2025年中考数学复习：线、面的动点最值专项练习

线、面的动点最值专项练习

数轴上运动的线段

【方法技巧】数形结合，设未知数，看清楚动点的速度和方向，表示出线段的点表示的数（注意比较上节内容:

数轴上运动的点）,再根据题中的等量关系列方程求解.

［题1］★★★如图，数轴上线段AB=2（单位长度）,CD=4（单位长度）点A在数轴上表示的数是-10，点C在数

轴上表示的数是16.若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度

向左匀速运动.

III11,

AB0CD

（1）问运动多少秒时BC=8（单位长度）；

（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B在数轴上表示的数是；

（3）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式胃=3,若存在，求线段PC的长；

若不存在，请说明理由.

［题2］如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点同时从P、B出发分别以lcm/s和2cm/s的速度沿直线

AB向左运动（C在线段AP±,D在线段BP上）.已知C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC.

IIIII

ACPDB

（1）线段AP与线段AB的数量关系是________________；

⑵若Q是线段AB上一点，且AQ-BQ=PQ,求证:AP=PQ;

（3）若C、D运动5s后.恰好有CD=1AB此时C点停止运动Q点在线段PB上继续运动,M、N分别是CD、

PD的中点，问器的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出答的值.

ADAD

匀速运动的点形成全等三角形

【方法技巧】数形结合，设未知数，看清楚动点的速度和方向，表示出三角形的边长；根据题中的等量关系列

方程求解.分段讨论是重点.

[题1]★★★如图,AABC中,NACB=9(T,AC=6,BC=8点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B

点点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动终点为A点.点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，

两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻,分别过P和Q作PEL1于E,QF，1于F.问:点P运动多少时

间时,APEC与AQFC全等？请说明理由.

【题2】★★★如图①,AB=4cm,AC，AB,BD，AB,AC=BD=3cmj^P在线段AB上以lcm/s的速度由点A向

点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).

⑴若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=l时,AACP与ABPQ是否全等，请说明理由，并判断此

时线段PC和线段PQ的位置关系；

(2)如图②，将图①中的“AC，AB,BDJ_AB”改为“NCAB=/DBA=60。”,其他条件不变.设点Q的运动速度为x

cm/s,是否存在实数x,使得AACP与ABPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.

图①图②

【题3】★★★★如图.在四边形AB-CD中,AD=BC=8,AB=CD,BD=12,点E从D点出发,以每秒1个单位的速

度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C-B-C，作匀速移动，点G从点B出

发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间

为t秒.

⑴试证明:AD〃BC;

(2)在移动过程中，小明发现有ADEG与ABFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？并分别求出

此时的移动时间和G点的移动距离.

[题4]如图，已知AABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以

3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后,ABPD与ACQP是否全等，请说明理由；

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ABPD与ACQP全等?

若点Q以⑵中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿AABC三边

运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在AABC的哪条边上相遇？

四边形中匀速运动的点

【方法技巧】平行四边形中匀速运动的点，可以设运动时间为t,然后用t表示各个变量求解；线段的最值常用

两边之和大于第三边或垂线段最短求解.

【题1】★★★如图在四边形ABCD中,AD〃BC,AD=24cm,BC=30cm,点P从点A向点D以lcm/s的速度

运动，到点D即停止。同时点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止.直线PQ将四边形ABCD

截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P、Q两点同时出发几秒时所截得两个四边形中，

其中一个四边形为平行四边形？

AP——►D

B--QC

【题2】★★★如图矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点P是线段AD上一动点(不与点D重合),

P0的延长线交BC于点Q

⑴求证：四边形PBQD为平行四边形；

(2)若AB=3cm,AD=4cm,点P从点A出发，以lcm/s的速度向点D匀速运动，设点P运动时间为ts，问四边

形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.

[题3]★★★如图①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为A(12,0),C(0,4),点D为

OA边的中点，连接BD.

⑴直接写出点D的坐标:,BD=;

⑵如图②，若点M从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿D-A-B-C运动，同时点N从点0出发，

以每秒1个单位长度的速度沿O-C-B运动，当点M,N相遇时运动即停止，设运动时间为t（秒），求使得AMON

为直角三角形时所有t值和取值范围.

条用图

【题4】★★★已知:矩形ABCD中,AD>AB,0是对角线的交点，过0任作一直线分别交BC、AD于点M、

N（如图①）.

图①

⑴如图②,四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN,求证:四边形AMCN是菱形;

图②

⑵在⑴的条件下,如图③，若AB=4cm,BC=8cm动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AAMB和ACDN各

边匀速运动一周.即点P自A-M—B-A停止，点Q自C-DTN—C停止.在运动过程中,已知点P的速度为每

秒5cm，点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t

的值.

