2023九年级数学下册 第26章 二次函数26.2 二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第1课时 二次函数y=ax2+c的图象与性质教学实录 （新版）华东师大版

2023九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质2二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第1课时二次函数y=ax2+c的图象与性质教学实录（新版）华东师大版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：二次函数y=ax^2+c的图象与性质

2.教学年级和班级：九年级（1）班

3.授课时间：2023年11月15日星期三第2节课

4.教学时数：1课时二、核心素养目标分析本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模核心素养。通过探究二次函数y=ax^2+c的图象与性质，学生能够理解函数与几何图形的关系，提高对数学概念的理解和应用能力。此外，通过分析函数性质，学生将学会运用数学语言描述现实世界中的变化规律，提升解决实际问题的能力。三、教学难点与重点1.教学重点，

①理解二次函数y=ax^2+c的图象特点，包括开口方向、顶点坐标和对称轴；

②掌握二次函数y=ax^2+c的性质，如最大值或最小值、增减性以及图象与x轴的交点情况；

③能够根据二次函数的性质，分析函数图象在坐标系中的位置和形状变化。

2.教学难点，

①理解二次函数图象的开口方向与系数a的关系，以及顶点坐标与系数b和c的关系；

②正确判断二次函数图象的增减性和最值，尤其是在系数a接近0时的特殊情况；

③将二次函数的性质应用于解决实际问题，如根据题目条件确定函数的具体形式，并利用性质解决问题。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有新版华东师大版九年级数学下册教材，特别是第26章的相关内容。

2.辅助材料：准备二次函数图象的动态演示软件，以及相关图表和实际应用案例的图片，以便于学生直观理解函数性质。

3.实验器材：准备绘图工具，如坐标纸和直尺，用于学生绘制二次函数图象。

4.教室布置：设置多媒体教学设备，确保投影仪和电脑正常运行；布置学生座位，以便于分组讨论和观察图象。五、教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

1.创设情境：展示生活中常见的抛物线形状，如跳水运动员的轨迹、汽车行驶的轨迹等，引导学生思考这些轨迹与数学函数的关系。

2.提出问题：引导学生回顾一次函数的图象和性质，并提出问题：“如果我们将一次函数的图象进行变形，会得到什么样的函数图象？”

3.引入新课：引出二次函数的概念，说明本节课将学习二次函数y=ax^2+c的图象与性质。

（二）讲授新课（25分钟）

1.二次函数图象的特点（5分钟）

-讲解二次函数y=ax^2+c的图象形状，包括开口方向、顶点坐标和对称轴。

-通过实例分析，让学生理解系数a对图象的影响，如a>0时开口向上，a<0时开口向下。

-讲解顶点坐标的计算方法，即(-b/2a,c)。

2.二次函数的性质（10分钟）

-讲解二次函数的最值，说明当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

-讲解函数的增减性，说明当a>0时，函数在顶点左侧递减，右侧递增；当a<0时，函数在顶点左侧递增，右侧递减。

-讲解函数图象与x轴的交点情况，说明当判别式Δ=b^2-4ac>0时，函数有两个不同的实数根；当Δ=0时，函数有一个实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。

