2025年新高考数学专项复习：立体几何与空间向量十二大重点题型（解析版）

专题1-8立体几何与空间向量十二大重点题型汇总

。常考题型目录

题型1空间向量的概念............................................................1

题型2空间向量的线性运算........................................................5

题型3空间向量的线性表示........................................................8

题型4空间向量的基本定理.......................................................13

题型5空间向量共线问题.........................................................16

题型6空间向量共面问题.........................................................19

题型7空间向量的数量积、夹角与模长问题........................................24

题型8空间向量的对称问题.......................................................30

题型9利用空间向量证明位置关系.................................................34

题型10利用空间向量计算空间角..................................................43

题型11利用空间向量算距离......................................................53

题型12空间中的动点问题........................................................62

但题型分类

题型1空间向量的概念

【例题1]（2023•全国•高二专题练习）已知正方体ABCD-的中心为。，则在下列

各结论中正确的共有（）

①次+砺与痔+比7是一对相反向量；

②而-沆与而-亦是一对相反向量；

③瓦？+OB+OC+而与。不+OB7+OC7+亦是一对相反向量；

④布-耐与反-沆7是一对相反向量.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可.

对于①,ox=-0C7,~OD=-OB7,.-.OA+OD-(OB7+OC7),

OA+而与西+正是一对相反向量,①正确；

对于②,"OB-OC^CB,0^-0D7=DM7,又方=PM7,

OB-沆与而-而不是相反向量，②错误；

对于③,"OA^-0C7,OB=-0D7,OC=-Ol7,OD=-OB7,

■.OA+OB+OC+OD--(OA1+OB7+OC7+OD7),

.■.OA+OB+OC+而与振+痔+玩7+正是一对相反向量，③正确；

777

又寸于④,­••OX-OX=XF/OC-OC-CC,又打=-CT,

•••瓦尹-就与沆-正是一对相反向量，④正确.

故选：C.

【变式1-1]1.(2023秋•高二课时练习)下列命题中为真命题的是()

A.空间向量荏与瓦?的长度相等

B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

【答案】A

【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相，由此可判断AD,将空间

所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B,由向量与有

向线段的关系判断c.

【详解】对于A,因为空间向量荏与瓦宿:为相反向量，所以空间向量荏与瓦?的长度相等，

所以A正确，

对于B力各空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面所以B错误，

对于C,空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C

错误，

对于D,两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量屈与瓦?的模相

等，所以D错误，

故选：A

【变式1-1]2.（2022・高二课时练习）下列说法正确的是（）

A.零向量没有方向

B.空间向量不可以平行移动

C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D.同向且等长的有向线段表示同一向量

【答案】D

【分析】根据零向量的规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B;根据

相等向量的定义可以确定C、D.

【详解】对于A:零向量的方向是任意的，A错误；

对于B:空间向量是自由向量可以平移，B错误；

对于C、D:大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，

所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.

故选：D.

【变式1-1]3.（多选）（2023秋湖北襄阳•高二襄阳五中校考开学考试）如图所示，在长

方体A8CD—a/iGA中，2B=3,4。=2,441=1,则在以八个顶点中的两个分别为始

A.单位向量有8个B.与荏相等的向量有3个

C.京的相反向量有4个D.模为画的向量有4个

【答案】ABC

【分析】根据单位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐项分析可得答案.

【详解】由题可知单位向量有初，而，西，瓦N,宿，京，西，取，共8个，故

A正确；

与荏相等的向量有4瓦,即7，沆，共3个，故B正确；

向量标的相反向量有不，庭，京，瓦万，共4个，故C正确；

模为隗的向量分别为丽，用，硕，两，M,而，瓦T,西，共8个，故D错误.

故选：ABC

【变式1-U4.（2021秋•高二课时练习）给出下列几个命题：

①方向相反的两个向量是相反向量；

②若同=\b\,贝！=3或a=-b；

③对于任何向量a,b,必有同+b\<\a\+\b\.

