2024-2025学年高中数学 第3章 三角恒等变形 2 2.3 两角和与差的正切函数（教师用书）教学实录 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第3章三角恒等变形22.3两角和与差的正切函数（教师用书）教学实录北师大版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路本节课以“两角和与差的正切函数”为核心内容，通过引入实际生活案例，引导学生探索三角函数的运算规律。结合北师大版必修4教材，设计了一系列的练习和探究活动，旨在帮助学生深入理解两角和与差的正切函数的性质，并掌握其应用。课程设计注重培养学生的逻辑思维能力和实际问题解决能力。二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。通过探究两角和与差的正切函数关系，学生能够提高对抽象数学概念的感知和运用能力；通过逻辑推理过程，增强逻辑思维和问题解决技能；通过建立数学模型解决实际问题，提升数学建模意识和应用能力。三、重点难点及解决办法重点：两角和与差的正切函数公式及其应用。

难点：两角和与差的正切函数公式推导的理解和应用。

解决方法与突破策略：

1.重点：通过实例引入，引导学生观察、比较，归纳总结两角和与差的正切函数公式，强化公式记忆。

2.难点：采用小组合作探究的方式，让学生共同参与公式推导过程，通过讨论和解释，加深对推导步骤的理解。同时，设计针对性练习，帮助学生熟练应用公式解决实际问题。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修4教材，以便跟随课堂内容进行学习。

2.辅助材料：准备与两角和与差的正切函数相关的图片、图表和视频，以增强直观教学效果。

3.教学工具：准备计算器、三角板等工具，以便学生在课堂上进行实际操作和练习。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行合作学习；在黑板上或电子白板上预留空间，用于展示公式推导过程和关键步骤。五、教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的角度关系，如建筑角度、摄影角度等，引导学生思考角度与正切函数的关系。

2.提出问题：引导学生回顾正弦、余弦函数的性质，提出“如何求两个角度和或差的正切值？”的问题，激发学生探索新知识的兴趣。

二、讲授新课（15分钟）

1.引入两角和与差的正切函数公式：通过实例展示两角和与差的正切函数的应用，引导学生发现两角和与差的正切函数公式。

2.推导两角和与差的正切函数公式：引导学生分组合作，共同推导两角和与差的正切函数公式，强调公式的推导过程和步骤。

3.解释公式性质：讲解两角和与差的正切函数公式的性质，如公式适用范围、符号规律等。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习1：让学生独立完成课本上的例题，巩固对两角和与差的正切函数公式的理解和应用。

2.练习2：设计一些变式题目，让学生在练习中体会公式的灵活运用。

四、课堂提问（5分钟）

1.提问1：引导学生回顾两角和与差的正切函数公式的推导过程，加深对公式性质的理解。

2.提问2：提问学生在实际生活中如何运用两角和与差的正切函数公式解决问题。

五、师生互动环节（5分钟）

1.小组讨论：将学生分成小组，讨论如何将两角和与差的正切函数公式应用于实际问题。

2.学生展示：每组选派代表分享讨论成果，教师点评并总结。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.引导学生思考两角和与差的正切函数公式在数学学科中的地位和作用。

2.提出问题：如何将两角和与差的正切函数公式与其他数学知识相结合，解决更复杂的问题？

七、总结与作业布置（5分钟）

1.总结本节课所学内容，强调两角和与差的正切函数公式的重要性和应用价值。

2.布置作业：让学生完成课本上的相关练习题，巩固所学知识。

教学时间：45分钟六、教学资源拓展1.拓展资源：

-角度与三角函数的关系：介绍角度与三角函数的基本概念，如正弦、余弦、正切函数的定义及其在直角三角形中的应用。

-三角恒等式：探讨三角恒等式的概念，如和差化积公式、倍角公式、半角公式等，以及它们在三角函数中的应用。

-解三角形：介绍解三角形的基本方法，如正弦定理、余弦定理等，以及它们在解决实际问题中的应用。

-三角函数的性质：探讨三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质，以及它们在函数图像和方程求解中的应用。

2.拓展建议：

-学生可以通过查阅相关数学教材或参考书籍，深入了解三角函数的基本概念和性质。

-利用网络资源，如数学教育平台或在线课程，观看相关教学视频，以更直观地理解三角函数的应用。

-通过解决实际问题，如测量物体的高度、计算建筑物的角度等，将三角函数知识应用于实际生活中。

-参与数学竞赛或挑战，如数学建模竞赛、数学奥林匹克等，提升对三角函数知识的深入理解和应用能力。

-与同学组成学习小组，共同探讨三角函数的难点和疑点，通过合作学习解决问题。

-阅读数学史相关资料，了解三角函数的发展历程，增强对数学学科的兴趣和自豪感。

-通过制作三角函数图像，观察函数图像的变化规律，加深对三角函数性质的理解。

-利用数学软件或编程工具，如MATLAB、Python等，进行三角函数的数值计算和图像绘制，提高数学计算能力。七、内容逻辑关系①两角和与差的正切函数公式：

-重点知识点：两角和与差的正切函数公式。

-关键词句：若α，β为任意角，则有tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)和tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。

