2025年新高考数学专项复习：双曲线离心率取值范围十六大题型（解析版）

专题2-7双曲线离心率取值范围专题十六大题型汇总

。常考题型目录

题型1根据a,b,c的不等关系求离心率的取值范围.....................................1

题型2焦半径范围的应用.............................................................4

题型3根据直线与双曲线的关系求取值范围...........................................9

♦类型1利用渐近线的斜率.......................................................9

♦类型2联立法.................................................................15

题型4双曲线的有界性..............................................................18

题型5和差最值相关................................................................22

题型6点差法的运用................................................................28

题型7焦点三角形的运用............................................................32

题型8双曲线对称性的运用..........................................................37

题型9通径相关....................................................................42

题型10由题目条件确定离心率取值范围..............................................47

题型11联立求点坐标型.............................................................53

题型12向量相关...................................................................59

题型13双曲线与圆相关.............................................................64

题型14双曲线与内切圆相关.........................................................70

题型15双曲线与角平分线相关.......................................................76

题型16椭圆与双曲线结合..........................................................83

Q知识梳理

知识点.求解双曲线离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得a、c的值或不等式，根据离心率

的定义求解离心率e的值或取值范围；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程或不等式，然后转化为关于e的方程

或不等式求解；

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.

但题型分类

题型1根据a,b,c的不等关系求离心率的取值范围

【例题1】(2223•顺义期末)若双曲线C：*5=l(a>b>0)的离心率为e,贝Ue的取值

范围是()

A.(1,2)B,(V2,+oo)C.(1,V2)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】根据双曲线离心率的知识求得正确答案.

【详解】

由于a>6>0,所以0<冬<1,0<⑶2<1,1<1+f-V<2

a\a/\a/

所以e=Jl+(T)G(1,V2),

故选：C

【变式1-1]1.(22.23下•三模)已知双曲线C：?—痣=M其中爪>0/力0),若2<0,

则双曲线C离心率的取值范围为()

A.(1,V2)B.(V2,+oo)C.(1,2)D.(2,+8)

【答案】A

【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用山表示出离心率，进而可

得其取值范围.

22

【详解】由双曲线一？±=4(其中爪>0"<0),

<By2_上=1

-A(?n+1)-Am'

则双曲线C离心率e==晤=户手1=1-告,

y尸-A(m+1)ym+l7m+1、m+1

因为?n>0,所以m+1>1,贝!|0<高<1,

所以1<2-高<2，

所以1<e<V2,即双曲线C离心率的取值范围为(1,e).

故选：A.

【变式1-1】2.(17口8・单元测试)已知二次曲线1+艺=1,当me[―2,—1]时，该曲线

4771

的离心率的取值范围是

【答案】停用

【分析】当爪G[-2,-1]时，曲线为双曲线，得到a,b,c,再根据离心率公式可求出结果.

22

【详解】当山6[―2,—1]时，，曲线方程化为^一工=1,曲线为双曲线，

4-m

2222

所以M=4,b=—mzc=a+Z?=4—mz

所以e=；=守，因为m6[-2,-1],所以亨<e<^.

故答案为:他，料

【变式1-1]3.（2223•柳州•模拟预测）双曲线A--哈）=1（机24）的离心率的取

值范围是.

【答案】净®

【分析】由已知求得a?=m2,c2=2m2-3m+2，得到e?=J=2（工一》+[又0<工W

a2-\m4/8m

2,根据二次函数的性质得出?<e2<2,开方即可得出答案.

48

2

【详解】由题意可知，小=血2,力2=（7n一l）（m—2）=m—3m+2,

所以=a2+b2=2m2—3m+2,

2

所以e2二号=2/7+2m2_inZ

=23x+2=2_2）+.

azmz\m/m\m4/8

因为6>4,所以0<工W；,

m4

所以?<e2<2,所以乎<e<V2.

o4

故答案为：呼,企）.

