弹性力学计算题

二.试确定以下两组应变状念能否存在(K',A,8为常数)，并说明为什么？

2

(1)4=K(f+V),与=Ky,yxy=IKxy(存在)

(2)£x=,%=B£y,yxy=0(不存在)

四.计算题

1.图中所示的矩形截面体，受力如下图，试写出其边界条件。

x=b,(7X=0;rry=p

x=-b,4=4；%,=()

次要边界条件，在y=0上，

(%)户0=°，满足；

J；(b)=o公=一/

L^y)v=o^=--

2.图中所示的矩形截面体，在。处受有集中力/和力矩加=朋/2作用，试用应力函数。=标3+区/

求解图示问题的应力分量，设在A点的位移和转角均为零。

(h»b,6=1)

解：应用应力函数求解，

<1)校核相容方程▽>=(),满足

(2)求应力分量，在无体力时，得

a.,=6Ax+2B,er.,=rvv=0

考察主要边界条件，

x=±b,av=r....=0,均满足。

考察次要边界条件，在)，=0上，

(rxv)v=0=0,满足；

ebp

L(b).=0公"乙得8=一不；

fhFbF

L^.v)>=0^=--,得4=一正。

乙OcZ

代入.得应力的解答，

F3x

<T=-—(1+—),<T=r=O

)y2b2bttv

上述应力已满足了▽刀二。和全部边界条件，因而是上述问题的解。

3.图中所示的悬臂梁，长度为/,高度为力，l»h,在边界上受均匀分布荷载〃，试验应力函数

0=出户++。3+Dx2+Ex2y

能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

q

4.如下图矩形截面柱，承受偏心荷载P的作用。假设应力函数e=A?+8V2,试求各应力分量。

解：(1)检验相容方程是否满足，由▽4(。)=0

〔2〕求应力分量：

5=0cr=6Ax+2Br=0

(3)由边界条件：)，=/?边，由圣维南原理可得:

可得：B=-p/4a

[„，=0出=一〃

2

可得：A=—4

8a2

[4[应力分量为：

crv=0

%=_生尸&

4/2a

Qy=0

a。dr

5.试推导平面问题的y方向的平衡微分方程旦+—&+£=0

dydx

解：

以y轴为投影轴，列出投影平衡方程£工二0：

d(ry

亿+——-dy)dx-<yydx

oy

+(rxy+dx)dy-Txydy+fydxdy=0

约简之后，两边除以anfy,得

答有+3

2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，＜=0,./；,=用

(P为杆件密度，g为重力加速度)，并设〃=0。

试用位移法求解杆件竖向位移及应力。(14分)

(平面问题的平衡微分方程：见+"L+/.=0,生+也+工,=0；

dxdy-dydx、

示的

应力分量表达式：=—+,%.(孚+〃学)，

1drdyI-//dydx

_^(生+包))

2(1+〃)dxdy

解：据题意，设位移“0,u=Ky),按位移进行求解。

根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到

面应力问题的根本微分方程如下：题七图

222

E.du1-//du1+4dv.r八

----r（一7十一i-------7十一----------）+L=0,

1一dx~2dy~2oxoy

22

E.d~v\-JJdvI+〃du.r..

S）

l-/rdy~2dx~2dxdy

将相关量代入式(a)、(b),可见(a)式(第一式)自然满足，而(b)式第二式成为

锵丝

82一E

可由此解出

2

v=-^y+Ay+B.（c）

此题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且

W）尸o=。，（％.））.■/=0

将(c)代入，可得区=0,4=丝/

E

反代回(c),可求得位移：

u=黑(2仅—)’2)

*,=pgQ-y)

*设有函数①=等[一4/3,1]+戮*,

(1)判断该函数可否作为应力函数？(3分)

（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）

中能解决什么问题U»/z）o（15分）

解：

（1）将6代入相容方程粤+2“N+粤h/2

a/dx2dy2dy4F—

h/2

（2）应力分量的表达式：

_O?中6/2y44y3qy

4一歹一_+~3h'

