2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的性质练习含答案

/2025年九年级数学中考三轮冲刺练习二次函数的性质练习一、选择题1．已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．2 B．1 C．1或﹣2 D．−2或2．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（）x…﹣4﹣20246y…﹣1192125219A．当x＜0时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上 C．图象只经过第一，二，三象限 D．图象的对称轴为x＝﹣23．无论k为何实数，直线y＝2kx+1和抛物线y＝x2+x+k（）A．有一个公共点 B．有两个公共点 C．没有公共点 D．公共点的个数不能确定4．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．12或4 B．−12或4 C．−5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx经过等腰直角△OAB的三个顶点，点A在x轴上，点B是抛物线的顶点，∠OBA＝90°，则b＝（）A．2 B．2 C．﹣2 D．−二、填空题6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…345678…y…﹣3114415041m…则表格中m的值是．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝2，且经过点（﹣1，y1）、（4，y2），试比较大小：y1y2．（填“＞”“＜”或“＝”）8．已知抛物线y＝mx2﹣mx﹣4x+4，回答下列问题：（1）无论m取何值，抛物线恒过定点和；（2）当m＜0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点（2，y1），（n，y2），满足y1＜y2，则n的取值范围是．9．抛物线y＝x2+bx+c的顶点为B，点A（x1，y1），点C（x2，y2）为抛物线上的点．若△ABC是底角为30°的等腰三角形，且x1+x2＝﹣b，则△ABC的面积为．10．已知函数y＝x2﹣6x+3，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，则k＝．三、解答题11．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．（1）若函数图象过点（1，0），求a的值；（2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝12，求a的值．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线x＝t．（1）当t＝2时，①直接写出b与a满足的等量关系；②若y1＝y2，则x1+x2＝．（2）已知x1＝t﹣3，x2＝t+1，点C（x3，y3）在抛物线上．当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．14．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标的2倍．（1）求b的值；（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．①求t（请用含m，x1的代数式表示）；②若x1＝m+1且﹣1≤x1≤2，求t的最大值．15．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．（1）求b的值；（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．参考答案一、选择题题号12345答案BABBC二、填空题6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…345678…y…﹣3114415041m…则表格中m的值是14．【解答】解：当x＝5时，y＝41，当x＝7时，y＝41，∴对称轴为：直线x=5+7∴（4，14）和（8，m）关于直线x＝6对称，∴m＝14，故答案为：14．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）图象的对称轴为直线x＝2，且经过点（﹣1，y1）、（4，y2），试比较大小：y1＞y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【解答】解：由题意，∵抛物线对称轴是直线x＝2，a＞0，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又∵|﹣1﹣2|＝3＞|4﹣2|＝2，∴y1＞y2．故答案为：＞．8．已知抛物线y＝mx2﹣mx﹣4x+4，回答下列问题：（1）无论m取何值，抛物线恒过定点（0，4）和（1，0）；（2）当m＜0且抛物线的顶点位置最高时，抛物线经过两点（2，y1），（n，y2），满足y1＜y2，则n的取值范围是﹣1＜n＜2．【解答】解：（1）由题意，∵y＝mx2﹣mx﹣4x+4＝m（x2﹣x）﹣4x+4，∴令x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1．∴当x＝0时，y＝4；当x＝1时，y＝0．∴无论m取何值，抛物线恒过定（0，4），（1，0）．故答案为：（0，4），（1，0）．（2）由题意，对称轴是直线x=−−m∵m＜0，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．又∵y1＜y2，∴|2−12|＞|n∴﹣1＜n＜2．故答案为：﹣1＜n＜2．9．抛物线y＝x2+bx+c的顶点为B，点A（x1，y1），点C（x2，y2）为抛物线上的点．若△ABC是底角为30°的等腰三角形，且x1+x2＝﹣b，则△ABC的面积为39【解答】解：由题意可知抛物线的对称轴为y轴，则b＝0，∴y＝x2+c，∴B（0，c），设C（m，n），则A（﹣m，n），如图，∵△ABC是底角为30°的等腰三角形，∴BD=33∴OD=33m+c，即n=33把C的坐标代入y＝x2+c得，33m+c＝m2+c解得m=33，∴AC=233，∴△ABC的面积为：12故答案为：3910．