22

【变式1-1]4.已知双曲线C：缶+扁=1的焦点在y轴上,则C的离心率的取值范围为

（）

A.（1,2]B.（1,3]

。（1他.（阁

【答案】A

【分析】由题知+g>?,再解不等式，结合离心力公式求解即可.

【详解】解:因为双曲线C：gg=1的焦点在y轴上所以K+g>]，解得爪2<9.

7n—加+31m—9<0

因为e2=9=岛e（1,4],所以eG（1,2].

故选：A

题型2焦半径范围的应用

【方法总结】

利用IPF1I或IPF2I的范围:

22

F为双曲线器-京=1的右焦点，若P是双曲线右支上的动点，则|PFI"-a.若P是双曲线

左支上的动点，则|PF|2c+a.

【例题2]（19-20下抚顺一模）设双曲线C：g-g=l（a>0,b>0）的左、右两个焦点分

别为0,&，若点P在双曲线。的右支上，且IPF/=4|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范

围是（）.

A•（词B•（词C*+8）D.[|,+oo）

【答案】B

【分析】由双曲线的定义可得IP&I-IP&I=2a，再根据点P在双曲线的右支上,\PF2\>c-

a,从而求得此双曲线的离心率的范围.

【详解】解：由双曲线的定义可得IPaI-IP&I=2a,

XIPFJ=4|PF2|,

o2

''■\PFi\=~a,\PF2\=-a,

/.|PF2Ic—a,即ga>c—a,

离心率e=-<|r

又双曲线的离心率e>1,

•­.l<e<|,

故选：B.

【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率的应用，考查数形结合思想，属于中档题.

【变式2-1J1.(23-24上•课时练习)双曲线《-5=1(a>0/>0)的两个焦点为&尸2,

若双曲线上存在点P,使|P6l=2\PF2\,求双曲线离心率的取值范围.

【答案】1<e<3

【分析】首先结合双曲线的性质求得|。现=2a,再根据双曲线右支上的点到焦点的距离的

范围，即可求解.

【详解】由题意知在双曲线上存在一点P,

使得IP&I=2\PF2\,如图所示.

又•••|PFi|—|P%I=2a,

•••\PF2\=2a

即在双曲线右支上恒存在点P使得|P&I=2a,

gP|AF2|<2a,

\0F2\—\0A\=c—a<2a,■-c<3a.

X,.'c>aa<c<3a1<-<3,即1<e<3,

a

所以双曲线离心率的取值范围为1<eW3.

22

【变式2-1]2.（23-24上期中）已知双曲线表-3=l（a>0,6〉0）,0为坐标原点，&,

B为其左、右焦点，若左支上存在一点P,使得F2P的中点M满足|。叼=卜，则双曲线的

离心率e的取值范围是

【答案】（1,|]

【分析】根据IPFil=2\OM\=|c,且双曲线上的点到焦点的最小距离为c-a，得到|c>c—

a,进而求得离心率的范围.

【详解】因为。,“分别为&尸2，2尸2的中点，所以俨&1=210M=|c.

又双曲线上的点到焦点的最小距离为c-a,

所以|c>c—a>0,解得1<^<|,

因此双曲线的离心率e的取值范围是（1,|].

故答案为：（1,1].

【变式2-1]3.（22-23上•南昌・期末）已知双曲线摄-5=l（a>0,b>0）左，右焦点分

别为尻（-c,0）,6匕0）,若双曲线右支上存在点P使得;=而焉彳，则离心率的取值

范围为

【答案】（1,或+1）

【分析】在4PF/2中，由正弦定理可得区=忐氏，再由已知可得霭=?，根据点

P在双曲线右支上，得到关于e的不等式，从而可求出e的范围.

【详解】由题意可得点P不是双曲线的顶点，否则;无意义.

s\r\z.PF1F2sinzPF2F1

在4PF1&中，由正弦定理得忐*=忐*.

因为市号=—，所以篇=》所以IP&I=；-l^l.

sinzPF1F2sinzPF2^iIP七Iaa

因为点P在双曲线右支上，所以|PFil-伊心1=2a,

所以沙加-IP&I=2a，得|P&I=芸.

