第8节 直线与圆锥曲线

第8节直线与圆锥曲线考试要求1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题．【知识梳理】1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有________、________、________；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C________；Δ＝0时，直线l与曲线C________；Δ＜0时，直线l与曲线C________．②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合．2．圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝____________＝____________________或|AB|＝____________________＝__________________，k为直线斜率且k≠0.3．中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论．(2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，y2＝2px为例)，椭圆中k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；双曲线中k＝____________；抛物线中k＝________．[常用结论与微点提醒]1．圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中长为eq\f(2b2,a)，抛物线中长为2p.2．过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2)；同理，双曲线中kPA·kPB＝eq\f(b2,a2)(以上焦点在x轴上)．3．若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；同理，双曲线中为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1(以上焦点在x轴上)．【诊断自测】1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相切、相交．()(2)直线y＝x与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1一定相交．()(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”．()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()2．过点(0，1)作与双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1仅有一个公共点的直线，这样的直线有()A．1条 B．2条C．3条 D．4条3．已知直线l：y＝x－2与抛物线y2＝2x交于A，B两点，则线段AB的长是()A．2 B．eq\r(10)C．2eq\r(10) D．4eq\r(10)4．过点P(0，1)作斜率为－1的直线l与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为________.考点一直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．训练1(1)若直线y＝kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m>1 B．m>0C．0<m<5且m≠1 D．m≥1且m≠5(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．(3)若直线y＝k(x＋2)＋1与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则k的值为________．考点二中点弦例2(1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－eq\f(y2,9)＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是()A．(1，1) B．(－1，2)C．(1，3) D．(－1，－4)(2)已知P(1，1)为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系．若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率．训练2已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三弦长公式例3(2024·南京调研)已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x－2y＝1交于P，Q两点，若|PQ|＝eq\r(15)，则抛物线的方程为()A．x2＝－4y B．x2＝12yC．x2＝－4y或x2＝12y D．以上都不是________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________感悟提升弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).训练3已知斜率为2的直线经过椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点F，且与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________轨迹方程问题1．曲线C与方程F(x，y)＝0满足两个条件：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．2．求曲线方程的基本方法主要有：(1)直接法：直接将几何条件或等量关系表示为代数方程；(2)定义法：利用曲线的定义，判断曲线类型，再由曲线的定义直接写出曲线方程；(3)代入法(相关点法)：题中有两个动点，一个为所求，设为(x，y)，另一个在已知曲线上运动，设为(x0，y0)，利用已知条件找出两个动点坐标的关系，用所求表示已知，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f（x，y），,y0＝g（x，y），))将(x0，y0)代入已知曲线即得所求曲线方程；(4)参数法：引入参数t，求出动点(x，y)与参数t之间的关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t），))消去参数即得所求轨迹方程；(5)交轨法：引入参数表示两动曲线的方程，将参数消去，得到两动曲线交点的轨迹方程．例(1)已知M(－2，0)，N(2，0)，点P满足eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝12，则点P的轨迹方程为()A.eq\f(x2,16)＋y2＝1 B．x2＋y2＝16C．y2－x2＝8 D．x2＋y2＝8(2)设P为双曲线eq\f(x2,4)－y2＝1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是()A．x2－4y2＝1 B．4y2－x2＝1C．x2－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,2)－y2＝1(3)(多选)(2024·泰安模拟)已知圆O的半径为定长r，A是圆O所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q.当点P在圆上运动时，下列说法正确的是()A．当点A在圆O内(不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆B．点Q的轨迹可能是一个定点C．当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线的一支D．点Q的轨迹可能是抛物线(4)(2024·广州模拟)变量x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝2\r(1－t)))(t为参数)，则代数式eq\f(y＋2,x＋2)的取值范围是_____________________．(5)如图，已知椭圆C：eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与点B1，点B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2，求动点N的轨迹方程．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________训练(1)动点A在圆x2＋y2＝1上