真空中的静电场课件

真空中的静电场

本章和下章研究静止电荷所产生的电场——

本章内容电场强度和电势两个基本物理量库仑定律和场叠加原理两条基本实验定律高斯定理和环路定理两条基本定理静电场物体带电是中性物体获得或失去电荷而造成的。物体有了吸引轻小物体的性质就说它带了电或有了电荷。使物体带电称为起电，有摩擦起电、感应起电、光照起电等。归纳出：①电荷只有两种：正电荷和负电荷；

②同性电荷相斥，异性电荷相吸。12.1.1电荷1．两种电荷

§12.1电荷库仑定律电量：物体所带电（荷）的多少叫电量。常用Q

或q

表示。单位：库仑（C）2．电荷的量子化实验发现，电子电量是电量的最小单元。

一切带电体的电量都是电子电量e的整数倍q=ne。可见电量是不连续的。即电荷是量子化的，最小量子是e。

在一个孤立系统内发生的任何变化过程中，电荷总数(正负电荷的代数和)保持不变——电荷守恒定律12.1.2

电荷守恒定律夸克模型预言：存在e/3，2e/3的分数电荷，但至今尚未从实验中直接发现单独存在的夸克或反夸克。3．电荷的运动不变性一个电荷的电荷量与它的运动状态无关。即电荷具有运动不变性，或者说电荷具有相对论不变性。密立根，美国实验物理学家

1913年，密立根用油滴实验最先测出了电子的电量，得到了电量的最小单元，即基本电量，也称为元电荷：密立根油滴仪

1.点电荷带电体的几何线度比起它到其它带电体的距离小得多，这时带电体的形状和电荷在其中的分布已无关紧要，可以抽象成一个几何点，称为点电荷。12.1.3库仑定律2.库仑定律①点电荷具有相对意义；②任何带电体都可看成点电荷的组合。库仑定律：表示由施力者指向受力者方向上的单位矢量

在SI中，实验测得：k≈9×109Nm2/C2

为使以后导出的电学公式中不含４π因子，令库仑扭秤实验库仑扭秤库仑（Charlse-AugustindeCoulomb，1736—1806），法国物理学家、工程师，1785年通过实验总结出真空中两点电荷间的作用力遵循的规律。适用范围：在从10-15~107m的广大范围内都被证明是正确有效的。但是库仑定律只适用于静止的点电荷。库仑定律的矢量形式为：的方向：同性相斥、异性相吸讨论：例题12-1α粒子（即氦原子核）的质量m=6.68×10-27kg、带电q=3.2×10-19C，试比较两α

粒子间的静电斥力与万有引力。

解:静电斥力为万有引力为两力之比为显然在微观粒子的相互作用中，万有引力与静电力相比要小的多，完全可以略去。12.1.4静电力的叠加原理

静电力的独立性原理：两个静止点电荷之间的作用力并不因第三个静止点电荷的作用而有所改变。

静电力的叠加原理：两个以上静止点电荷对一个静止点电荷的作用力等于各个点电荷单独存在时对该点电荷作用力的矢量和。

对由n个点电荷q1，q2，···qn组成的点电荷系，若以F01，F02，···F0n分别表示它们各自单独存在时对q0的作用力，则q0受到的静电力的合力为电荷连续分布时,可把带电体分成很多无限小的电荷元dq，由库仑定律求出各电荷元dq对点电荷q0的作用力，再求合力即可。

若电荷分布于某物体的表面层时，该电荷称为表面电荷，单位面积上的电荷称为电荷面密度

若电荷分布于某曲线上，该电荷称为线电荷，单位长度上的电荷称为电荷线密度

若电荷分布于空间某一体积内，该电荷称为体电荷，单位体积内的电荷称为电荷体密度如果计算第一个电荷连续分布的带电体对第二个电荷连续分布的带电体的作用力，把每个带电体分成无限多个可以看成点电荷的电荷元。

其第一、二个带电体的电荷元分别用dq1和dq2表示，同样由库仑定律和静电力叠加原理，可得两电荷元之间的静电力为则两个带电体之间的相互作用的静电力为注：式中的积分遍及两个带电体。