UC—CL

由双曲线的性质可得|P6l>c-a,

所以空>c—a,化简得c2—2ac—a?<0,

c—a

所以e?—2e—1<0,解得—+1<e<V2+1.

因为e>1,

所以1<e<V2+1.

即双曲线离心率的取值范围为（1,金+1）.

故答案为：（1,夜+1）.

【变式2-1】4.（2223上・惠州・期末）已知分别是双曲线C：*5=l（a>O,b>。）

的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin/P4Fi=3sin/P&F,则双

曲线C的离心率的取值范围为

【答案】1<e<2

【分析】在中，由正弦定理可得|P6l=3|PF2|,再结合双曲线的定义和"三角形的

两边之和大于第三边"，即可得解.

【详解】在仆PFZ中，sin"F2a=3sin"&F2，由正弦定理急*=急*得，

sinz■尸尸201sinz_uki/*2

|P0|=3|PF2|,又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|P&|-出引=2a,

所以1PF/=3a,\PF2\=a，在APaB中，由伊&1+叫>F/2I，

彳导3a+a>2c,即2。>c,所以e=-<2,又e>1,所以1<e<2,

a

故答案为：1<e<2

【变式2-1]5.(22.23上•深圳•期末)设国,&是双曲线9―《=1(。>。力〉0)的左右

焦点，若双曲线上存在点P满足斯•厄=-a?,则双曲线离心率的取值范围是()

A.[A/2,+co)B.[V3,+co)C.[2,+oo)D.[3,+co)

【答案】A

【分析】由题意,设=m,PF2=n,^F1PF2=0,先由双曲线的定义m—n=2a,再利

用余弦定理cos。=叱;:二二,由题意函•PK=-a?可得7n2+n2=4c2一2a2,最后再用

m>a+c,n>c-a可得c、a的不等关系，可得离心率.

【详解】由题，取点P为右支上的点，设P6=m,PF2=n,zF1PF2-9,

根据双曲线的定义知：6-n=2a,

在三角形&PF中，由余弦定理可得：cos。=叱；「,

222

又因为PF1-PF2——a?可得nrncos。=—a,即病+彦=4c—2a,

又因为m>a+c,n>c—a,所以(c+a)2+(c—a)2<4c2—2a2c2>2a2

SPe2>2,e>V2.

故选：A.

22

【变式2-1]6.(2L22专题练习)已知双曲线C:「—召=l(a>0,b>0)的上、下焦点分

2

别是0,F2,若双曲线C上存在点P使得丽<-PK=-4a,则双曲线C的离心率的取值范围

是()

A.(1,2]B.(1,V5]C.[2,+oo)D.[V5,+oo)

【答案】D

【分析】设|P6I=ri>\PF2\=r2，根据题意与双曲线定义计算得号+以=4c2-8a2>

2a2+2c2即可解决.

【详解】设|PF/=r1,\PF2\=r2,

因为丽<•丽=-4a2,

所以2

r1r2•COS/.F1PF2=-4a,

所以由余弦定理得GO-=-4a2,

Zrlr2

所以厅+母=4c2—8a2,①

因为由双曲线定义得图-必=2a,

所以塔+培一2/1/2=4a2,②

2

因为厂1+r2>2c,即号+母+2rrr2>4c,③

所以由②③得疗+r/>2a2+2c2,

22

代入①得4c2—8a2>2a2+2c,即c?>5az

所以e>V5,

故选：D

题型3根据直线与双曲线的关系求取值范围

【方法总结】

方法：与渐近线的斜率比较，则

h

(1)当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为k=±-

a

(2)当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足左6(-2b,2h)

aa

(3)当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足n(-8,_3u6,+8)

♦类型1利用渐近线的斜率

22

【例题3-1](23-24上南京阶段练习)已知双曲线E:三-德=l(a>0,6>0)的离心

••z

aDZ

率为e,若直线y=±2%与E无公共点，则e的取值范围是

【答案】（1,同

【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于a,6的不等关系，即可求得离心率范围.

