2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）含答案

/2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）1．综合与探究：如图，二次函数与轴交于和点，与轴交于点，顶点为D，连接，，与抛物线的对称轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求的面积；(3)若点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点P的坐标．2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的抛物线与轴的另一交点为．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是该抛物线上的动点，过点作轴于点，交于点，设点的横坐标为．①求面积S与的函数表达式，并求S的最大值；②当为等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值．3．如图，已知二次函数过点，．(1)求此二次函数的解析式；(2)将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标；(3)点C，D为（2）中平移后抛物线与x轴的交点，在这条抛物线上是否存在点P，使的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．4．综合与探究如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．(1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标；(2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标．(3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C为线段OA上的一个动点，过点C作x轴的垂线，交直线于点D，交该抛物线于点E．(1)求直线的表达式；(2)若的面积取得最大值，求出这个最大值；(3)当以B，E，D为顶点的三角形与相似时，求点C的坐标．

6．如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A在点B的左侧，点C的纵坐标为3，且．(1)求b和c的值．(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使最小，请求出点P的坐标．(3)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E．①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积；②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点．(1)求该二次函数的解析式．(2)若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值．(3)若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．10．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A．(1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标；(3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点．交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点．连接，．求面积最大值及此时点的坐标；(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点．点为平移后的新抛物线上一动点，当．请直接写出所有符合条件的点的坐标．12．如图，抛物线与轴交于点A，B（在的左侧），与轴交于点C．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)如图1，点在第一象限的抛物线上，点关于直线的对称点落在轴上，求点的坐标；(3)如图2，点是第一象限的拋物线上一动点，当的面积最大时．①求点的坐标．②点在轴正半轴上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若线段刚好经过点，直接写出点的坐标．13．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接，点在抛物线上运动，作点关于轴的对称点，连接，，，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点，不重合），记的面积为，记的面积为，求的最大值及点的坐标；(3)如图2，若，连接，求证：平分．14．如图，设抛物线与直线交于点和点．(1)求和的值；(2)求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；(3)点是抛物线上的一个动点，当的面积为10时，求点的坐标．15．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上．(1)求已知抛物线的解析式；(2)如图1，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标；(3)如图2，过点作直线与抛物线还交于另一点，直线，分别交轴于点，，设点在轴的左侧．证明：点为线段的中点．16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过坐标原点和点A，顶点为点M．(1)求抛物线的函数关系式及点M的坐标；(2)如图2，点E是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求E点的坐标；(3)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，请探究与之间存在怎样的数量关系？17．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在轴负半轴且，连接，点是轴上的一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点在线段上运动时，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；(3)点在线段上运动时，是否存在点，使得四点围成的四边形面积最大？若存在，求出点的坐标，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线经过，两点．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)当时，求自变量的取值范围；(3)为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．