ADLCF交CF的延长线于D.求

证:AD=AE.

模型三旋转型

类型一不共顶点型旋转

E

图示

所给图形是一个中心对称图形，一个三角形

绕对称中心旋转180°,则可得到另一个三

方法点拨

角形，两三角形有一组边共线，构造线段相

等，并利用平行线性质找到对应角相等.

7.如图所示，已知:在4AFD和ACEB,点A,E,F,C在同一直线上，在给出的下列条件

中，①AE=CF,②ND=NB,③AD=CB,④DF〃BE,选出三个条件可以证明4AFD咨4CEB

的有.组.()

A.4B.3C.2D.1

8.如图所示，AB=CD,AF=CE,ZA=ZC,那么BE=DF吗？请说明理由.

9.如图所示，已知AB〃CD,AB=CD,BE=CF.

求证：(1)AABF^ADCE；

(2)AF/7DE.

类型二共顶点型旋转(含手拉手型)

10.如图所示，在AABC中，点D是边BC的中点，连接AD并延长到点E,使DE=AD,连

接CE.

(1)求证：4ABD咨AECD；

(2)若4ABD的面积为5,求4ACE的面积.

E

n.如图所示，ZACB=Z1+ZB,AC=BC,ZE+ZADE=180°.

(1)求证：AACD咨NCBE；

(2)若BE=5,DE=6,求AD的长.

模型四一线三垂直模型

方法点拨有三个直角，常利用同角（等角）的余角相等证明角相等

12.如图所示，已知AABC中，ZACB=90°,AC=BC,点D在BC边上，过点C作AD的

垂线与过B点垂直BC的直线交于点E.求证:CD=BE.

13.如图所示，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点E是NACB内部一点，连接CE,

作ADLCE,BEXCE,垂足分别为点D,E.

(1)求证：ABCE等ACAD；

(2)若BE=5,AD=12,则ED的长是.

14.如图所示，在四边形BCED中，ZD=ZE=90°,A是DE上一点，且ABLAC,AB=AC,

若BD=4cm,C=3cm.

(1)说明DE,BD、EC三者之间存在怎样的数量关系？

(2)求4ABC的面积.

模型五半角模型

等边三角

形含半角

(ZBDC=120°)

等腰直角

三角形

含半角

正方形

含半角

当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三

方法点拨角形通过旋转到一边合并形成新的三角形，从而进

行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等

15.如图所示，已知正方形ABCD,从顶点A引两条射线分别交BC,CD于点E,F,且NEAF

=45°,求证:BE+DF=EF.

16.在正方形ABCD中，NMAN=45°,该角可以绕点A转动，NMAN的两边分别交射线CB,

DC于点M,N.

(1)当点M,N分别在正方形的边CB和DC上时(如图1所示)，线段BM,DN,MN之间

有怎样的数量关系？你的猜想是:一，并加以证明.

(2)当点M,N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时(如图2所示)，线段BM,DN,

MN之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论.

17.思维探索：

在正方形ABCD中，AB=4,NEAF的两边分别交射线CB,DC于点E,F,ZEAF=45°.

(1)如图1所示，当点E,F分别在线段BC,CD上时4CEF的周长是；

(2)如图2所示，当点E,F分别在CB,DC的延长线上，CF=2时，求4CEF的周长;

拓展提升：

如图3所示，在RtaABC中，ZACB=90°,CA=CB,过点B作BDLBC,连接AD,在BC

的延长线上取一点E,使NEDA=30°,连接AE,当BD=2,ZEAD=45°时，请直接写

出线段CE的长度.

参考答案

1.解：⑴证明：；AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF,/.AC=DF.

AB=DE,

在AABC和ADEF中，JBC=EF,AAABC^ADEF(SSS).

AC=DF,

(2)由(1)可知，ZF=ZACB,

VZA=60°,ZB=80°,/.ZACB=180°(ZA+ZB)=180°(60+80°)=40°

.\ZF=ZACB=40°.

2.解：(1)2AB〃DE,/.ZB=ZDEF.

VBE=CF,.\BC=EF.

AB=DE,

在AABC和ADEF中，＜ZB=ZDEF,/.△ABC^ADEF(SAS).

BC=EF,

(2)AC=DF,AC//DF.

理由如下：

AABC^ADEF,

.*.AC=DF,ZACB=ZDFE.AAC//DF.

3.解:(1)证明：：EA〃FB,AZA=ZFBD.

VAB=CD,.*.AB+BC=CD+BC,即AC=BD.

EA=FB,

在AEAC与4FBD中，＜ZA=ZFBD,.,.△EAC^AFBD(SAS).

AC=BD,

.\ZE=ZF；

(2)VAEAC^AFBD,/.ZECA=ZD=80°.

VZA=40°,/.ZE=180°-40°-80°=60°.

AD=BC,

4,证明；在AADB和ABCA中，JBD=AC,AADB^ABCA(SSS).

AB=BA,

/.ZADB=ZBCA.

AB=AD,

5.解：在AABC与AADC中，＜ZBAC=ZDAC,A△ABCADC(SAS),

AC=AC,

/.ZD=ZB=80°./.ZBCA=180°-25°-80°=75°.

AF=AG,

6.证明：在AAFC与4AGB中＜/FAC=/GAB,.'.△AFC咨AAGB(SAS),

AB=AC,

/.ZAFC=ZAGB.AZAFD=ZAGE,

•；AE，BG交BG的延长线于E,ADLCF交CF的延长线于D.二NADF=NAEG=90°.