=效=幺（_g&]题九图

v泳22〔h3h）

rvdxdyh3{4.,

考察边界条件：在主要边界＞=±AZ2上，应精确满足应力边界条件

在次要边界入=0上，应用圣维南原理，可列出二个积分的应力边界条件:

£（必力=£（誓聿卜=。（奇函数）

|"L的匕臂-舒叱。

在次要边界x=/上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件:

£包）*=跳竽+誓-等卜=0（奇函麴

£（公"=仁卜竽+景微网楞

£（%.）3T净存旬…

对丁如下图的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力

时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下

的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。

所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载9的问题。

1.（12分）试列出图5/的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边

界条件。（板厚3=1）

图5-1

解：在主要边界），二士〃/2上，应精确满足以下边界条件：

（%）i=_qx1l，（小）Z2=。；（bJi=°，匕）$2=W

在次要边界x=0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚5=1时，

窗（4）"丫=-6,二；（4）1处=-“，匚：（%）,/"小

在次要边界X-/上，有位移边界条件：（〃）i=0，（p）r=7=0,这两个位移边界条件可以改用

三个积分的应力边界条件代替：

£：”）=。内=-&+副，J；：®*ydy=—M—FJ啖+除］：=一4-日

2.（1（）分）试考察应力函数力=5>，3,c>o,能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画

出图5・2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。

拼中①①

解:（1）相容条件：将①=CX），3代入相容方程+2苏犷十万0,显然满足。

dx4

2

⑵应力分量表达式：区=土£=6。卬，a=0,r=-3cy

cy2v、

⑶边界条件：在主要边界冲土3上，即上下边，面力为同)曰「±3的,"工广-；加

在次要边界x=o,x=/上，面力的主失和主矩为

6c,ydy0

［：；",)"),=oCoJ/y=C=

6cly2dy=

,必=o心。J*ydy=Ci等

3cy2dy=

CM"〉=-\Z-/1：*工力=£3cy2dy=卞3

弹性体边界上的面力分布及在次要边界X=0,x=/上面力的主失量和主矩如解图所示。

3.(14分)设有矩形截面的长竖柱，密度为夕，在一边侧面上受均布剪力q,如图5・3所示，试求应

力分量。(提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的根本公式中，假设材料符合简单的胡克定

律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量。丫=0)

图5-3

解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的根本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为

矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量=0,

(1)假设应力分量的函数形式。o-v=0

(2)推求应力函数的形式。此时，体力分量为f,=O,｛、=0g。将=0代入应力公式

■有2=』~=0对X积分，得==/(x)，(a)

dydy力

①二w(%)+/(工)。(b)

其中/(X)，/⑴都是X的待定函数。

⑶由相容方程求解应力函数。将式(b)代入相容方程中4=0,得

)V£ZdxWA+£2dxLAM=0

这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的y值都应该满足)，可见它

的系数和自由项都必须等于零。夕但=0,《里口二0,两个方程要求

axdx

/(x)=A?++ex,力(%)=Zh3+Ex2

BX2

/(x)中的常数项，/(x)中的一次和常数项已被略去，因为这三项在中的表达式中成为y的

一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数

3232

①=y(Ar+Bx+&)+(Dx+Ex)(d)

(4)由应力函数求应力分量。

迎

(e)

分2一犷二°，

》①

-yf=6Axy+2By+6Dx2E-pgy,

%y4-⑴

——=-3AV2-2BA-C.(g)

dxdy

(5)考察边界条件。利用边界条件确定待定系数

先来考虑左右两边x=±〃2的主要边界条件：

")7/2=。，(%)E2=4。

将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：

(bJi/2=。,自然满足；/2=~Ab2^Bb-C=0(h)

卜口1=+g=一14"-4"一。=4

(i)

由(h)⑴得B=-W⑴

2b

考察次要边界y=0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为

「：(%)dx=£^(6/)X+2E\lx=2Eb=0；得E=0

J,(crJ^¥=jj6Dx+2E)xdx=——=0,得D=0

3Ar2+xcc

「k)公=---=°&

J-履x〃v=oJ-网b)4

由(h)⑴(k)得A=-=,C=g

b~4

将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为:

