2025年中考数学一轮复习学案：4.6 特殊的平行四边形 （学生版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第四章三角形及四边形

4.6特殊的平行四边形

考点分布考查频率命题趋势

数学中考中，有关特殊的平行四边形的部分，

考点1矩形的判定及性质☆☆☆

每年考查2~3道题,分值为6~12分，通常以

☆☆

考点2菱形的判定及性质选择题、填空题、解答题的形式考查。属于中

考必考内容，涉及知识综合性强，在解答题里

考点3正方形的判定及性质☆☆

出现，一般考查证明和计算。特别是压轴试题

渗透本专题知识。需要在系统掌握基础知识前

考点4几何中的分割与拼接问题☆☆☆

提下，加强训练，熟能生巧。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。

夯实基础

考点1矩形的判定及性质

1．矩形的定义：有一个角是直角的_______叫做矩形。

2．矩形的性质

（1）矩形的四个角都是______；

（2）矩形的______平分且相等。

3．矩形判定定理

（1）有一个角是_____的平行四边形是矩形；

（2）对角线_____的平行四边形是矩形；

（3）有______角是直角的四边形是矩形。

4．矩形的面积：S=ab（a、b分别表示矩形的长、宽）

考点2菱形的判定及性质

1.菱形的定义：有一组_____相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质

（1）菱形的四条边都______；

（2）菱形的两条对角线互相_____，并且每一条对角线____一组对角。

3.菱形的判定定理

（1）一组邻边_____的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相_____的平行四边形是菱形；

（3）四条边____的四边形是菱形。

4．菱形的面积：S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）

考点3正方形的判定及性质

1．正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：

（1）具有______、______、______的一切性质；

（2）正方形的四个角都是_____，四条边都_____；

（3）正方形的两条对角线____，并且互相________，每一条对角线____一组对角；

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴；

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的_____直角三角形，两条对角线把正方形分成四个

全等的小等腰直角三角形；

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离____。

3．正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

一是先证它是_____，再证有一组_____相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形。

二是先证它是_____，再证有一个角是____。即有一个角是直角的菱形是正方形。

b2

4．正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S=a2

2

考点4几何中的分割与拼接问题

1.用下面的实例来说明分割与拼接

一个直角三角形可以分割成一个正方形和两对全等的直角三角形。把完全相同的这个直角三角形通过

拼接可以得到一个矩形。利用这一思想方法可以建立恒等式，来证明勾股定律，可以求解矩形面积等。

2.割补求图形阴影部分面积：直接求面积较复杂或无法计算时，可通过旋转、平移、割补等方法，

对图形进行转化，为利用公式法或和差法创造条件，从而求解．

①全等法（体现拼接思想）

图形公式

S阴影=S△AOB

S阴影=S扇形BOC

S阴影=S矩形ACDF

S阴影=S正方形PCQE

②等面积法（体现拼接思想）

图形公式

S阴影=S扇形COD

③平移法（体现拼接思想）

图形公式

S阴影=S正方形BCFE

S阴影=S矩形ABHG

④旋转法（体现拼接思想）

图形公式

S阴影=S扇形AOE

S阴影=S扇形BOD

S阴影=S扇形ABE-S扇形MBN

⑤对称法（体现拼接思想）

图形公式

S阴影=S△ACD

S阴影=S扇形CDE

S阴影=S△OBC=S正方形ABCD

1

4

S阴影=S扇形ACB-S△ACD

【易错点提示】分割与拼接思想方法是中考试卷里靓丽风景线，求解不规则图形阴影部分面积问题常

常用到分割与拼接。需要作答时认真观察图形特点，把不规则图形面积的求法转化为规则图形面积的

求法。

考点1矩形的判定及性质

【例题1】（2024甘肃威武）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ABD60，

AB2，则AC的长为（）

A.6B.5C.4D.3

【变式练1】（2024四川南充一模）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，

BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为．

．【变式练2】（2024四川自贡一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求

证：DE＝BF．

考点2菱形的判定及性质

【例题2】（2024贵州省）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，

4

AF．若sinEAF，AE5，则AB的长为______．

5

【变式练1】（2024河南一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则

菱形ABCD的周长为（）

A．20B．30C．40D．50

变式练2】（2024重庆一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，

C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保

留）

π

考点3正方形的判定及性质

【例题3】（2024福建省）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，

CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为______．

【变式练1】（2024深圳一模）下列命题是假命题的是（）

A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．B．对角线互相垂直的矩形是正方形．

C．对角线相等的菱形是正方形．D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形．

【变式练2】（2024天津一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE

＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（）

A．B．C．﹣1D．

考点4几何中的分割与拼接问题

【例题4】（2024河北省）情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形

后得到的．

该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．

（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）

操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．

如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根

据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：

（1）直接写出线段EF的长；

（2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长．

探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．

请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），

画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长．

【变式练1】（2024湖北一模）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角

形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大正方形2a+3，中间2阴a影部分是一个小正方形．

ABCD

(1)用关于的代数式表示图2中阴影小正方形的边长；

(2)当a时，该阴影小正方形的面积是多少？

【变式a练=22】（2024广西一模）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)