ZADF=ZAEG,

在AADF与AAEG中1/AFD=/AGE,.•.△ADF咨AAEG(AAS)..\AD=AE.

AF=AG,

7.C

8.解:BE=DF.理由如下：

AB=CD,

在4ABF和ACDE中，＜ZA=ZC,AAABF^ACDE(SAS),.,.BF=DE,

AF=CE,

.,.BF-EF=DE-EF,.\BE=DF.

9证明:(1).；AB〃CD,AZB=ZC.

：BE=CF,BE-EF=CF-EF,即BF=CE,

AB=CD,

在4ABF和ADCE中，＜ZB=ZC,/.△ABF^ADCE(SAS)；

BF=CE,

(2)VAABF^ADCE,/.ZAFB=ZDEC.

/.ZAFE=ZDEF/.AF//DE.

10.解：⑴证明：•.,点D是边BC的中点，；.BD=CD.

BD=CD,

在AABD与ACED中1/ADB=/CDE,.,.△ABDmAECD(SAS)；

AD=DE,

(2)在4ABC中，点D是边BC的中点,,,.SAABD=SAADC,

AABD^AECD,SAABD=SAECD.

SAABD-5,SAACE=SAACD-!-SABCD=5+5=10.

答:4ACE的面积为10.

11.解：⑴证明：：NACB=N1+NB=N1+NACD,/.ZB=ZACD,

VZE+ZADE=180°,ZADE+ZADC=180°,/.ZE=ZADC,

ZADC=ZE,

在4ACD和ACBE中，＜ZB=ZACD,AAACD^ACBE(AAS)；

AC=BC,

(2)VAACD^ACBE,.*.DE=CD=5,AD=CE,

VDE=6,CE=CD+DE=1LAD=CE=11.

12.证明：•.,BCjjBE,AZCBE=90°./.ZECB+ZE=90°.

VZECB+ZADC=90°,/.ZADC=ZE.

VAC=BC,ZACB=ZCBE,AAACD^ACBE(AAS).

ACD=BE.

13.解：(1)证明：：BE，CE,AD±CE,/.ZE=ZADC=90°.

/.ZEBC+ZBCE=90°.VZBCE+ZACD=90°,AZEBC=ZDCA.

ZE=ZADC,

在4BCE和ACAD中，＜ZEBC=ZACD,AABCE^ACAD(AAS)；

BC=AC,

(2)VABCE^ACAD,.*.BE=CD=5,AD=CE=12.

ADE=CE-CD=12-5=7.

故答案为：7.

14.解:(1)结论:DE=BD+CE.

理由：•.•在RtZXABC中，ZBAC=90°,ZADB=ZAEC=90°.

/.ZBAD+ZEAC=90°,ZBAD+ZABD=90°.

/.ZEAC=ZABDAB=AC,/.AABD^ACAE(AAS).

.*.AD=CE,BD=AE..*.DE=AD+AE=CE+BD；

(2)VAABD^AACE,.*.AE=BD=4cm,

VZE=ZBAC=90°,AB=AC=-\lAE~+EC2=5cm.

i25o

•••SABC=—X5X5=—(cm).

A22

15.证明：如图所示，延长CD到G,使DG=BE,

在正方形ABCD中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,AZADG=ZB.

AB=AD,

在AABE和AADG中，＜ZADG=ZB,/.AABE^AADG(SAS)

DG=BE,

，AG=AE,ZDAG=ZBAE.

VZEAF=45°,

/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

AG=AE,

ZEAF=ZGAF.在AAEF和AAGF中，＜ZEAF=ZGAF,/.AAEF^AAGF(SAS).

AF=AF,

.\EF=GF.VGF=DG+DF=BE+DF,.*.BE+DF=EF,

16.解：(1)猜想:BM+DN=MN,

证明如下：

如图1所示，在MB的延长线上，截取BE=DN,连接AE,

AB=AD,

在4ABE和4ADN中，JZABE=ZD,：.AABE^AADN(SAS)

BE=DN,

.\AE=AN,ZEAB=ZNAD.

VZBAD=90°,ZMAN=45°,/.ZBAM+ZDAN=45°.

.,.ZEAB+ZBAM=45°,AZEAM=ZMAN.

一AE=AN,

在AAEM和AANM中，＜ZEAM=ZNAM,AAAEM^AANM(SAS),AME=MN.

AM=AM,

又ME=BE+BM=BM+DN,.*.BM+DN=MN；

故答案为:BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

证明如下：

AB=AD,

△ABM和4ADF中，＜ZABM=ZD,AAABM^AADF(SAS),

BM=DF,

.*.AM=AF,ZBAM=ZDAF,

/.ZBAM+ZBAF=ZBAF+ZDAF=90°,即MAF=NBAD=90°.

VZMAN=45°,AZMAN=ZFAN=45°,

AM=AF,

AMANAFANJZMAN=ZFAN,AAMAN^AFAN(SAS),

AN=AN,

.*.MN=NF,/.MN=DNDF=DN-BM,.\DN-BM=MN.

17.解:思维探索:

(1)如图1所示，将4ADF绕点A顺时针旋转90°得到

.*.GB=DF,AF=AG,ZBAG=ZDAF.

・••四边形ABCD为正方形，••.NBAD=90°,VZEAF=45°,/.ZBAE+ZDAF=45°.

AZBAG+ZBAE=45°=ZEAF.