大学物理：波动

波动部分主要阐述四个问题1.

波动的基本概念：在了解机械波的产生和传播的基础上重点理解波长、频率和波速；2.

波动的典型模型：平面简谐波的余弦表达式与波动方程。平面简谐波的能量。3.

波的传播的惠更斯原理：可以解释反射折射定律4.

波的叠加原理：用于干涉，驻波重点：波动的基本概念，平面简谐波，波的叠加原理波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.电磁振动在空间的传播.机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.具有一定的传播速度伴随着能量传播能产生反射、折射、衍射、干涉有相似的波函数两类波的不同之处两类波的共同特征一．机械波产生的条件

机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去,就形成机械波.

1.条件:波源(振源):作机械振动的物体,波的发源地；弹性介质:

承担传播振动的物质.(内部有弹性,会形变,恢复力与形变满足胡克定律)2.振动与机械波的区别和联系:

振动是形成波的原因；波是传递振动、振动能量的形式.有机械振动不一定有机械波；有机械波一定有机械振动.

§7-4机械波的产生和传播Y-杨氏弹性模量

-体密度固体的弹性形变2.剪切形变G-切变模量∵G<Y,固体中

ｕ横波<ｕ纵波F切

切变*震中l0l0+

l

FF线变1.线变1.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.特征：具有交替出现的密部和疏部.二、纵波与横波§7-4机械波的产生和传播2.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.

特征：具有交替出现的波峰和波谷.§7-4机械波的产生和传播水面波是横波与纵波的合成波动的实质:每个质点均在自己的平衡位置附近周期性的振动,并未随波的传播而传播(随波逐流).波动不是振动物质的传播.波是振动状态(振动相位)的传播,沿波的传播方向，各质点的相位依次落后.在波到达之处,媒质各点相继进行振动,具有动能和弹性势能,因此波亦是振动能量的传播过程.

§7-4机械波的产生和传播三、波长、波的周期和频率、波速

波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度。

周期：波传过一个波长的距离所需要的时间。

频率

：周期的倒数，即单位时间内波动所传过的完整波长的数目。反映波在空间的周期性等于质点振动周期。§7-4机械波的产生和传播

波速

：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（又称相速）.注意：周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！（线性波）波速与质点振动速度不可混淆！§7-4机械波的产生和传播例频率为3000Hz的声波，以1560m/s的传播速度沿一波线传播，经过波线上的A点后，再经13cm而传至B点。求(1)B点的振动比A点落后的时间。(2)波在A、B两点振动时的相位差是多少？(3)设波源作简谐振动，振幅为1mm，求振动速度的幅值，是否与波的传播速度相等？

波的周期（2）波长解：（1）B点比A点落后的时间为即

。(2)A、B

两点相差，B点比A点落后的相位差为(3)振幅

A=1mm，则振动速度的幅值为振动速度是交变的，其幅值为18.8m/s，远小于波速。1.波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。2.波面：在波动过程中，同一时刻波传播到的各点连成的面。3.波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。平面波：波面为平面球面波：波面为球面四.波面和波线

同一波面，各点振动状态（相位）相同，波面是同相面。§7-4机械波的产生和传播平面波球面波波线波面波面波线1.在各向同性介质中传播时，波线和波面垂直。注：2.在远离波源的球面波波面上的任何一个小部分，都可视为平面波。§7-4机械波的产生和传播各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置坐标简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.平面简谐波：波面为平面的简谐波.

介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即称为波动表式（也称波函数）.A-OyA●Px一.平面简谐波的波函数y§7-5平面简谐波的波函数

以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波.原点O的振动方程点

P

比点O落后的相位点P

振动方程1.相位落后法推导波动表式

轴负向

轴正向

波动表式A-OyA●Pxy

波动表式的其它形式角波数

质点的振动速度，加速度§7-5平面简谐波的波函数2.波动表式的物理意义当x

固定时，波动表式表示该点的简谐振动方程，并给出该点与原点O

振动的相位差.O振动质点的位移时间曲线§7-5平面简谐波的波函数

当一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形（“波的快照”）.O给定时刻质点位移与平衡位置关系yx§7-5平面简谐波的波函数OO若均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.时刻时刻相速度§7-5平面简谐波的波函数例已知P点的振动方程试写以O为原点的波函数解：选择P点为参考点，任选一点‘x’xL+-uxj+w=])(cos[tAy例若是左图情况，波函数如何？波由参考点传到x点,需时间：波函数为：uLx--例如图，求波函数例如图，求波函数波动方程

