2025年新高考数学专项复习：抛物线性质十一大题型（原卷版）

专题2-9抛物线性质十一大题型汇总

。常考题型目录

题型1抛物线定义...................................................................2

题型2焦半径........................................................................3

题型3焦半径二级结论...............................................................5

题型4焦点弦........................................................................5

题型5中位线相关...................................................................8

题型6焦点定比值二级结论...........................................................8

题型7切线.........................................................................10

题型8最值与取值范围..............................................................11

题型9抛物线与圆..................................................................12

题型10抛物线与椭圆...............................................................14

题型11抛物线与双曲线.............................................................15

口知识梳理

知识点一.抛物线有关知识：

1.抛物线定义：|PF|=|PM|,点F不在直线I上，PML于M.

2.抛物线的标准方程与几何性质

y2=2px

y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)/=-2py(p>0)

标准方程(P>0)

p的几何意义：焦点F到准线1的距离

1

图形

顶点0(0,0)

对称轴y=0x=0

焦点F（F（4。）F(M)伞用

离心率e=1

BB

准线方程x=-7x=?y=-zy=2

范围x>0,yeRx<0,yeRy>0,xeRy<0,xeR

开口方向向右向左向上向下

3.重要公式

22

(1)弦长公式：\AB\=Vi+/c|%i-%2I=1+(7)|yi-yzl-

(2)韦达定理：xr+x2——,xrx2—「

4.重要结论

抛物线y2=2px(p>0)焦点弦AB,设A(%,y]>B(x2,y2),AB的中点E,准线为

I.

（1）焦半径问题：

①焦半径：|AF|=|AD|=/，|BF|=|BC|=右+々（随焦点位置变动而改变）；

II2

②焦点弦：|AB|=%+久2+P=帚（其中，。为直线AB的倾斜角）；③万尸+方与；

焦半径公式得：|AF|=-^―,\BF\=-^―,（9为直线AB的倾斜角）

1—COSt71+COSC7

（2）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即久62=1y，2=-P2（随焦点动而

变）；

（3）其他结论：①SAOAB=4-（其中，a为直线AB的倾斜角）;②以AB为直径的

2sina

圆必与准线相切于点H.

但题型分类

题型1抛物线定义

【例题1]（23-24上•南阳•期中）已知直线\：y=-x+^p>0）与抛物线C：y2=2Px交

于A,B两点，且|4B|=16,则C的方程为（）

A.yZ=2xB.*=4*C.y2=8xD.y2=12x

【变式1-1]1.（22.23上榆林•期末）已知点P（m,n）为抛物线C：y2=4久上的点,且点P

到抛物线C的准线的距离为3,则爪=

【变式1-1]2.（23-24上•张掖•阶段练习）已知抛物线/=2py（p>0）的顶点为。，焦点

为F准线为直线I点E在抛物线上若E在直线I上的射影为Q且Q在第四象限,4|OF|=

V5IFQI,则直线FE的倾斜角为（）

A.120°B,150°C.30°或150°D.60。或120。

【变式1-1]3.（23-24上•成都•阶段练习）已知动圆M恒过点（1,0），且与直线x=-1相切，

设圆心M的轨迹方程曲线C,直线-my-V5=0与曲线C交于P,Q两点（点P在x轴上

方），与直线x=-1交于点R,若IQW=3,则/=（）

'△PRF

A.-B.-C.-D.-

7777

【变式1-1]4.（17-18上・潮州•期末）如果点匕/2，。3典是抛物线C：y2=8x上的点它的

横坐标依次为右,%2，%3，%4尸是抛物线C的焦点，若的+刀2+*3+%4=10厕回用+得用+

\P3F\+\P4F\=

A.8B.18C.10D.20

题型2焦半径

【方法总结】

焦半径问题：①焦半径：|AF|=|AD|=久】+9|BF|=|BC|=叼+夕随焦点位置变动而改变）

由对称性，可得如下对称结论：

（1）焦点F在x轴正半轴，抛物线上任意一点P（xo，y°）,则|PF|=K。+9

（2）焦点/在x轴负半轴，抛物线上任意一点PQo，yo），则|PF|=-x0+1；

（3）焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点P（xo，y0）,贝力PN=y0+l；

（4）焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点Pg,小）,贝”Pf|=-%+今

【例题2]（23-24上•成都・开学考试）已知△A8C的顶点在抛物线y2=2x±，若抛物线的焦

点F恰好是△4BC的重心，则F川+\FB\+|FC|的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2-1J1.（23-24上•昆明•开学考试）已知直线/：y=x+1与抛物线C：*=2Px（p>0）