19．已知二次函数的图象与轴的交于，两点，与轴交于点．(1)求，两点坐标；(2)点在第三象限内的抛物线上，过点作轴垂线交于点，求的最大值；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使以，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值；(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线的方向平移，当抛物线经过点C时停止平移，平移后的抛物线为，点H是抛物线对称轴上一点，当，直接写出所有满足条件的点H的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标；(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．(1)求该抛物线的解析式；(2)是直线上方抛物线上一点，过作直线，交抛物线于点，连接交于点，求面积的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，平移后的抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴于点，将向下平移3个单位得到点，将绕点旋转得到，射线与射线分别与平移后的抛物线的对称轴交于点与点，点关于射线的对称点为，连接，若，请直接写出点的坐标．23．如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积．(3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴相交于点．

(1)求该二次函数的解析式；(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点．①连接，，当四边形的面积最大时，求此时点的坐标和四边形面积的最大值；②探究是否存在点使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（面积问题）》参考答案1．(1)(2)40(3)，【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形面积公式．（1）直接将和点代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标，即可得、的长，再根据即可得出答案；（3）先由（2）得出三角形的面积，再求出直线的解析式，过点P作轴，交x轴于点G，交于点F，设，根据三角形的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，∴，解得，∴抛物线解析式为：；（2）解：令，则，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，即的面积为40；（3）解：由（2）得，∴，设直线的解析式为，∵直线过，，∴，解得，∴直线的解析式为，过点P作轴，交x轴于点G，交于点F，设，∴，∴，∴，即，∴，，当时，，当时，，∴，；2．(1)；(2)①，S的最大值6；②满足条件的t的值为或或．【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．（1）设，将点代入即可求解；（2）①由，则，求出，再由即可求解；②分三种情况讨论：当时，；当时，过点C作交于M，则M为的中点；当时，过点P作交于N，则N是的中点；分别求出t的值即可．【详解】（1）解：直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，∵抛物线与x轴的另一交点为，设所求抛物线的函数表达式为，把点代入，得，解得，∴所求抛物线的函数表达式为，即；（2）解：①，则，∴，∵，，∴，∵，∴当时，S有最大值6；②过点C作交于M，则，，∴分三种情况讨论：当时，，解得或（舍）；当时，则M为的中点，如图1，∴，解得或（舍）；当时，过点P作交于N，则N是的中点，如图2，∴，∴，解得或（舍去）；综上所述：满足条件的t的值为或或．3．(1)平移后的解析式为，(2)平移后的解析式为，顶点为；(3)存在，或【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，正确求出函数解析式是解题的关键：（1）将点，代入，求解即可得出答案；（2）先将解析式变形为，再根据二次函数的平移即可得出答案；（3）当时，，求出，，根据，得出，再得出，求解即可得出答案．【详解】（1）将点，代入得，，解得，，∴二次函数的解析式为；（2），由平移规律得平移后的解析式为，∴顶点为；（3）当时，，解得：，，∴，，∴．∵，∴，∵顶点为，∴点P在x轴的上方，纵坐标为4，∴，解得，或，∴或．4．(1)二次函数的表达式为，点的坐标为(2)，点的坐标为或或或(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（）利用待定系数法可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的表达式可求出点的坐标；（）利用点坐标可求出的面积，设点的纵坐标为，进而根据两个三角形面积相等列出方程求出的值，再代入二次函数表达式求出点的横坐标即可求解；（）求出二次函数的对称轴为直线，设，分点为等腰的顶点和点为等腰的顶点两种情况，根据等腰三角形的性质、两点间距离公式列出方程解答即可求解．【详解】（1）解：把代入得，，解得，∴二次函数的表达式为，∵当时，，∴点的坐标为；（2）解：∵，，，∴，，∴，设点的纵坐标为，∵与的面积相等，∴，∴，∴，当时，由，解得，，∴或；当时，由，解得，，∴或；综上，点的坐标为或或或；（3）解：存在．∵，∴抛物线的对称轴为直线，设，当点为等腰的顶点时，，则，解得，∴或；当点为等腰的顶点时，，则，解得或，∴或；综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．5．(1)(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）先求出点和点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）设点，，表示出的长，然后利用得到解析式，配方得到最大值即可；（3）分为和两种情况，利用对应边成比例解题即可．【详解】（1）解：令，则，或，，令，则，，设直线的解析式为，，解得：，，（2）解：由（1）可得的解析式为，轴设，，的面积为，，，的面积最大值为；（3）解：，，是直角三角形，设，①如图1，当时，，，，（舍去）或，；②如图2，当时，过点作轴，垂足为点，，，，，，，，，（舍去）或，；综上所述：点的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．6．(1)(2)(3)存在，满足条件的点Q的坐标为或【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、利用轴对称求最短距离、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运算，利用数形结合思想是解答的关键．