【详解】因为双曲线-V=l（a>0,b>0）的渐近线为y=±^%,

因为，要使直线y=±2x与E无公共点，贝%22,

所以，。<译]所以双曲线的离心率的范围1<e=J1+（丁<y

所以满足条件的离心率的范围是（1,曰],

故答案为：（1,同

【变式3-1]1.（2223•昆明模拟预测）经过原点且斜率为近的直线I与双曲线C：2-5=

l（a>O,b>0）恒有两个公共点,则C的离心率e的取值范围是

【答案】名,+如

【分析】直线I与双曲线C:g-g=l（a>0,b>0）恒有两个公共点，则有直线I的斜率

大于渐近线y=的斜率，即可求解.

【详解】双曲线C:9=1（a>0,b>0）的焦点在y轴上，

渐近线方程是y=±1x,

结合该双曲线的图象，由直线Z与双曲线C恒有两个公共点，

可得出：V2>?,即2>4，

ba2

所以离心率e="+§G（T-+8）,

即离心率e的取值范围是弓,+8）.

故答案为:（y,+°°）.

【变式3-1]2.（2122・专题练习）已知圆（X-I）2+y2=:的一条切线y=依与双曲线

C-.^-^=Ka>0,b>0）有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.(1,V3)B.(4,+oo)C.(V3,+oo)D.(2,+oo)

【答案】D

【分析】由圆心到直线距离等于半径可构造方程求得切线斜率k,由此可得切线方程；根据

直线与双曲线交点个数可得2>V3,根据e=、77台可求得离心率的取值范围.

【详解】错解:

选B,圆心(1,0)到切线的距离d=黑=手，解得：k=士百，

V1+KZ2

.,切线方程为y=±V3x;

...y=土岛与双曲线C有两个交点，.•[>B，；.e2=1+捺>4.

错因：

求离心率时忘记开方，注意双曲线中e=J1+,,

正解：

由圆的方程知：圆心(L0),半径r=y,

则圆心(1,0)到切线的距离d=黑=?，解得：k=±百，

;切线方程为y=±V3x;

1-•y=与双曲线C有两个交点,•••^>V3,e=J1+%>2,

即双曲线C的离心率的取值范围为(2,+8).

故选：D.

【变式3-1]3.(22-23上•兰州•期中)过双曲线/一条=l(a>0,6>0)的右焦点F作一

条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，

直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为

【答案】(企,同)

【分析】由双曲线的性质求解,

【详解】双曲线的渐近线为y=±^%,由题意得1<3<3,

贝阳=(=J+*e(鱼,VIU),

故答案为：(V2,V10)

【变式3-1]4.(2223・攀枝花•三模)已知双曲线C：t—g=l(a>0,b>0),A为双曲

线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线I垂直平分线段2B,若直线I与C存在公共点，

则双曲线C的离心率的取值范围是()

A.(V2,V3)B.(V2,+oo)C.(V3,+oo)D.(1,V2)

【答案】B

【分析】先根据题意求得直线I的斜率，再根据直线I与C存在公共点，只需直线I的斜率

大于渐近线的斜率-2即可求解.

a

依题意,可得4(—a,0),B(0,b),贝!]%B=震=~1

又因为直线I垂直平分线段力B,所以&=-J

因为直线I与C存在公共点，

所以-?>—L即a2<62,

ba

则a2<c2—a2,即2<三]>2,解得e>夜,

所以双曲线C的离心率的取值范围是“I,+8).

故选：B

【变式3-1]5.(22-23上•阶段练习)若双曲线《-《=1的右支上存在两点A,B,^AABM

为正三角形（其中M为双曲线右顶点），则离心率e的取值范围为

【答案】（评）

【分析】根据等边三角形的性质以及双曲线图像的对称性，可得乎>£,进而即得.

【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为y=，

要使该双曲线右支上存在两点4,B,使448M为正三角形，

则需过右顶点M,且斜率为苧的直线与双曲线有两个不同的交点，

也只需其斜率大于渐近线y=的斜率.

