2025年新高考数学专项复习讲义：直线与圆锥曲线的位置关系（八大题型）原卷版

第08讲直线与圆锥曲线的位置关系

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线与圆锥曲线的位置判断..............................................4

知识点2：弦长公式..............................................................4

知识点3：点差法................................................................5

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系...............................................6

题型二：求中点弦所在直线方程问题...............................................7

题型三：求弦中点的轨迹方程问题.................................................7

题型四：利用点差法解决对称问题.................................................8

题型五：利用点差法解决斜率之积问题............................................10

题型六：弦长问题..............................................................11

题型七：三角形面积问题........................................................13

题型八：四边形面积问题........................................................16

04真题练习•命题洞见............................................................18

05课本典例高考素材............................................................19

06易错分析•答题模板............................................................21

答题模板：求直线与圆锥曲线相交的弦长..........................................21

考点要求考题统计考情分析

从近五年的全国卷的考查情况来看，本

2024年北京卷第13题，5分

节是高考的热点，特别是解答题中，更是经

2024年甲卷（理）第20题，12分

（1）直线与圆锥曲线的常出现.直线与圆锥曲线综合问题是高考的

2023年I卷第22题，12分

位置关系热点，涉及直线与圆锥曲线关系中的求弦

2023年II卷第21题，12分

（2）弦长问题长、面积及弦中点、定点、定值、参数取值

2023年甲卷（理）第20题，12分

（3）中点弦问题范围和最值等问题.多属于解答中的综合问

2022年I卷第21题，12分

题.近两年难度上有上升的趋势，但更趋于

2022年II卷第21题，12分

灵活.

复习目标：

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义'标准方程及简单几何性质.

（3）了解抛物线与双曲线的定义'几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.

（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.

㈤2

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直线与圆锥曲线

老占空砒・廉刑摩需

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知识JJ

知识点1:直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去M或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，则

(1)直线与圆锥曲线相交qA>0；

(2)直线与圆锥曲线相切QA=O；

(3)直线与圆锥曲线相离oA<0.

【诊断自测】3.已知椭圆C：土+上=1,直线/：(，〃+2)x-(〃z+4)y+2-7"=0Q〃eR),则直线/与椭圆

259

C的位置关系为()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

知识点2：弦长公式

设，乂)，N(x2,%)根据两点距离公式IMN|=+(%-％)2•

⑴若M、N在直线y=fcc+加上，代入化简，得|脑7|="/归—司.

(2)若V、N所在直线方程为x=(y+加，代入化简，得|肱引=庐$|乂-为]

(3)构造直角三角形求解弦长，|肱V|A2fI=1%-乂1.其中k为直线MN斜率，a为直线倾斜

|cosa||sin11

角.

【诊断自测】已知椭圆C:£+[=l(a>b>0)的离心率为e,且过点(Le)和(坐，除.

abI22,

(1)求椭圆C的方程；

(2)若椭圆C上有两个不同点A,2关于直线y=x+g对称，求|AB|.

知识点3：点差法

（1）AB是椭圆^+%二可心^。）的一条弦，中点加（%0，、0），则的斜率为--广■，

运用点差法求的斜率；设A（X[,y），夕（工2,'2）（玉W%2），4，B都在椭圆上,

〃2〃22222

所以22，两式相减得江/=0

%"2-4〃

U2护

所以(占+1)(%-马)+(%+%)(%-%)=0

a2b1

庐(石+(

点,故3-b'o

/(%+%)

22

（2）运用类似的方法可以推出；若AB是双曲线1r-方=l（a>6.0）的弦，中点、（2°）,则

2

bx

%AB=W”；若曲线是抛物线V=2px（2>0），贝！J左Ab=3.

a%、0

【诊断自测】以两条坐标轴为对称轴的椭圆C过点尸（0,1）和。（0,-0）,直线/与椭圆C相交于A8两点,

M为线段杷的中点.

（1）求椭圆C的方程；

⑵若点M的坐标为[-jj,求直线/的方程;

「题型巡

题型一：直线与圆锥曲线的位置关系

【典例1-11直线3x-2y+6=0与曲线上一组=1的公共点的个数是（）.

94

A.1B.2C.3D.4

【典例1.21直线67+1=0（左eR）与椭圆片+汇=1恒有公共点，则实数根的取值范围（）

4m

A.（L4]B.[1,4）C.[1,4）=（4,y）D.（4,-w）

【方法技巧】

（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元

后得到一元二次方程，其中A〉。；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通

过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.

（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴

平行，或直线与圆锥曲线相切.