（1）先求得，再利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；（2）先根据二次函数的性质得到对称轴为直线．，．如图，连接，交直线于点P，连接．利用对称性得到此时最小，最小值为的长．求出直线的函数解析式为，进而求解即可；（3）先求得，设点，利用坐标与图形，结合面积共线得到，然后解方程求得t值即可求解．【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点C，点C的纵坐标为3，点．，点．将点，代入解析式，得，解得；（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，对称轴为直线．令，则，解得，．，．如图，连接，交直线于点P，连接．点A关于直线的对称点是点B，．C，B，P三点共线，故此时最小，最小值为的长．设直线的函数解析式为．将点，代入，得，解得直线的函数解析式为．令，得，点；（3）解：存在点Q，使得．点，，．设点，，，，即．当时，解得或，点或；当时，方程无实数根．综上所述，满足条件的点Q的坐标为或．7．(1)(2)①3；②见解析【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．（1）由待定系数法即可求解；（2）①先求出点，再求出点和点，用待定系数法求出直线的解析式为：，过E作轴交BC于点F，则点，则，最后由求解即可；②设点，，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，求出，．设直线：，联立直线PE与抛物线的解析式．则，是方程：的两根，则①，设直线：，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，②，再求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点，且抛物线的对称轴为直线．∴解得：．∴抛物线的解析式为：．（2）①当时，联立直线与抛物线的解析式得：∴整理得：∴，∴点，∵抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，令，得，解得，，令，得，点和点，设直线的解析式为：（，且k，b为常数）则有：，解得：．∴直线的解析式为：，过E作轴交BC于点F，则点，，∴，，；②设点，，如图，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，∴，．设直线：；联立直线与抛物线的解析式．则，是方程：的两根，∴①，同理：设直线：；联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，∴②①+②得：∴∵，，，∴．8．(1)(2)当时，有面积最大值，此时点M的坐标为．(3)存在，点M的坐标为或或【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，再求得直线得解析式为，设，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答；（3）由题意可得：，设，然后分、、为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可．【详解】（1）解：将点A，B，C代入二次函数解析式，可得，解得，∴二次函数表达式为；（2）如图，过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，设直线得解析式为，将B，C坐标代入，可得，解得，所以直线得解析式为，设，则，∵，∵，∴当时，有面积最大值，此时点M的坐标为；（3）解：存在，由题意可得：，设以对角线分类，当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，由中点坐标公式可得：，即，解得：（舍弃）或，所以点M的坐标为；当为对角线时，同理可得：，即，解得：（舍弃）或，所以点M的坐标为；当为对角线时，同理可得：，即，解得：或，所以点M的坐标为或．综上，点M的坐标为或或．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的综合、二次函数的性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．9．(1)(2)(3)，四边形面积的最大值为【分析】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键．（1）根据待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案；（3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标．【详解】（1）解：将两点坐标代入，得，解得，；（2）解：设，将，代入，，解得故，，对称轴，设点，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，此时点，（3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，，由（2）得，则点的坐标为，，，当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为，四边形的面积最大为．10．(1)，，，(2)，(3)或【分析】（1）利用直线与坐标轴的交点解法，待定系数法依次解答即可；(2)过点P作轴交直线于点D，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，计算，利用二次函数的最值解答即可．(3)当点P、M重合时，则，确定，①当点M在点P的下方时和②当点M在点P的上方时，两种情况解答即可．【详解】（1）解：当时，，当时，，∴，，∵B、C在上，∴，解得，∴，当时，解得，，∴．（2）解：过点P作轴交直线于点D，设点，则，则，∴，∵，∴开口向下，函数有最大值，且当时，有最大值为，∴．（3）解：当点P、M重合时，则，∴，①当点M在点P的下方时，即，由题意得：，当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象，当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即．②当点M在点P的上方时，即或，当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大，当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小，即，综上，或．【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的增减性，最值，矩形的性质，求不等式的解集，熟练掌握矩形的性质，抛物线的性质计算是解题的关键．11．(1)(2)，(3)或【分析】（1）将点的坐标和代入解析式，即可求解；（2）过点作轴，交轴于，交于，待定系数法求得直线的解析式为，设，，，则有，由及二次函数的性质即可求解；（3）由二次函数图象平移得，①当时，由平行线的判定方法得，由待定系数法得直线的解析式为，联立二者解析式，即可求解；②当时，直线与直线关于轴对称，直线经过关于轴对称点，同理可求．