无穷级数总结

无穷级数总结概念与性质定义：对数列，称为无穷级数，称为一般项；若部分和数列有极限，即，称级数收敛，否则称为发散.性质①设常数，则与有相同的敛散性；②设有两个级数与，若，，则；若收敛，发散，则发散；若，均发散，则敛散性不确定；③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；④设级数收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．⑤级数收敛的必要条件：；注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；②若，则未必收敛；③若发散，则未必成立．常数项级数审敛法正项级数及其审敛法定义：若，则称为正项级数.审敛法：充要条件：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界.比较审敛法：设①与②都是正项级数，且，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散.若②收敛，且存在自然数，使得当时有成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数，使得当时有成立，则①发散；设为正项级数，若有使得，则收敛；若，则发散.极限形式：设①与②都是正项级数，若，则与有相同的敛散性.注：常用的比较级数：①几何级数：；②级数：；调和级数：发散．（iii）比值判别法（达郎贝尔判别法）设是正项级数，若①，则收敛；②，则发散．注：若，或，推不出级数的敛散.例与，虽然，，但发散，而收敛.（iv）根值判别法（柯西判别法）设是正项级数，，若，变．5.函数展开成幂级数①若在含有点的某个区间内有任意阶导数，在点的阶泰勒公式为，记，介于之间，则在内能展开成为泰勒级数的充要条件为.②初等函数的泰勒级数（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；.6.级数求和①幂级数求和函数解题程序（i）求出给定级数的收敛域；（ii）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数与其导数的关系），从而得到新级数的和函数；注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数．②数项级数求和（i）利用级数和的定义求和，即，则，其中．根据的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法．A.直接法：适用于为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．（ii）阿贝尔法（构造幂级数法），其中幂级数，可通过逐项微分或积分求得和函数．因此．傅里叶级数定义①定义1：设是以为周期的函数，且在或上可积，则，，称为函数的傅立叶系数．②定义2：以的傅立叶系数为系数的三角级数．称为函数的傅立叶级数，表示为．③定义3：设是以为周期的函数，且在上可积，则以，为系数的三角级数称为的傅立叶级数，表示为．2.收敛定理（狄里赫莱的充分条件）设函数在区间上满足条件①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，则的傅立叶级数在上收敛，且有.3.函数展开成傅氏级数①周期函数（i）以为周期的函数：，；注：①若为奇函数，则(正弦级数)，；②若为偶函数，则(余弦级数)，，.（ii）以为周期的函数：+，；注：①若为奇函数，则(正弦级数)，；②若为偶函数，则，(余弦级数)，.②非周期函数（i）奇延拓：A.为上的非周期函数，令，则除外在上为奇函数，(正弦级数)，；B.为上的非周期函数，则令，则除外在上为奇函数，(正弦级数)，.（ii）偶延拓：A.为上的非周期函数，令，则除外在上为偶函数，(余弦级数)，.B.为上的非周期