【变式1-1】已知抛物线方程V=4x,过点尸（0,2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有

（）条

A.0B.1C.2D.3

【变式1-2】若直线/：》=履+2与曲线C：x2-V=6（无＞0）交于不同的两点，则上的取值范围是（）

【变式1-3】已知直线与曲线C:y=：正可恰有三个不同交点，则实数，”的取值范围

是（）

A.（-72,0）U（0,V2）B.口询C.（0,V2）D.

【变式14]（2024•广东肇庆•模拟预测）已知双曲线石：!-1=1,则过点（2,逐）与£有且只有一个

公共点的直线共有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

题型二：求中点弦所在直线方程问题

22

【典例2-1］若椭圆匕+土=1的弦AB恰好被点'(Li)平分，则细的直线方程为

43

22

【典例2-2】已知尸(2,1)为椭圆上+匕=1内一点，经过?作一条弦，使此弦被尸点平分，则此弦所在

1612

的直线方程为.

【方法技巧】

点差法

【变式2-1】已知双曲线方程是彳2_亡=1,过定点p(2,l)作直线交双曲线于6出两点，并使P为

2

的中点，则此直线方程是.

【变式2-2】过点尸(2,2)作抛物线尸=4x的弦A3,恰好被尸平分，则弦AB所在的直线方程是

【变式2-3】抛物线疗=2工的一条弦被A(4,2)平分，那么这条弦所在的直线方程是.

题型三：求弦中点的轨迹方程问题

【典例3-1】已知椭圆/+4/=16内有一点弦尸。过点A,则弦尸。中点M的轨迹方程是.

【典例3-2】斜率为2的平行直线截双曲线--丁=1所得弦的中点的轨迹方程是

【方法技巧】

点差法

【变式3-1】直线-7一(“+5)=。(。是参数)与抛物线/:y=(x+l)2的相交弦是孙则弦AB的

中点轨迹方程是

【变式3-2］已知椭圆与+V=l.

(1)求过点尸且被P点平分的弦所在直线的方程；

(2)过点“(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.

【变式3-3］已知椭圆］+V=1.

(1)过椭圆的左焦点F引椭圆的割线，求截得的弦的中点户的轨迹方程;

(2)求斜率为2的平行弦的中点。的轨迹方程；

(3)求过点加且被M平分的弦所在直线的方程.

【变式34】已知尸为抛物线V=x的焦点，点A8在该抛物线上且位于，轴的两侧，OAOB=2(其

中0为坐标原点).直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程.

题型四：利用点差法解决对称问题

【典例4-1］已知“uR,在抛物线V=4x上存在两个不同的点关于直线＞=%+加对称，则，〃的取值

范围是.

22

【典例3已知双曲线C

(I)若直线y="与双曲线c有公共点，求实数上的取值范围;

(2)若直线/与双曲线C交于A,B两点，且A,B关于点Q(Y，1)对称，求直线/的方程.

【方法技巧】

点差法

【变式4-1］(2024•江西南昌•模拟预测)已知点7(2,-2)在抛物线C：产=2加上，也在斜率为1的直

线/上.

(1)求抛物线C和直线/的方程；

(2)若点”,N在抛物线C上，且关于直线/对称，求直线的方程.

22

【变式4-2］已知椭圆E:=+与=l(a>10)的焦距为2c,左右焦点分别为名、F2,圆

ab

石：(x+c)2+V=l与圆B：(x-c)2+y2=9相交，且交点在椭圆E上，直线/：V=X+机与椭圆E交于A、B

两点，且线段AB的中点为M,直线的斜率为-L

4

(1)求椭圆E的方程；

(2)若加=1,试问E上是否存在P、。两点关于/对称，若存在，求出直线P。的方程，若不存在，请说明

理由.

【变式4-3】已知。为坐标原点，点，半］在椭圆C：1+《=1(°>6>0)上，直线/：y=x+机与C

交于A,B两点，且线段AB的中点为直线OM的斜率为二.

2

⑴求C的方程；

(2)若加=1,试问C上是否存在P,。两点关于/对称，若存在，求出P,。的坐标，若不存在，请说明理

由.

【变式44】双曲线C的离心率为更，且与椭圆《+片=1有公共焦点.

294

(1)求双曲线C的方程.

(2)双曲线C上是否存在两点A,B关于点(4,1)对称？若存在，求出直线的方程；若不存在，说

明理由.