其中正确命题的序号为.

【答案】③

【分析】根据相反向量的定义可以判断①；两个向量模相等，这两个不一定是相等向量或相

反向量可以判断②；通过对2,3同向，反向，不共线进行分类讨论，结合三角形法则和三

边关系则可以判定③.

【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；

对于②，若闷=\b\,则a与笳勺长度相等，但方向没有任何联系，故②不正确；

对于③,若2与3同向,则口+臼=|a|+\b\,若2与刃反向,\d+b\<|a|+\b\,若2与另不

共线,结合三角形法则和三角形三边关系,两边之和大于第三边,所以n+b\<\a\+\b\,

综上必有4+b\<\a\+\b\,所以③正确.

题型2空间向量的线性运算

【例题2](2023秋・河北石家庄•高二石家庄二十三中校考期末)已知四面体ABC。，G是CD

的中点，连接4G,则4B+1(BD+BC)=()

A•武B.德C.BCD.河

【答案】A

【分析】根据已知条件作出图形，利用中点的向量的线性关系及向量加法法则即可求解.

【详解】四面体48CD,G是CD的中点，如图所示，

R

因为G是CD的中点，

所以丽=式丽+配)

所以荏+^(BD+BC^)=AB+BG=AG.

故选：A.

【变式2-1]1.(2021秋•吉林长春•高二校联考期末)空间任意五个点4B、C、D、E,

则科+AE+CD-CB+丽等于

A.DBB.ACC.ABD.~BA

【答案】D

【分析】将病化为求+施+瓦？，利用相反向量的和为零向量即可得结果.

【详解】DA+AE+CD-CB+EA

=(DC+CB+BA")+CD-CB+(A£+IA)

=(DC+CD)+(CB-'CB)+^A+(AE+EA)=市,故选D.

【点睛】本题主要考查空间向量的运算，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力属于简

单题.

【变式2-1]2.(2023秋•北京・高二北京八中校考期末)如图，在空间四边形2BCD中，设

E,F分别是BC,CD的中点，则同+*前-丽)=()

A.ADB.FAC.AFD.EF

A

【答案】c

【分析】利用空间向量的线性运算求得正确结论.

【详解】因为就-RD=DC,|(BC-BD)=|DC=DF,

所以而+|(BC-BD)=AD+DF=AF.

故选：C

【变式2-1]3.(2020秋•内蒙古乌兰察布•高二校考期末)已知点4(4,1,3),5(2,-5,1),

若前=[荏,则点C的坐标为()

A--(MF)C-•信-3,2)

【答案】B

【解析】设出c点坐标，根据尼=:说表示出坐标之间的关系，则C点坐标可求.

(%-4=|(2-4)(久=与

【详解】设C(x,y,z),因为前=：屈，所以卜-1=*-5-1)，所以卜=:，所以

[z—3=*1—3)IZ=1

嗯，-1,9，

故选：B.

【变式2-1J4.(2020秋福建三明•高二校联考期末)已知4(1,-2,0)和向量五=(-3,4,12),

SAB=2五，则点B的坐标为

A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(—6,8,24)D.(-5,6,24)

【答案】D

【分析】根据五=(-3,4,12),SAB=2d,可得荏的值,同时已知4(1,-2,0),可得B的坐

标.

【详解】解：•.•五=(-3,4,12),且布=2a,XB=(-6,8,24),

4(1,一2,0),山=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),

故选D.

【点睛】本题考查空间向量的数乘运算，是一个基础题，解题的关键是牢记公式，在数字运

算的时候要细心.

【变式2-1]5.(2020秋•宁夏银川・高二宁夏育才中学校考期末)已知五=(2,-3,1),b=

(2,0,3),c=(1,0,2),则五+6b—8c—____.

【答案】(6,-3,3)

【解析】先计算8?,再计算五+63-8卿得解.

【详解】由于拓=(12,0,18),8c=(8,0,16),故五+6h-8c=(6,-3,3).

【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.

