2025年中考数学复习：角度的动态问题 方法讲解及巩固练习

角度的动态问题

类型一：钟表问题

【方法技巧】

(1)整个钟面为360°,有12个大格，每个大格为30°；60个小格，每个小格为6°；

(2)整个分针速度：每分钟走一小格，每分钟走6。,1小时转360。；

(3)时针速度：每分钟走七小格，每分钟走0.5。,1小时转30。.

方法一：画图计算.

方法二：列方程求解.

注意：相邻两次重合之间，一次平角，两次直角.

典例精析

【典型题1】★★IO点20分，钟表上时针与分针所成的钝角是________

【思路分析】整个钟面为360°,有12个大格，每个大格为30。，时针每分钟走0.5。.

【答案解析】解：10点20分，钟表上分针在数字4上，时针从数字10开始，走了20个0.5。.因此这时候钟

表上时针与分针所成的钝角是30x6+0.5x20=190°.

【典型题2]★★某时刻，钟表上的时针和分针所成的夹角是105°,那么这一时刻可能是()

A.8点30分B.9点30分

C.10点30分D.1点30分

【答案解析】解：当时间是9点30分时，分针在数字6的位置，而时针在9和10的正中间，所以时针和分

针所成的夹角等于90。+15。=105。.选择B.

【典型题3】

(1)小明出门吃饭时时间为10点多，时针刚好和分针重合，回来时2点多，时针与分针又刚好重合，出门时间

和回家时间分别为几点几分？

(2)4点到5点之间,时针和分针成直角的时间为.

【思路分析】(1)10点整到10点多重合：

类型二：角度的旋转

【方法技巧】解题三大步骤：

⑴设未知数，表示所有小角.

⑵固定图形，寻找角度关系，建立关系式.

(3)求解.

典例精析

【典型题1】★★如图,/AOB为直角，分针从指针12开始，到超过指针10，时针从指针10开始，到超过指

针10最后和分针重合.整个过程，分针比时针多转指针12-10,共300。.2点整到2点多则分针比时针多转60。.列方

程求解.分针每分钟走一小格，每分钟走6。,时针每分钟走0.5。.

(2)需要注意分针和时针的前后顺序，所以需分类讨论.时针在分针前面时，类似(1),4点整到4点多，分针比

时针多转(120。-90。),时针在分针前面时，分针比时针多转(120。+90。).

【答案解析】解：

(1)设出门的时间为10点x分，回家的时间是2点y分.

则由题意得,6x-0.5x=300,解得x=54巳6丫-0.5y=60,解得y=10次•.出门时间为10点54杯分，回家时间为2

点11。/分

⑵设时间为4点x分，

①时针在分针前面时，由题意得，6x-0.5x=120-90,解得久=5卷.

②时针在分针后面时，由题意得，6x-0.5x=120+90,解得x=38・

...在4点5亮分或者4点385分时，时针与分针成直角.

ZAOC为锐角，且OM平分/BOCQN平分/AOC.

(1)如果/AOC=50。,求NMON的度数.

(2)如果/AOC为任意一个锐角，能求出NMON的度数吗？若能，请求出来，若不能，请说明理由.

【思路分析】设未知数，表示小角.设/AOM=x.

【答案解析】解:⑴45。；

(2)能，设NAOM=x，则/BOM=9()o-x,NCOM=NBOM=90O-x,

4CAT「CAT4AoeZ.BOM-X90°-2x.-

・•・乙AON=乙CON=-----=----------=---------=45o一居

222

・•・ZMON=ZAOM+ZAON=45°.

【典型题2】★★★已知:O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，射线OC在北偏东m。的方向，

射线OE在南偏东n。的方向，射线OF平分NAOE,且2m+2n=180。.

图③

⑴如图①,/COE=.ZCOF和/BOE之间的数量关系为.

(2)若将/COE绕点O旋转至图②的位置，射线OF仍然平分/AOE时，试问⑴中/COF和/BOE之间的

数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明，若发生变化，请你说明理由.

⑶若将/COE绕点O旋转至图③的位置射线OF仍然平分/AOE时，则2NCOF+/BOE=

【答案解析】(1)90°;ZBOE=2ZCOF.