题型五：利用点差法解决斜率之积问题

22

【典例5-1】（2024•陕西安康•模拟预测）已知椭圆C:=+==l（a>b>0）,过点加（%,%）作倾斜角为

ab

:的直线与C交于A,8两点，当M为线段和的中点时，直线。M（0为坐标原点）的斜率为二，则C的离

43

心率为（）

A.正B.-C.好D.正

3333

7r2

【典例5-21（2024.甘肃张掖.模拟预测）已知倾斜角为：的直线/与椭圆C:二+y2=i交于A,8两点，

44'

户为AB中点，0为坐标原点，则直线0P的斜率为（）

,111

A.-1B.—C.—D.—

234

【方法技巧】

点差法

【变式5-1】椭圆如2+犯2=1与直线y=l-x交于N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的

斜率为更，则。的值是（）

2n

A6口2有「9&n2石

A.--15.------\-）.-----

23227

22

【变式5-2】已知点AB,C是离心率为2的双曲线「\-今=1（稣0,6>0）上的三点，直线

cib

A3,AC,3C的斜率分别是点分别是线段ABAC,3c的中点，0为坐标原点，直线

111=

尸的斜率分别是勺&，/，若77+77+77=5,则匕+&+&=.

勺k2K3-----

【变式5-3】抛物线黄=2〃乂(。＞0)的焦点为尸，过尸的直线与该抛物线交于不同的两点M、N,

若|代困=3〃，则线段的中点与原点连线的斜率为_.

22

【变式54］已知椭圆C:二+与=l(a＞6＞0),O为坐标原点，直线/交椭圆于A,8两点，M为AB

ab

的中点.若直线/与OM的斜率之积为则C的离心率为()

D.&

3

题型六：弦长问题

22

【典例6-1】(2024.海南.模拟预测)已知双曲线C：与-3=1(。＞0,~＞。)的实轴长为2后，点

ab

?(2,6)在双曲线C上.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点尸且斜率为2碗的直线与双曲线C的另一个交点为Q,求I尸

【典例6-2】(云南省2024届高三9月名校联考数学卷)动圆M经过原点，且与直线％=-2相切，记

圆心M的轨迹为C,直线y=3x与C交于A3两点，则|"|=.

【方法技巧】

在弦长有关的问题中，一般有三类问题:

(1)弦长公式：|A8|=J1+a,=Jl+F-pr

(2)与焦点相关的弦长计算，利用定义;

(3)涉及到面积的计算问题.

【变式6-1］已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在无轴上，其中左焦点为尸卜6,0),长轴长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/：y=xT与椭圆C交于不同两点P、Q,求弦长|尸Q|.

【变式6-2］在平面直角坐标系尤0y中，已知点川-石,0),乙(6,0)』加胤-眼矶=4,动点M的轨

迹为C.

⑴求C的方程；

⑵若直线/：y=—x+t交C于A3两点，且网=2而，求直线/的方程.

【变式6-3】已知抛物线y2=6x,过点A(4,1)作一条直线交抛物线于B,c两点，且点A为线段BC的

中点.

(1)求线段BC所在的直线方程.

(2)求线段BC的长.

【变式64］已知椭圆C：:+¥=l(a>b>0)的离心率为e=¥且椭圆经过点(2,一虎).

(1)求椭圆C的方程；

⑵过椭圆C的左焦点片作斜率为1的直线/交椭圆于A、B两点，求|4网.

【变式6-5］(2024•四川德阳•二模)已知直线，〃与椭圆C:《+X=l相切于点尸直线，，的斜率

43k

为;，设直线〃与椭圆分别交于点A、B(异于点P),与直线，。交于点0.

(1)求直线相的方程：

(2)证明：1421,1尸0,1向21成等比数列

22

【变式6-6](2024.河南开封.二模)已知椭圆+的左，右焦点分别为不，

ab

上顶点为A,且花居=0.

(1)求C的离心率；

Q

(2)射线AE与C交于点8,且|A8|=g，求居的周长.

【变式6.71(2024.陕西宝鸡.二模)已知点B是圆。:。-1)2+/=16上的任意一点，点R(-1,0),线

段8尸的垂直平分线交BC于点P.

(1)求动点尸的轨迹E的方程；

(2)直线/:y=2x+机与E交于点M,N,且MN|=4T求m的值.

题型七：三角形面积问题

22

【典例7-1】(2024•高三・河南焦作•开学考试)已知椭圆C：3+方=l(a>b>0)的焦距为20,离心

率为冬

2

（1）求C的标准方程；

⑵若人［-。。］,直线/：x=^+g（f>0）交椭圆C于E,尸两点，且AAEF的面积为学，求,的值.

【典例7-2】（2024•陕西渭南.模拟预测）已知抛物线。:丁=2必（0>0）的顶点在原点0,焦点坐标为

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l-.x=ty+\与抛物线C交于尸,Q两点，求△OP。面积的最小值.

【方法技巧】

三角形的面积处理方法：以=上底•高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）

【变式7-1］（2024.福建泉州.二模）已知椭圆C:£+A=l（a>b>。），离心率为坐，点P（-l,巫）在

ab22

椭圆c上.

（1）求椭圆c的标准方程；

（2）若耳（TQ）,玛（1,0）,过耳直线/交椭圆C于M、N两点，且直线/倾斜角为45。，求AgN的面

积.