相切于点E,F是C的焦点，则出尸|=（）

A.6B.4C.3D.2

【变式2-1]2.（23-24上•盐城•期末）已知F为抛物线C:4=2px（p>0）的焦点,过F且

斜率为1的直线交C于4,B两点，若附|•|尸用=8,则p=（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2-1]3.（23-24上・江西•开学考试）已知F为抛物线E:y2=4久的焦点,A,B,C为

E上的三点，若存=式乐+前），则府|+|两+|函=

【变式2-1]4.（22-23下・白银・期末）如图，M是抛物线川=10x上的一点，尸是抛物线

的焦点，以F%为始边、FM为终边的角NxFM=，则|MF|=

【变式2-1]5.（22.23下•南京・期末）已知抛物线C:*=4%的焦点为F,准线为2,经过

点F的直线与抛物线C相交A,B两点，I与X轴相交于点M，若而=QM,\AM\^2\BQ\,

则|4尸|-|BF|=

题型3焦半径二级结论

【方法总结】

抛物线y2=2px（p>0）焦点弦AB,设A（勺，力］B（久2,%），，AB的中点E,准线

为L

焦半径公式：\AF\=-^―,\BF\=-^―,（。为直线AB的倾斜角）

1—cost71+COS（7

【例题3］（2122•全国•课时练习）若过抛物线V=久的焦点F的直线I交抛物线于A、B两

点，且直线I的倾斜角。4,点A在x轴上方，则附|的取值范围是

【变式3-1】1.（2L22・江苏・单元测试）如图，过抛物线f=2PMp>0）的焦点F作两条

互相垂直的弦AB、CD,若AACF与ABCF面积之和的最小值为32,则抛物线的方程

为

【变式3-1］2.（21-22上•泉州•阶段练习）已知抛物线E关于x轴对称，它的顶点在坐标原

点，点P（1,2）在抛物线上.

Q）求该抛物线E的方程及其准线方程；

（2）直线2过抛物线E的焦点F,交该抛物线于4B两点，且|4F|=3|BF|,求28的长度.

题型4焦点弦

【方法总结】

抛物线焦点弦的几个常用结论

设4B是过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的弦,若4（与,为）,B（x2,y2），则：

（1）久62=—，y，2=-p2；

（2）若点2在第一象限，点B在第四象限，则|4尸|=,\BF\=,

1-cosa1+cosa

弦长=/+&+P=3金/（刊为直线48的倾斜角）；

〈）高+高=q

（4）以力B为直径的圆与准线相切；

（5）以4F或BF为直径的圆与y轴相切.

【例题4]（18-19下・嘉定•期末）已知抛物线外=2px（p是正常数）上有两点46,当），

，焦点F,

甲•x丫_Q

中.X1X2—4

乙：%为=-p2

丙：福•布=-|p2.

丁：总+叁=?以上是"直线4B经过焦点厂的充要条件有几个（）

\FA\\FB\p

A.0B.1C.2D.3

【变式（2223•全国专题练习阻抛物线y=婷的焦点F的一条直线交抛物线于P、

Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q,贝4+涉定值（）

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1]2.（23-24上•朔州・开学考试）已知P（2,4）是抛物线C:y2=2px（p>0）上一

点，过C的焦点F的直线1与C交于48两点，则+9|BF|的最小值为（）

A.24B.28C.30D.32

【变式4-l】3.(2223下•南充・三模)已知抛物线C：*=2Px(p>0)的焦点为尸，直线Z：2%+

y-6=。与抛物线C交于48两点，M是线段4B的中点，过“作y轴的垂线交抛物线C于点N,

则下列判断正确的序号是.