【详解】（1）解：由题意得，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：如图，过点作轴，交轴于，交于，当时，，，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为，，，设，，，，，点是直线上方抛物线上一动点，，，当时，，，，故面积最大值为，此时点的坐标为；（3）解：由题意得，，，①当时，如图，，设直线的解析式为，则有，解得：，直线的解析式为，联立，解得：，，；②当时，如图，直线与直线关于轴对称，直线经过关于轴对称点，同理可求直线的解析式为，联立，解得：，，；综上所述：的坐标为或．【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数与三角形面积最值综合问题，二次函数与角度综合问题，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及分类讨论思想解题问题是解题的关键．12．(1)(2)(3)①；②【分析】（1）分别令，解方程即可求出抛物线与坐标轴的交点坐标；（2）由题意得，设，则，可求，记与的交点为，由折叠的性质得为中点，则，可求直线表达式为：，联立直线和抛物线的表达式即可求点的坐标；（3）①过点作轴交于点，同理可求直线表达式为：，设，则，那么，由，得到面积关于的二次函数关系式，再根据二次函数求最值，即可求出点的坐标；②设，过点作轴于点，由旋转得，，可证明，则表示出，，可求直线表达式为：，代入即可求解点坐标．【详解】（1）解：令，，解得：，∴，令，∴；（2）解：如图：由（1）得由题意得，设，∴，解得：（舍负），∴，记与的交点为，由折叠的性质得为中点，则，设直线表达式为：，∴，解得：，∴直线表达式为：，联立直线和抛物线的表达式得，，解得：或（舍），∴；（3）解：①过点作轴交于点，∵，∴同理可求直线表达式为：，设，则，∴，∵，∴∵，∴当时，面积有最大值且为4，∴；②设，过点作轴于点，则，由旋转得，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，而，∴，设直线表达式为：，∴，解得，，∴直线表达式为：，代入得，解得，∴．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，折叠与旋转的性质，涉及待定系数法求一次函数解析式等知识点，综合性强，难度较大．13．(1)(2)最大值为12，(3)见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）连接，则轴，设，则，利用坐标与图形得到，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）先判断出点P、C关于对称轴对称，则，，然后求出直线的函数表达式为，进而求得，可判断垂直平分，利用线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一可得结论．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：如图1，连接，则轴，设，则，∴，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为12，此时；（3）证明：由得抛物线的对称轴为直线，当时，，则，∵，∴点P、C关于对称轴对称，∴，则，设直线交x轴于点H，其函数表达式为，将代入，得，解得，∴直线的函数表达式为，当时，由得，∴，又，轴，∴垂直平分，∴，∴，即平分．【点睛】本题是二次函数与几何图形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、轴对称性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，解答的关键是利用数形结合思想把代数与几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，进而得到线段之间的关系．14．(1)，(2)或(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先联立抛物线解析式和一次函数解析式求出点B的坐标，再根据图象法找到抛物线图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可；（3）根据三角形面积公式求出点P的纵坐标，再把点P纵坐标代入抛物线解析式中求解即可．【详解】（1）解：把代入中得，解得；把代入中得，解得；（2）解：由(1)得，，∴抛物线为，直线为联立，解得或，∴，∵由函数图象可知，当抛物线的函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，∴不等式的解集为或；（3）解：∵，∴，∵的面积为10，∴，∴，∴，当时，解得或；当时，此时方程无解，∴点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次函数与二次函数的交点坐标，图象法解不等式，二次函数综合等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式，进而利用数形结合的思想求解是解题的关键．15．(1)(2)(3)见解析【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先求得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式为，过点P作y轴的平行线交于H，设点P的坐标为，则，，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式得到，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）分别求得直线、的函数表达式，进而求得点D、E的坐标，利用中点坐标公式可得结论．【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点，，解得，抛物线的解析式；（2）解：令，则，，设直线的函数表达式为，将、代入，得，解得，∴直线的函数表达式为，过点P作y轴的平行线交于H，设点P的坐标为，则，，∴，∴，∵，，∴当时，有最大值，最大值为，此时，∴面积的最大时，点坐标为；（3）证明：由题意，设点P的坐标为，，设直线的函数表达式为，则，解得，∴直线的函数表达式为，∴；联立，得，解得，∴，,∴，则，∴，设直线的函数表达式为，则，解得，∴直线的函数表达式为，∴，∴点D、E的中点坐标为，即，又，∴点为线段的中点．【点睛】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、坐标与图形、方程思想等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．16．(1)抛物线的表达式为，点M的坐标为(2)点E的坐标为或(3)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由的面积，即可求解；（3）由直线的表达式知，，则，则，由点D、M的坐标得的长，即可求解．