第8节　二项分布、超几何分布与正态分布

第8节二项分布、超几何分布与正态分布考试要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用.【知识梳理】1.伯努利试验与二项分布(1)伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).3.超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，称随机变量X服从超几何分布.4.正态分布(1)定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·eeq\s\up6(\f(－（x－μ）2,2σ2))，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).(2)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.②曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.(3)3σ原则①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.[常用结论与微点提醒]1.两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形.2.超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值E(X)＝eq\f(nM,N)，D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).3.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为“1”解题.4.利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是2的倍数的次数，则X服从二项分布.()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布.()(3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立.()(4)正态分布是对于连续型随机变量而言的.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2.(选修三P76练习1改编)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值E(X)＝()A.2 B.1 C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案A解析由题意可知，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，E(X)＝4×eq\f(1,2)＝2.3.(选修三P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________.答案eq\f(3,10)解析由题意，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，故P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,10).4.(必修三P87T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，则c＝________.答案eq\f(4,3)解析随机变量X服从正态分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，∴eq\f(2c－1＋c＋3,2)＝3，∴c＝eq\f(4,3).考点一二项分布例1(2024·常德模拟)某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A，B，C三款软件投入使用，经一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：班级一二三四人数3234(1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；(2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选A，B两款软件学习的概率都是eq\f(1,6)，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.解(1)从这12人中随机抽取2人，共有Ceq\o\al(2,12)＝66种可能情况，记“这2人恰好来自同一班级”为事件A，则事件A包含的可能情况有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＝3＋1＋3＋6＝13种，所以P(A)＝eq\f(13,66).(2)由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，因为选A，B两款软件学习的概率都是eq\f(1,6)，且他们选择A，B，C任一款软件都是相互独立的，所以他们选择C款软件学习的概率是1－eq\f(1,6)－eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以这三名学生中下午自习时间选软件C的人数服从二项分布ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(12,27)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)＝eq\f(8,27)，所以ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)所以E(ξ)＝3×eq\f(2,3)＝2.感悟提升判断某随机变量服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.训练1(2024·烟台模拟)为了了解观众对某电视剧的评价，某机构随机抽取了10位观众对其打分(满分为10分)，得到如下表格：观众序号12345678910评分7.88.98.67.48.58.59.59.98.39.1(1)求这组数据的第75百分位数；(2)将频率视为概率，现从观众中随机抽取3人对该电视剧进行评价，记抽取的3人中评分超过9.0的人数为X，求X的分布列、数学期望与方差.解(1)将这组数据从小到大进行排列，7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，因为75%×10＝7.5，所以第8个数据为所求，所以这组数据的第75百分位数为9.1.(2)样本中评分超过9.0的有3个，所以评分超过9.0的概率(频率)为0.3，依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.3)，则P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.73＝0.343，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.3×0.72＝0.441，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.32×0.7＝0.189，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.33＝0.027，所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027所以E(X)＝3×0.3＝0.9，D(X)＝3×0.3×0.7＝0.63.考点二超几何分布例2(2024·宿州模拟)宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为eq\f(1,3).(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.解(1)由题知，共有n＋6个机房，抽取2个机房有Ceq\o\al(2,n＋6)种方法，其中全是小机房有Ceq\o\al(2,6)种方法，因此全是小机房的概率为p＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,n＋6))＝eq\f(1,3)，解得n＝4.即n的值为4.(2)X的可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(4,120)＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(36,120)＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).则随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)则X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(9,5).感悟提升1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.训练2(2024·郑州调研)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求E(X).解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上，X的分布列为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)所以E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).考点三正态分布例3(1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是()A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性答案AC解析X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，结合正态密度函数的图象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误.(2)(多选)(2024·泉州部分学校联考)已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试(满分为150分)，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)，则下列说法正确的是()(参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)A.根据以上数据无法估计本次数学考试的平均分B.σ的值越大，成绩不低于100分的人数越多C.若σ＝15，则这次考试分数高于120的约有46人D.