.y/3bnriijy/3

->-/即力V可。，

即炉，

•,。2<。2+评，

即c<—^―a,又0<e<1,

所以1<e〈W-

故答案为：（1,学）.

【变式3-1]6.（22-23下•黔东南•阶段练习）已知双曲线/-5=l（a>0,6>。），若过

右焦点F且倾斜角为30。的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围

是.

【答案】（1,警）

【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程y=5X的斜率需小于直线的斜率，得b〈日a,

结合b=依力和离心率的定义即可求解.

【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为y=+^x,

要使直线与双曲线的右支有两个交点，

需使双曲线的渐近线方程y=T久的斜率小于直线的斜率，

即g<tan30°=j,即匕<^-a,由b=Vc2—a2,

得必二良<,整理得3c2<4a2,所以。=£<乎，

3a3

因为双曲线中e>1,所以双曲线的离心率的范围是（1,竽），

故答案为：（L竽）.

【变式3-1]7.（2122专题练习）已知双曲线提-《=1（a>0,6>0）的右焦点为F,若

过F且倾斜角为60。的直线分别与双曲线的左右两支相交，则此双曲线离心率的取值范围

是.

【答案】（2,+00）

【分析】由一三象限的渐近线的斜率大于遮可得离心率的范围.

【详解】依题意，斜率为V5的直线I过双曲线摄-g=l（a>0,b>0）

的右焦点为F且与双曲线的左右两支分别相交，

双曲线的一条渐近线的斜率2必大于旧,

a

即£>K,因此该双曲线的离心率e=：=Jl+令>V1T3=2.

故答案为：（2,+8）.

【变式3-1]8.（2019下•临汾期末）已知点。为双曲线C的对称中心，过点。的两条直线4与

"的夹角为60°,直线。与双曲线C相交于点,直线％与双曲线C相交于点4,B2,若使

l&B/=I&B2I成立的直线。与4有且只有一对，则双曲线C离心率的取值范围是

A.呼,2]B.（争2）C.律收）D.除+时

【答案】A

【分析】根据双曲线渐近线以及夹角关系列不等式，解得结果

【详解】不妨设双曲线方程为摄-g=l（a>0,b>0）,则渐近线方程为y=±^x

因为使l&Bi|=|4殳|成立的直线。与Z2有且只有一对,

所以k=(E(tanSO0,tan60°]=(58]

从而离心率e=5=Jl+(>e(竽,2],选A.

【点睛】本题考查求双曲线离心率取值范围，考查综合分析求解能力，属较难题.

♦类型2联立法

【方法总结】

方法：联立法：

(1)当直线与双曲线只有一个交点时，有k=±?或A=0

(2)当直线与双曲线有两个交点时，有△>0

(3)当直线与双曲线的左右两支都有交点时，有久2犯<0

A>Q

<XXn>0

(4)当直线与双曲线的左支有两个交点时，有I2

西+冗2<0

A>0

,一<>0

(5)当直线与双曲线的右支有两个交点时，有L

玉+%<0

【例题3-2】(2223下安庆•阶段练习)已知双曲线C京=i(a>0)与直线/：%+、=i

相交于两个不同的点，则双曲线C的离心率的取值范围为()

A.(当/B.(VX+8)

C.件,+8)D.(当，旬U(VX+8)

【答案】D

【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到小的范围，再由双曲线的离心率的公

式，代入计算，即可得到结果.

(x^__2_1

【详解】由9—可得，(1-a2)%2+2a2%-2a2=0,则

I%+y=1

f1-a20

(A=(2a2)2+8a2(1-a2)>0z

即｛A=/a^J)>0，解得a2e(0,1)u(1,2),故2e(|,i)u(1,+8),

贝!|1e(|,2)u(2,+8),故e=Jl+*E(M夜)u(鱼,+8).

