二次函数专项训练-2025年中考数学一轮复习含答案

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）二次函数专项训练-2025年中考数学一轮复习一．选择题（共6小题）1．（2024•吉林一模）某数学兴趣小组借助数学软件探究函数y＝ax2（x﹣b）的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（）A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞02．（2024•中山市校级三模）把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x+1）2+3 C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2+43．（2024•西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y34．（2024•西湖区一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，则二次函数y＝ax2+bx+1的图象可能是（）A． B． C． D．5．（2024•吉安一模）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（）A．3 B．6 C．8 D．96．（2024•金沙县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共8小题）7．（2024•南岗区校级二模）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是．8．（2024•柳州一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围内是．9．（2024•凉州区一模）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝．10．（2024•南通一模）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行秒才能停下来．11．（2024•化德县校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是．12．（2024•淮北三模）抛物线y＝ax2﹣4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为（2，﹣4）．（1）a的值为；（2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作PQ⊥x轴，且点Q位于一次函数y＝x﹣4的图象上．当t＜4时，PQ的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是．13．（2024•历下区校级模拟）如图，抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为．14．（2024•瓦房店市模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，则点M的坐标是．三．解答题（共6小题）15．（2024•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点．（1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标；（2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围．16．（2024•武威一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．（1）求此抛物线的表达式；（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．17．（2024•荆州二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．18．（2024•息烽县一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点P处出手，篮球的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式．（1）求c的值；（2）求篮球在运动过程中离地面的最大高度；（3）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为BC＝2.8m，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．19．（2024•怀远县一模）如图1，已知直线y＝﹣x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是（﹣1，0），抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示．①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2024•巴东县模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（2，0），B（﹣2，0）两点，与y轴相交于点C，M为第四象限的抛物线上一动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）连接BC，CM和AM，当四边形ABCM的面积为9时，求点M的坐标；（3）请完成以下探究．【动手操作】作直线OM，交抛物线于另一点N，过点C作y轴的垂线，分别交直线AM，直线BN于点D，E．【猜想证明】随着点M的运动，线段DE的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．

二次函数专项训练-2025年中考数学一轮复习参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2024•吉林一模）某数学兴趣小组借助数学软件探究函数y＝ax2（x﹣b）的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（）A．a＜0，b＜0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＞0，b＞0【解答】解：令y＝ax2（x﹣b）＝0，解得，x＝0或x＝b，由图象可知，x＝b＞0，当x＜0时，x﹣b＜0，y＝ax2（x﹣b）＜0，∴a＞0，故选：D．2．（2024•中山市校级三模）把抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x+3）2+1 B．y＝﹣（x+1）2+3 C．y＝﹣（x﹣1）2+4 D．y＝﹣（x+1）2+4【解答】解：抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1；然后向上平移3个单位，得：y＝﹣（x+1）2+1+3．即y＝﹣（x+1）2+4，故选：D．3．（2024•西安校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b，（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（1，y3），若x1＜1＜x2，x1+x2＜2，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+b的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵a＜0，∴开口向下，∴x＝1时有最大值y3，∵x1＜1＜x2，x1+x2＜2，∴A、B在x＝1的两侧，且A离着对称轴较远，∴y2＞y1，∴y3＞y2＞y1．故选：D．4．（2024•西湖区一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，则二次函数y＝ax2+bx+1的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，∴a＞0，﹣2a+b＝0，∴﹣＝﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，故选：A．5．（2024•吉安一模）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（）A．3 B．6 C．8 D．9【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y轴通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A、B两点，OA和OB可求出为AB的一半为2米，抛物线的顶点C坐标为（0，2），，设顶点式为y＝ax2+2，代入点A的坐标（﹣2，0），得出4a+2＝0，解得：a＝﹣0.5，∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米时，即当y＝﹣2.5时，﹣0.5x2+2＝﹣2.5，解得：x＝±3，∴水面的宽度为3﹣（﹣3）＝6（米），故选：B．6．（2024•金沙县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若m≠1，则m（am+b）﹣a＜b．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，①正确，符合题意．∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵b＝﹣2a，∴b＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，②正确，符合题意．由图象可得x＝﹣1时，y＜0，根据抛物线对称性可得x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，③错误，不符合题意．∵x＝﹣1，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＜0，④正确，符合题意．∵x＝1时，y取最大值，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴m（am+b）﹣a＜b（m≠1），⑤正确，符合题意．故选：D．二．填空题（共8小题）7．（2024•南岗区校级二模）抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0）．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2，∴抛物线顶点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．