已知函数y＝x2﹣6x+3，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，则k＝7−22或3+22【解答】解：当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，分情况讨论如下：①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3，x＝k时，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；x＝k﹣4时，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，∵k＜3，∴k＝4不符合题意；②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6，当x＝k﹣4取得最大值时，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k=7±22∵3≤k≤7，7+22∴k=7+22∴k=7−22当x＝k取得最大值时，y＝k2﹣6k+3，k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k=3±22由条件可知：k=3+22符合题意，k=3−2∴k=3+22③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7，x＝k﹣4时，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；x＝k时，y取得最大值，此时y＝k2﹣6k+3；k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，∵k≥7，∴k＝6不符合题意；综上所述，当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为7−22或3+2故答案为：7−22或3+2三、解答题11．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a为常数，且a≠0）．（1）若函数图象过点（1，0），求a的值；（2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝12，求a的值．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象过点（1，0），∴a﹣4a+2＝0，∴a=2（2）∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴抛物线的顶点为（2，2﹣4a），∴x＝2时，y＝2﹣4a，当x＝5时，y＝25a﹣20a+2＝5a+2，当a＞0时，当2≤x≤5时，M＝5a+2，N＝2﹣4a，∵M﹣N＝12，∴5a+2﹣（2﹣4a）＝12，∴a=4当a＜0时，当2≤x≤5时，N＝5a+2，M＝2﹣4a，∵M﹣N＝12，∴2﹣4a﹣（5a+2）＝12，∴a=−4∴a的值为43或−12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线x＝t．（1）当t＝2时，①直接写出b与a满足的等量关系；②若y1＝y2，则x1+x2＝4．（2）已知x1＝t﹣3，x2＝t+1，点C（x3，y3）在抛物线上．当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，求t的取值范围．【解答】解：（1）①∵t=−b∴b＝﹣4a；②∵M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，∴M（x1，y1），N（x2，y2）关于对称轴对称，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴x1∴x1+x2＝4．故答案为：4；（2）由题意可知，M（x1，y1）在对称轴的左侧，N（x2，y2）在对称轴的右侧，∵点C（x3，y3）在抛物线上，3＜x3＜4，∴点C（x3，y3）关于对称轴的对称点为（2t﹣x3，y3），∴2t﹣4＜2t﹣x3＜2t﹣3，当点C（x3，y3）在对称轴的左侧时，∵当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，∴t−3≤32t−4≥t+1，解得5≤t当点C（x3，y3）在对称轴的右侧时，∵当3＜x3＜4时，总有y1＞y3＞y2，∴t+1≤3t−3≤2t−4，解得1≤t∴t的取值范围是1≤t≤2或5≤t≤6．13．在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x=−−2a∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，∴2m+12∵y1＜y2，a＞0，∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，∴2m+1解得：m≥114．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标是抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标的2倍．（1）求b的值；（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．①求t（请用含m，x1的代数式表示）；②若x1＝m+1且﹣1≤x1≤2，求t的最大值．【解答】（1）解：∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+c+4，∴抛物线y＝﹣x2+4x+c顶点横坐标为2，∵y＝﹣x2+bx+c的顶点横坐标为x=b2，且为抛物线y＝﹣x2+4x+∴b2解得b＝8；（2）①∵点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+c上，点B（x1+m，y1+t）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．b＝8，∴y1=−x12+4x1+c，y1+t＝﹣（x1+m）2+8（x1+∴t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣y1，即t＝﹣（x1+m）2+8（x1+m）+c﹣（−x12+4x∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m，②∵x1＝m+1，∴t＝﹣m2+4x1﹣2mx1+8m＝﹣m2+4（m+1）﹣2m（m+1）+8m＝﹣3m2+10m+4∵﹣1≤x1≤2，∴﹣1≤m+1≤2，解得﹣2≤m≤1，∵当m≤53时，t随着∴当m＝1时，t有最大值，最大值为﹣3+10+4＝11．15．已知抛物线y＝﹣x2+bx（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x的顶点横坐标大1．（1）求b的值；（2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+2x上，点B（x1+t，y1+h）在抛物线y＝﹣x2+bx上．（ⅰ）若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值；（ⅱ）若x1＝t﹣1，求h的最大值．【解