故选：D

【变式3-2]1.(23-24上•南通•阶段练习)过点(2,2)能作双曲线/—2=1的两条切线，

则该双曲线离心率e的取值范围为

【答案】(1,或)“隹钓

【分析】分析可知，切线的斜率存在，设切线方程为y-2=-2),将切线方程与双曲

线的方程联立，由小=。可得出关于k的方程，可知方程有两个不等的实数根，求出a?的取

值范围，即可求得该双曲线的离心率的取值范围.

【详解】当过点(2,2)的直线的斜率不存在时，直线的方程为x=2,

由I1可得1=±^\a\'故直线％=2与双曲线/—2=1相交，不合乎题意；

当过点(2,2)的直线的斜率存在时，设直线方程为y-2=fc(x-2),即y=kx+(2-2k),

22

联立9=?土，—2?可得(好一a2)x2-4k伏_i)x+4(1-fc)+a=0,

Iax—y=a

因为过点(2,2)能作双曲线产-券=1的两条切线，

则｛A=16k2(k-l)2-4(fc2-君4(1f尸+a2]=0'可得3k2-8k+4+a?=0，

由题意可知，关于k的二次方程3k2—8k+4+a?=0有两个不等的实数根，

所以，"=64-12(4+a2)>0,可得0<a?<]

2

又因为i力a(即k力+a,因此，关于k的方程3k2-8k+4+a?=。没有k=±a的实根，

所以，4a2—8a+4中。且4a2+8a+4羊0,解得a#±1,即力1,

当0Va2Vi时，e=V1+a26(1,V2),

当1va2V料，？=V1+a2€(VX?)，

综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是。，/)U(VX”).

故答案为：(1,V2)u

【变式3-2】2.(2122上•贵阳•阶段练习股双曲线C：9—y2=i(a>0)与直线/：x+y=1

相交于两个不同的点A,B,则双曲线C的离心率e的取值范围是()

A.(V2,+00)B.(手,a)u(V2,+co)C.(手,+8)D.(手,企)

【答案】B

【分析】联立直线与双曲线的方程消元，利用A>0求出a?的范围，然后可算出离心率的范

围.

(X2_2_1

【详解】<4a2'—'(1—4a2)%2+8a2%—8a2=0,

I%+y=1

(a2大工

1-4a20,:

尸斤以(△=64a4+4x8a2(l-4a2)>0,j02<2

>0

今e=Jl+ae(今旬u(短+8),

故选：B

【变式3-2]3.(22-23上•九龙坡•阶段练习)已知直线2%—y+1=。与双曲线《-《=

l(a>0,b>0)相交于两个不同的点，且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为旧,

则该双曲线的离心率的取值范围是

【答案】{e|e>2且e*V5}

【分析】利用焦点到渐近线距离求出b，联立直线与双曲线，利用判别式得到离心率的范围，

注意直线不可与渐近线平行，据此计算，可得答案.

【详解】双曲线?—5=l(a>0">0)的渐近线为y=±豪，取其中一条渐近线版—即=

0,取双曲线的右焦点为(C,O),故双曲线的一个焦点到它一条渐近线的距离为焉5=匕，

故匕=声，所以，双曲线变为[-1=1,联立直线方程得到L::2,整理得，

a23(3xz-azyz=3az

222222

x(3—4a)—4xa—4a=0z则A=48a(1—a)>0，得到0<a<1,所以，

e2=9=1++2>4,故e>2，又因为直线2x-y+1=。不与渐近线平行，(软丰

4,得到捺=子=e2T羊4,解得e丰V5,故双曲线的离心率的取值范围是｛eIe>2且

e丰V5].

故答案为：｛e|e>2且e丰V5)

题型4双曲线的有界性

【方法总结】

【例题4](23-24上•课时练习)如果双曲线[=1右支上总存在到双曲线的中心与右

焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是

【答案】(2,+oo)

【分析】根据双曲线的对称性即可得以=f,由离心率的公式即可求解.

【详解】如图，因为I。川=|阳，F点坐标为(c,0),

所以马=，又A在右支上且不在顶点处，

所以5>a,所以e=->2.