对

求x

、t的二阶偏导数,得到

任何物理量y

，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播。§7-6波的能量和强度一.波的能量当机械波在媒质中传播时,媒质中各质点均在其平衡位置附近振动,因而具有振动动能.同时,介质发生弹性形变,因而具有弹性势能.振动动能+形变势能=波的能量以弹性棒中传播的纵波为例：设波沿x方向传播，取线元§7-6波的能量和强度xOxx+ΔxSxx+Δxy(x)y(x+Δx)由图可知，线元Δx的线变为单位长度上的线变为由线变的胡克定律联想到以及因此，线元所具有的弹性势能为考虑到以及代入上式得再由1.机械能注意：动能、势能同相，任意时刻数值相同。总能量随时间作周期性变化，这是能量传播的表现。波动中的质元能量不守恒！不同于孤立的振动系统！§7-6波的能量和强度在波的传播过程中，媒质中任一质元的动能和势能是同步变化的，即Wk=Wp，与简谐弹簧振子的振动能量变化规律是不同的。xyOABu§7-6波的能量和强度质元机械能随时空周期性变化，表明质元在波传播过程中不断吸收和放出能量；因此，波动过程是能量的传播过程。2.波的能量密度

：介质中单位体积的波动能量。通常取能量密度在一个周期内的平均值平均能量密度二.波的强度1.能流：在介质中垂直于波速方向取一面积S

，在单位时间内通过S

的能量就是能流。平均能流：2.平均能流密度（波的强度）：通过与波传播方向垂直的单位面积的平均能流，用I来表示。su△t介质的特性阻抗I的单位：瓦特/米2(W.m-2)§7-6波的能量和强度平面波若，有

，平面波、球面波的振幅平面波在媒介不吸收时振幅不变

球面波球面波的振幅在媒质不吸收的情况下,随r增大而减小.§7-7波的传播和吸收*

波的吸收吸收媒质,实验表明O

为介质吸收系数，与介质的性质、温度、及波的频率有关。IIxI0I0O§7-7波的传播和吸收*

惠更斯原理1.介质中任一波面上的各点，都可看成是产生球面子波的波源；2.所有子波源各自向外发射球面子波；3.在其后的任一时刻，这些子波的包络面构成新的波面。§7-8惠更斯原理*ChristianHuygens

R1R2S1S2O反射定律：utut

反射与折射是波的特征，当波传播到两种介质的分界面时，波的一部分在界面返回，形成反射波，另一部分进入另一种介质形成折射波。ABA’B’§7-8惠更斯原理*in1n2CABDirr折射定律：§7-8惠更斯原理*只讨论波垂直于界面入射的情形(一)振幅关系1.波的表达式入射波透射波反射波ox媒质1媒质2界面入射波

1=A1cos(

t-k1x),(x

o)反射波

1

=A1

cos(

t+k1x),(x

0)透射波

2=A2cos(

t-k2x),(x

0)2.边界条件a.振动位移连续

[

1+

1

]x=0=[

2]x=0§7-9入射波、反射波、透射波的振幅关系和相位关系*b.应力连续3.振幅关系将各表达式代入上式,并用Y=

u2可得(Z1=

1u1,

Z2=

2u2)

透射系数讨论1.R+T=1(能量守恒)2.Z1、

Z2互换,R、T不变3.如Z1>>Z2,或Z2>>Z1则R

1,T

0

4.

如Z1

Z2,则R

0(无反射)T

1反射系数4.反射系数与透射系数入射波

1=A1cos(

t-k1x),(x

o)反射波

1

=A1

cos(

t+k1x),(x

0)透射波

2=A2cos(

t-k2x),(x

0)(二)相位关系两介质分界面处x=0，以上各波函数化为入射波

1=A1cost,

反射波

1

=A1

cos

t,透射波

2=A2cos

t,(2)若Z1<Z2则A1

和A1反号反射波在分界面处有相位突变（半波损失）2.透射波A2总与A1同号,无相位突变。反射波和入射波在分界面处同相(1)若Z1>Z2则A1

和A1同号1.反射波(二)相位关系一.波传播的独立性与叠加原理1.波传播的独立性2.叠加原理当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。

在波相遇区域内，任一质点的振动，为各波单独存在时所引起的振动的合振动。v1v2§7-10波的叠加原理二.波的干涉相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定

是两列（或多列）相干波叠加的结果，其合振幅A和合强度I将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始终加强，某些点上的振动始终减弱。1.波的干涉•§7-10波的叠加原理2.干涉规律根据叠加原理可知，P