例题12-2两根相同的均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ，沿同一直线放置，两细线间的距离也是L，设棒上电荷不能自由移动，试求两棒间的静电相互作用力。解：选取坐标系，在两细棒上分别选取线元dx、dx’,其坐标分别为x、x’,带电量分别为λdx、λdx’,由库仑定律得F方向为x正向，左棒受右棒库仑力L12.2.1电场§12.2

电场电场强度历史上的两种观点:①超距作用观点认为：电荷之间的作用力不必通过任何介质，可超越距离，瞬时地从一个电荷传递给另一个电荷。②场的观点认为：电荷之间的作用力不可能通过虚无的空间而超距发生，必须通过中间介质的传递，传递过程需要时间。任何电荷在周围空间都要激发电场，而电场的基本性质就是对处在电场中的其它电荷施加力的作用。电荷

电场

电荷近代科学证明：超距作用观点是错误的，场的观点是正确的，电力是通过电场传递的。静止电荷周围的电场称为静电场，其对外表现主要有：①引入电场中的任何带电体都将受到电场所作用的力；②当带电体在电场中移动时，电场所作用的力将对带电体做功，这表示电场具有能量；③电场能使引入电场中的导体或电介质分别产生静电感应现象或极化现象。场物质与实物物质的异同由原子、分子组成，看得见，摸得着看不见，摸不着有空间可入性无空间可入性运动速度远小于光速以光速运动实物物质场物质不同点①具有质量、能量、动量和角动量。②遵从动量守恒定律、角动量守恒定律和能量守恒定律。相同点12.2.2电场强度1、试探电荷：①将同一试探电荷放在电场中不同点，它受的力一般不同，表明电场是按空间分布的。②将不同试探电荷放在电场中同一点，它们受的力也不相同，表明电场力不仅与场点有关而且与试探电荷有关。①线度应足够小。（为什么？）检验空间某点是否存在电场以及电场强弱的电荷。②电量应足够小。（为什么？）要求：2、电场强度的定义：（由于它的引入不致引起原有电量的重新分布。）实验表明：定义：单位：牛顿/库仑（N/C）说明：3）若，则为均匀电场，各点场强大小、方向相同。1）是矢量，一般情况下。2）描述场的性质，与试探电荷q0无关，不是力。对给定场点的比值与q0无关，仅与场点有关。4）点电荷在电场中所受的力为对静电场电场中某点的电场强度等于单位正电荷在该点受到的电场力。12.2.3点电荷的电场强度点电荷产生的电场中场强的分布特点是：1、q一定时，电场强度的大小只与场点到场源电荷的距离有关，即以场源电荷为球心的任一球面上各点的场强大小相等；2、电场强度的方向沿以场源电荷为中心的径矢或其反向，通常称这样的电场为球对称的。12.2.4电场强度的叠加原理根据场强的定义，则有点电荷系在某点产生的场强等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。—场强叠加原理点电荷系电场中的场强任意带电体电场中的场强电荷连续分布，可把带电体分成许多无限小的电荷元dq。电荷元dq产生的场强为根据场强叠加原理常把矢量积分投影化为标量积分，以简化计算：整个带电体产生的场强直角坐标系中大小方向：解：先计算点P

处的场强。方向向右方向向左+q

和–q

在点P产生的场强的大小分别为：因此，总场强的大小为：方向向右例12-3求等量异号电荷系统（电偶极子）的电场强度。一对等量异号点电荷+q

和–q，其间距为l，求两电荷连线的延长线上一点P和中垂线上一点P′的场强。P和P′到两电荷连线中点O的距离都是r。下面计算P′点的场强。建立坐标系：E+

和E－

的大小为：二者方向不同，其方向如图。由对称性知，二者的x分量大小相等，方向一致；y方向分量大小相等，方向相反，故有：由图知：总场强的大小为：方向沿x轴负向。说明：定义：本题中若r>>l,则称这种带电体系为电偶极子。1）在电偶极子延长线上，场强的大小为:2）在电偶极子中垂面上，场强的大小为:为电偶极子的电偶极矩(简称电矩),记为:解：在l