②公式推导过程：

-重点知识点：两角和与差的正切函数公式的推导过程。

-关键词句：设α，β为任意角，以α，β为邻边构造一个平行四边形，利用正弦、余弦函数的定义推导公式。

③公式的性质与应用：

-重点知识点：两角和与差的正切函数的性质及其应用。

-关键词句：公式适用于任意角度的加法和减法运算，可简化三角函数的运算过程。八、课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.本节课我们学习了两个重要概念：两角和与差的正切函数公式及其推导过程。

2.通过实例分析和公式推导，我们了解了公式的来源和应用价值。

3.重点强调了公式的性质，如适用范围、符号规律等，以及如何灵活运用公式解决实际问题。

4.学生们通过小组讨论和合作学习，积极参与课堂互动，展现了良好的学习态度。

当堂检测：

一、选择题

1.若tanα=1/2，tanβ=2，则tan(α+β)的值为：

A.1B.3/2C.2D.-1/2

2.若tanα=3，tanβ=-1/3，则tan(α-β)的值为：

A.2B.-2C.1D.-1

二、填空题

1.若tanα=1/2，tanβ=3/4，则tan(α+β)=__________。

2.若tanα=2，tanβ=-1/2，则tan(α-β)=__________。

三、解答题

1.已知tanα=3/4，tanβ=1/2，求tan(α+β)和tan(α-β)的值。

2.设α和β是锐角，且tanα=1/2，tanβ=2，求cos(α+β)和sin(α-β)的值。

检测说明：

1.本检测旨在检验学生对两角和与差的正切函数公式的理解和应用能力。

2.学生应独立完成检测，教师巡视指导，确保学生理解每个问题的解题思路。

3.检测后，教师应及时点评，指出学生的不足，并给予个别辅导，帮助学生巩固所学知识。教学反思与改进教学反思：

今天的课，我主要围绕两角和与差的正切函数这一知识点展开。我觉得这节课有几个地方让我印象深刻。

首先，我发现学生在理解两角和与差的正切函数公式时，存在一些困难。特别是在公式推导的过程中，很多学生对于推导步骤的逻辑关系理解不够清晰。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重对推导过程的讲解，让学生明白每一步推导的依据。

其次，课堂互动环节，我观察到部分学生参与度不高，可能是因为他们对这一部分内容不太感兴趣。为了提高学生的参与度，我尝试引入了一些实际生活中的例子，比如测量物体的高度、计算建筑物的角度等，这些例子似乎激发了他们的兴趣。

再次，我发现有些学生在应用公式解决实际问题时，往往容易出错。这可能是因为他们对公式性质的理解不够深入，或者在实际操作中缺乏耐心和细心。针对这个问题，我决定在课后安排一些练习题，让学生通过反复练习来提高应用能力。

改进措施：

1.对于公式推导部分，我计划采用更加直观的教学方法，比如使用几何图形、动画演示等，帮助学生更好地理解推导过程。

2.为了提高学生的参与度，我会在课堂中更多地引入生活实例，让学生感受到数学与生活的紧密联系。

3.针对学生在应用公式时的错误，我会设计一些针对性的练习题，让学生在练习中不断总结经验，提高解决问题的能力。

4.我会尝试不同的教学方法，比如小组合作、问题引导等，以激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。

5.在课后，我会及时收集学生的反馈，了解他们对课堂内容的掌握程度，以便调整教学策略。典型例题讲解例题1：

已知tanα=3/4，tanβ=1/2，求tan(α+β)和tan(α-β)的值。

解答：

首先，利用两角和的正切函数公式：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

代入已知数值：

tan(α+β)=(3/4+1/2)/(1-3/4*1/2)=(3/4+2/4)/(1-3/8)=5/4/(5/8)=5/4*8/5=2

接着，利用两角差的正切函数公式：

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

代入已知数值：

tan(α-β)=(3/4-1/2)/(1+3/4*1/2)=(3/4-2/4)/(1+3/8)=1/4/(11/8)=1/4*8/11=2/11

例题2：

若tanα=√3，tanβ=1/2，求tan(α+β)和tan(α-β)的值。

解答：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

=(√3+1/2)/(1-√3*1/2)

=(√3+1/2)/(1-√3/2)

=(2√3+1)/(2-√3)

=(2√3+1)(2+√3)/((2-√3)(2+√3))

=(4√3+2+2√3+1)/(4-3)

=(6√3+3)/1

=6√3+3

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

=(√3-1/2)/(1+√3*1/2)

=(√3-1/2)/(1+√3/2)

=(√3-1/2)(2+√3)/((2+√3)(2-√3))

=(2√3+3-√3-1/2)/1

=(3√3+1/2)/1

=3√3+1/2

例题3：

若tanα=-1/2，tanβ=3，求tan(α+β)和tan(α-β)的值。

解答：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

=(-1/2+3)/(1-(-1/2)*3)

=(5/2)/(1+3/2)

=(5/2)/(5/2)

=1

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

=(-1/2-3)/(1+(-1/2)*3)

=(-7/2)/(1-3/2)

=(-7/2)/(-1/2)

=7

例题4：

若tanα=1/3，tanβ=2/3，求tan(α+β)和tan(α-β)的值。

解答：

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

=(1/3+2/3)/(1-1/3*2/3)

=1/(1-2/9)

=1/(7/9)

=9/7

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

=(1/3-2/3)/(1+1/3*2/3)

=-1/3/(1+2/9)

=-1/3