2a

故答案为：（2,4-00）

【变式4-1】1.（22-23下河南•阶段练习）已知6（-c,0）'（a。）分别为双曲线2=

l（a>0,b>0）的左、右焦点，点P在C的右支上，点Q在直线/:尤=-手上，若窃=QP,

则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.（l,阴B.［萼收）

C.（TD.［等收）

【答案】D

【分析】根据福=9确定P点的横坐标满足的关系式，再根据点P在双曲线的右支上得到

P点的横坐标满足的不等式，解不等式即可.

【详解】设P点的横坐标为%0,&F；=丽，.,・三匕+%o=2c,即%0=2c-,

由题可知2c—'2a,・,・，—？—12o,得？>1+^.

c2

故选：D.

【变式4-1］2.（22-23下•合肥•一模）已知双曲线E:=l（a>0,b>0）的左右焦

点分别为&尸2A为其右顶点,P为双曲线右支上一点直线P&与y轴交于Q点若AQH,

则双曲线E的离心率的取值范围为

【答案】（企+1,+8）

【分析】根据题意设点P（%i，yi）并解出Q点坐标为Q（o,黑）,再根据ZQ〃PF2可得越Q=

22

kpF2,即可解得久1=三竺，由p为双曲线右支上一点可得三竺>a，解不等式即可求得离

2a+ca+c

心率的取值范围.

【详解】如下图所示,根据题意可得F](-c,0),F2(C,O)M(a,0),

设POi，为)，则直线P0的方程为y=^(%+c),

所以直线P"与y轴的交点Q(0,黑)，

m—o

由4Q〃PF2可得%Q=kP，即詈丁=白，

PP2匕U-CLX1—C

2

整理得(a+c)%!-c2—ac,即=；+；；

又因为P为双曲线右支上一点,所以/>a,

当刀1=a时，AQ,PF2共线与题意不符，即工1>a；

2

可得%1=C~aC>CL,整理得—a2—2ac>0,即e?—2e—1>0

a+cr

解得e>V2+1或e<1-/(舍)；

即双曲线E的离心率的取值范围为e>V2+1.

故答案为：(&+1,+°°)

【变式4-1]3.(21-22上•驻马店•阶段练习)已知6,尸2分别是双曲线E：《-5=

l(a>0,b>0)的左、右焦点.若双曲线E上存在一点P使得|成+函|=b,则双曲线E的离

心率的取值范围为

【答案】[强+8)

【分析】根据双曲线中|同|>\AO\,从而可得6>2a,即可求离心率范围.

如图所示,PK+PF2=2PO,所以2国I=b,所以国|=I，

又因为|丽|>\A0\=a,^>a,即b>2a,

所以离心率e=£=场m2叵逗底=遮，

aaa

所以双曲线的离心率的取值范围为[遮,+8),

故答案为：[低+8).

【变式4-1]4.(20-21下•全国•阶段练习)F(c,0)是双曲线?-《=l(a>0,b>0)的

右焦点，直线x=c交该双曲线于点M,N(M在第一象限)，点8、4分别是该双曲线的左、

右顶点，C是4B延长线上的点，AN1CM.该双曲线离心率的取值范围是()

A.(V2,+oo)B.(1,V2)C.(1,V3)D.[2,+8)

【答案】A

【分析】求得M,N坐标，设CO。,。)，利用力N1CM求得出,根据<-a得关于a,b,c的不

等式，变形后可求得离心率的范围.

22Z?2匕2

【详解】设由条件知M卜IN(^c,——,设C(%o,0),则Jx。=—1,

=c——―:；••久o<—aJc———7<一a化简得办2>a2,c2—a2>a2/•(-\>2,

a/(c-a)CL£\C~CL)\CL/

即e=->V2

az

因此双曲线离心率的取值范围为+8).

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率的范围，解题关键是找到关于a,4c的不

等关系，题中有一个不等关系是C是48延长线上的点,因此设C(x°,O),有%。<-a,因此只

要用a,b,c表K出％。即可求解.