从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为eq\f(1,2)答案BD解析对于A，由题意知，数学考试成绩X的平均值为90，故A错误；对于B，根据N(90，σ2)(σ>0)中标准差的意义，σ的值越大则高于90分低于100分的人数越少，所以成绩不低于100分的人数越多，故B正确；对于C，当σ＝15时，P(X>120)＝eq\f(1,2)[1－P(60≤X≤120)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)＝0.02275，故这次考试分数高于120的约有20000×0.02275＝455(人)，故C错误；对于D，由数学考试成绩X近似服从正态分布N(90，σ2)(σ>0)知P(X>90)＝eq\f(1,2)，由n重伯努利试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90的概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2)，故D正确.感悟提升解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴为x＝μ.(2)标准差为σ.(3)分布区间.由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.训练3(1)(2024·枣庄模拟)某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布N(72，82)，则数学成绩位于[80，88]的人数约为()参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A.455 B.2718 C.6346 D.9545答案B解析由题意可知，μ＝72，σ＝8，P(80≤X≤88)＝P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359，则数学成绩位于[80，88]的人数约为0.1359×20000＝2718.(2)(多选)(2024·常州调研)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)()A.该校学生成绩的期望为110B.该校学生成绩的标准差为9C.该校学生成绩的标准差为81D.该校学生成绩及格率超过95%答案ABD解析因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，则μ＝110，方差σ2＝81，标准差σ＝9，因为μ－2σ＝110－2×9＝92，P(ξ≥90)>P(ξ>92)＝P(ξ>μ－2σ)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×0.9545＝0.97725>0.95，所以该校学生成绩的期望为110，标准差为9，该校学生成绩及格率超过95%.所以A，B，D正确，C错误.二项分布与超几何分布的区别与联系1.教材和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.2.超几何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不独立，二项分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互独立.当超几何分布所对应的总体数量很大时可以近似地看作二项分布.例1写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数.(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为X2.(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X3(N－M＞n＞0，且M≥n).解(1)X1的分布列为X1012…nPCeq\o\al(0,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)Ceq\o\al(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－1)Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2)…Ceq\o\al(n,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)X1服从二项分布，即X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,3))).(2)X2的分布列为X2012…nPeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n)Ceq\o\al(1,n)eq\f(M,N)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n－1)Ceq\o\al(2,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,N)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\s\up12(n－2)…eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(M,N)))eq\s\up12(n)X2服从二项分布，即X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(M,N))).(3)X3的分布列为X301…k…nPeq\f(Ceq\o\al(n,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(n,M),Ceq\o\al(n,N))X3服从超几何分布.例2为庆祝建军节的到来，某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为eq\f(2,3).A，B两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.(1)分别求A，B两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设A答对的题数为X，B答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.解(1)由题意，知A恰好答对2个问题的概率为P1＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，B恰好答对2个问题的概率为P2＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)＝eq\f(4,9).(2)X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(0,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2，D(X)＝(1－2)2×eq\f(1,5)＋(2－2)2×eq\f(3,5)＋(3－2)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).易知Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，所以E(Y)＝3×eq\f(2,3)＝2，D(Y)＝3×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).因为E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以A与B答题的平均水平相当，但A比B更稳定.所以选择学生A.训练某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.解(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,28),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(1,28),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,12),Ceq\o\al(2,40))＝eq\f(11,130)，∴X的分布列为X012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为eq\f(12,40)＝eq\f(3,10).从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10)))，P(Y＝k)＝Ceq\o\al(k,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,10)))eq\s\up12(2－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(k)，k＝0，1，2.所以P(Y＝0)＝Ceq\o\al(0,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(49,100)，P(Y＝1)＝Ceq\o\al(1,2)·eq\f(3,10)·eq\f(7,10)＝eq\f(21,50)，P(Y＝2)＝Ceq\o\al(2,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,100).∴Y的分布列为Y012Peq\f(49,100)eq\f(21,50)eq\f(9,100)【A级基础巩固】1.若随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则P(X＝3)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(40,243) C.eq\f(10,27) D.eq\f(3,5)答案B解析随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，则P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(40,243).2.(2024·湖州质检)设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，则P(X≤2a－b)＝()A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75答案A解析由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25，故由正态曲线的对称性可得P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25.3.(2024·长沙调研)已知随机变量X，Y分别满足X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，且E(X)＝E(Y)，若P(Y≥3)＝eq\f(1,2)，则p＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)答案C解析由Y～N(μ，σ2)和P(Y≥3)＝eq\f(1,2)得μ＝3，所以E(X)＝E(Y)＝3，又X～B(8，p)，所以E(X)＝8p＝3，所以p＝eq\f(3,8).4.