①若/过点F，贝北的准线方程为久=-3

②若Z过点F,则空黑=3

③若涵-NB=0,则点F的坐标为(|,0)

④若正?.而=0,贝加=葛

【变式4-1】4.(2324上•南京•阶段练习股抛物线C：V=2PMp>0)的焦点为尸,MGC,

Q在准线上，Q的纵坐标为,尸到点Q距离为4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过尸且斜率为2的直线/与C交于4B两点，求A4BQ的面积.

【变式4-1】5.(21-22上•攀枝花•阶段练习)如图所示，已知抛物线G：y2=2P久过点(2,4),

圆C2：，+y2-4x+3=0.过圆心C2的直线/与抛物线G和圆C2分别交于P,Q,M,N,则

|PM|+4|QN|的最小值为()

A.23B.42C.12D.13

【变式4-1]5.(21-22上・雅安・期末)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到其准线

的距离为2,圆M:(尤-1尸+V=1,过F的直线|与抛物线C和圆M从上到下依次交

于A,P,Q,B四点，则|4P|+4|BQ|的最小值为

题型5中位线相关

【例题5]（2223•开封模拟预测）已知直线/：x+my-l=。过抛物线C：y2=2P比的焦点，

直线1与抛物线C相交于4B两点，若4B的中点M到抛物线C的准线的距离为|，则爪=（）

A.±2B.±jC.|D.2

【变式5-1]1.（22-23下保山•期末）过抛物线C：/=4y的焦点F且倾斜角为锐角的直线

1与C交于48两点，过线段28的中点N且垂直于/的直线与C的准线交于点M，若|MN|=\AB\,

则珀勺斜率为（）

A.V3B.C.1D.2

【变式5-1]2.（22.23下•周口•阶段练习）已知抛物线V=-4x,过其焦点F的直线Z交抛

物线于4B两点，交准线于点。,且B是线段4。的中点，则=（）

A.-B.-C.-D.-

2222

【变式5-1】3.（17口8・南阳•一模股抛物线y2=4%的焦点为尸，过F的直线/交抛物线于48

两点，过4B的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P,若|PF|=|,则直线/的

方程为

【变式5-1]4.（17-18上・济宁・期末）抛物线V=2px（p>0）的焦点为F,已知点A,

B为抛物线上的两个动点，且满足N4FB=60。.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线

MN,垂足为N,则黑的最大值为

【变式5-1]5.（22.23下广元•期中）已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线

I与抛物线C交于A,B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点

P,若|PF|=|,则M点的横坐标为

题型6焦点定比值二级结论

【方法总结】

过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为e,且而=AFB,cose=\^I

【例题6】（21-22下湖北一模）过抛物线v=px,（P〉0）的焦点F作直线I,交抛物线于

A,B两点，若以|=3|阳，则直线I的倾斜角等于（）

A.30°或150°B.45°或135°

C.60。或120°D.与p值有关

【变式6-1]1.（多选）（23-24上・广州•阶段练习）已知过点F（0,1）,倾斜角为60。的直线与

抛物线C:/=4y相交于4B两点（点4在第一象限）.过线段48的中点P作平行于y轴的直

线，分别与抛物线C和其准线相交于点M、N.则下列说法正确的是（）

A.\PM\=\MN\B.WF-AB=0

C.\FA\=3|FB|D.直线AN与抛物线C相切

【变式6-1]2.（21-22下•酒泉•模拟预测）已知抛物线C：y2=2Px（p>0）,过焦点P的直

线交抛物线C于A,B两点，目线段的长是焦半径|4P|长的3倍，则直线AB的斜率

为

【变式6-1]3.（22-23上•河南•开学考试）已知倾斜角为60。的直线1过抛物线=

2px（p>0）的焦点F，且与C交于4,B两点（点4在第一象限），若[4F|=3，则|BF|=.

【变式6-1]4.（19-20下江门•期中）若M是抛物线y2=4%上一点，F是抛物线的焦点，

以尸乂为始边、FM为终边的角NXFM=60°,贝！J|MF|=

yi

ir

[K

【变式6-1]5.(2L22・全国・专题练习)过抛物线y2=px,(p>0)的焦点F作直线I,交

抛物线于A,B两点，若照|=3尸81,则直线I的倾斜角等于

题型7切线

【方法总结】

抛物线切线有如下结论与性质：

1.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.