点处振动方程为S1S2PP§7-10波的叠加原理波程相位差当干涉相长当干涉相消•空间点振动的情况分析§7-10波的叠加原理讨论干涉相长(1)若(2)若干涉相消干涉相长干涉相消波程差§7-10波的叠加原理干涉现象的强度分布

（3）从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。§7-10波的叠加原理三.驻波（standingwave）两列等振幅相干波相向传播叠加形成驻波§7-10波的叠加原理

即驻波是各质点振幅按余弦分布的特殊谐振动；(1)3.讨论2.驻波波函数§7-10波的叠加原理波节位置：相邻两波节距离波腹位置：相邻两波腹距离波节：波腹：波节位置：对于相邻两波节之间的质点相邻波节之间的任意质点的振动相位相同，波节两侧质点振动相位相反(2)

所有波节点将媒质划分为长的许多段，每段中各质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质点的振动相位相反;即驻波中不存在相位的传播。势能动能势能(3)

没有能量的定向传播。能量只是在波节附近和波腹附近，进行动能和势能的转化。弦线上的驻波实验驻波条件：(a)(b)(c)AAABBBC1C2C3C1C2D1D4D2D3D1D2D3驻波共振对密度一定、张力一定的弦，若音叉的频率一定，则只有若干特定长度的弦才能形成驻波。若弦的长度一定，则只有当音叉频率为若干特定值时，才会在弦上激发出驻波，称为驻波共振。由上述驻波条件可推出引起驻波共振的简正模式为鼓面驻波共振的几种简正模式例已知波源在x=0与x=9m处的两相干波振幅相等，，，左波源初相超前，相向传播,求两波源之间因干涉而静止点的位置

不妨设左、右波源的初相分别为则左、右两波源在x处产生的振动相位分别为解：波长相位差要求x处的质点静止，即此处合振幅为零，所以k只能取0,-1,-2，因此为波节点

例距某反射壁L=5

处有一波源发出频率为

振幅为

A

的平面余弦波.波速为u，若选波源处为坐标原点，初位相为零，求：

（1）此平面波的表达式

以点为参考点，波由

需时：(2）反射波的表达式（假定无半波损失）解法一：解法二：解法三：（3）距o为

/4

处P点的振幅按频率范围划分：次声波f<20Hz

可闻声波20<f<20000Hz超声波f>20000Hz犀牛通过超声波交流蝙蝠利用超声波定位与觅食胎儿的B超图像§7-11声波为声压振幅。

介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之差称为声压。设介质中没有声波时的压强为p0，有声波时各处的实际压强为p

。

p=p

-p0是声压,一、声压§7-11声波二、声强声强级

声强是声波的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的平均声能量。单位：W/m2.例用聚焦超声波的办法，可以在液体中产生强度达120kW∙cm2的大振幅超声波。设此简谐波频率为500kHz，液体的密度为1g∙cm-3，声速为1500m∙s-1，求这时液体质点声振动的位移振幅、速度振幅和加速度振幅。质点的振动速度，加速度为分析：解：

在1000Hz时，正常人听觉的最高声强为1W/m2,最低声强为10-12W/m2。

将I

0=

10-12W/m2作为测定声强的标准。声强级

单位为贝尔（bel）。若采用分贝（1B＝10dB），声强级公式为几种典型声音的声强级：聚焦超声波的声强级—210dB炮声的声强级—110dB细语—10dB§7-11声波

对于每个可闻频率，声强有上下两个限值。痛觉阈：恰好能引起痛觉的最低声强。听觉阈：恰好能引起听觉的最低声强。等响线一.振荡电路二.电磁振荡方程

周期频率圆频率§7-12电磁振荡和电磁波（了解）电流§7-12电磁振荡和电磁波总能量：守恒！（理想情况）磁场能：电场能：§7-12电磁振荡和电磁波三.电磁波的产生与传播

1.波源要求：①电荷加速运动：LC振荡电路②开放:能向外辐射能量③频率高。辐射功率：开放式振荡电路─天线：振荡电偶极子§7-12电磁振荡和电磁波2．传播：变化的电场激发磁场；变化的磁场激发电场设电磁波源为交变的电流或电场，则：

交变的电场激发交变的磁场

交变的磁场又激发交变的电场……§7-12电磁振荡和电磁波式中，为电磁波速

四、平面简谐电磁波的波函数

五、平面电磁波的性质xyzEHHEEHu（1）电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向，三者相互垂直，满足右手螺旋法则，所以电磁波是横波