分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证

明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为()

A.20B.24C. 99/4D. 53/2

考点1.矩形的判定及性质

1.（2024四川成都市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正

确的是（）

A.ABADB.ACBDC.ACBDD.

ACBACD

2.（2024黑龙江齐齐哈尔）已知矩形纸片ABCD，AB5，BC4，点P在边BC上，连接AP，

将ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B，把纸片展平，连接BB，CB，当VBCB为

直角三角形时，线段CP的长为______．

3.（2024黑龙江绥化）在矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，点E在直线AD上，且DE2cm，

则点E到矩形对角线所在直线的距离是______cm．

4.（2024江苏连云港）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕

EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC

最靠近点B的一个五等分点，AB4，则BC的长为__________．

5.（2024贵州省）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，ABC90，

有下列条件：

①AB∥CD，②ADBC．

（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；

（2）在（1）的条件下，若AB3，AC5，求四边形ABCD的面积．

6.（2024上海市）如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AEBD．

（1）求证：AD2DEDC；

1

（2）F为线段AE延长线上一点，且满足EFCFBD，求证：CEAD．

2

7.（2024广东）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能

源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是

其中一个停车位．经测量，ABQ60，AB5.4m，CE1.6m，GHCD，GH是另一个

车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据31.73）

（1）求PQ的长；

（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．

8.（2024湖北省）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，

使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．

（1）求证：△EDP∽△PCH．

（2）若P为CD中点，且AB2,BC3，求GH长．

（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．

考点2.菱形的判定及性质

1.（2024黑龙江绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD5，BD8，AEBC于点E，则AE

的长是（）

2448

A.B.6C.D.12

55

2.（2024甘肃临夏）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标

为3,4，则顶点A的坐标为（）

A.4,2B.3,4C.2,4D.4,3

3.（2024福建省）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，AEBAFD，求

证：BEDF．

4.（2024广东）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF

的面积为4，则图中阴影部分的面积为______．

5.（2024云南省）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，

AD∥BC，四边形EFGH是矩形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．

考点3.正方形的判定及性质

1.（2024山东烟台）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连

接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若AGF，则FAG用含α的代数式表示为（）

459045

A.B.C.D.

2222

2.（2024广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，

CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（）

A.1B.2C.5D.10

3.（2024武汉市）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由

四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形

ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2．若

S1

BEkAE(k1)，则用含k的式子表示的值是___________．

S2

4.（2024甘肃临夏）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对

角线BD上一点，连接BE，AF交于点O，且ABEDAF．

【模型建立】

（1）求证：AF⊥BE；

【模型应用】

1

（2）若AB2，AD3，DFBF，求DE的长；

2

【模型迁移】

1AF

（3）如图2，若矩形ABCD是正方形，DFBF，求的值．

2AD

5.（2024江苏扬州）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB2，

分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，PMN90，直角边MP恒

过点C，直角边MN恒过点H．

（1）如图1，若BE10，EF12，求点M与点B之间的距离；

（2）如图1，若BE10，当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；

（3）如图2，若BF22，当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH，点O是CH

的中点，连接HB、MO，则2OMHB的最小值为_______．

考点4.几何中的分割与拼接问题

1.（2024四川眉山）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦

图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将

这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）

A.24B.36C.40D.44

2.（2024江西省）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD，连接AC，则

tanCAB______．

3.（2024四川资阳）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD2．以点A为圆心，AD长为半径

作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，则图中阴影部分的面积为________．

考点1.矩形的判定及性质

1．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）

A．4B．6C．8D．10

2．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个

条件，使四边形DBCE是矩形．

3.如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．

（1）求证：△ABN≌△MAD；

（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．

4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，

延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．

（1）求证：△AMB≌△CND；

（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．

考点2.菱形的判定及性质

1．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△

ADF的是（）

A．BE＝DFB．∠BAE＝∠DAFC．AE＝ADD．∠AEB＝∠AFD

2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的

度数为度．

3.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求

菱形ABCD两对边的距离h.

4.如图，在菱形ABCD中