3.二次函数的应用（10分钟）

-通过实例分析，让学生理解二次函数在实际问题中的应用，如物体运动轨迹、地形分析等。

-引导学生运用二次函数的性质解决实际问题，如求函数的最值、确定函数图象的位置等。

（三）巩固练习（10分钟）

1.课堂练习：发放练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

2.学生展示：请部分学生展示解题过程，其他学生进行点评和补充。

（四）课堂提问（5分钟）

1.提问环节：教师针对本节课的重点和难点进行提问，检查学生对知识的掌握情况。

2.学生回答：学生积极回答问题，教师给予及时反馈和指导。

（五）师生互动环节（5分钟）

1.分组讨论：将学生分成小组，讨论二次函数的性质及其在实际问题中的应用。

2.小组汇报：每组选派代表进行汇报，其他小组进行点评和补充。

（六）总结与拓展（5分钟）

1.总结：教师对本节课的重点内容进行总结，强调二次函数的性质和应用。

2.拓展：引导学生思考二次函数在其他学科中的应用，如物理学、工程学等。

教学时长：45分钟六、教学资源拓展1.拓展资源：

-二次函数在实际生活中的应用：探讨二次函数在物理学中的抛物线运动、在经济学中的供需曲线、在建筑设计中的屋顶形状等领域的应用。

-二次函数的解析几何性质：介绍二次函数图象的对称性、旋转不变性以及与直线的关系，如切线、法线等。

-二次函数与一元二次方程的关系：分析二次函数的图象与一元二次方程的解之间的关系，如根的判别式与图象交点的关系。

-二次函数的极限性质：讨论当x趋向于正无穷或负无穷时，二次函数的极限值，以及这些极限值与图象形状的关系。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：推荐学生阅读《数学之美》、《数学与生活》等书籍，了解数学在各个领域的应用。

-观看教育视频：推荐学生观看有关二次函数应用的在线教育视频，如“二次函数在物理学中的应用”等。

-实验探究：鼓励学生进行二次函数实验探究，如使用物理实验设备验证抛物线运动的规律，或使用数学软件绘制二次函数图象。

-小组项目：组织学生开展小组项目，研究二次函数在某个特定领域的应用，如设计一个使用二次函数的简易物理实验。

-数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛，这些竞赛往往涉及二次函数的应用和求解。

-教学软件：推荐使用数学教学软件，如GeoGebra、Desmos等，这些软件可以帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。

-网络资源：指导学生合理利用网络资源，如数学论坛、教育博客等，获取更多关于二次函数的学习资料和讨论。

-实际案例研究：引导学生研究实际案例，如房地产市场的供需曲线、建筑设计中的屋顶设计等，分析二次函数在实际问题中的作用。七、课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课中，我们学习了二次函数y=ax^2+c的图象与性质。通过以下关键点，我们对这一内容进行了总结：

1.二次函数的图象特点：

-二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由系数a决定。

-抛物线的顶点坐标为(-b/2a,c)，对称轴为x=-b/2a。

-当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.二次函数的性质：

-抛物线的最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。

-函数的增减性：当a>0时，函数在顶点左侧递减，右侧递增；当a<0时，函数在顶点左侧递增，右侧递减。

-函数图象与x轴的交点：根据判别式Δ=b^2-4ac的值，可以判断函数图象与x轴的交点个数。

3.二次函数的应用：

-二次函数在物理学中的应用，如抛物线运动轨迹。

-二次函数在经济学中的应用，如供需曲线。

-二次函数在建筑设计中的应用，如屋顶形状设计。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握情况，以下是一些检测题目：

1.简答题：

-描述二次函数y=ax^2+c的图象特点。

-解释二次函数的最值和增减性。

2.计算题：

-给定二次函数y=2x^2-4x+1，求其顶点坐标和对称轴。

-给定二次函数y=-x^2+3x-2，求其与x轴的交点。

3.应用题：

-一个跳水运动员的跳跃轨迹可以近似看作一个抛物线，已知运动员的起跳高度为5米，最大跳跃距离为10米，求运动员的起跳速度。八、教学反思与总结今天这节课，我们学习了二次函数y=ax^2+c的图象与性质。我觉得整体上，课堂氛围还不错，学生们参与度也较高。下面，我就从几个方面来反思和总结一下这节课的教学情况。

首先，我觉得导入环节做得还可以。通过生活中的实例，比如跳水运动员的轨迹，激发了学生的兴趣，让他们对二次函数有了直观的认识。不过，我也发现有些学生对于抛物线的概念还是有些模糊，这可能需要我在今后的教学中加强基础知识的讲解。

在讲授新课的过程中，我尽量用简单明了的语言来解释二次函数的性质，比如开口方向、顶点坐标和对称轴等。我发现，学生们对于这些性质的理解还是比较到位的，但是在应用到具体问题时，还是有些吃力。这可能是因为他们对这些性质的应用还不够熟练，所以我在接下来的教学中，会更多地通过练习来加强他们的应用能力。