3.点P(久°,小)是抛物线x2=2my(mr0)上一点，则抛物线过点P的切线方程是：

xox=m(yo+y).

【例题7](21-22下河南•模拟预测)已知M3,3)是抛物线C：x2=2py(p>0)上一点,且

位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4,过点P(4,2)向抛物线C作两条切线，切

点分别为4,B,则赤-BF=()

A.—1B.1C.16D.—12

【变式下・邯郸一模)过点作抛物线的切线％,切点分别

7-1]1.(19-20•P=2yl2,

为M,N若4PMN的重心坐标为(1,1)，且P在抛物线。：y2=mx±L，则。的焦点坐标为()

A.&,0)B.(|,0)C.亭0)D.俘，0)

【变式下开封模拟预测)已知点在抛物线的

7-1]2.(22-23••P(4,-2)C：/=2py(p>0)

准线上，过点P作C的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()

A.x—y+2=0B.2x—y+2=0C.3x—y+2=0D.x—2y+4=0

【变式7-1]3.（多选式2223下・朝阳•期末）已知抛物线「：/=2py（p>0）,过其准线上

的点TQ,-1）作「的两条切线，切点分别为A、B,下列说法正确的是（）

A.p=4B.当t=1时，741

C.当t=1时，直线AB的斜率为2D.直线AB过定点（0,1）

【变式7-1]4.（2023・遂宁•三模）已知抛物线C:4=2py（p>0）的焦点为F,准线为1,

点Q（2，Vo）在抛物线上，点K为/与y轴的交点，且|QK|=V2\QF\,过点P（4,2）向抛物线作两

条切线，切点分别为4B，则Q・方=

【变式7-1]5.（2223铜仁•二模）从抛物线C:/=2py（p>0）外一点P作该抛物线的

两条切线PA,PB（切点分别为A,B）,分别与x轴相交于点C,D,若AB与y轴相交于

点Q,点M（xo,4）在抛物线C上,且|MF|=6（F为抛物线的焦点）.

（1）求抛物线C的方程；

⑵求证：四边形PCQD是平行四边形.

题型8最值与取值范围

【方法总结】

抛物线线段型最值，可转化为：

1.利用定义和焦半径公式，把到焦点距离转化为到准线距离，或者把到准线距离转化为到

焦点距离

2.设抛物线上点坐标，结合题意构造距离函数式求范围最值

【例题8]（18-19下•铜陵•期中）已知抛物线C：y2=4x的焦点为尸，2为抛物线C上一动点,

M（3,2）,则小PMF的周长最小值为（）

A.4B,1+2V2+V13C.3+2V2D.4+2V2

【变式8-1]1.（23-24上•淮安•期中）设抛物线/=4y上一点P®]久轴的距离为d，点Q为

圆Q-4）2+（y+2）2=1任一点，则d+|PQ|的最小值为（）

A.2V5-1B.2C.3D.4

【变式8-1]2.（17-18上•虹口・期末）P为抛物线C：*=4x上一动点,F为C的焦点,平面

上一点4（3,㈤，若|PF|+|P*的最小值为4，则实数机的取值范围为

【变式8-1】3（2324上•盐城•期中圮知动点P在抛物线y2=4x±过点P引圆C：（x-3）2+

y2=l的切线，切点分别为a,B,则|力用的最小值为

【变式8-1]4.（20-21下•哈尔滨•二模）若B点的坐标为（3,2）,点P为抛物线C：y2=6x±

的动点，尸是抛物线C的焦点,当4周长取得最小值时△PBF的面积为（）

A.-B.-C.-D.3

223

【变式8-1]5.（22-23上•陕西・期末）已知P为抛物线CM=-16y上一点，尸为焦点,过

P作C的准线的垂线，垂足为H，若△PFH的周长不小于30，则点P的纵坐标的取值范围是（）

A.（—oo;—5]B.（-00,-4]

C.（-00,-2]D.（-00,-1]

【变式8-1]6.（18-19下•安庆•模拟预测）已知F为抛物线4y2=%的焦点，点4,B都是抛

物线上的点且位于x轴的两侧，若瓦I•加=15（。为原点），则/AB。和的面积之和的最

小值为（）

A.—B.-C.-D.-

2248

题型9抛物线与圆

【方法总结】

抛物线与圆的综合题型，多从以下几方面入手：

1.圆外一点与圆上一点距离，多转化为与圆心的距离

2.抛物线上点与焦点（或者准线）距离，多转化为与准线（或焦点）的距离.