解：=NAOC+ZCOF=:用/BOE=90°-ZAOC替换/AOC,可彳导NBOE=2NCOF.

(2)不发生变化

证明:设NAOC=x，则.乙40E=90°-%,

ZBOE=90°+x,

4cLZ-AOE.-X

Z-AOF=------=45o--

22

"°F==45°+今

ZBOE=2ZCOF.

(3)2ZCOF+ZBOE=2ZCOE+2ZEOF+ZBOE=180°+ZAOE+ZBOE=360°.

【典型题3】★★★已知NAOB=15(>o,/COE=75o,OF平分NAOE,

⑴如图①，若NCOF=14。,则NBOE=者NCOF=n。厕NCOF与NBOE的数量关系为.

cB

图③

⑵当射线OE绕点O逆时针旋转到如图②的位置时,(1)中/BOE与/COF的数量关系是否仍然成立？请

说明理由.

⑶在⑵的条件下,如图③，在/BOE的内部是否存在一条射线OD，使得/BOD为直角，且/DOF=3ZDOE.

若存在，请求出NCOF的度数；若不存在，请说明理由.

【答案解析】⑴28o,/BOE=2/COF.

解:=zXOC+ZCOF==℃；75:用NBOE=75°-ZAOC替换NAOC,可得/BOE=2NCOF.

(2)仍然成立，设NAOF为x,则/EOF=NAOF=x,.\ZCOF=75°-x,ZBOE=150°-2x,.\ZBOE=2ZCOF,

(3)设ZDOE=x,贝！j由题ZDOF=3ZDOE=3x,

ZEOF=2x,ZAOF=2x,ZAOD=5x,ZCOF=75°-2x

由题意得,5x+9(F=150。,解得x=12。,；.ZCOF=51°

【典型题4】如图①，射线OC、OD在/AOB的内部目/人08=150。,/8口=30。射线0乂、ON分别平分/

AOD、ZBOC,

⑴设NNOD为x,ZCOM为y.完成下表，并求/MON的大小，并说明理由.

角ZNOCZDOMZBONZAOMZMON

度数

(2)如图②，若/AOC=15。,将/COD绕点O以每秒m。的速度逆时针旋转10s,此时NAOM:NBON=7:11,如图

③所示，求m的值.

【答案解析】解:⑴x+3O°,y+3O°,x+3O°,y+3O°,x+y+3O°

由题意得,2x+2y+90%150。,解得x+y=30°,AZMON=x+y+30°=60°.

(2)由题意得，^AOM=|^AOD=|(15+30+10m)=|(45+10m)

乙BON=-^BOC=-(150-15-10m)=-(135-10m),；.=严叶皿吟=［，解得m=2.5.

22、,2、八人BON1(135-10m)11

【典型题5】★★★★如图①，两个形状、大小完全相同的含有30。、60。的三角板如图放置,PA、PB与直线MN

重合，且三角板PAC,三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转.

MB

D

M

图③

⑴试说明:NDPC=90。;

⑵若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度到图②FF平分NAPD,PE平分NCPD,

求NEPF;

(3)如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转转速为3。/秒，同时三角板PBD的边PB

从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2。/秒，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，两三角板都

停止转动)，问黑的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

Z-DrN

【思路分析】⑶画出示意图，设旋转时间为t,用t分别表示出旋转角度/CPD和NBPN,列式求比值.

【答案解析】解:⑴：ZDPC=180°-ZCPA-ZDPB,ZCPA=60°,ZDPB=30°,

.­.乙DPC=180°-30°-60°=90°;

(2)设NCPE=NDPE=x,NCPF=泗ZAPF=ZDPF=2x+y,

V/CPA=60。,y+2x+y=60°,x+y=30°,.\ZEPF=x+y=30°.

⑶黑的值是定值.设运动时间为t秒,^..NBPM=2t,.•./BPN=180。-2t,..•PC和PD的旋转速度差为t,N

CPD=90°-t.

如图，且PD转到在PM上方和下方时均成立.

Z.CPD90-t栽的值是定值1

Z.BPN180-2t2

B

巩固练习

【巩固练习1]

0为直线AD上一点，以0为顶点作NCOE=90。射线OF平分/AOE.

