高等代数课件：相似矩阵

2相似矩阵的定义与性质第七节相似矩阵1问题的引出3方阵的特征值与特征向量4相似对角化5实对称矩阵的相似矩阵6零化多项式与最小多项式设

为数域F上线性空间V的一组基，为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为其中矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.

一、问题的引出定理:设线性空间V的线性变换T

在两组基(Ⅰ)(Ⅱ)下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵是P，则一、问题的引出1、定义定义例二、形似矩阵的定义与性质2、

性质证证二、形似矩阵的定义与性质证二、形似矩阵的定义与性质证二、形似矩阵的定义与性质1、概念定义：使非零向量x称为A的对应于的特征向量。对n

阶方阵A，若数则称为方阵A的特征值，注：1.A是方阵；2.特征向量x是非零列向量；3.方阵A的与对应的特征向量不唯一；4.一个特征向量只能属于一个特征值.三、方阵的特征值与特征向量例对角矩阵的特征值1、概念三、方阵的特征值与特征向量2、特征值，特征向量的求法三、方阵的特征值与特征向量n阶方阵A有n个特征值(计根的重数).求特征值、特征向量的步骤：命题1.计算A的特征多项式

;2.求特征方程的n个根

即为A的全部特征值;

3.对每个特征值,求齐次线性方程组

的非零解向量------基础解系，即为对应的特征向量。2、特征值，特征向量的求法三、方阵的特征值与特征向量也称为A的属于的特征子空间。

⑴A的特征多项式例1解⑵因此A的特征方程的三个根就是A的三个特征值⑶对每一个特征值求相应的特征向量.2、特征值，特征向量的求法三、方阵的特征值与特征向量三、方阵的特征值与特征向量注：在例1中，特征值的重数恰巧与对应的线性无关的特征向量的个数相等，一般情况下不一定。例2A的特征多项式解三、方阵的特征值与特征向量三、方阵的特征值与特征向量3、特征值与特征向量性质1）证明三、方阵的特征值与特征向量证毕定义推论证注3、特征值与特征向量性质三、方阵的特征值与特征向量4、矩阵多项式定义定理:三、方阵的特征值与特征向量证明证毕定理说明：三、方阵的特征值与特征向量4、矩阵多项式例3(2000.11)解-2,-1,714例4(1999.11)解1或2三、方阵的特征值与特征向量推论三、方阵的特征值与特征向量4、矩阵多项式5、特征向量的线性无关性定理证明三、方阵的特征值与特征向量证毕5、特征向量的线性无关性三、方阵的特征值与特征向量定理5、特征向量的线性无关性三、方阵的特征值与特征向量例5(2005数一；2005,5)

设和是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为x和y，则向量组x，A(x+y)线性无关的充要条件是练习（2005.5）设n阶方阵A的各行之和为5，则A的一个特征值是5、特征向量的线性无关性三、方阵的特征值与特征向量练习（2006数一到数四）设3

阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量是线性方程组Ax=0的两个解，求A的特征值和特征向量。5、特征向量的线性无关性三、方阵的特征值与特征向量1、相似对角化条件问题：方阵A与对角阵相似的条件？对角化条件：定义：n

阶方阵

A与对角阵相似

A

有

n个线性无关的特征向量.四、相似对角化证明1、相似对角化条件四、相似对角化证毕推论1

n阶方阵A的n个特征值互不相同

A与对角阵相似。说明⑵相似变换矩阵不唯一；四、相似对角化1、相似对角化条件推论2四、相似对角化1、相似对角化条件

注推论1和推论2是判断A是否可对角化的常用条件,推论1的条件是充分的，推论2的条件是充要的.四、相似对角化1、相似对角化条件例1下列矩阵哪些可对角化?若可,求相似变换矩阵.解四、相似对角化1、相似对角化条件A的三个特征值互不相同，故A可对角化.四、相似对角化1、相似对角化条件四、相似对角化1、相似对角化条件注意相似变换矩阵列向量的排列顺序和对角阵对角线元素排列顺序的对应关系.四、相似对角化1、相似对角化条件四、相似对角化1、相似对角化条件四、相似对角化1、相似对角化条件四、相似对角化1、相似对角化条件四、相似对角化1、相似对角化条件练习

(2004数一9分)四、相似对角化1、相似对角化条件推论3如果n阶方阵A可对角化，则rank(A)=A的非零特征值的个数。证明若A可以对角化，设与其相似的对角阵为即存在可逆矩阵P，使得。因此A与等价，则有r(A)=r().所以对角线上的非零元个数为r(A).又因为A与相似，所以A的特征值与的特征值相同，所以r(A)=A的非零特征值的个数。证毕四、相似对角化1、相似对角化条件把一个矩阵对角化,不仅可以使矩阵运算简化,而且在理论和应用上都有意义.主要有以下几种应用:1）

由特征值特征向量反求矩阵例2解四、相似对角化2、相似对角化的应用2）

求方阵的幂例3解四、相似对角化2、相似对角化的应用四、相似对角化2、相似对角化的应用3）

求行列式例4解方法一四、相似对角化2、相似对角化的应用方法二四、相似对角化2、相似对角化的应用说明：1.一般方阵常常不能对角化

2.对角化条件一般难于判断。本小节主要结论：实对称矩阵

(1)特征值必为实数

(2)必相似于对角矩阵

(3)且可正交相似于对角矩阵(相似变换可为正交变换)五、实对称矩阵的相似矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵1、问题的引出(1)对称变换定义则称为对称变换．设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足

（2)对称变换的基本性质n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是相互确定的。

1）

实对称矩阵可确定一个对称变换．

正交基．证：设为V的一组标准定义V的线性变换：则即为V的对称变换．五、实对称矩阵的相似矩阵1、问题的引出2）

对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．为V的一组标准正交基，证：设为n维欧氏空间V上的对称变换，为

在这组基下的矩阵，即或五、实对称矩阵的相似矩阵1、问题的引出于是五、实对称矩阵的相似矩阵1、问题的引出即所以A为对称矩阵．由是对称变换，有五、实对称矩阵的相似矩阵1、问题的引出2、实对称矩阵的特征值和特征向量定理：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量是实向量.五、实对称矩阵的相似矩阵分析证明2、实对称矩阵的特征值和特征向量五、实对称矩阵的相似矩阵证毕2、实对称矩阵的特征值和特征向量五、实对称矩阵的相似矩阵定理：证明证毕2、实对称矩阵的特征值和特征向量五、实对称矩阵的相似矩阵例1解2、实对称矩阵的特征值和特征向量五、实对称矩阵的相似矩阵2、实对称矩阵的特征值和特征向量五、实对称矩阵的相似矩阵2、实对称矩阵的特征值和特征向量五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵定理：证明对A的阶数用数学归纳法五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵证毕3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵推论证3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵n阶实对称阵A正交相似于对角阵的问题与求解步骤（1）求A的全部特征值(含重数)，即

步骤3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵例2解3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵练习

(2002数一8分)设A,B为同阶方阵，⑴如果A,B相似，试证A,B的特征多项式相等；⑵举一个2阶方阵的例子,说明(1)的逆命题不成立；⑶当AB均为实对称矩阵时,试证(1)的逆命题成立.3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵练习(2010年数一4分)设A为4阶实对称矩阵，且。若A的秩为3，则A相似于（）3、实对称矩阵正交相似于对角矩阵五、实对称矩阵的相似矩阵六、零化