3.利用圆的方程与抛物线的方程，可以设点坐标计算.

【例题9]（23-24上•江门•阶段练习）已知圆/+y2=4与x轴相交于E,F两点，与抛物线

C-.y2=2PMp>0）相交于A,B两点，若抛物线C的焦点为F,直线BF与抛物线C的另一个

交点为D,!0l||DF|-\AF\=（）

A.2B.4C.6D.8

【变式9-1]1.（22-23下•成都•期中）已知M为抛物线y2=2x准线上一点，过M作圆：

0-2）2+（y+=1的切线，则切线长最短为（）

A笠BTCYDY

2424

【变式9-1]2.（23-24上浙江•阶段练习）已知抛物线/=6y的焦点为尸,圆M与抛物线

相切于点P,与y轴相切于点尸，则|PF|=

【变式9-1】3.（23-24上•永州•一模）已知点N（a,2g）（a>0）在抛物线。:外=2Px（0<p<

2a）上，尸为抛物线C的焦点，圆N与直线x=技目交于4、B两点，与线段NF相交于点R,且

\AB\=2aRF|.若R是线段NF上靠近F的四等分点，则抛物线C的方程为

【变式9-1]4.（22-23下•枣庄•二模）已知点4（1,2）在抛物线y2=2Px上，过点A作圆

（%-2）2+*=2的两条切线分别交抛物线于B,C两点，则直线BC的方程为.

【变式9-1]5.（22-23下安康•期中）已知点M（0,4）,点P在抛物线/=8y上运动，点Q在

圆好上运动，则鬻的最小值

+（y-2/=1

【变式9-1]6.（2223・景德镇•三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合

再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅,

飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爰凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大

跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧

州组成，如图所示在适当的坐标系下圆弧0W所在圆的方程为0+10）2+（y-3）2=128,

若某运动员在起跳点M以倾斜角为45。且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的飞行轨迹是一

个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（）

A.%2=-4（y+4）B.y=—1%2—3

C.x2=—32（y—1）D.y2=—j（%+4）

题型10抛物线与椭圆

【例题10]（23-24上•贵阳•阶段练习）椭圆E：^+^=l（a>b>。）的左、右焦点分别为

a,尸2,现已知尸2与抛物线产=4支的焦点重合，椭圆E与过点P（4,2）的幕函数/（X）=无比的

图象交于点Q,且幕函数在点Q处的切线过点&,则椭圆的离心率为（）

A.等B.等C.与—1

【变式10-111.（22.23下•呼和浩特•模拟预测）已知椭圆G：，+A=1的焦点分别为6/2,

且尸2是抛物线。2：/=2PX（p>0）焦点，若P是G与的交点，且IP&I=7,则C0SNP6国的

值为（）

A.-B.-C.-D.-

87117

【变式（2222上连云港•期中已知点F为抛物线Cy2=4x的焦点点厂（-1,0）,

若点P为抛物线C上的动点，当瞿取得最大值时，点P恰好在以F,9为焦点的椭圆上,

IP尸I

则该椭圆的离心率为（）

A.iB.立C.V3-1D.V2-1

22

22

【变式10-1]3.（2223•全国专题练习）已知椭圆会+a=l（a〉6>。）的左、右焦点分

别为6、F2,抛物线f=4支的焦点与椭圆的右焦点重合，点P为抛物线与椭圆在第一象限的

交点，且IP&I=1.过尸2作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于48和C、。，线

段4B的中点为M,线段CD的中点为N,则直线MN过x轴上一定点

【变式10-1】4.（22-23下・厦门•期中）已知椭圆G：?+9=1,抛物线C2：y2=4x,

（2y[x,0<%<x0

2

两者的一个交点为aOo,Vo）,点B（l,0）.定义/■（>）=/3（4-x）•若y=a与y=交

—,x>x0

于M,N两点，则4BMN周长的取值范围为

【变式10-1】