AND

【题5】★★★★如图，在平面直角坐标系中八8〃0(2人(0,12)2(4(；),(2(00),并且2,13满足/>=V^21+

标1+16动点P从点A出发.在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动动点Q从点0出发,

在线段0C上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P,Q分别从点A,0同时出发，当点P运动到点B时,

点Q随之停止运动.设运动时间为t(秒).

(1)求B,C两点的坐标；

(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P,Q两点的坐标；

(3)当t为何值时,APQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P,Q两点的坐标.

动态路径问题

【方法技巧】动点的运动路径问题解题方法：

⑴选取多个特殊点探索多个特殊位置，一般选取起点，终点，和另外的特殊点探索.

(2)根据这些特殊点的位置猜想运动路径，然后验证.现阶段多用全等转换求值.

(3)设点的坐标一证全等一根据题目条件列式求解.

题1】★★如图.A(l,0),B(0,l),点P在线段OA上运动,BP，PM,BP=PM,C为x轴负半轴上一定点，连接CM,

N为CM的中点，当点P从点O运动至点A时，点N运动的路径长为.

【题2状★★如图在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点C,A分别在x,y轴上,A(0,6),点Q为对角线BO

上一动点,D为边0A上一点,DQLCQ,点Q从点B出发，沿B0方向移动，若移动的路径长为3,直接写出CD的

中点M移动的路径长为.

2.【思路分析】点Q和点B重合时,D在A点才符合题意，连AC交BO于点N,这时M点即为N点.即M

移动的路径长为MN.

【题3】★★如图，直线AB:y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C(1,O),P为直线AB上一点将线段PC绕点C

顺时针旋转90。得CQ.

(1)当P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为；

⑵线段OQ的最小值为.

【题4】★★★如图,A(4,0),B(0,4),点P在线段AB上运动,PQLPO且PQ=PO.

(1)试说明点Q在某一确定的直线上；

(2)点M是OQ的中点，当点P从点A运动到点B时，求点M运动的路径长.

【思路分析】(l)yAB=-x+4,设P(a,-a+4),过点P作EF〃x轴交y轴于点E,过点Q作QF，PE于点F,可证

APOE丝ZXQPF,贝!|FQ=PE=a,PF=OE=-a+4./.Q(4,4-2a),贝！J点Q在直线x=4上；

(2)由M为OQ中点得xM=2,当点P与起点A重合时,Mi(2,-2),当点P与终点B重合时,乂2(2,2),故点M的路径

长为M1M2=4.

【题5】★★★如图，在AABC中,/B=90o,/BAC=6(F,AB=1若点E为BC上一动点以AE为边在AE右侧

作等边AAEF,连接CF,点G为线段CF的中点，若点E从点B出发，沿着BC方向运动到点C,则在此过程中，

点G运动的路径长为.

【题6】在平面直角坐标系中.点A(0,8)、C(8,0),四边形AOCB是正方形，点D是x轴正半轴上的一动点，Z

ADE=90°,DE交正方形AOCB的外角的平分线CE于点E.

⑴当点D是OC的中点时，求证AD=DE;

(2)连接AE点F是AE的中点，当点D在x轴正半轴上运动时，点F到CE的距离是否为定值？若为定值,

求出这个值；若不是定值，请说明理由.

1.【答案解析】

(1)点B在数轴上表示的数是-10+2=-8,点D在数轴上表示的数是16+4=20,运动t时后:A表示的数为-10

+6t,B表示的数为-8+6t,C表示的数为16-2t,D表示的数为20-2t.

由BC=8得到卜8+6t-16+2t|=85=4或t=2.故运动2秒或4秒后,BC=8.

(2)当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；

当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16.

设运动时间为t秒，设P原来表示的数为x,运动t时后:A表示的数为6t-10,B表示的数为6t-8,C表示的数为

16-2t,D表示的数为20-2t,P表示的数为x+6t,BD=28-8t,

AP=x+10,PC=|8t+x-16|.

代入*=3,解得x=15-8t或者x=B—8t.

所以.PC=|8t+x-16|=l或|

2.【答案解析】

⑴根据C、D的运动速度知:BD=2PC,

PD=2AC,BD+PD=2(PC+AC),即PB=2AP,

•••点P在线段AB上的拂，即AB=3AP.

(2)证明:如下图，由题意得AQ>BQ,

APQB

・・・AQ=AP+PQ,

又AQ-BQ=PQ,AQ=BQ+PQ,

AAP=BQ.

由(1)彳导，AP=

21

JPQ=AB-AP-BQ=AB-2AP=AB-^AB=^AB.

，AP=PQ.

⑶如下图:

ACPMNDB

运动5s时,PC=5cm,BD=10cm.由(1)可知AP=

设AP=x^(JAC=AP-PC=x-5,

.*.PD=2AC=2X-10,PB=PD+DB=2X,CD=2X-5,AB=AP+PB=3X.