题型3空间向量的线性表示

【例题3](2023春・江苏•高二期末)如图，在四面体OABC中，布="布=39=,点

M在OA上，且满足丽=3MA,N为BC的中点，则而=()

A1-»37^1-»Q2->17^1->厂1->2个3-»17^1-»

A.-a——D+-cD.——a+-b+-cC.-a——b+-cU.——a+-D+-c

242322232422

o

【答案】D

【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到.

【详解】如图，连接ON,

N是8c的中点，二赤=：而+3瓦,

------>------>------>a—»

•・•0M=3MA,・•.OM=-OA,

'4'

~MN=~ON-OM=-OB+-OC--OA=--a+-b+-c.

224422

故选：D.

【变式3-1]1.(2023秋・安徽黄山•高二统考期末)如图，在三棱柱ABC-A/】G中，E、

F分别是BC、CG的中点，G为A48c的重心，则谓=()

人.号荏+|元+|矶B*荏+|元+］痂

C.-^AB+^AC-^AAlD一乐，就+工砧

33213321

【答案】A

【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.

【详解】解：由题意可得：

萧=谣+而

1一1—,

=-AE+-3^

321

11__>__>1__>___»

=2x2（48+4。）+2（BC+BB】）

111

=-AB-^--AC+-（AC-AB+

662

1—2一1—>

=--AB+-AC+-BB

3321

=--AB+-AC+-AA1.

3321

故选：A.

【变式3-1]2.（2023秋・广西防城港•高二统考期末）如图,设。为平行四边形ZBCD所在

平面外任意一点,E为。C的中点，若布=lOD^xOA+yOB,贝咏+y的值是（）

A.-2B.0C.-1D.-

2

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出荏=|OO+|OB-|OX,结合条件即可得

出答案.

【详解】E为。C的中点,

•••OE=|OC=|（OD+DC）,

,•四边形48CD为平行四边形，：.沆=荏，

.-.0E=-(OD+AB)=-COD+OB-OA)=-~OD+-OB--OA.

2、J2v7222

T1T--

OE=-OD+xOA+yOB,

11

%,y=——,

2'72'

••・比+y=0,

故选：B.

【变式3-1]3.(2023秋・湖北黄冈•高二统考期末)如图，已知空间四边形0ABe,M,N

分别是边OA,BC的中点，点G满足前=2GN，设瓦？=a,OB,OC=c，则而=()

A1-»।17*।1Q1.1'L।1-»✓-1.17*.1-»rs1.1।1->

A.-ad—bH—cB.—ad—b—cQ.-ad—b—cD.—ad—bH—c

333633366666

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算一步步将向量前化为关于通,OB,OC,即可整理得出答案.

【详解】OG+MG^OA+jMW=+j(AM+AB+BN),

=河+1(源+而一或+x),

=+1[|ol+OB-OA+^(OC-OB)],

/成+:而+!灰，

1,11.1

=-ad—b4—c.

633

故选：B

【变式3-1J4.(2023秋・北京•高二中央民族大学附属中学校考期末庭平行六面体ABCD-

中，点M:两足224M=AC.右=a,=b,A^A=c，则下列向量中与相

等的是（）

A.-a--b+cB.-a+-b+c

2222

/-1->।17^.->pvl-»17^।->

C.——a+-D+cD.——a——b+c

2222

【答案】C

【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.

由点M满足2前=AC,所以M为4C中点，

因为四边形ABCD为平行四边形,所以M为BD中点,

所以前=[丽-|(BX+BC)=|(-a+fa),

所以Bi"=B]B+BM=c+|(—a+b)=—|a+|b+c.

故选：C

【变式3-1]5.(2021秋•湖北宜昌•高二葛洲坝中学校考期末)在棱长为1的正方体力BCD-

为B1GD1中，E,F,G分别在棱BBi，8C,BA上,且满足旗=:蒋,BF=^BC,BG=^BA,

0是平面8m尸，平面ACE与平面的一个公共点，设前=xBG+yBF+zBE,则x+

y+z=

A.iB.-C.-D.-

5555

【答案】B

【分析】利用空间向量的共面定理可得丽在不同基底下的表示方法，从而可求.