%=0,0=-6鲁“-苒y-侬，，Q=3备d+9一彳

bbbb4

4.图示曲杆，在边界上作用有均布拉应力外在自由端作用有水平集中力凡试写出其边界

条件（除固定端外）。

⑴=0；

⑵,匚二°，

⑶<ydr=-PcosOJTrOdr=Psin^

Jao

1.图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为"的集中力作用，单位宽度上集中力的值

为P,设间距d很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为

(P=Asin2〃+Bg)

解：很小，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M的情形。

将应力函数以儿。）代入，可求得应力分量:

1££+_L^±4sin20；

2

rdrrd6

=L(2ACOS2，+8)

r~

边界条件：

(11rr/o=o=0,rf6?|^=o=0：0/。=兄=(),rr&\o=^=0

FjtOr*0rxOr/0

代人应力分量式,有

与24+8)=0或2A+B=0(1)

r~

(2)取一半径为「的半圆为脱离体，边界上受有：?"和

由该脱离体的平衡，得

却“2"+知=()

将乙。代入并积分，有

J：」(2Acos2e+5)，de+M=0

£

Asin2〃+M)+知=o得3乃+M=()⑵

联立式(1)、(2)求得:

B=_5=一段,人=也

717t2先

代入应力分量式，得

2Pdsin2。2PdsiM0

兀r-Xr-

结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较

远处可适用。

2.图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，假设梁的正应力。x由材料力学公式给出，试由平衡微分

力程求出入,并检验该应力分量能否满足应力表示的相容力程。

(12分)

题三(2)图

解：(1)求横截面上正应力

任意截面的弯矩为M“粘土截面惯性矩为由材料力学计算公式有

⑴

x/

(2)由平衡微分方程求Qv、C7V

c?rn,

+T+x=o⑵

平衡微分方程:dx。)'

3%dcrv

彳+1°⑶

其中，x=o,y=o。将式（1）代入式（2）,有

dr

xy6%2

dylh3

积分上式，得

=条/)'+力⑴

in

利用边界条件：rxv,=0,有

2222

^-xh+/,1U)=0即f(x)=-^xh

4也⑶入一14加

(4)

将式（4）代入式（3〕,有

察疗力b+等=0或等“髀（八评）

积分得

利用边界条件:

q。

(y1

得:

爷"知犷）+人（幻=牛

-翁遥⑴=。

由第二式，得

，式，）=一等

将其代入第一式,得

%%x=-^-x自然成立。

2ix2/

将力(元)代入巴.的表达式，有

⑸

所求应力分量的结果:

「华告，

<%=靠日产W)⑹

—骞郭

校核梁端部的边界条件：

(I)梁左端的边界(x=0):

通/工。力=o，值％，|“0=0代入后可见：自然满足。

22

(2)梁右端的边界(x=/)：

dy=O

可见，所有边界条件均满足。

检验应力分量b",、、,5是否满足应力相容方程:

常体力下的应力相容方程为

『(…)备券—°

将应力分量巴R(6)代入应力相容方程，有

品。—号3瓢+”=-髀

力伍+巴.)=(*&/+,)=-笔"*°

显然，应力分量区"W巴,不满足应力相容方程，因而式（6J并不是该该问题的正旃解。

3.一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为/,抗弯欧度E/为常数，梁端支承弹簧的刚度系数

为鼠梁受有均匀分布载荷，/作用，如下图。试：

（1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数以外；

（2）用最小势能原理或Rilz法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系数）。

（13分）

解：两种形式的梁挠度试函数可取为

卬（1）=/（4+4工+4-+……）——多项式函数形式

卬(X)=£4(1一cos冽竺)----三角函数形式

”1=1I

此时有：

以3=，(A+A2X4-A?/+......)0=0

w'(x)=2x(A.+Ax+A,x2+......)+/(A+A+........)=0

।4?J4JX,V=0

M©=力A”(1-cos^^)=0

m=l1v=0

vv(x)=)A-------sin---------=0

£inII

即满足梁的端部边界条件。

梁的总势能为

〃=3f八一工>>3公+；比出)「

2

取：vv(x)=Aix,有

^■^=24，M</)二A|/2

ax

代入总势能计算式，有

〃二;二口(24)2公一工和24公+gz(A"2)2

^L/3l^4

=2EIl\+Z

由H7=0,有

4E〃A=0

qj

A=

3(4EIl+kl4)