在巩固练习环节，我设计了几个不同难度的题目，让学生们分组讨论，互相解答。这个环节我觉得效果不错，学生们在讨论中不仅巩固了知识，还学会了如何合作学习。但是，我也注意到，有些学生对于一些较难的题目还是不太会做，这说明我在教学过程中可能没有考虑到所有学生的学习水平，今后我需要更加细致地了解学生的学习情况，提供更有针对性的辅导。

课堂提问环节，我尽量让每个学生都有机会回答问题，这样可以让他们更加积极地参与到课堂中来。不过，我发现有些学生回答问题时还是有些紧张，这可能是因为他们对知识的掌握不够自信。因此，我会在今后的教学中，更多地鼓励学生，让他们在课堂上敢于表达自己的观点。

在师生互动环节，我尝试通过分组讨论和小组汇报的方式，让学生们更加主动地参与到课堂中来。这种教学方式我觉得效果很好，学生们在讨论中不仅学到了知识，还提高了他们的沟通能力和团队合作能力。但是，我也发现，有些小组在讨论时，讨论的方向偏离了主题，这说明我在分组讨论的引导上还需要更加细致。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

-加强基础知识的教学，确保每个学生都能掌握二次函数的基本概念和性质。

-在教学过程中，更多地关注学生的个体差异，提供个性化的辅导。

-增加课堂练习的多样性，让学生在练习中巩固知识，提高应用能力。

-在课堂提问和师生互动环节，更加注重引导和鼓励，让学生敢于表达，勇于尝试。板书设计①二次函数的基本形式：y=ax^2+c

②二次函数图象特点：

①抛物线形状

②开口方向（a的正负决定）

③顶点坐标（(-b/2a,c)）

④对称轴（x=-b/2a）

③二次函数的性质：

①最值（a>0时最小值，a<0时最大值）

②增减性（a>0时左侧递减，右侧递增；a<0时左侧递增，右侧递减）

③与x轴的交点（根据判别式Δ=b^2-4ac判断）

④二次函数图象与一元二次方程的关系：

①交点对应方程的根

②根的判别式与图象交点的关系

⑤二次函数的实际应用：

①抛物线运动轨迹

②供需曲线

③建筑设计中的屋顶形状课后作业为了巩固学生对二次函数y=ax^2+c的图象与性质的理解，以下是一些课后作业题目，每个题目都附带答案：

1.题目：给定二次函数y=3x^2-2x+1，求其顶点坐标和对称轴。

答案：顶点坐标为(1/3,2/3)，对称轴为x=1/3。

2.题目：如果二次函数y=ax^2+c的图象与x轴有一个交点，那么a和c的取值范围是什么？

答案：a不能为0，且判别式Δ=b^2-4ac=0。

3.题目：已知二次函数y=-x^2+4x-3的图象与x轴的交点坐标，求函数的最大值或最小值。

答案：函数的最大值是1，因为a<0，所以函数开口向下，最大值在顶点处取得。

4.题目：一个物体以初速度v0水平抛出，忽略空气阻力，其运动轨迹可以近似看作二次函数y=ax^2的图象。已知物体在t秒后落地，求a的值。

答案：a=gt^2/v0^2，其中g是重力加速度。

5.题目：设计一个二次函数y=ax^2+c，使得该函数的图象满足以下条件：

-开口向上

-顶点在x轴上

-与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)

答案：函数可以表示为y=a(x-1)(x-3)，由于顶点在x轴上，c=0，且开口向上，所以a>0。

6.题目：一个长方形的长是宽的3倍，其面积可以表示为二次函数y=ax^2的形式。已知长方形的周长是20米，求长方形的面积。

答案：设宽为x米，则长为3x米，周长为2(x+3x)=20，解得x=2，长为6米，面积为y=a(2)^2=4a，