【详解】因为丽=xBG+yBF+zBE=xBG+yBF+%两,。在平面/GF内，

4

所以％+y+Y=1洞理可得弓+^+z=l,K=y,解得x=y=|,z=|,故选B.

4zZ5b

【点睛】本题主要考查空间向量的共面定理利用四点共面的特点，建立等量关系式是求解

关键.

题型4空间向量的基本定理

【例题4】(2023春・河南开封•高二统考期末)若尼石,可构成空间的一个基底，则下列向量

可以构成空间基底的是()

A.a+b,a—b,aB.d+b,a—b,bC.d+b,d—b,b+cD.a+b,d+b+c,c

【答案】C

【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A,a=1[(a+b)+(a-b)]，因此向量五+b,a-b,3共面，故不能构成基底，

故A错误；

对于B,b=1[(a+fa)-(a-fa)],因此向量2+b,a-b,3共面，故不能构成基底，故B错

误；

对于C,假设向量2+b,a-b,b+洪面,则3+c-A(a+b)+g(a-b),

即己=(4+〃/+(4-〃-1)K,这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确；

对于D,0+3)+3=N+3+葭因此向量d+b,a+b+共面，故不能构成基底，故D

错误；

故选：C.

【变式4-1]1.(2020秋•河南信阳•高二统考期末)已知N=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),

c=(7,5,2),若代,b,R不能构成空间的一个基底，则实数A的值为()

A.0B.-C.9D.-

77

【答案】D

【分析】依题意可得匕b,洪面，则,^xa+yb,其中CR,根据空间向量坐标运算得到

方程组，解得即可.

【详解】"｛a,b,逊不能构成空间的一个基底,•••a,b,洪面,则｝=xa+yb,其中％,y&R,

贝!](75入)=(2%,一居3%)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,—％+4y,3x-2y),

33

f7=2x—y7

5=-x+4y,解得17

7・

A=3%—2y65

7

故选：D.

【变式4-1]2.(2023秋•云南大理•高二统考期末)若｛瓦石，可｝是空间的一个基底，且向

量付1=西+石+百赤=及-2瓦+2国方=国+3孩+福｝不能构成空间的一个基

底，贝心=()

A.-B.-C.-iD.-

3244

【答案】D

【分析】由题意可知，向量力1OB.沆共面，则存在实数以y使得沆=x瓦？+y赤，根

据空间向量的基本定理可得出关于乂y、k的方程组，即可解得k的值.

【详解】因为向量a=%+石+百，丽=瓦-2瓦+2月，灰=砥*+3/+2可不能构

成空间的一个基底，

所以就、OB.方共面，故存在实数八y使得1^xOA+yOB,

BPke^+3可+2eJ=x(e^+可+瓦)+y(前一2石+2可)=(%+y)否+(%—2y)eJ+

(%+2y)五,

,(x=-5

Jc=%+y2

因为｛瓦•，石，石｝是空间的一个基底，则久—2y=3,解得[y=—[.

、%+2y=29

\k=-

I4

故选：D.

【变式4-1]3.（多选）（2023秋・山西晋中•高二统考期末）色,b,4是空间的一个基底，与

N+&2+群勾成基底的一个向量可以是（）

A.h+cB.b—cC.bD.c

【答案】ACD

【分析】根据空间向量基本定理判断即可.

