2025版高考数学一轮复习第八章立体几何第1讲空间几何体的结构三视图和直观图教案文新人教A版

PAGEPAGE1第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图一、学问梳理1．空间几何体的结构特征2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方视察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．[留意](1)画三视图时，能望见的线用实线表示，不能望见的线用虚线表示．(2)同一物体，若放置的位置不同，则所得的三视图可能不同．eq\a\vs4\al(常用结论,1.特殊的四棱柱,\x(四棱柱)\o(→,\s\up17(底面为平),\s\do15(行四边形))平行六面体)eq\o(→,\s\up17(侧棱垂直),\s\do15(于底面))eq\x(直平行六面体)eq\o(→,\s\up17(底面为),\s\do15(矩形))eq\x(长方体)eq\o(→,\s\up17(底面边),\s\do15(长相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up17(侧棱与底面),\s\do15(边长相等))eq\x(正方体)上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角变更，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形变更.))“三不变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不变更，,与x，z轴平行的线段的长度不变更，,相对位置不变更.))Ｋ二、习题改编1．(必修2P10B组T1改编)如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱 D．六棱柱解析：选C.由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．2．(必修2P8A组T1(1)改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为．(填写全部正确的序号)答案：③⑤一、思索辨析推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体肯定是棱台．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()(6)菱形的直观图仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×二、易错纠偏eq\a\vs4\al(常见误区)(1)对空间几何体的结构特征相识不到位；(2)不能由三视图确定原几何体的结构特征；(3)斜二测画法的规则不清致误．1．下列结论中错误的是()A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱B．正棱台的对角面肯定是等腰梯形C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线D．各个面都是正方形的四棱柱肯定是正方体解析：选A.由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B.依据选项A，B，C，D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．3.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为，面积为cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4cm，宽为2cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8cm2.答案：矩形8空间几何体的结构特征(师生共研)(1)下列结论正确的是()A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台(2)以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】(1)底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必需是垂直于两底的腰；命题③对．【答案】(1)B(2)Beq\a\vs4\al()空间几何体概念辨析问题的常用方法1．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为()A．10 B．10eq\r(3)C．10eq\r(2) D．5eq\r(3)解析：选B.设圆锥的底面半径为r，高为h，因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3).2．若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点动身的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD­A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为()A．2，8 B．4，12C．2，12 D．12，8解析：选A.因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体．因为长方体的每个顶点动身的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体．空间几何体的三视图(多维探究)角度一由空间几何体的直观图识别三视图(2024·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】Aeq\a\vs4\al()已知几何体，识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及详细形态、明确几何体的摆放位置；(2)依据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最终确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，对于简洁的组合体，要留意它们的组合方式，特殊是它们的交线位置．角度二由空间几何体的三视图还原直观图(2024·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2【解析】由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面绽开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).故选B.【答案】Beq\a\vs4\al()由三视图确定几何体的步骤1．(2024·福州市第一学期抽测)如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是()解析：选B.由题意，依据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B.2．(2024·唐山市五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.空间几何体的直观图(师生共研)(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2 B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形【解析】(1)如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.故选D.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，故选C.【答案】(1)D(2)Ceq\a\vs4\al()平面图形与其直观图的关系(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．(2)依据斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形．如图，正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm.解析：由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝eq\r(2)cm，对应原图形平行四边形的高为2eq\r(2)cm，所以原图形中，OA＝BC＝1cm，AB＝OC＝eq\r(（2\r(2)）2＋12)＝3cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8cm.答案：8[基础题组练]1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是()A．圆柱 B．圆锥C．四面体 D．三棱柱解析：选A.由三视图学问知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不行能为三角形．2．下列说法正确的有()①两个面平行且相像，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；③各侧面都是正方形的四棱柱肯定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选A.①中若两个底面平行且相像，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有多数个，所以②不正确；③中底面不肯定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．3．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③ B．①④C．②④ D．①②③④解析：选A.由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．4．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是()A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体解析：选B.如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.5．有一个长为5cm，宽为4cm的矩形，则其直观图的面积为．解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．答案：5eq\r(2)cm26．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：137．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为eq\r(3)，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为．解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO＝eq\r(2)，又PA＝eq\r(3)，于是解得PO＝1，所以PE＝eq\r(2)，故其正视图的周长为2＋2eq\r(2).答案：2＋2eq\r(2)8．如图1，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA的长．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6cm的正方形，如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)(cm)．由正视图可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．[综合题组练]1．(2024·陕西西安陕师大附中等八校3月联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A动身沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径长为()A.eq\r(193) B．25C．2eq\r(193) D．31解析：选B.将正三棱柱ABC­A1B1C1沿侧棱AA1绽开两次，如图所示：在绽开图中，AA1的最短距离是大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上绕两圈所走路程的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7.由勾股定理求得d＝eq\r(242＋72)＝25.故选B.2．(2024·吉林第三次调研测试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正