【变式4-1］5.(20-21下•全国•阶段练习)已知双曲线C：/—总=l(a>0,b>0)的左焦点

为F,。为坐标原点，2为双曲线C右支上一点，伊用-|PO|=2a,则双曲线C的离心率的取

值范围是

【答案】［2,+8)

【分析】设双曲线C的右焦点为6，由双曲线的定义结合|PF|-伊。|=2a得到|PO|=\PFr\,

从而得到P点的横坐标为:,由(>a求解.

【详解】设双曲线C的右焦点为6，

由双曲线的定义可知|PF|—|P6I=2a,

又|P用一|PO|=2a,

所以|P。|=1PF/,

设c2=a2+b2,则P点的横坐标为|,

因为点P在双曲线上，显然有：>a,gpe=->2,

所以离心率e的取值范围是［2,+8).

故答案为：［2,+8)

题型5和差最值相关

【例题5］(22-23下•洛阳・开学考试)已知双曲线c：5-白=l(a>0,b>0)的上下焦点分

别为6,，点M在C的下支上，过点”作C的一条渐近线的垂线，垂足为。，若［MD|>\F±F2\-

|恒成立,贝北的离心率的取值范围为()

A•(词B,(|,2)C,(1,2)D,(|,+Oo)

【答案】A

【分析】过点尸2作渐近线的垂线，垂足为E,则出％1=b,再根据双曲线的定义得+

IMFJ=\MD\+|MF2|+2a>\EF2\+2a,进而转化为2a+b>2c恒成立，再根据齐次式

求解即可.

【详解】如图，过点尸2作渐近线的垂线，垂足为E,

设1661=2c,则点F2到渐近线y=士"的距离IEF2I=点云=氏

由双曲线的定义可得IMF/-I=2a,故IMF/=\MF2\+2a,

所以|MD|+\MFr\=\MD\+\MF2\+2a>\EF2\+2a=b+2a,即|MD|+川的最小值

为2a+b,

因为|MD|>IF/2ITMFil恒成立，

所以|MD|+IMF/>IF/2I恒成立，即2a+b>2c恒成立,

所以,b>2c—2a,即方2>4c2+4a2—Sac,§Pc2—a2>4c2+4a2—Sac,

所以,3c2+5a2—8CLC<0,即3e?—8e+5<0,解得1<e<&.

故选：A.

【变式5-1]1.(22-23下•开学考试)双曲线/—5=1的左焦点为F,A(O,-b),M为双

曲线右支上一点，若存在M，使得|FM|+\AM\=5,则双曲线离心率的取值范围为()

A.(1,V3]B.(1,V5]C.[遮,+8)D.[y,+8)

【答案】B

【分析】双曲线的右焦点京，FM|+MM|=5等价于|FM+\AM\=3,所以阳川W3,由

不等式宓<3可求双曲线离心率的取值范围.

【详解】取双曲线的右焦点a,由双曲线定义|FM|=\FrM\+2,如图所示，

故存在点M使得+\AM\=5等价为存在点M使得+\AM\=3,所以W3,当

且仅当4M,0三点共线时等号成立，

则g+c2<3,由炉=c2-1,解得c<V5,[foa=1,故离心率1<eW逐.

故选：B

2

【变式5-1]2.(21-22下•沙坪坝•模拟预测)已知双曲线。噂-*=1(a>0)的右焦点

为F，点4(0,—a),若双曲线的左支上存在一点P,使得|P川+\PF\=7,则双曲线C的离心

率的取值范围是()

A.(l,^]B,(1,V3]C,[f,+oo)D.[V3,+oo)

【答案】C

【分析】根据双曲线定义可得，|PF|=IPFil+2a,§P\PA\+\PF1\=7-2a，进而推得|P川+

|P0|>=必谓,得到不等式a?-14a+2420,求解即可得到a的取值范围，进

而求得离心率的范围.

%

【详解】

设双曲线左焦点为&,因为点P在双曲线左支上，所以有|PF|-出&|=2a,

即|PF|=\PF1\+2a.

由已知得，存在点P,使得IP川+|PF|=7,即|P川+\PF1\=7