【详解】由于3-c=a+b-（a+c）,故3-3与2+3、2+3共面，无法构成空间的一个基

底，故B错误；

因为优b,可是空间的一个基底，由于不存在实数对x、y，使得刃+/=久（2+&+y（a+c）,

‘％+y=0

若成立则x=i,显然方程组无解，故3+石、d+芯z+何以作为空间的一个基底，

.y=1

故A正确，同理可得C、D正确；

故选：ACD

【变式4-1]4.（多选）（2022秋广东深圳•高二深圳外国语学校校考期末）设何24是

空间一个基底，则下列选项中正确的是（）

A.若NLb,blc,则21c

B.a+c,b+c,c+N一定能构成空间的一^基底

C.对空间中的任一向量力，总存在有序实数组Q,y,z），使万^xa+yb+zc

D.存在有序实数对，使得,^xa+yb

【答案】BC

【分析】根据空间向量的基本定理，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】对于A.alb.blc,不能得出21c,也可能是2辞目交不一定垂直，选项A错

误；

对于B，假设向量2+b,b+c,c+2共面,贝！B=x（b+c）+y（c+d）,%、y€R,

化简得(X+y)c=(1-x)b+(1-y)a，所以A石、洪面，这与已知矛盾，所以选项B正确；

对于C,根据空间向量基本定理知，对空间任一向量力，总存在有序实数组(x,y,z),使方=乂2+

yb+zc,选项C正确；

对于D,因为｛乙3,钟是空间一个基底，所以d与唬3不共面，选项D错误.

故选:BC.

题型5空间向量共线问题

【例题512023春•甘肃白银•高二校考期末股向量/百石不共面，已知前=前+石+石，

前=瓦+2/+百，而=4瓦＞+8瓦+4瓦，若人，(：，口三点共线，贝[U=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据A,C,D三点共线，可得前/标,则存在唯一实数〃，使得前=〃而，再

根据空间向量共线定理即可得解.

【详解】由屈=e7+e7+e；,BC=e7+2e；4-e；,

得=荏+阮=2区+(1+2)孩+2久,

因为A,C,D三点共线，所以就〃而，

则存在唯一实数〃，使得前=fiCD,

2=44r_1

则1+4=8〃,解得"=5.

.2=4/z(4=3

故选：C.

【变式5-1]1.(2022秋•吉林四平•高二四平市第一高级中学校考期末)已知引是空

间的—个基底，若沅—a.+2b—3c,n-x(a+b)—y(b+c)+3(a+c)，若沅||n，则:=()

A.-3B.-iC.3D.-

33

【答案】C

【分析】由沅II元，可得存在实数4,使元=Am,然后将沅，元代入化简可求得结果

【详解】m=a+2b—3c,n=x(a+3)—y(b+c)+3(5+?)=(%+3)a+(%—y)b+

(3-y)c,

因为访IIn,所以存在实数4，使元=Am,

所以(％+3)a+(x—y)b+(3—y)c=A(a+2b—3c),

'%+3=A

所以％-y=24,

、3—y=-3A

所以y了;21工

，得2久-I-2y=3x—y,x=3y,

(3—y——31%-rDj

所以:=3,

故选：C

【变式5-1]2.(多选)(2023春・安徽滁州•高二校考期末)如图，在三棱隹WC-ABC

中，P为空间一点，目满足乔=ABC+〃西，e[0,1],则()

A.当2=1时，点P在棱BBi上B.当白=1时，点P在棱ZG上

C.当4+〃=1时，点P在线段/C上D.当2=“时，点P在线段8G上

【答案】BCD

【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解

【详解】当2=1时，丽=就+〃西,所以而=曲瓦,

则而〃西,即P在棱CC1上,故A错误；

同理当〃=1时，贝,故P在棱BiG上,故B正确；

当4+〃=1时，〃=1一4,所以前=XBC+(1-4)西,即瓦？=AB^C,

故点P在线段BiC上,故C正确；

当4=〃时，前=A(BC+西)=ZBQ,故点P在线段EC1上，故D正确.

故选：BCD

【变式5-1]3.(2021秋•陕西渭南•高二统考期末)若向量2=(-4,2,1)与向量3=(2,x,y)

共线,贝股-y=.

【答案】-|/-0.5

【分析】根据向量共线基本定理，可设N=焉"eR,列出方程组，即可求得%和y的值，进

而求出比-y的值.