【详解】（1）解：对于，令，解得，令，则，故点A、B的坐标分别为、，∵抛物线经过坐标原点，故，∴将点A的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为；则抛物线的对称轴为，当时，，则点M的坐标为；（2）解：如图1，过点E作轴交于点H，∴由（1）可知：，设点E的坐标为，则点，则的面积，解得，故点E的坐标为或；（3）解：∵直线向下平移后过点，∴设直线的表达式为，∴，解得：，故直线的表达式为，令，解得，故点；过点D作于点H，∵，即点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为3，∴，则，∵，∴，由点D、M的坐标得，，则，故，∴．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、解直角三角形、面积的计算等，熟练掌握二次函数的图象与性质及三角函数是本题解题的关键．17．(1)(2)(3)存在，，．【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．（1）将代入解析式求得a、b即可解答；（2）先求得、，再求得直线的解析式，设，则，，其中，可得，再根据列方程求解即可解答；（3）如图：分别连接BN，根据可得，由（1）（2）易知，，然后根据二次函数的性质求得的最大值，进而求得的最大值即可解答．【详解】（1）解：∵将两点在抛物线的解析式上，∴解得，抛物线的解析式为．（2）解：∵，∴，即，∵，点D在y轴负半轴，∴，即；设直线的表达式为，则，解得，直线的关系表达式为，设，则，，其中，∴，∵，∴当时，四边形为平行四边形，∴，解得：，(舍去)，故当四边形是平行四边形时，．（3）解：如图：分别连接，∵，由（1）（2）易知，，∴当最大时，最大，即，∵点E在线段上运动，∴，∴当时，最大面积．即，最大面积为．18．(1)，顶点坐标为(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）把、分别代入中，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线的顶点坐标；（2）结合图象、两点的坐标即可得出答案；（3）设，则，计算出的值，再代入抛物线解析式即可得出点的坐标．【详解】（1）解：将和分别代入，得解得抛物线的解析式为．，顶点坐标为．（2）解：由图象可知，当时，．（3），，．设，则，，．当时，，解得，，此时点的坐标为或；当时，，方程无解．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，把二次函数化为顶点式，二次函数的图象与性质，二次函数综合—面积问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．19．(1)；(2)的最大值为(3)存在，点的横坐标为，或【分析】此题考查了二次函数面积问题、二次函数与特殊四边形问题、二次函数与坐标轴的交点问题等知识，数形结合和分类讨论是关键．（1）解方程得到，，即可得到答案；（2）求出直线的表达式为，设，则，求出，，则当时，的最大值为；（3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况进行解答即可．【详解】（1）解：令，代入得：，解得，，∴；（2）设直线的表达式为，把、代入得：，解得，∴直线的表达式为，设，则，∵点位于第三象限，∴，，∴当时，的最大值为．（3）①当为平行四边形的边时，．∴，关于直线对称∵点的横坐标为或．②当为平行四边形的对角线时，设点，则点，∵点在抛物线上∴解得，∵点在第三象限∴点在第一象限∴点的横坐标为综上所述：点的横坐标为，或．20．(1)(2)(3)，【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合应用．（1）把，代入计算即可；（2）作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，先求出直线解析式为，再设，则，求出，再根据求出面积最大值，得到，再由对称可得，当在线段上时，最小，求出最小值的长即可；（3）先求出平移后解析式为，对称轴为直线，当在直线上方时，由可得，求出直线解析式为，与的交点即为；当在直线下方时，如图，由，可得，根据距离公式求出，再求出直线解析式为，与的交点即为．【详解】（1）解：把，代入得，解得，∴该抛物线的解析式为；（2）解：作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，

令，则，∴，设直线解析式为，代入，得，解得，∴直线解析式为，∵点P在直线上方的抛物线，轴，∴设，则，∴，∴，∴当时，最大，此时，∵关于轴的对称点，∴，，∴，∴当在线段上时，最小，最小值；（3）解：∵直线解析式为，∴将抛物线沿着射线的方向平移，可设抛物线向左移动个单位，再向上移动个单位，∴平移后解析式为，∵当抛物线经过点C时停止平移，∴把代入得，解得，（舍去），∴平移后解析式为，∴对称轴为直线，当在直线上方时，如图点即为，

∵，∴，∴设直线解析式为，代入得，，解得，∴直线解析式为，当时，，∴；当在直线下方时，如图点即为，此时交于，

∵，即，∴，设，∴，解得，∴，∴设直线解析式为，代入，得，，解得，∴直线解析式为，当时，，∴，综上所述，当时，所有满足条件的点H的坐标为或．21．(1)(2)，(3)，【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、一次函数和二次函数的图象交点等知识．（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）过点P作轴交于点E，求出直线的解析式为，得到，，则，当时，取得最大值，得到取得最大值，此时，即可得到答案；（3）求出，再求出点的坐标为，当时，，进一步求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，则点的坐标是，当时，，则直线经过点的关于轴对称点，求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，即可得到点的坐标是．【详解】（1）解：∵抛物线过点，交轴于点，∴，解得，∴抛物线的解析式为；（2）如图，过点P作轴交于点E，

当时，，∴，设直线的解析式为，则，解得，∴直线的解析式为，，，则，∵，且，当时，取得最大值，取得最大值，此时，此时；（3）∵，∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则：，当时，，解得或，∴点的坐标为，如图，当时，，

∵直线的解析式为，∴可设直线的解析式为，把点代入得到，，解得，∴直线的解析式为，联立得到，解得或，∴点的坐标是，当时，，∴直线与直线关于轴对称，∴直线经过点的关于轴对称点，设直线的解析式为，把点的坐标为，点代入，得解得，∴直线的解析式为，联立得到，解得，或，∴点的坐标是，综上可知，点的坐标为或．22．(1)(2)最大值为12，点坐标(3)或或或【分析】（1），代入得，，再计算即可．（2）作直线，且和抛物线相切于点．连．由得，，先求得直线解析式为，直线解析式为，联立得．故面积面积面积，由，得面