处取微元dl，dq=λdl统一积分变量：所以：例题12-4求均匀带电直线的电场。已知建立坐标系如图，将上两式积分得：讨论：1、无限长带电直线，2、半无限长带电直线由对称性知，垂直分量之和为零，总场强为x分量之和。例题12-5均匀带电圆环轴线上的电场强度。圆环半径为R，带电为q，求距环心x处的P

点的场强。解：在圆环上取dl，建立坐标系。讨论：注意:2）正确确定积分上下限，有时要统一积分变量。1）根据给定的电荷分布，恰当选择电荷元dq和坐标系。2）应用点电荷场强公式，写出dq

在场点产生的dE。总结：求的步骤1）微元及坐标选取的技巧；4）方向:2）

x→∞时，3）总场强为:方向沿x轴背离点O例题12-6均匀带电圆盘轴线的电场。圆盘半径为Ｒ，面电荷密度为σ（σ＞０），求轴线上

x处P

点的Ｅ。讨论：无限大带电平面相当于点电荷讨论的问题：1.对点电荷的场强，当r→0时，E→？如何解释？2.对电荷连续分布的情况，在计算静电力和场强时，如何选取电荷元？3.电荷的量子化与电荷的连续分布是否矛盾？4.不同点的场强是否可以叠加？5.场强是点函数吗（微观点或宏观点或二者都是）？6.当多个带电体给定时，空间一点的场强是否唯一确定？§12.3

高斯定理12.3.1电场线（电力线）

2)通过某点垂直于电场强度方向的单位面积的电场线的条数等于该点电场强度的大小，即E=dN/dS⊥

电场线的疏密可表示场强的大小。注意：电场是客观存在的，而电场线并不是客观存在的。1、约定:用一系列假想的有向曲线描述电场强度的大小和方向。1)曲线上每一点的切线方向表示该点电场强度的方向；dS电场线正点电荷负点电荷一对等量异号点电荷一对等量正点电荷带电平行板电容器的电容器2、静电场中电场线的性质：1）起于正电荷(或无穷远)，终止于负电荷(或无穷远)。

在无电荷处不中断，也不相交。有源场2）电场线不闭合。无旋场静电场——有源无旋场12.3.2电通量电通量：通过某曲面的电场线的条数。1、均匀电场中,S为平面且平面垂直电场强度:此时通过S的电场线的条数为:故有：2、均匀电场中,S为平面但与E

不垂直：引入面积矢量：则有:有向平面把曲面分成无限多小面元dS：①每个小面元dS可看做平面；②每个面元dS上E可视为是均匀的。3、对非均匀场，S为任意曲面：则:对整个曲面:对一闭合曲面:SI:Φe单位牛顿·米2/库，N∙m2/C4）电通量的叠加原理多个点电荷通过某曲面的电通量等于它们单独存在时电通量的代数和。3）对于闭合曲面，规定曲面法线方向的正方向为由内向外；当电场线穿出时，当电场线穿入时，1）电通量是对面或面元而言的，对某点谈电通量无意义。2）电通量是代数量，可以为正值、负值或者零。注意：闭合曲面S称为高斯面。1、内容:给出了通过任一封闭曲面的电通量与封闭曲面内部所包围电荷之间的关系。CarlFriedrichGauss（1777—1855），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。一生成就非凡。12.3.3高斯定理★

在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量在数值上等于该曲面内所包围的所有电荷电量的代数和除以

，与面外电荷无关

。

1)闭合曲面包围点电荷，点电荷处于球心。2、推导:2）点电荷在任意闭合曲面内，由图知仍有：3）点电荷在闭合曲面之外，对曲面的通量为零。4）N

个电荷组成,其中n

个在闭合曲面内:5)当电荷连续分布时:3）闭合曲面的电通量Φe仅与曲面所围的净电荷有关。

2）高斯定理所涉及的电场强度是闭合曲面内、外电荷

共同产生的。4）高斯定理适用于任何电场，比库仑定律更广泛，是电磁场理论的基本方程之一。1）高斯定理揭示了场和场源的内在联系，静电场是有源场，正负电荷是静电场的场源。5）对于均匀、对称的电场，可用高斯定理求电场强度。说明[练习]①变化。②不变化。3）高斯面应是形状简单的几何面。12.3.4利用高斯定理求电场强度1、利用高斯定理求场强的条件:

电荷分布必须具有一定的对称性。1）高斯面一定要通过待求场强的场点。2、利用高斯定理求场强时，高斯面的选取原则:2）高斯面的各部分要与场强垂直或者与场强平行。与场强垂直的那部分上的各点的场强要相等。3、利用高斯定理求场强步骤：1)进行对称性分析。由电荷分布对称性→场强分布对称性只有当场强分布具有对称性时，才能用高斯定理求场强。否则不能应用，但这并不意味着高斯定理不适用于非对称性问题，只是不能用它求出场强。球对称性（均匀带电球面、球体、球壳、多层同心球壳等）轴对称性（均匀带电无限长直线、圆柱体、圆柱面等）面对称性（均匀带电无限平面、平板、平行平板层等）2)合理选取高斯面，使场强E从积分号中提出，易于计算。球对称性：球面轴对称性：圆柱面（侧面）面对称性：圆柱面（底面）3)计算高斯面内包围的电荷的电量(要注意用积分方法)。

4)用高斯定理求场强。解∶由电荷分布的轴对称性可知,电场强度分布也具有轴对称性。即在任何垂直于直线的平面内的同心圆周上场强的大小相等，方向垂直直线向外。取如图的圆柱面为高斯面,则有:[例1]求无限长均匀带电直线的场强。由高斯定理：思考：无限长均匀带电圆柱体（圆筒…）内、外的场？线密度[例2]求均匀带电球面内外的场强。解:由电荷分布是球对称知场强分布也一定是球对称的。即场强的方向总是沿径矢方向，而且在同一球面上各点场强大小相等1、对球面内部，选以O为球心、半径为r（r<R）的球面为高斯面，由高斯定理，有:∵

q=0所以2、对球面外部，选以O为球心、半径(>R)的球面为高斯面，由高斯定理得：结果为:球面外，如同电荷集中于球心形成的电场。[例3]求均匀带电球体内、外的电场分布。解:1、对球面外，与上题相同。2、对球面内，取半径为r<R的球面为高斯面，由高斯定理：问：如球体带电不均匀,场强分布如何计算？[例4]

求无限大均匀带电平面的场强。

为正时电场强度垂直于板面向外，

为负时向里。无限大带电平面外部的场强为均匀电场。解∶由电荷分布的面对称性知电场强度分布也具有面对称性。即两侧距平面等距的点场强大小相等，方向与平面垂直。选高斯面如图：[结论应用]

求一对无限大均匀带电平面的电场.解:带正电的平面产生的场强带负电的平面产生的场强两面间场强为:两面外场强为:+−+−00

讨论的问题：1.电场线是怎样描述场强的大小和方向？2.电通量是标量吗？它的正、负与什么因素有关？3.高斯定理反应了电场的什么性质？4.什么情况下可用高斯定理计算场强？5.选取高斯面时应满足什么条件？6.用高斯定理计算场强与用场强叠加原理计算场强有哪些异同？7.在哪三种对称性的情况下选取适当的高斯面，可求出场强，其场强的通常的形式是什么（E∝？）？§12-4静电场的环路定理电势点电荷的静电场力做的功与路径无关，仅与试探电荷的初、末位置有关。1、静电场力做功与路径无关：设q为激发电场的场源电荷，试探电荷q0

沿一路径从a运动到b

。

推广得到结论：任意带电体系产生的静电场中，静电场力做的功与路径无关，仅与试探电荷的初、末位置有关。∴静电场力为保守力。12.4.1静电场的环路定理2、静电场的环路定理∵静电场力是保守力