【详解】由向量B=(-4,2,1)与向量3=(2,x,y)平行，

可设N—Ab,AGR,

(一4=22=-i

则12=xA,解得|v_i,

(l=yA(y~~2

所以x-y=-1+|=-

故答案为：-/

【变式5-1]4.(2023秋•湖南长沙•高二统考期末)已知向量五=(1,5,-1)5=(-2,3,5).

(1)若(k五+b)//(a-3b),求k的值；

(2)以坐标原点。为起点作a=a,OB=b,求点。到直线AB的距离d.

【答案】(l)k=—J(2)d=萼.

【分析】(1)根据空间向量的坐标运算与平行满足的性质求解即可；

(2)先求而在屈上的投影，再根据勾股定理求解d即可

【详解】(1)放+/=(1-25k+3,-fc+5),

五一3*=(1+3x2,5-3x3,-1-3x5)=(7,-4,-16)

•••(fca+/))//(«-3b)

一=啰=簧，即f+8=35k+21,

解得k=-|.

(2)由条彳牛知4(1,5,2,3,5),

:.A0=(-1,-5,1),AB=(-3,-2,6)

AO-AB=(-1)-(-3)+(-5)-(-2)+1X6=19,|AB|=J(-3)2+(-2/+6?=

7,

故而在荏上的投影为,又I而|2=（-1）2+（—5）2+12=27

.•点。到直线4B的距离d

题型6空间向量共面问题

【例题6]（2020秋•宁夏银川・高二宁夏育才中学校考期末）A,B,C三点不共线，对空间

..12T1T1T

内任意一点O,若。P=”a+*8+*C）!JP,A,B,C四点（）

4oo

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断是否共面

【答案】B

【分析】利用空间向量共面定理即可判断

【详解】因为。p^-OA+-OB+-0C,则。P—。a=--OA+-OB+-0C

488488

TT1TT1TT

即。P-OA^-（OB-OA）+-（0C-OA）

88

--i~-

^AP=-AB+-AC

88

—>—>—>

由空间向量共面定理可知，共面，则P,A,B,C四点一定共面

故选：B

【变式6-1]1.（多选）（2020秋•山东烟台•高二统考期末）已知A,B,C三点不共线,

0为平面ABC外的任一点，则"点M与点A,B,C共面”的充分条件的是（）

A.W=20A-OB-OCB.OM^OA+OB-0C

C.OM=OA+-~OB+-0CD.OM=-OA+-~0B+-OC

23236

【答案】BD

【解析】根据“丽xOA+yOB+z瓦时，若％+y+z=1则点M与点4B,C共面"，分

别判断各选项是否为充分条件.

【详解】当加=mMB+n前时，可知点M与点48,C共面，

所以诟+市=m(MO+OF)+n(MO+0C),

所以0+y-1)W=-0A+xOB+yOC,

所以砺=砺+屈=一_+^—OB+^—OC.

m+n-1m+n-1m+n-1m+n-1

不妨令--m-+7n—-1=X,m+rn-1I=/y'm+，n-1，=z,且此时X+/y+z=1,

因为2+(-1)+(-1)=OH1,1+1+(-1)=1,+3+9+

Z5oZoo

由上可知：BD满足要求.

故选：BD.

【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点

共面的方法有：(1)证明标=xMB+yMC；⑵对于空间中任意一点。,证明丽=

0A+xMB+yMC；(3)对于空间中任意一点。，证明。M=xOA+yOB+zOC(x+y+z—

1).

【变式6-1]2.(2023春•福建莆田•高二统考期末)若点Pe平面4BC,且对空间内任意一

点。满足加=^0A+WB+10C,则%的值是()

4o

A.--B.--C.-D.-

8888

【答案】D

【分析】根据条件得出P,4,B,C四点共面，再根据=^OA+AOB+1反即可求出2的

48

值.

【详解】•••pe平面ABC,

■-P,A,B,C四点共面,

又加=-OA+MB+-OC,

48

.•・[+[+2=1,解得A—|・

故选：D.