【变式7-2］（2024辽宁.模拟预测）点N®,%）是曲线「:"2+"=1上任一点，已知曲线「在点

N（方,%）处的切线方程为aXoX+Z%y=l.如图，点尸是椭圆C:］+y2=1上的动点，过点尸作椭圆C的切

线/交圆O：/+9=4于点A、B,过A、B作圆。的切线交于点

(1)求点M的轨迹方程；

(2)求AOPM面积的最大值.

2

【变式7-3](2024.上海.二模)已知双曲线-方=1。＞0).

(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y=2x,求双曲线C的标准方程；

(2)设双曲线C的左、右焦点分别为片，与，点P在双曲线C上，若尸的工尸工，且△尸片歹的面积为9,求

6的值.

【变式7-4](2024.全国.模拟预测)已知抛物线。：＞2=2"尤(0＞0)的焦点为b，直线/:尤=⑺+"与C

交于A,B两点，且当根=2,"=-1时，|AB|=4jI?.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若求尸面积的最小值.

【变式7-5](2024•河南•三模)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在V轴的正半轴上，圆

d+Cv-DJl经过抛物线C的焦点.

⑴求C的方程；

(2)若直线/:〃■+y-4=0与抛物线C相交于48两点，过A8两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交

于点尸，求AAB尸面积的最小值.

题型八：四边形面积问题

【典例8-1]已知A(-2,0),{1,||在椭圆C：J+/=ig>b>0)上，匕，尸2分别为C的左、右焦

点.

(1)求a,b的值及C的离心率；

(2)若动点P,。均在C上，且P,。在x轴的两侧，求四边形尸耳。工的面积的取值范围.

【典例8-2】已知抛物线。：丁=2「4°>0)的焦点为尸，抛物线C上的点A的横坐标为1,且|&同=:

(1)求抛物线C的方程；

(2)过焦点/作两条相互垂直的直线(斜率均存在)，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形

面积的最小值.

【方法技巧】

四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点(尤其是

有平行条件的时候)，可将面积的关系转化，降低计算量.特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角

线长度乘积的一半.

【变式8-1](2024・湖南.三模)己知椭圆工+±=1,A是椭圆的右顶点，8是椭圆的上顶点，直线

169

/:y="+b(左>0)与椭圆交于M、N两点，且M点位于第一象限.

(1)若6=0,证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；

3

(2)若左=:，求四边形AMBN的面积的最大值.

4

22

【变式8-21(2024•江苏镇江•三模)如图，椭圆C：0+4=1(。>6>0)的中心在原点。，右焦点产，

ab

椭圆与,轴交于AB两点、，椭圆离心率为看,直线叱与椭圆C交于点M

(1)求椭圆C的方程;

(2)尸是椭圆C弧痴上动点，当四边形的面积最大时，求P点坐标.

【变式8-3】已知定点尸(6,0),圆Q:(x+6)2+产=16,N为圆。上的动点，线段NP的垂直平分线

和半径NQ相交于点

(1)求点M的轨迹「的方程；

(2)过户的直线/与轨迹「交于A8两点，若点。满足诙=砺+㉓，求四边形面积的最大值.

【变式8-4］已知椭圆W：工+且=1的长轴长为4,左、右顶点分别为A,B,经过点P(LO)的动直

4mm

线与椭圆W相交于不同的两点C,D(不与点A,3重合).

(1)求椭圆W的方程及离心率；

(2)求四边形AC8D面积的最大值；

【变式8-5】已知点尸(0」)，点8为直线、=-1上的动点，过点8作直线丁=-1的垂线/,且线段FB

的中垂线与/交于点P.

(1)求点尸的轨迹「的方程；

(2)设FB与x轴交于点直线P尸与「交于点G(异于P),求四边形OMFG面积的最小值.

2

1.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设A,2为双曲线犬-三=1上两点，下列四个点中，可为线段

AB中点的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(TT)

2.(2023年新课标全国H卷数学真题)已知椭圆C:：+V=i的左、右焦点分别为片，F2,直线

y=x+机与C交于A,8两点，若面积是△用AB面积的2倍，则加=().

22

3.（2021年天津高考数学试题）已知双曲线二-斗=1（“>0*>0）的右焦点与抛物线;/=2px（p>0）的焦

ab

点重合，抛物线的准线交双曲线于A,8两点,交双曲线的渐近线于C、。两点，若=则双曲

线的离心率为（）

A.72B.6C.2D.3

4.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设8是椭圆+的上顶点，点P在C上，则忖闿的最

大值为（）

A.-B.\/6C.#/D.2

5.（多选题）（2023年新课标全国II卷数学真题）设0为坐标原点，直线y=-若5-1）过抛物线

的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，贝|（）.

Q

A.P=2