代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为

似%)=

3(4EIl+kl4)

三、计算题

I.试问邑=">2,£y冲=("十份孙是否可能成为弹性力学问题中的应变分量?

提示：考察是否满足变形协调方程。

2.检查下面的应力分量在体力为零时是否能成为可能的解答。

q=4x2,%=4y2,%=-8个

提示：是否满足相容方程。

3.物体内某点的应力分量为区=100,%=50,r.=l()x/50,试求该点的主应力

**?-Vn

(7],。2和外。课本P34,习题2/5。

4.

(a)<T>=Ay2^y2-x2)+Rv)*4-C(x2+>j2)

(b)①=Ad+Bx3y+Cx2y2+Dxy^+Ey4

以上两式能否作为平面问题应力函数的表达式？假设能，那么需要满足什么条件.

5.试列出以下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

V

Oh、

yh”>b

6.试列出以下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

q

参考答案：在主要边界），=±±上，应精确满足以下边界条件：

乙

（%）i=_g，（%）1=o,㈤产仇（%）』=.

-22-2-2

在次要边界x=0上应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件

1aL0公=&，日（4）"必=M，公=一属

222

在次要边界工=/列出位移边界条件，（〃）t=o，（Hi=（）。

也可应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件

7.单位厚度的楔形体，材料比意为月，楔形体左侧作用比重为0的液体，如下图。试写出楔形体的边

界条件。

参考答案

左侧面：I=-cosa,m=-sina,y=-xcota

-er,cosa—rvvsina=p}gycosa

、,"〔

-ersina—7n.cosa—gysina

右侧面，/=cos氏m=-sin/3,y=^cotp

cosp-rvvsin/?=0

-（rvsin/3+rxycos/3=0

8.试用应力函数中=AD+893求解图示悬臂梁的应力分量（设/»〃）。

试用应

（I）将应力函数代入相容方程①=0,其中

4

①Aa①八8』①八

—r=0，—=（），——r=（）

dxcx~ydy

满足相容方程。

12）应力分量表达式为

加①八①“a2o人…

b,=L=°'b、===6匹口，T=-——=-A-3Bx-

dy-oxdxcy

13）考查边界条件

在主要边界K=±2上，应清确满足以下边界条件：

2

（a）T=。，（金）房=-4

22

在次要边界y=0上，（bJ、o=O能满足，但卜甲）、、。=0的条件不能精确满足，应用圣维南原理

列出积分的应力边界条件代替

2

将应力分量代入边界条件，得

A=46=3

2h2

应力分量

%=°，%'=攀冲'%=£、123J

10.设有矩形截面竖柱，密度为P，在一边侧面上受均布剪力q,试求应力分量。提示:假设巴=0=邙

ay

参考答案:

⑴、假设巴=0=22,由此推测①的形式为①q（x）y+力（X）

o~y

〔2）、代入V4中=0,得''/f）y+"/!。二0

dxdx

要使上式在任意的y都成立，必须

"；=0,得/（x）=Av+Bx2+Cx+D

d63=0,得/（戈户山+&2+a+”

dxA

代入①，即得应力函数的解答①二（43+以2+0：）），+3:3+»：2（略去了］、y的一次项和常数项）

⑶、由中求应力分量，f、=o4、=pg

巴=吧=。

32中/、

<TV=-fyy=（6Av+2B）y+6Ex+2F-pgy（1分）

募=一（3松+2a+C）

xy

(4)、校核边界条件

主要边界

(4)的=0[已满足)

(^1=0,C=()