或者根据；pe平面ABC,.-.P,A,B,C四点共面，则存在实数居y,使得^xPB+yPC,

即市-OP=x(OB-0P)+y(OC-0P)0(1-x—y)OP=0A-xOB-yOC,

"1—x—y=4,

又4加=0A+4AOB+-0C,所以1-x=2，解得力=§

218

l-、=5，

故选：D

【变式6-1]3.(2023秋辽宁丹东•高二统考期末)已知空间向量2=(-2,1,-4),b=

(1,-1,2),c=(一7,—5,m)若,a,b,洪面，则实数爪的值为()

A.-14B.6C.-10D.12

【答案】A

【分析】根据向量共面，建立方程组，解得答案.

，—2=x—7y

【详解】由五，3,洪面,可设立=xb+yc,1=-X-5y,

—4=2%+my

'_17

由/=：一£，解得“一一六，代入第三个方程可得：一4=一？+*解得m=-14.

U——x—oyv=—612

I'12

故选：A.

【变式6-1]4.(2023秋•重庆长寿•高二统考期末)已知空间三点坐标分别为4(1,1,1),

5(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,%,1)在平面ABC内，则实数比的值为

【答案】y

【分析】根据题意，存在实数尢〃使得等式点=AAB+〃前成立，将各点坐标代入，列出方程组

求解即可.

【详解】•••点P(-3,久,1)在平面ABC内，

二存在实数4,4使得等式衣=4屈+〃就成立，

・••(—4,x-1,0)=2(—1,2,-1)+〃(-3,—2,3),

-4=-A—3/1

%—1=24—2〃,解得

0=-A+3〃

故答案为：y

【变式6-1]5.(2021・全国•高二期末)如图,已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个

点，且。E=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k,mER.

(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；

⑵宿廊;

(3)OG=kOC.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)利用空间向量基本定理证明即可，

(2)由丽^EH+mEF,结合空间向量的减法和数乘运算可得说=kAC,从而可证得结

论，

(3)由丽=丽-丽，结合(2)中的结论与荏=k瓦I可得证

【详解】(1)因为芯=通+mAB,EG^EH+mEF,

所以由共面向量定理可得前，而,同是共面向量，丽，丽,而是共面向量，

因为前，而，荏有公共点4,诟，丽，而有公共点E,

所以A、B、C.D四点共面，E、F、G、H四点共面，

(2)因为说=丽+mEF^OH-OE+m(0F-0E)

=k(0D-OX)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB=k^AD+mAB')=kAC,

所以前II丽；

(3)OG=OF+EG=kOA+kAC=k(0A+硝=kOC

【变式6-1]6.(2022秋广东深圳•高二统考期末)如图，在正方体ABCD-a/iGA中，

M,N,E,F分别为棱2B,BC,44i，DiC的中点,连接CD1,EM,MN,EN,NF,EF.

(1)证明：〃平面EMN；

⑵证明：E,F,N,M四点共面.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量平行的性质，结合线面平行的判定定理

进行证明即可；

（2）根据空间共面定理进行证明即可.

【详解】（1）设正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系:

则。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),5(0,0,2),4式2,0,2),Q(0,2,2),(2,2,2),

则M(2,l,0),N(l,2,0),£(2,0,1),F(0,1,2),

D^C=(0,2,-2),,

则有aZ=-2ME,故。,

因为QCC平面EMN,MEu平面EMN,

则有AC〃平面EMN；

(2)丽=(-2,1,1),EM=(0,1,-1),£W=(-1,2,-1),

则有丽=-3EM+2EN,则向量而、前、前共面，

必有E,F,N,M四点共面

题型7空间向量的数量积、夹角与模长问题

【例题7]（2023秋•内蒙古包头•高二统考期末）如图，平行六面体ABC。-&B1GA所有

棱长都为1，底面4BCD为正方形，乙4MB=乙=60°.则对角线力G的长度为（）

A.V6B.V5C.2D.V3

【答案】B

【分析】利用基底法求解即可.