8．（2024•柳州一模）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，当﹣1≤x≤3时，y的取值范围内是﹣2≤y≤7．【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+2化为顶点式为y＝（x﹣2）2﹣2，∵a＝1＞0，∴二次函数有最小值为y最小值＝﹣2，此时x＝2，当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣2）2﹣2＝7，当x＝3时，y＝（3﹣2）2﹣2＝﹣1，∴该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，y的取值范围内是﹣2≤y≤7，故答案为：﹣2≤y≤7．9．（2024•凉州区一模）已知P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝3．【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）两点都在抛物线y＝x2﹣3x+1上，∴P、Q关于对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，∴x1+x2＝3，故答案为：3．10．（2024•南通一模）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行20秒才能停下来．【解答】解：由题意得，S＝﹣0.25t2+10t＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）＝﹣0.25（t﹣20）2+100，∵﹣0.25＜0，∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，即当t＝20秒时，飞机才能停下来．故答案为：20．11．（2024•化德县校级模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是﹣4≤x≤0．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，∴图象过点（﹣4，5），∵图象开口向下，∴当y≥5时，x的取值范围是﹣4≤x≤0．故答案为：﹣4≤x≤0．12．（2024•淮北三模）抛物线y＝ax2﹣4ax经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为（2，﹣4）．（1）a的值为1；（2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作PQ⊥x轴，且点Q位于一次函数y＝x﹣4的图象上．当t＜4时，PQ的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是．【解答】解：（1）由题意，将（2，﹣4）代入y＝ax2﹣4ax中，得4a﹣8a＝﹣4，解得a＝1，故答案为：1；（2）由（1）得抛物线的表达式为y＝x2﹣4x，联立方程组，解得或，∴抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x﹣4的交点坐标为（1，﹣3），（4，0），设P（t，t2﹣4t），Q（t，t﹣4），当t≤1时，PQ＝t2﹣4t﹣（t﹣4）＝t2﹣5t+4＝，∵1＞0，∴当t≤1时，PQ的长度随t的增大而减小，不符合题意；当1＜t＜4时，PQ＝t﹣4﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+5t﹣4＝，∵﹣1＜0，∴当时，PQ的长度随t的增大而增大，当时，PQ的长度随t的增大而减小，故答案为：．13．（2024•历下区校级模拟）如图，抛物线C1的解析式为y＝﹣x2+4，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G，图形G分别与y轴、x轴正半轴交于点A、B，连接AB，则△OAB的面积为．【解答】解：由题意可知，将抛物线绕点O顺时针旋转45°得到图形G的对称轴为直线y＝x，设直线y＝x与抛物线y＝﹣x2+4在第一象限的交点为M，∴把OM绕点O顺时针旋转45°得到OB，如图所示：联立方程组得：，解得或，∴点M坐标为（，），∴OM＝×＝，即OB＝，∵对称性，∴OA＝OB，∴△OAB的面积为OB2＝×（）2＝．故答案为：．14．（2024•瓦房店市模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，则点M的坐标是．【解答】解：如图，过点N作NE⊥CA的延长线于点E，过点N作NF⊥CM于点F，∴∠CEN＝∠NFC＝90°，∠CEN+∠NFC＝180°，∴∠ENF+∠ACM＝180°．∵∠ANM+∠ACM＝180°，∴∠ANM＝∠ENF，∴∠ANE＝∠MNF．∵∠AEN＝∠MFN＝90°，AN＝MN，∴△AEN≌△MFN，∴NE＝NF，∴∠ACO＝∠MCO．设CM与x轴交于点D．∵∠AOC＝∠DOC，CO＝CO，∴△ACO≌△DCO，∴AO＝DO．∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，4），∴AO＝DO＝3．∴点D的坐标为（3，0），∴直线CM的解析式为．联立解得（舍去）或，∴点M的坐标为．故答案为：．三．解答题（共6小题）15．（2024•房山区一模）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2上任意两点．（1）当a＝1时，求抛物线与y轴的交点坐标及顶点坐标；（2）若对于，，都有y1＞y2，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；（2）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∴A（x1，y1），B（x2，y2）离抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2的对称轴距离较大，函数值越大．∴当a≥＝时，点A离对称轴远，都有y1＞y2．∴a的取值范围为a．16．（2024•武威一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，5OA＝OB＝OC．（1）求此抛物线的表达式；（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ABM的周长最小，请求出点M的坐标；（3）连接BC，点P是线段BC上一点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求当四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，c＝﹣5＝yB，则OB＝5＝OA＝OC，则点A、C、B的坐标分别为：（1，0）、（﹣5，0）、（0，﹣5），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+5）＝a（x2+4x﹣5）＝ax2+bx﹣5，则a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣5；（2）点A关于抛物线对称轴得对称点为点C，则BC交抛物线的对称轴于点M，此时△ABM的周长最小，理由：△ABM的周长＝AB+AM+BM＝AB+CM+BM＝AB+BC为最小，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣5，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝﹣x﹣5＝﹣3，则点M（﹣2，﹣3）；（3）设点P（x，﹣x﹣5），则点Q（x，x2+4x﹣5），则PQ＝（﹣x﹣5）﹣（x2+4x﹣5）＝﹣x2﹣5x，∵PQ∥OB，故当PQ＝OB时，满足题设条件，即PQ＝﹣x2﹣5x＝OB＝5，解得：x＝，则点P的坐标为：（，）或（，）．17．（2024•荆州二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【解答】解：（1）依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点，∴点M（16，0），顶点P（8，8），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx．把点M（16，0），点P（8，8）代入得：，解得，∴抛物线的解析式为，∵OM＝16，M（16，0），∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；（2）当时，，∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．（3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝16﹣2x，设l＝AB+AD+DC，则，∴，∵，∴当时，l有最大值为．答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米．18．（2024•息烽县一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点P处出手，篮球的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式．（1）求c的值；（2）求篮球在运动过程中离地面的最大高度；（3）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为BC＝2.8m，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．【解答】解：（1）由题意得点P的坐标为（0，1.8），将P（0，1.8）代入得：c＝1.8，∴c＝1.8；（2）由（1）知c＝1.8，∴，∵﹣＜0，∴当x＝4时，y有最大值，最大值为3.8，∴篮球在运动过程中离地面的最大高度为3.8m；（3）由，令y＝2.8，则﹣x2+x+1.8＝2.8，解得，，∵且在下落过程中接球，∴，所以在球下落过程中小亮离小明的距离至少米才能顺利接住球．19．（2024•怀远县一模）如图1，已知直线y＝﹣x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是（﹣1，0），抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示．①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝5，∴B（5，0），当y＝0时，x＝5，∴A（0，5），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）（x+1），将点A（0，5）代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x