(多选)(2024·张家口模拟)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则()A.X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3))) B.P(X＝2)＝eq\f(8,81)C.E(X)＝eq\f(8,3) D.D(X)＝eq\f(8,9)答案ACD解析从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X服从二项分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，故A正确；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27)，故B错误；因为X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，所以E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，故C正确；D(X)＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9)，故D正确.5.若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中不可以表示图中阴影部分面积的是()A.eq\f(1,2)－P(X≤0)B.eq\f(1,2)－P(X≥2)C.eq\f(1,2)P(X≤2)－eq\f(1,2)P(X≤0)D.eq\f(1,2)－P(1≤X≤2)答案D解析根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x＝1对称，所以题图中阴影部分的面积为eq\f(1,2)－P(X≤0)，A正确；根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，B正确；阴影部分的面积也可以表示为eq\f(P（X≤2）－P（X≤0）,2)，C正确；阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正确.6.(多选)(2024·成都段测)袋中有6个大小相同的黑球，编号分别为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号分别为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()A.取出的最大号码X服从超几何分布B.取出的黑球个数Y服从超几何分布C.取出2个白球的概率为eq\f(1,14)D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为eq\f(1,14)答案BD解析对于A，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故A错误；对于B，取出的黑球个数Y符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为eq\f(Ceq\o\al(4,6),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，故D正确.7.(多选)(2024·厦门模拟)李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36，骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则()A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车答案BCD解析对于A，由条件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)，根据正态曲线的对称性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A错误；对于B，P(X≤36)＝P(X≤30＋6)，P(Y≤36)＝P(Y≤34＋2)，所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正确；对于C，P(X≤34)>0.5＝P(Y≤34)，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正确；对于D，P(X≤40)<P(X<42)＝P(X<30＋12)，P(Y≤40)＝P(Y≤34＋6)，所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正确.8.小赵计划购买某种理财产品，设该产品每年的收益率为X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为________.答案eq\f(27,128)解析由题可知该产品每年为正收益的概率为eq\f(3,4)，则小赵购买该产品4年，恰好有2年是正收益的概率为Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(27,128).9.(2024·苏北四市调研)某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析，学生的平均成绩eq\o(x,\s\up6(－))＝80，方差s2＝25.学校要对成绩高于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)(其中μ近似为平均数eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似为方差s2)，则估计获表彰的学生人数为________.(四舍五入，保留整数)参考数据：随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.答案27解析由题意得μ＝80，σ＝5，μ＋2σ＝90，故P(X>90)＝P(X>μ＋2σ)≈eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×0.9545＝0.02275，所以1200×0.02275＝27.3≈27.10.一袋中有除颜色不同，其他都相同的2个白球，2个黄球，1个红球，从中任意取出3个球，有黄球的概率是________，若ξ表示取到黄球的个数，则E(ξ)＝________.答案eq\f(9,10)eq\f(6,5)解析从中任意取出3个球，样本点总数n＝Ceq\o\al(3,5)＝10，其中有黄球包含的样本点个数m＝Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＝9.所以有黄球的概率是P＝eq\f(m,n)＝eq\f(9,10).ξ表示取到黄球的个数，则ξ的所有可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(6,10)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(6,10)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5).11.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为eq\f(3,5)，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.解(1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(81,125).(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，故X的分布列为X0123Peq\f(1,30)eq\f(3,10)eq\f(1,2)eq\f(1,6)所以E(X)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(9,5).所以甲闯关成功的概率为eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，因为eq\f(81,125)<eq\f(2,3)，所以甲闯关成功的可能性更大.12.(2024·九江模拟)为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：时间t/min[0，12)[12，24)[24，36)[36，48)[48，60)[60，72]人数1038321073(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)以频率估计概率，若在该校学生中随机挑选3人，记这3人每日使用手机的时间在[48，72]的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X).解(1)由题意得，该校100名学生每日使用手机的时间的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝6×eq\f(10,100)＋18×eq\f(38,100)＋30×eq\f(32,100)＋42×eq\f(10,100)＋54×eq\f(7,100)＋66×eq\f(3,100)＝eq\f(2700,100)＝27(min).所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27min.(2)由题意知该校学生每日使用手机的时间在[48，72]内的概率估计为eq\f(10,100)＝eq\f(1,10)，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(3)＝eq\f(729,1000)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(243,1000)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))eq\s\up12(1)＝eq\f(27,1000)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,1000)，所以X的分布列为X0123Peq\f(729,1000)eq\f(243,1000)eq\f(27,1000)eq\f(1,1000)所以E(X)＝0×eq\f(729,1000)＋1×eq\f(243,1000)＋2×eq\f(27,1000)＋3×eq\f(1,1000)＝eq\f(3,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或E（X）＝3×\f(1,10)＝\f(3,10))).【B级能力提升】13.(多选)(2024·武汉调研)已知离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1.记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有()A.a＋b＝1B.当p＝eq\f(1,2)时，a＝bC.当0<p<eq\f(1,2)时，a随着n的增大而增大D.当eq\f(1,2)<p<1时，a随着n的增大而减小答案ABC解析对于A，由概率的基本性质可知a＋b＝1，故A正确；对于B，当p＝eq\f(1,2)时，离散型随机变量X服从二项分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，\f(1,2)))，则P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n