\冷/.v=O

(&)i=q,-(3A/?2+2M+C)=q(1)

次要边界

J；(巴J,。公二°，3E/?+2F=0(2)

](%,)3=0,2劭+/=0(3)

Jo\vAr=0

公=°，A〃+8=0(4)

由⑴-⑷联立可解得A、B、E、F。

II.设体力为零，试用应力函数①=1+)，2,求出上图所示物体的应力分量和边界上的面力，并把面力

分布绘在图上，圆弧边界AB上的面力用法线分量和切向分量表示。04=08=1。

12.平面应力问题矩形梁，梁长L,梁高h,E=200000Pa,//=0.2,位移分量为：

〃(x,y)=6(x-0.5L)y/E,v(x,y)=3(L-x)x/E-3py2/E,求以下物理量在点P(x=L/2,y=h/2)的

值：(1)应变分量(2)应力分量，(3)梁左端(x=0)的面力及面力向坐标原点简化的主矢和主矩。

.过P点的应力分量%=15Mpa,ay=25Mpa,rxy=l^Mpa。求过P点，

Z=cos30°>机=cos60°斜面上的>八KV>外、TNO

解：XN=lax+niT^,=cos30°xl5+cos60°x20=22.99Mpa

YN=fnay+lrxy=cos6()°x25+cos30°x20=2982Mpa

2

(Tv=I%*+max+2hnTxv

=cos230°X15+cos260°X25+2Xcos30°xcos60°x20

=34・82则

l2

TN=hn(ay-ax)^(l-m)Txy

=cos30°xcos60°x(25-15)+(cos230°-cos2600)x20

=14.33Mpa

2.在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据以下图证明:

证明：

Z4=o：

6b

㊀

(crv+xdxxdzTbJxdxxdz

dz)xdxx.dy—(r_)xdxxdy

dzy

dxyxdyxdz—(r)xdyxdz

dxxv

+Ydxdydz=0

化简并整理上式，得：

dydzdx

3.图示三角形截面水坝，材料的比重为p,承受比重为y液体的压力，己求得应力解为

+by

a^cx+dy-pgy^试写出直边及斜边上的边界条件。

rxy=-dx-ay

解：由边界条件

帆什=G

=Y

左边界：I—cos/7,m=—sin/?

，_

cosfi(ax+by)—sin-dx-ay)=0

<ss

一

sin"cx+dy-pgy)*4-cosP(-dx-ay)s=0

右边界：I——1,/7?=0

-(ax+by)=rgy

<s

(dx+ay)s=0

4.一点处的应力分量cr*=30Mpa,%=-25Mpa,Txy=5QMpa,试求主应力a2以及b1与

x轴的夹角。

解：

3^+^30^p(50)；=59.56”,

-卜丁+3=-55.06

力］二/"59.56-(30)、

%=以=30.59°

50

4

1.过P点的应力分量%=VSMpa,ay=25Mpa,Txy=20Mpa。求过P点，

T

Z=cos30°>=cos60”斜面上的X«、KV>外、N°

解：XN=lax4-nir^=cos30°x15+cos60°x20=22.99Mpa

Vv=tnay+lrxv=COS60°x25+cos300x20=29.82Mpa

22

aN=lax+mav+2lmTXY

=cos230°xl5+cos260°x25+2xcos30°xcos60°x20

=34.S2Mpa

12

tN=ImicTy-crJ+d-m)txy

=cos300xcos600x(25-15)+(cos230°-cos2600)x20

=14.33Mpa

2.在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy、dz。试依据以下图证明:

证明：

z%=。：

Ob,

(crv+«dyyxdxxdz-(cr、,)xdxxdz

0T

।J"。dz)xdxxf/y—(r_)xdxxdy

dzv

QT

l-“dx)xdyxdzTr)xdyxdz

dxxv

+Ydxdydz=0

化简并整理.卜.式，得：

dcrT.dr

—v+V+—^xv+y=0

dydzdx

3.图示三角形截面水坝，材料的比重为p,承受比重为y液体的压力，己求得应力解为

ar=ax+by

j=cx+力-用厂试写出直边及斜边上的边界条件。

r=-dx-ay

解：由边界条件

l((rx)s+m(Tyx)s=X

in((ry)s+1(Txy)s=Y

左边界：I=cos0,m=-sin0

cosJ3(axby)5-sin仇-dx-ay)s=0

-sinJ3(cx^dy-pgy)s+cosp{-dx-ay)x=0

右边界：/=-1,m=0

-(ax+by)x=ygy

(dx+ay)s=0

一点处的应力分量,试求主应力以及?与

4.=30Mpa,ay=-25Mpa,txv=50Mpa<TP<T2

x轴的夹角。

解:

=30125+J(30；25)+⑸))?=59.5pa

=—55.06Mpa

.]=次-彳经3]=30.59。

%V50J

5.在物体内的任一点取一六面体，x、y、z方向的尺寸分别为dx、dy>dz。试依据以下图证明:

E%比

--+—+^+z=()。

ozexdy

0O-

(cr.H-------dz)xdxxdy—(cr.)xdxxdy

dz

c?r

+(rH------dx)xdyxdz—9)xdyxdz

dx

dyyxdzxdx—(rv_)xdzxdx

+Zdxdydz=0

化简并整理上式:

d(r.vdr,

——-4-^xz-4-—Y—+Z=0

dzdxdy

6.图示悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为P，设应力函数。=4/+8/丁+。町/+勿3恒能满

足双调和方程。试求应力分量并写出边界条件。

解：

所设应力函数。

相应的应力分量为：

%=翳=26+6为

4二零一刀=64+2By-py

%=一霸=-2版-2。

边界条件为：

上外表要求

XN=(-rj=o=。，B=0

A=(-by)y=0=0,A=。

斜边界：y=xtgc/,/=-sina,m=cosa,边界条件得：

-(2Cr+6Dy)sina-2Cycosa=0

2。sina-pycosa=0

计算题

I.图中所示的矩形截面体,受力如下图，试写出其边界条件。

x=b,<yx=0;rxy=p

x=-b,q=q;%,=0

次要边界条件，在y=0上，

（rxv）v=0=0,满足；

rb

L亿）尸户二一尸

LM亿）…x公=一F彳b

2.图中所示的矩形截面体，在。处受有集中力b和力矩M=M/2作用，试用应力函数。=Av5+8K

求解图示问题的应力分展，设在A点的位移和转角均为零。

X

Fb/2

b

-Ay

Fb

(h»b,6-1)

解：应用应力函数求解，

（1）校核相容方程▽T=0,满足

（2）求应力分量，在无体力时，得

crY=6Ax4-2B,（yv=rrv=0

考察主要边界条件，

x=±b,av=rvv=0,均满足。

考察次要边界条件、在），=（）上，

（%）尸0=°，满足；

£（叫）尸0八=一尸，得B=$

fbFbF

［（cr）x^Zr=----,得4=----y

J4yvzo28b2

代入，得应力的解答，

F3x

cr=----（14-——），=T=0

）v2b2bxxy

上述应力已满足了▽》=（）和全部边界条件，因而是上述问题的解。

3.图中所示的悬臂梁，长度为/,高度为力，l»h,在边界上受均匀分布荷载4,试验应力函数

（/）=出户+Bx2/+Cv3+Dx2+Ex2y

能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

4.如下图矩形截面柱，承受偏心荷载P的作用。假设应力函数e=+81,试求各应力分量。

解：（1）检验相容方程是否满足，由▽4（。）=0

〔2〕求应力分量：

cr=0（TV=6Ax+2BrKV=0

（3）由边界条件：），=/?边，由圣维南原理可得:

可得：B=-p/4a

工9）=。a=一〃・（

可得：A=-4

8〃2

〔4〕应力分量为：

cr(0

:x-2

4a22cl

=°

aa

5.试推导平面问题的y方向的平衡微分方程%+吆+<=()

dydx

解:

dj

△dx

dx

6