【详解】由题知宿=乐+而+理，

222

所以温=(AB+AD+AA-J)=AB2+AD2+丽+2AB-AD+2AD-初+2标-AB

2

^AB2+AD2+AAi+2|AB|­|^4D|cos90°+2|AD|-|A47|COS60°+2|A4^|•|^4B|COS60°=

1+1+1+04-1+1=5,

所以McJ=Vs,即AC1=Vs.

故选：B.

【变式7-1]1.(2023春・江苏镇江•高二江苏省镇江第一中学校考期末)如图，二面角4-

EF-C的大小为45。，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则8、。两点间的距离是

()

A.V2B.V3C.73-V2D.内+企

【答案】C

【分析】利用二面角的定义可得出乙4£。=45。，由空间向量的线性运算可得出)=育-

ED+AB,利用空间向量数量积的运算性质可求得|丽|,即为所求.

【详解】因为四边形&BFE、CDEF都是边长为1的正方形,则AE1EF,DE1EF,

又因为二面角A-EF-C的大小为45。，即乙4ED=45。，则低X前｝=45。，

因为丽^DE+KA+AB^KA-^D+AB,由图易知说1EA,AB1ED,

所以,\DB\=l(EA-ED+AB)2=y/EA2+ED2+AB2-2EA-ED+,ZEA-AB-2ED-AB

Vl+l+l-2xlxlxcos45°+0-0-

故选：C.

【变式7-1J2{2023春•四川•高二统考期末）如图所示，平行六面体ABCD-中，

以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。,求西•前的值是（）

A.-1B.1C.V2D.V3

【答案】B

【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出西，前,再根据空间向量的数量积的

运算，即可求得答案.

【详解】由题意得珂=瓦？+而+西^AD-AB+AA1,AC^AB+AD,

则西-AC=（AD-AB+丽j.港+AD）=AD2-AB2+AA^-AB+AA^-AD

=l-l+lxlxCOS60°+1x1xCOS60°=1,

故选：B

【变式7-1]3.（多选）（2021秋・江苏•高二校联考期末）在三维空间中，定义向量的外积：

ax3叫做向量2与笳勺外积，它是一个向量，满足下列两个条件：

①210x司10x司，且2,b^\ax诉勾成右手系（即三个向量的方向依次与右手的

拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）;

②aX3的模区xb\=同向sin值㈤（值,3）表示向量日,3的夹角）.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有以下四个结论,正确的有（）

A.|ABtxAC\=\ADrx~DB\B.&C；x币与西共线

C.ABxAD=ADxABD.6|就x与正方体表面积的数值相等

【答案】ABD

【分析】根据所给的新定义及正方体的性质——计算可得.

【详解】对于A，对于A,设正方体的棱长为1,在正方体中（福，灰）=60。，

贝“耐=|福||Z?kin（福，尼）=V^x&xf=V5,

因为BZy/Bi/,且乙=60°,所以（河，丽）=120°,

所以|砺x函=|河口函sin旧瓦函=V2xV2Xy=V3,

所以|福xXC|=\ADlx~DB\,所以A正确；

对于B,在正方形42164中，4G1%必，又因为84，平面4/165,4Gu平面

AyB-^C-yD^,所以241clJ-BB],

又B[BClB]D1=B1,B]B,B]D1u平面夕//。,所以①6_L平面BBi/D,

因为BQu平面BB/iO,所以BO】_LArCr,同理可证_LA±D,

再由右手系知，砧x硕与可同向,所以B正确；

对于C,由2,群口Rx3构成右手系知，2X刃与反x2方向相反，

又由江X1模的定义知，,x同=|a||b|sin（a,b）—同同sin值,研—\bxd\,

所以Nxb^-bxa,贝!|诟x前=-ADxAB,所以C错误；

对于D,设正方体棱长为a,6\BCxAC\—6|BC||XC|•