静电场的环路定理在静电场中，电场强度沿任一闭合路径的线积分（环流）恒为零。1）单位正电荷在静电场中移动一周，电场力做功为零。2）静电场的环路定理反映了静电场的性质—无旋场。说明：

任何做功与路径无关的力场,叫做保守力场或有势场.静电场是保守力场,静电力是保守力.在保守力场中可以引入势能的概念.在静电场中，可以引入静电势能（W

）。12.4.2电势能设想把试探电荷q0从a点移到b点，电场力所做的功为a、b两点的电势能差，即：如果选b点的电势能为零，则若电荷分布在有限范围内,可取无穷远处电势能为零,则有因此，试探电荷q0

在电场中某一点的静电势能在数值上等于把试探电荷q0

由该点移到零势能点静电力所做的功。2）静电势能的大小是相对的;3）静电势能是状态函数。1）静电势能是属于系统的;说明：例，q0在点电荷q的场中a点的电势能(选无穷远处为零电势能点)为可见，电势能依赖于试探电荷q0，为了描述电场本身的性质，引入一个概念——电势。电势能与试探电荷的比值与试探电荷无关，只由电场和场中位置决定，是反映电场本身性质的物理量，称之为电势。1.电势12.4.3电势电势差

（b点为电势零点）定义：B.数值上等于单位正电荷沿任意路径从该点移动到零电势点电场力所作的功。电势的物理意义：A.数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能。能的角度功的角度若电荷分布在有限范围内，则可取无穷远处电势为零:（3）某点的电势具有相对意义，只有选取零点后，才有确定值。电势零点的选择：①理论上，对有限的带电体常选取无限远处为参考点②实际中，常选取地球（或电器外壳等）的电势为零。（1）电势是描述电场能量性质的物理量，与试探电荷无关。（2）电势是标量，是空间位置坐标的函数。说明：2.电势差静电场中a、b两点间的电势差，数值上等于将单位正电荷从a点移动到b点电场力所做的功。从a到b电场力做的功注意:电势差是绝对的，与零点的选择无关。（1）点电荷的电势1．利用电势叠加原理计算电势

12.4.4电势的计算 n个点电荷q1、q2、...qn激发的电场中，由场强叠加得P点电势（2）电势叠加原理

即：取即：n个点电荷的电场中，任意一点的电势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。电势叠加原理（3）电荷连续分布的电势三种典型的电荷分布情况：例题12-10求均匀带电圆环轴线上的电势分布。电量为q，半径为R.解∶取微元：dq特殊的，若x=

0，场强分布电势分布2.利用电势的定义计算电势

若电荷分布有限，或电荷分布无限但电势零点（或某点电势）已知，可直接用例题12-11均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R解∶由高斯定理得：1）对球内的一点P，其电势为:2）对球外的P

'

点，其电势为：因而均匀带电球面内外的电势分布为:例题12-12如图所示，一半径为R的无限长圆柱形带电体，其体电荷密度，式中A为常数，试求：（1）圆柱体内、外各点电场强度的大小分布；（2）选距轴线距离为l（l>R）处的电势为零，计算圆柱体内、外各点电势分布。解（1）取半径为r高为h的闭合同轴圆柱面为高斯面，则穿过圆柱面的电通量为当时，包围在高斯面内的总电荷量为由高斯定理得当时，包围在高斯面内的总电荷量为由高斯定理得当时，圆柱体内任一点的电势为当时，圆柱体外任一点的电势为

（2）解:若取无穷远处为电势零点，沿垂直带电平面的路径积分，则若取无穷远处为电势零点，沿平行于带电平面的路径积分，则[例]一均匀带电的无限大平板，面电荷密度为σ。求平面外一点

a的电势。上述结果都不合理并且相互矛盾。此处电荷分布在无限空间，正确的方法是取有限远处为电势参考点。=0

对电荷有限分布的情况通常选无限远处为零电势点；而对电荷无限分布的情况，通常不能选无限远处为零电势点，这时可作不定积分原则上可选除无穷远外的任一点为零电势点，为了简便，常选择使积分常数C=0

的点（例如b点)为零电势点，再作定积分