CD=-AB,2%—5=!x3%=%=10.

22

则D仍为动点.设A为原点AB=3AP=30AB表示的数为30,设运动了t秒(t>5)则D表示的数为30-2t,

•••C表示的数是10-5=5,M为CD的中点，.•.M表示的数为世?

•••N为PD的中点,•••N表示的数为丝詈.

..10+30—2t5+30—215

•••MNn7=------------------------

2’

5

丝=且=工为定值

AB3012为^且.

1.【思路分析】数形结合，设未知数，看清楚动点的速度和方向，表示出APEC和AQFC的边长.

根据题中的等量关系列方程求解.需分段讨论.

【答案解析】

解设运动时间为t分三种情况①0<t（用寸.P在AC上,Q在BC上，此时/CPE+NPCE=90o,/QCF+/CQF=90。.

ZACB=90°,.\ZACE+ZQCF=90°,AZQCF=ZCPE,AAPCE^ACQF.

It匕时要得△PCE^ZkCQF,则PC=CQ即6-t=8-3t,t=l,满足.

②[<t<g时，HQ都在AC上，此时两个三角形如果全等，则它们必须是重合的,

PC=CQ即6—t=3t—8,t=最满足.

③t>当时，Q已经在A点停止运动，此时P不可能在AC上，即t>6,和①一样的原因可知，此时PC=CQ即

满足PC=AC=6,

t=6+6=12,

综上t=l或t=g或t=12.

2.【思路分析】（2）设未知数，表示出AACP和BPQ的边长，根据题中的等量关系列方程求解.需分“AC=BP,AP=

BQ”和“AC=BQ,AP=BP”两种情况进行讨论.

【答案解析】解:⑴当t=l时,AP=BQ=1,BP=AC=3,

VZA=ZB=90°,.,.AACP^ABPQ.

止匕时/ACP=ZBPQ,ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP=90°,

/CPQ=90。.即线段PC,线段PQ.

(2)①若AACPgzXBPQ,则AC=BP,AP=BQ,

有解得P=1

lt=xt=1

②若4ACP之△BQP,贝！］AC二BQ,AP=BP,

有｛七。解得(x=l

综上，存在『=；或吏得AACP与ABPQ全等.

3.【答案解析】⑴证明:在AABD和ACDB中，

AD=BC,AB=CD,BD=DB,

/.AABD^ACDB,

ZCBD=ZADB,.*.AD//BC.

(2)设G点的移动距离为y,当F由C—B移动，即0<t</

"?ADEG^ABFG,?.ZEDG=ZFBG,

；.DE=BF,DG=BG或

DE=BG,DG=BF,即::

解得［/或18-3：二；2.y

解得［；二］%舍去).

当F由B—C移动,SP|<t<y,

有I;二U解得二

或L.MLy,解得CM

综上所述，这种情况会出现3次.

4.【分析】由⑵可得出点Q的速度大于点P的速度，点Q追上点P,要比点P多运动AC+AB的距离.点Q

的路程-点P的路程=10cmx2.

【答案解析】⑴①♦；t=ls,，BP=CQ=3xl=3cm,：AB=10cm,点D为AB的中点,...BD=5cm.又：

PC=BC-BP,BC=8cm,；.PC=8-3=5cm,，PC=BD.又：AB=AC,.\ZB=ZC,AABPDACQP.

②•..vp¥vp,，BP¥CQ，又：ABPD^ACQP,ZB=ZC,KUBP=PC=4,CQ=BD=5,：.^P、点Q运动的时间t=

BP4CQ515,

y=-s,■■VQ=—=^=—cm/s.

3

⑵设经过X秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得-3久=2X10,

4

解得X=？s.

...点P共运动了三义3=80cm.

V80=2x28+24,.'.点P、点Q在AB边上相遇,

经过8白，点P与点Q第一次在边AB上相遇.

1.【思路分析】设未知数，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；根据题中的等量关系列方程；其中要注

意因为动点引起的分类讨论，这是许多同学容易遗漏的，也是这类题目的难点.

本题分两种情况，当四边形ABQP为平行四边形时，AP=BQ；当四边形PQCD为平行四边形时,PD=QC.

【答案解析】解：设当P、Q两点同时出发t(s)时,四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，根据题意彳导

AP=tcm,PD=(24-t)cm,CQ=2tcm,BQ=(30-2t)cm(0<t<15);

①若四边形ABQP是平行四边形，

,/AD//BC,：.还需满足AP=BQ,t=30-2t,解得t=10,

•*.10s时四边形ABQP是平行四边形；

②若四边形PQCD是平行四边形，

•；AD〃BC,...还需满足PD=CQ,

24-t=2t.解得t=8,8s时四边形PQCD是平行四边形.