⑴如图①,NAOC与/DOE的数量关系为,ZCOF和NDOE的数量关系为;

(2)若将/COE绕点O旋转至图②的位置QF依然平分/AOE,请写出NCOF和/DOE之间的数量关系，并

说明理由；

(3)若将NCOE绕点0旋转至图③的位置,射线OF依然平分NAOE,请直接写出NCOF和/DOE之间的

数量关系.

【巩固练习2]

已知NAOB=100o,NCOD=40o,OE平分NAOC,OF平分NBOD.(本题中的角均为大于0。且小于等于180。的角).

⑴如图所示，当OB、OC重合时，求/EOF的度数；

(2)当/COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转11。(0<11<90。)时,/AOE-/BOF的值是否为定值？若是定值，

求出NAOE-NBOF的值；若不是，请说明理由.

⑶当/COD从图中所示位置绕点O顺时针旋转n°(0<n<180。)时，满足NAOD+NEOF=6NCOD,则

n=

AE,

——B(C)

【巩固练习3】

如图①，点0为直线AB上一点，过点0作射线0C,使Z.BOC=110。.将一直角三角板的直角顶点放在点0

处(U0MN=30。),一边0M在射线0B上,另一边ON在直线AB的下方.

⑴将图①中的三角板绕点0逆时针旋转至图②，使一边0M在NBOC的内部，且恰好平分/BOC.求NBON

的度数.

(2)将图①中的三角板绕点0以每秒5。的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON

恰好平分锐角/AOC,贝LIt的值为(直接写出结果).

(3)将图①中的三角板绕点0顺时针旋转至图③，使ON在/AOC的内部，请探究/AOM与NNOC的数量

关系,并说明理由.

M

图③

【巩固练习4]

将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起.

⑴如图①若/BOD=35。,求/AOC的度数，若NAOC=135。,求/BOD的度数.

(2)如图②若/AOC=150。,求/BOD的度数.

⑶猜想/AOC与/BOD的数量关系，并结合图①说明理由.

(4)三角尺AOB不动，将三角尺COD的0D边与0A边重合，然后绕点0按顺时针或逆时针方向任意转动

一个角度，当乙4。。(0。<乙40D<90。))等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出/AOD所

有可能的值，不用说明理由.

1.(1)Z.COE=90。,〃。。=50°,

.­./.AOE=Z.COE-/-AOC=90°-50°=40°,

:射线OF平分乙AOE,

AAOF=-/.EOF=/-AOE=-x40°=20°,

22

・•・乙COF=Z.AOC+^AOF=50°+20°=70。,

TO为直线AD上一点，

Z.AOD=180。，

・•・乙FOD=^AOD-^AOF=180°-20°=160°.

(2)Z-COE=90°,angleAOC=a,

•••Z-AOE—Z-COE—Z-AOC—90°-a,

:射线OF平分.AAOE,

11

AAOF=乙EOF=j^AOE=j(90。-a),

AACOF=AAOC+AAOF=a+I(90。-a)=ga+45°

2.⑴；OE平分/AOC,OF平分/BOD,NEOC=2℃=1x100°=50°,zCOF=|zCOD=|x

40°=20

ZEOF=ZEOC+ZCOF=50°+20°=70°;

(2)ZAOE-ZBOF的值为定值，理由如下:根据题意知/BOC=n°.

•••Z-AOC=Z.AOB+n°,angleBOD=乙COD+n°.

VOE平分NAOC,OF平分NBOD,

/-AOE=11=j(100°+n°1),^BOF=1^z.BOD=j(40°+n°).

.­./.AOE-^BOF=|(1000°+n°)-|(40°+n°)=30°;

(3)当0<n<40时,C和D在OA的右侧，SOD=Z.AOB+乙COD+n°=100°+40°+n°=140°+n°

'ZEOF=ZEOC+ZCOF=ZEOC+ZCOD-ZDOF=|(100°+n°)+40°-|(40°+n°)=70°

"?ZAOD+ZEOF=6/COD,

.\(140+n)+70°=6x40,

n=30.

故答案为:30.

图2

如图2,

：OM平分.A.BOC,

・•・乙MOC=乙MOB,

又；乙BOC=110。,

・••乙MOB=55。，

•・•乙MON=90。,

•••乙BON=乙MON-乙MOB