综上所述，当P、Q两点同时出发8s或10s时，截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形.

2.【思路分析】⑴证APOD也△QOB.

⑵当PB=PD时，口PBQD为菱彩设AP=t，则PD=PB=(4-t),由勾股定理列方程求解.

【答案解析】(1)证明：：四边形ABCD是矩形,.•.AD〃BC,OD=OB,/PDO=/QBO,

在APOD和AQOB中,/PDO=NQBO,OD=OB,NPOD=NQOB,

△POD^AQOB(ASA),.\PD=QB.又：PD〃QB,

四边形PBQD为平行四边形.

⑵点P从点A出发运动Is时,AP=tcm,PD=(4-t)cm.

当四边形PBQD是菱形时,PB=PD=(4-t)cm.

,四边形ABCD是矩形,ZBAP=90°.

在RtAABP中，AB=3cm,AP2+AB2=PB2,gp.t2+32=(4-t)2；

解得t.点P运动时间为《时，四边形PBQD为菱形.

oob

3【答案解析】(1)(6,0),2V13

⑵①如图①所示

y

c------------------?

N

]____________L

o]D-MAX

图①

：OC=4,DA=6,

.••点N从。到C需要4s,点M从D到A需要2s.

/.0<t<2时，点N在OC上，点M在DA上.

/•当0<饪2时,ANOM为直角三角形.

②如图②所示：

y

c-B

N-

ODAx

图②

当MNXOC时,AMON是直角三角形.

VMN±OC,.\ZMNO=90°.

ZMNO=ZNOA=ZOAM.

.,•四边形OAMN为矩形.

•,.ON=AM..\t=3t-6.

解得:t=3.

.•.当t=3s时,ANOM为直角三角形.

③如图③所示：

当点N与点C重合时,ANOM为直角三角形.

VON=OC=4,3t=4.•・t=*4

综上所述，当0<t<2时或t=3时或t=轲，ANOM为直角三角形.

4.【答案解析】(1)证法一：・・.四边形ABCD是矩形，

・・・AD〃BC,AD=BC,

VBM=DN(ABOM^ADCN),

/.AD-DN=BC-BM,

即AN=CM,

四边形AMCN是平行四边形，

由翻折得,AM=CM,

..•四边形AMCN是菱形；

证法二:由翻折得,AN=NC,AM=MC,ZAMN=ZCMN,

：AD〃BC,

/.ZANM=ZCMN,

ZAMN=ZANM,

.*.AM=AN,

；.AM=MC=CN=NA,

四边形AMCN是菱形；

⑵设菱形AMCN的边长为xcm厕BM=8-x,

在RtAABM中，AB2+BM2=AM2,

即42+(8—x)2=x2,

解得x=5,r.AM=5cm,

显然，当点P在AM上时点Q在CD上.此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形洞理点P在AB上

时，点Q在DN或CN上，此时A、C、P、Q四点也不可能构成平行四边形，因此，只有点P在BM上，点Q在DN

上时，才能构成平行四边形，此时PC=QA.

・，点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t,

PC=PM+MC=PM+AM=5t,

QA=AD+CD-CQ=8+4-4t=12-4t,

5t=12-4t,解得t==-

..•以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=[s.

5.【思路分析】⑵PB=QC时,四边形PQCB为平行四边形；

(3)设未知数，建立方程求解.需分PQ=CQ和PQ=PC两种情况讨论.

【答案解析】解：(1)"b-7a—21+V21-a+16,a=21,b=16.

AB//OC,A(0,12),Ac=12,/.B(21,l2),C(16,0);

(2)由题意，得AP=2t,QO=t，则PB=21-2t,QC=16-t,

:当PB=QC时,四边形PQCB是平行四边形,，21-2t=16-t,解得t=5,；.P(10,12),Q(5,0);

⑶当PQ=CQ时,如下图，过Q作QN±AB于点N,

由题意，得PN=t,则122+t2=(16-t)2,解得t=3.5,

，P(7,12),Q(3.5,0).

当PQ=PC时，过P作PMLx轴于点M,

由题意，得QM=t,CM=162,则t=162,解得t=二P偿，12),Q得,0).

综上所述:Pi(7,12),Q式3.5,0出(.2),(?2(印01

1.【思路分析】点P在OA上运动，分别标出点P在点O和P在点A时M的位置.当点P在点。时，N

在CA的中点位置，当点P在点A时，N在CM的中点位置，即N运动的路径长=\AM.

【答案解析】设CA的中点为E，连接EN.当点P在点O时，点N位置时点E的位置，当点P在点A时,

N在如下图位置,点N运动的路径长为EN的长度.

：BP_LPM,BP=PM,，BAJ_AM,且BA=AM.BA=VXEN=1AM=|xV2=y.

2.【答案解析】作Q